Síla symbolů: Algebra a řešení rovnic CORE004 Matematika jako součást kultury Zdeněk Pospíšil 707@mail.muni.cz Masarykova univerzita 23. září 2021 Obsah Dixit Algorizmi: původ matematiky kalkulací Algebraický traktát Aritmetický traktát Navazování Řešení rovnic Rozšiřování číselných oborů Hledání explicitních formulí Aritmetika a algoritmy Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 2 / 9 Dixit Algorizmi Původ matematiky kalkulací Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 3 / 9 Dixit Algorizmi Původ matematiky kalkulací Abu Abdalláh Muhammad ibn Músá al Chvárizmí al Mádžúsí Pracoval v (dům vědy/moudrosti, knihovna/universita) za chalífa al Ma’múna (813– 833). Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 3 / 9 Dixit Algorizmi Původ matematiky kalkulací Abu Abdalláh Muhammad ibn Músá al Chvárizmí al Mádžúsí Pracoval v (dům vědy/moudrosti, knihovna/universita) za chalífa al Ma’múna (813– 833). Věda o redukci a vzájemném rušení (al džebr va l mukábala) – Algebraický traktát Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 3 / 9 Dixit Algorizmi Původ matematiky kalkulací Abu Abdalláh Muhammad ibn Músá al Chvárizmí al Mádžúsí Pracoval v (dům vědy/moudrosti, knihovna/universita) za chalífa al Ma’múna (813– 833). Věda o redukci a vzájemném rušení (al džebr va l mukábala) – Algebraický traktát Kniha o indickém počítání – Aritmetický traktát Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 3 / 9 Dixit Algorizmi Algebraický traktát Pravidla kalkulací Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 4 / 9 Dixit Algorizmi Algebraický traktát Pravidla kalkulací Označení hledané veličiny Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 4 / 9 Dixit Algorizmi Algebraický traktát Pravidla kalkulací Označení hledané veličiny Tři druhy čísel: kvadrát (mal) kořen (džízr) dané určité číslo (dirhem) Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 4 / 9 Dixit Algorizmi Algebraický traktát Pravidla kalkulací Označení hledané veličiny Tři druhy čísel Správné rovnosti: 1. (τ + σ) + = τ + (σ + ), (τσ) = τ(σ ) 2. τ + σ = σ + τ, τσ = στ 3. τ(σ + ) = τσ + τ 4. 1τ = τ 5. τ 1 τ = 1 6. τ = τ 7. (τ) (τ) = τ 8. (στ) = √ σ √ τ Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 4 / 9 Dixit Algorizmi Algebraický traktát Pravidla kalkulací Označení hledané veličiny Tři druhy čísel Správné rovnosti Odvozovací pravidla: 1. Symetrie rovnosti: τ = σ → σ = τ 2. Transitivita rovnosti: τ = σ, σ = → τ = 3. Pravidlo substituce: Nechť π je výraz, který vznikne z výrazu σ nahrazením podvýrazu σ výrazu τ výrazem . Potom σ = → τ = π 4. Pravidla al džebr: σ = , τ = π → σ + τ = + π σ = , σ + τ = + π → τ = π 5. Pravidla al mukábala: σ = , τ = π → στ = π σ = , στ = π → τ = π 6. Jednoznačnost odmocniny: σ2 = τ → σ = √ τ Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 4 / 9 Dixit Algorizmi Algebraický traktát Klasifikace a řešení rovnic x2 = q x2 = px x2 = px + q x2 + px = q x2 + q = px Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 5 / 9 Dixit Algorizmi Algebraický traktát Klasifikace a řešení rovnic x2 = q → x = √ q x2 = px x2 = px + q x2 + px = q x2 + q = px Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 5 / 9 Dixit Algorizmi Algebraický traktát Klasifikace a řešení rovnic x2 = q → x = √ q x2 = px → x = p x2 = px + q x2 + px = q x2 + q = px Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 5 / 9 Dixit Algorizmi Algebraický traktát Klasifikace a řešení rovnic x2 = q → x = √ q x2 = px → x = p x2 = px + q → x = (1 2p)2 + q + 1 2 p x2 + px = q x2 + q = px Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 5 / 9 Dixit Algorizmi Algebraický traktát Klasifikace a řešení rovnic Syntax: pravidla pro kalkulování se znaky, jejich skladba, provádění jednotlivých kroků a podobně. Sémantika: co ve zkoumaném předmětu jednotlivé znaky označují, co o něm vypovídá skladba znaků a podobně. Je vhodné udržovat syntax a sémantiku v souladu. Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 5 / 9 Dixit Algorizmi Algebraický traktát Klasifikace a řešení rovnic x2 = q → x = √ q x2 = px → x = p x2 = px + q → x = (1 2p)2 + q + 1 2 p x2 + px = q → x = (1 2p)2 + q − 1 2 p x2 + q = px Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 5 / 9 Dixit Algorizmi Algebraický traktát Klasifikace a řešení rovnic x2 = q → x = √ q x2 = px → x = p x2 = px + q → x = (1 2p)2 + q + 1 2 p x2 + px = q → x = (1 2p)2 + q − 1 2 p x2 + q = px → x1 = 1 2p + (1 2p)2 − q, x2 = 1 2p − (1 2p)2 − q pokud p2 > 4q Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 5 / 9 Dixit Algorizmi Aritmetický traktát Indické číslice Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 6 / 9 Dixit Algorizmi Aritmetický traktát Indické číslice Seve Sébóchot (622): Nebudu se zabývat vědou Indů, národa různého od Syřanů, jejich pozoruhodnými objevy astronomickými, hlubšími než jsou objevy Řeků a Babylóňanů, jejich systémem počítání, pro nějž nenacházím slov. Pouze upozorňuji, že výpočty jsou prováděny pomocí devíti znaků. Kdyby se o tom dověděli ti, kteří myslí, že toliko jazykem řeckým lze dosáhnout hranic vědy, tak by se přesvědčili, že jsou i jiné znalosti. Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 6 / 9 Dixit Algorizmi Aritmetický traktát Indické číslice Seve Sébóchot (622): Nebudu se zabývat vědou Indů, národa různého od Syřanů, jejich pozoruhodnými objevy astronomickými, hlubšími než jsou objevy Řeků a Babylóňanů, jejich systémem počítání, pro nějž nenacházím slov. Pouze upozorňuji, že výpočty jsou prováděny pomocí devíti znaků. Kdyby se o tom dověděli ti, kteří myslí, že toliko jazykem řeckým lze dosáhnout hranic vědy, tak by se přesvědčili, že jsou i jiné znalosti. Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 6 / 9 Dixit Algorizmi Aritmetický traktát Indické číslice Seve Sébóchot (622): Nebudu se zabývat vědou Indů, národa různého od Syřanů, jejich pozoruhodnými objevy astronomickými, hlubšími než jsou objevy Řeků a Babylóňanů, jejich systémem počítání, pro nějž nenacházím slov. Pouze upozorňuji, že výpočty jsou prováděny pomocí devíti znaků. Kdyby se o tom dověděli ti, kteří myslí, že toliko jazykem řeckým lze dosáhnout hranic vědy, tak by se přesvědčili, že jsou i jiné znalosti. Výpočty prováděné na desce s pískem: Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 6 / 9 Dixit Algorizmi Aritmetický traktát Indické číslice Seve Sébóchot (622): Nebudu se zabývat vědou Indů, národa různého od Syřanů, jejich pozoruhodnými objevy astronomickými, hlubšími než jsou objevy Řeků a Babylóňanů, jejich systémem počítání, pro nějž nenacházím slov. Pouze upozorňuji, že výpočty jsou prováděny pomocí devíti znaků. Kdyby se o tom dověděli ti, kteří myslí, že toliko jazykem řeckým lze dosáhnout hranic vědy, tak by se přesvědčili, že jsou i jiné znalosti. Výpočty prováděné na desce s pískem: 887 352 Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 6 / 9 Dixit Algorizmi Aritmetický traktát Indické číslice Seve Sébóchot (622): Nebudu se zabývat vědou Indů, národa různého od Syřanů, jejich pozoruhodnými objevy astronomickými, hlubšími než jsou objevy Řeků a Babylóňanů, jejich systémem počítání, pro nějž nenacházím slov. Pouze upozorňuji, že výpočty jsou prováděny pomocí devíti znaků. Kdyby se o tom dověděli ti, kteří myslí, že toliko jazykem řeckým lze dosáhnout hranic vědy, tak by se přesvědčili, že jsou i jiné znalosti. Výpočty prováděné na desce s pískem: 887 1152 Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 6 / 9 Dixit Algorizmi Aritmetický traktát Indické číslice Seve Sébóchot (622): Nebudu se zabývat vědou Indů, národa různého od Syřanů, jejich pozoruhodnými objevy astronomickými, hlubšími než jsou objevy Řeků a Babylóňanů, jejich systémem počítání, pro nějž nenacházím slov. Pouze upozorňuji, že výpočty jsou prováděny pomocí devíti znaků. Kdyby se o tom dověděli ti, kteří myslí, že toliko jazykem řeckým lze dosáhnout hranic vědy, tak by se přesvědčili, že jsou i jiné znalosti. Výpočty prováděné na desce s pískem: 887 1232 Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 6 / 9 Dixit Algorizmi Aritmetický traktát Indické číslice Seve Sébóchot (622): Nebudu se zabývat vědou Indů, národa různého od Syřanů, jejich pozoruhodnými objevy astronomickými, hlubšími než jsou objevy Řeků a Babylóňanů, jejich systémem počítání, pro nějž nenacházím slov. Pouze upozorňuji, že výpočty jsou prováděny pomocí devíti znaků. Kdyby se o tom dověděli ti, kteří myslí, že toliko jazykem řeckým lze dosáhnout hranic vědy, tak by se přesvědčili, že jsou i jiné znalosti. Výpočty prováděné na desce s pískem: 887 1239 Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 6 / 9 Navazování Řešení rovnic Rozšiřování číselných oborů Zavádění „nových“ čísel Co je to p2 − 4q pro p2 < 4q? Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 7 / 9 Navazování Řešení rovnic Rozšiřování číselných oborů Zavádění „nových“ čísel Co je to p2 − 4q pro p2 < 4q? p2 − 4q = |p2 − 4q|(−1) = |p2 − 4q| (−1) = 4q − p2 (−1) Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 7 / 9 Navazování Řešení rovnic Rozšiřování číselných oborů Zavádění „nových“ čísel Co je to p2 − 4q pro p2 < 4q? p2 − 4q = |p2 − 4q|(−1) = |p2 − 4q| (−1) = 4q − p2 (−1) Komplexní čísla: z = a + bi, i = √ −1 Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 7 / 9 Navazování Řešení rovnic Rozšiřování číselných oborů Zavádění „nových“ čísel Komplexní čísla: z = a + bi, i = √ −1 Grafické znázornění čísel Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 7 / 9 Navazování Řešení rovnic Rozšiřování číselných oborů Zavádění „nových“ čísel Komplexní čísla: z = a + bi, i = √ −1 Grafické znázornění čísel Komplexní čísla C: z = (a, b), a, b ∈ R (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc) Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 7 / 9 Navazování Řešení rovnic Rozšiřování číselných oborů Zavádění „nových“ čísel Komplexní čísla: z = a + bi, i = √ −1 Grafické znázornění čísel Komplexní čísla C: z = (a, b), a, b ∈ R (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc) Komplexně sdružené číslo: ¯z = a − bi, (a, −b), z + ¯z ∈ R Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 7 / 9 Navazování Řešení rovnic Rozšiřování číselných oborů Zavádění „nových“ čísel Komplexní čísla: z = a + bi, i = √ −1 Grafické znázornění čísel Komplexní čísla C: z = (a, b), a, b ∈ R (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)(c, d) = (ac − ¯bd, a¯d + bc) Komplexně sdružené číslo: ¯z = a − bi, (a, −b), z + ¯z ∈ R Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 7 / 9 Navazování Řešení rovnic Rozšiřování číselných oborů Zavádění „nových“ čísel Komplexní čísla: z = a + bi, i = √ −1 Grafické znázornění čísel Komplexní čísla C: z = (a, b), a, b ∈ R (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)(c, d) = (ac − ¯bd, a¯d + bc) Komplexně sdružené číslo: ¯z = a − bi, (a, −b), z + ¯z ∈ R Kvaterniony K: (a, b), a, b ∈ C (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)(c, d) = (ac − ¯bd, a¯d + bc) q = a + bi + cj + dk sdružený kvaternion: ¯q = a − bi − cj − dk Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 7 / 9 Navazování Řešení rovnic Rozšiřování číselných oborů Zavádění „nových“ čísel Komplexní čísla: z = a + bi, i = √ −1 Grafické znázornění čísel Komplexní čísla C: z = (a, b), a, b ∈ R (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)(c, d) = (ac − ¯bd, a¯d + bc) Komplexně sdružené číslo: ¯z = a − bi, (a, −b), z + ¯z ∈ R Kvaterniony K: (a, b), a, b ∈ C (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)(c, d) = (ac − ¯bd, a¯d + bc) q = a + bi + cj + dk sdružený kvaternion: ¯q = a − bi − cj − dk Oktoniony O: (a, b), a, b ∈ K (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)(c, d) = (ac − ¯bd, a¯d + bc) Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 7 / 9 Navazování Řešení rovnic Rovnice od Diofanta k Abelovi Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 8 / 9 Navazování Řešení rovnic Rovnice od Diofanta k Abelovi Diofantos z Alexandrie: rovnice je ekvivalence formálních výrazů. Řešil konkrétní problémy, zavedl symbol pro nezná- mou. Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 8 / 9 Navazování Řešení rovnic Rovnice od Diofanta k Abelovi Diofantos z Alexandrie: rovnice je ekvivalence formálních výrazů. Řešil konkrétní problémy, zavedl symbol pro nezná- mou. al-Chvárizmí Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 8 / 9 Navazování Řešení rovnic Rovnice od Diofanta k Abelovi Diofantos z Alexandrie: rovnice je ekvivalence formálních výrazů. Řešil konkrétní problémy, zavedl symbol pro nezná- mou. Abú al-Fath Umar ibn Ibrahím al-Nisapuri al-Chajjám (1048–1131): Řešení kubických rovnic hledal jako průsečík dvou kuželoseček. Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 8 / 9 Navazování Řešení rovnic Rovnice od Diofanta k Abelovi Abú al-Fath Umar ibn Ibrahím al-Nisapuri al-Chajjám (1048–1131): Řešení kubických rovnic hledal jako průsečík dvou kuželoseček. Gerolamo Cardano (1501–1576) Ars magna Niccolò Fontano Tartaglia (1500-1557) Quesiti et Inventioni diverse: řešení kubických a kvartických rovnic. Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 8 / 9 Navazování Řešení rovnic Rovnice od Diofanta k Abelovi Gerolamo Cardano (1501–1576) Ars magna Niccolò Fontano Tartaglia (1500-1557) Quesiti et Inventioni diverse: řešení kubických a kvartických rovnic. François Viète (1540–1603): koeficienty polynomů jsou symetrickými funkcemi jeho kořenů. Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 8 / 9 Navazování Řešení rovnic Rovnice od Diofanta k Abelovi François Viète (1540–1603): koeficienty polynomů jsou symetrickými funkcemi jeho kořenů. Rafael Bombelli (1526–1572) John Wallis (1616–1703): geometrická interpretace odmocniny ze záporného čísla. Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 8 / 9 Navazování Řešení rovnic Rovnice od Diofanta k Abelovi Rafael Bombelli (1526–1572) John Wallis (1616–1703): geometrická interpretace odmocniny ze záporného čísla. Carl Friedrich Gauß(1777-1855): důkaz základní věty algebry. „...přes veškeré úsilí skvělých geometrů je velmi malá naděje, že lze kdykoliv přijmout obecné řešení algebraických rovnic, takže bude více pravděpodobné, že nebude možné najít, nebo bude kontradiktorické.“ Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 8 / 9 Navazování Řešení rovnic Rovnice od Diofanta k Abelovi Carl Friedrich Gauß(1777-1855): důkaz základní věty algebry. „...přes veškeré úsilí skvělých geometrů je velmi malá naděje, že lze kdykoliv přijmout obecné řešení algebraických rovnic, takže bude více pravděpodobné, že nebude možné najít, nebo bude kontradiktorické.“ Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 8 / 9 Navazování Řešení rovnic Rovnice od Diofanta k Abelovi Carl Friedrich Gauß(1777-1855): důkaz základní věty algebry. „...přes veškeré úsilí skvělých geometrů je velmi malá naděje, že lze kdykoliv přijmout obecné řešení algebraických rovnic, takže bude více pravděpodobné, že nebude možné najít, nebo bude kontradiktorické.“ Niels Henrik Abel (1802–1829): Mémoire sur les équationes algébriques où on démontre l’impossibilité de la résolution générale du cinquième dégré. Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 8 / 9 Navazování Řešení rovnic Rovnice od Diofanta k Abelovi Niels Henrik Abel (1802–1829): Mémoire sur les équationes algébriques où on démontre l’impossibilité de la résolution générale du cinquième dégré. Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 8 / 9 Navazování Řešení rovnic Rovnice od Diofanta k Abelovi Niels Henrik Abel (1802–1829): Mémoire sur les équationes algébriques où on démontre l’impossibilité de la résolution générale du cinquième dégré. Évariste Galois (1811–1832): jiný pohled na nemožnost řešení rovnic pátého stupně. Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 8 / 9 Navazování Řešení rovnic Rovnice od Diofanta k Abelovi Évariste Galois (1811–1832): jiný pohled na nemožnost řešení rovnic pátého stupně. William Rowan Hamilton (1805–1865): rekonstrukce a doplnění Abelova důkazu. Zavedl kvaterniony. Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 8 / 9 Navazování Aritmetika a algoritmy Leonardo Pisano (Fibonacci) (1170?–1250) Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 9 / 9 Navazování Aritmetika a algoritmy Leonardo Pisano (Fibonacci) (1170?–1250) Liber abaci: Zprostředkování antického a arabského vědění Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 9 / 9 Navazování Aritmetika a algoritmy Leonardo Pisano (Fibonacci) (1170?–1250) Liber abaci: Zprostředkování antického a arabského vědění Úloha o králících: Kdosi umístil pár králíků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů králíků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u králíků je tomu tak, že pár králíků přivede na svět měsíčně jeden pár a že králíci počínají rodit ve dvou měsících svého věku. Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 9 / 9 Navazování Aritmetika a algoritmy Leonardo Pisano (Fibonacci) (1170?–1250) Liber abaci: Zprostředkování antického a arabského vědění Úloha o králících: Kdosi umístil pár králíků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů králíků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u králíků je tomu tak, že pár králíků přivede na svět měsíčně jeden pár a že králíci počínají rodit ve dvou měsících svého věku. n(t) = n(t − 1) + n(t − 2), n(1) = 1, n(2) = 2 Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 9 / 9 Navazování Aritmetika a algoritmy Leonardo Pisano (Fibonacci) (1170?–1250) Liber abaci: Zprostředkování antického a arabského vědění Úloha o králících: Úloha o vážení: Máme sadu závaží, jejichž váhy jsou 1, 3, 9, 27, 81, ..., přičemž od každé takové váhy je v této sadě jen jediné závaží. Naším úkolem je nalézt k libovolné váze nalézt počty závaží, které jsouce umístěny na rovnoramenné váhy, vyjádří tuto váhu. Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 9 / 9 Navazování Aritmetika a algoritmy Leonardo Pisano (Fibonacci) (1170?–1250) Liber abaci: Zprostředkování antického a arabského vědění Úloha o králících: Úloha o vážení: Máme sadu závaží, jejichž váhy jsou 1, 3, 9, 27, 81, ..., přičemž od každé takové váhy je v této sadě jen jediné závaží. Naším úkolem je nalézt k libovolné váze nalézt počty závaží, které jsouce umístěny na rovnoramenné váhy, vyjádří tuto váhu. váha levá miska pravá miska váha levá miska pravá miska 1 1 0 6 9 3 2 3 1 7 9 + 1 3 3 3 0 8 9 1 4 3 + 1 0 9 9 0 5 9 3 + 1 10 9 + 1 0 Z. Pospíšil ·Algebra a řešení rovnic ·23. září 2021 9 / 9