Touha po nekonečnu: Množiny CORE004 Matematika jako součást kultury Zdeněk Pospíšil 707@mail.muni.cz Masarykova univerzita 30. září 2021 Obsah Nekonečno Prehistorie Galilei: nekonečno je sporné Bolzano: nekonečno je paradoxní Cantor: nekonečno je Množiny Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 2 / 12 Nekonečno Prehistorie Odmítání nekonečna 384–322 BCE Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 3 / 12 Nekonečno Prehistorie Odmítání nekonečna Aristoteles: Aπει oν nemůže být α χη 384–322 BCE Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 3 / 12 Nekonečno Prehistorie Odmítání nekonečna Aristoteles: Aπει oν nemůže být α χη Je nemožné, že by APEIRON bylo odloučené od smyslových věcí a bylo jakýmsi APEIREM samým o sobě. 384–322 BCE Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 3 / 12 Nekonečno Prehistorie Odmítání nekonečna Aristoteles: Aπει oν nemůže být α χη Je nemožné, že by APEIRON bylo odloučené od smyslových věcí a bylo jakýmsi APEIREM samým o sobě. ...neboť matematikové nemají zapotřebí APEIRA ve skutečnosti a neužívají ho. Jen jim dostačuje, že neomezená čára jest dostatečně dlouhá. 384–322 BCE Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 3 / 12 Nekonečno Prehistorie Odmítání nekonečna Aristoteles: Aπει oν nemůže být α χη Je nemožné, že by APEIRON bylo odloučené od smyslových věcí a bylo jakýmsi APEIREM samým o sobě. ...neboť matematikové nemají zapotřebí APEIRA ve skutečnosti a neužívají ho. Jen jim dostačuje, že neomezená čára jest dostatečně dlouhá. Zbývá tedy, že APEIRON je jen v možnosti. 384–322 BCE Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 3 / 12 Nekonečno Prehistorie Odmítání nekonečna Aristoteles: Aπει oν nemůže být α χη Je nemožné, že by APEIRON bylo odloučené od smyslových věcí a bylo jakýmsi APEIREM samým o sobě. ...neboť matematikové nemají zapotřebí APEIRA ve skutečnosti a neužívají ho. Jen jim dostačuje, že neomezená čára jest dostatečně dlouhá. Zbývá tedy, že APEIRON je jen v možnosti. 384–322 BCE Prodlužování úsečky (nekonečno prostorové): Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 3 / 12 Nekonečno Prehistorie Odmítání nekonečna Aristoteles: Aπει oν nemůže být α χη Je nemožné, že by APEIRON bylo odloučené od smyslových věcí a bylo jakýmsi APEIREM samým o sobě. ...neboť matematikové nemají zapotřebí APEIRA ve skutečnosti a neužívají ho. Jen jim dostačuje, že neomezená čára jest dostatečně dlouhá. Zbývá tedy, že APEIRON je jen v možnosti. 384–322 BCE Prodlužování úsečky (nekonečno prostorové): 1. Narazí na hranici. Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 3 / 12 Nekonečno Prehistorie Odmítání nekonečna Aristoteles: Aπει oν nemůže být α χη Je nemožné, že by APEIRON bylo odloučené od smyslových věcí a bylo jakýmsi APEIREM samým o sobě. ...neboť matematikové nemají zapotřebí APEIRA ve skutečnosti a neužívají ho. Jen jim dostačuje, že neomezená čára jest dostatečně dlouhá. Zbývá tedy, že APEIRON je jen v možnosti. 384–322 BCE Prodlužování úsečky (nekonečno prostorové): 1. Narazí na hranici. 2. Rozplyne se v neurčitu (nekonečno jako neurčitost). Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 3 / 12 Nekonečno Prehistorie Odmítání nekonečna Aristoteles: Aπει oν nemůže být α χη Je nemožné, že by APEIRON bylo odloučené od smyslových věcí a bylo jakýmsi APEIREM samým o sobě. ...neboť matematikové nemají zapotřebí APEIRA ve skutečnosti a neužívají ho. Jen jim dostačuje, že neomezená čára jest dostatečně dlouhá. Zbývá tedy, že APEIRON je jen v možnosti. 384–322 BCE Prodlužování úsečky (nekonečno prostorové): 1. Narazí na hranici. 2. Rozplyne se v neurčitu (nekonečno jako neurčitost). 3. Vrátí se tam, kde byla (bludné nekonečno). Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 3 / 12 Nekonečno Prehistorie Odmítání nekonečna Aristoteles: Aπει oν nemůže být α χη Je nemožné, že by APEIRON bylo odloučené od smyslových věcí a bylo jakýmsi APEIREM samým o sobě. ...neboť matematikové nemají zapotřebí APEIRA ve skutečnosti a neužívají ho. Jen jim dostačuje, že neomezená čára jest dostatečně dlouhá. Zbývá tedy, že APEIRON je jen v možnosti. 384–322 BCE Prodlužování úsečky (nekonečno prostorové): 1. Narazí na hranici. 2. Rozplyne se v neurčitu (nekonečno jako neurčitost). 3. Vrátí se tam, kde byla (bludné nekonečno). Pokračování výpočtu, algoritmu (nekonečno časové): Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 3 / 12 Nekonečno Prehistorie Odmítání nekonečna Aristoteles: Aπει oν nemůže být α χη Je nemožné, že by APEIRON bylo odloučené od smyslových věcí a bylo jakýmsi APEIREM samým o sobě. ...neboť matematikové nemají zapotřebí APEIRA ve skutečnosti a neužívají ho. Jen jim dostačuje, že neomezená čára jest dostatečně dlouhá. Zbývá tedy, že APEIRON je jen v možnosti. 384–322 BCE Prodlužování úsečky (nekonečno prostorové): 1. Narazí na hranici. 2. Rozplyne se v neurčitu (nekonečno jako neurčitost). 3. Vrátí se tam, kde byla (bludné nekonečno). Pokračování výpočtu, algoritmu (nekonečno časové): Dospěje k výsledku. Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 3 / 12 Nekonečno Prehistorie Odmítání nekonečna Aristoteles: Aπει oν nemůže být α χη Je nemožné, že by APEIRON bylo odloučené od smyslových věcí a bylo jakýmsi APEIREM samým o sobě. ...neboť matematikové nemají zapotřebí APEIRA ve skutečnosti a neužívají ho. Jen jim dostačuje, že neomezená čára jest dostatečně dlouhá. Zbývá tedy, že APEIRON je jen v možnosti. 384–322 BCE Prodlužování úsečky (nekonečno prostorové): 1. Narazí na hranici. 2. Rozplyne se v neurčitu (nekonečno jako neurčitost). 3. Vrátí se tam, kde byla (bludné nekonečno). Pokračování výpočtu, algoritmu (nekonečno časové): Dospěje k výsledku (ale nevíme, kdy). Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 3 / 12 Nekonečno Prehistorie Theologické důvody proti existenci aktuálního nekonečna Tomáš Aquinský: Aktuální nekonečno se může týkat pouze Boha. Svět není nekonečný ani v prostoru, ani v čase. 1228–1274 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 4 / 12 Nekonečno Prehistorie Theologické důvody proti existenci aktuálního nekonečna Tomáš Aquinský: Aktuální nekonečno se může týkat pouze Boha. Svět není nekonečný ani v prostoru, ani v čase. 1228–1274 1265–1321 Dante Alighieri, Božská komedie, 33,121-126: Ne, nemám slov, ba ani sil to chápat a netroufám si vyložit to blíž, s tím „nic“, co vím, zde musím jenom tápat. Ó věčné světlo, které v sobě tkvíš, jen ty si s láskou hledíš do ohniska, jen ty se znáš a sebe vysvětlíš. Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 4 / 12 Nekonečno Prehistorie Theologické důvody proti existenci aktuálního nekonečna 1265–1321 Dante Alighieri, Božská komedie, 33,121-126: Ne, nemám slov, ba ani sil to chápat a netroufám si vyložit to blíž, s tím „nic“, co vím, zde musím jenom tápat. Ó věčné světlo, které v sobě tkvíš, jen ty si s láskou hledíš do ohniska, jen ty se znáš a sebe vysvětlíš. Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 4 / 12 Nekonečno Prehistorie Theologické důvody pro existenci aktuálního nekonečna 354–430 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 5 / 12 Nekonečno Prehistorie Theologické důvody pro existenci aktuálního nekonečna 354–430 Aurelius Augustin: I buď vzdálena od nás všeliká pochybnost, že by Bohu všechny počty neměly známy býti ...I když jsme my nebožátka, jenžto opovažujeme se meze klásti vševědoucnosti jeho ... Bohu musí být známy všechny počty, o nichž víme jistotně, že jim konce není ...Ti, kdo o Boží schopnosti pochybují, se řítí do nejhlubší propasti bezbožnosti! Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 5 / 12 Nekonečno Prehistorie Theologické důvody pro existenci aktuálního nekonečna 354–430 Aurelius Augustin: I buď vzdálena od nás všeliká pochybnost, že by Bohu všechny počty neměly známy býti ...I když jsme my nebožátka, jenžto opovažujeme se meze klásti vševědoucnosti jeho ... Bohu musí být známy všechny počty, o nichž víme jistotně, že jim konce není ...Ti, kdo o Boží schopnosti pochybují, se řítí do nejhlubší propasti bezbožnosti! 1401–1462 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 5 / 12 Nekonečno Prehistorie Theologické důvody pro existenci aktuálního nekonečna 354–430 Aurelius Augustin: I buď vzdálena od nás všeliká pochybnost, že by Bohu všechny počty neměly známy býti ...I když jsme my nebožátka, jenžto opovažujeme se meze klásti vševědoucnosti jeho ... Bohu musí být známy všechny počty, o nichž víme jistotně, že jim konce není ...Ti, kdo o Boží schopnosti pochybují, se řítí do nejhlubší propasti bezbožnosti! Mikuláš Kusánský, De docta ignorantia: ...o pravdě nevíme nic jiného, než že víme, že přesně tak jak jest, je neuchopitelná – a všichni filosofové ji hledají, ale žádný ji nenašel tak jak jest; a čím poučenější budeme o této nevědomosti, tím blíž se přibližujeme k samotné pravdě. 1401–1462 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 5 / 12 Nekonečno Prehistorie Theologické důvody pro existenci aktuálního nekonečna 354–430 Aurelius Augustin: I buď vzdálena od nás všeliká pochybnost, že by Bohu všechny počty neměly známy býti ...I když jsme my nebožátka, jenžto opovažujeme se meze klásti vševědoucnosti jeho ... Bohu musí být známy všechny počty, o nichž víme jistotně, že jim konce není ...Ti, kdo o Boží schopnosti pochybují, se řítí do nejhlubší propasti bezbožnosti! 1401–1462 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 5 / 12 Nekonečno Prehistorie Theologické důvody pro existenci aktuálního nekonečna 354–430 Aurelius Augustin: I buď vzdálena od nás všeliká pochybnost, že by Bohu všechny počty neměly známy býti ...I když jsme my nebožátka, jenžto opovažujeme se meze klásti vševědoucnosti jeho ... Bohu musí být známy všechny počty, o nichž víme jistotně, že jim konce není ...Ti, kdo o Boží schopnosti pochybují, se řítí do nejhlubší propasti bezbožnosti! 1401–1462 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 5 / 12 Nekonečno Prehistorie Theologické důvody pro existenci aktuálního nekonečna 354–430 Aurelius Augustin: I buď vzdálena od nás všeliká pochybnost, že by Bohu všechny počty neměly známy býti ...I když jsme my nebožátka, jenžto opovažujeme se meze klásti vševědoucnosti jeho ... Bohu musí být známy všechny počty, o nichž víme jistotně, že jim konce není ...Ti, kdo o Boží schopnosti pochybují, se řítí do nejhlubší propasti bezbožnosti! 1401–1462 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 5 / 12 Nekonečno Prehistorie Theologické důvody pro existenci aktuálního nekonečna 354–430 Aurelius Augustin: I buď vzdálena od nás všeliká pochybnost, že by Bohu všechny počty neměly známy býti ...I když jsme my nebožátka, jenžto opovažujeme se meze klásti vševědoucnosti jeho ... Bohu musí být známy všechny počty, o nichž víme jistotně, že jim konce není ...Ti, kdo o Boží schopnosti pochybují, se řítí do nejhlubší propasti bezbožnosti! 1401–1462 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 5 / 12 Nekonečno Prehistorie Theologické důvody pro existenci aktuálního nekonečna 354–430 Aurelius Augustin: I buď vzdálena od nás všeliká pochybnost, že by Bohu všechny počty neměly známy býti ...I když jsme my nebožátka, jenžto opovažujeme se meze klásti vševědoucnosti jeho ... Bohu musí být známy všechny počty, o nichž víme jistotně, že jim konce není ...Ti, kdo o Boží schopnosti pochybují, se řítí do nejhlubší propasti bezbožnosti! 1401–1462 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 5 / 12 Nekonečno Prehistorie Theologické důvody pro existenci aktuálního nekonečna 354–430 Aurelius Augustin: I buď vzdálena od nás všeliká pochybnost, že by Bohu všechny počty neměly známy býti ...I když jsme my nebožátka, jenžto opovažujeme se meze klásti vševědoucnosti jeho ... Bohu musí být známy všechny počty, o nichž víme jistotně, že jim konce není ...Ti, kdo o Boží schopnosti pochybují, se řítí do nejhlubší propasti bezbožnosti! 1401–1462 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 5 / 12 Nekonečno Prehistorie Theologické důvody pro existenci aktuálního nekonečna 354–430 Aurelius Augustin: I buď vzdálena od nás všeliká pochybnost, že by Bohu všechny počty neměly známy býti ...I když jsme my nebožátka, jenžto opovažujeme se meze klásti vševědoucnosti jeho ... Bohu musí být známy všechny počty, o nichž víme jistotně, že jim konce není ...Ti, kdo o Boží schopnosti pochybují, se řítí do nejhlubší propasti bezbožnosti! 1401–1462 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 5 / 12 Nekonečno Prehistorie Theologické důvody pro existenci aktuálního nekonečna 354–430 Aurelius Augustin: I buď vzdálena od nás všeliká pochybnost, že by Bohu všechny počty neměly známy býti ...I když jsme my nebožátka, jenžto opovažujeme se meze klásti vševědoucnosti jeho ... Bohu musí být známy všechny počty, o nichž víme jistotně, že jim konce není ...Ti, kdo o Boží schopnosti pochybují, se řítí do nejhlubší propasti bezbožnosti! Není žádná úměrnost mezi nekonečným a konečným. 1401–1462 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 5 / 12 Nekonečno Prehistorie Theologické důvody pro existenci aktuálního nekonečna Není žádná úměrnost mezi nekonečným a konečným. 1401–1462 1548–1600 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 5 / 12 Nekonečno Prehistorie Theologické důvody pro existenci aktuálního nekonečna Není žádná úměrnost mezi nekonečným a konečným. 1401–1462 1548–1600 Giordano Bruno: ...je rozmnožena znamenitost Boží a zjevena velikost Jeho říše. Není oslavován jedním, nýbrž nespočetnými slunci, nikoliv jednou zemí a jedním světem, ale tisícem tisíců, co pravím, nekonečností světů. Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 5 / 12 Nekonečno Prehistorie Rodrigo (Roderico) de Arriaga Od roku 1625 pracoval v Praze. 1592–1667 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 6 / 12 Nekonečno Prehistorie Rodrigo (Roderico) de Arriaga Od roku 1625 pracoval v Praze. Uznával aktuální nekonečno. 1592–1667 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 6 / 12 Nekonečno Prehistorie Rodrigo (Roderico) de Arriaga Od roku 1625 pracoval v Praze. Uznával aktuální nekonečno. 1. nekonečno co do počtu 1592–1667 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 6 / 12 Nekonečno Prehistorie Rodrigo (Roderico) de Arriaga Od roku 1625 pracoval v Praze. Uznával aktuální nekonečno. 1. nekonečno co do počtu 2. nekonečno co do rozlehlosti (délka, obsah, objem) 1592–1667 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 6 / 12 Nekonečno Prehistorie Rodrigo (Roderico) de Arriaga Od roku 1625 pracoval v Praze. Uznával aktuální nekonečno. 1. nekonečno co do počtu 2. nekonečno co do rozlehlosti (délka, obsah, objem) 3. nekonečno co do intenzity (síla, rychlost, láska) 1592–1667 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 6 / 12 Nekonečno Prehistorie Rodrigo (Roderico) de Arriaga Od roku 1625 pracoval v Praze. Uznával aktuální nekonečno. 1. nekonečno co do počtu 2. nekonečno co do rozlehlosti (délka, obsah, objem) 3. nekonečno co do intenzity (síla, rychlost, láska) 4. nekonečno co do dokonalosti 1592–1667 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 6 / 12 Nekonečno Prehistorie Rodrigo (Roderico) de Arriaga Od roku 1625 pracoval v Praze. Uznával aktuální nekonečno. 1. nekonečno co do počtu 2. nekonečno co do rozlehlosti (délka, obsah, objem) 3. nekonečno co do intenzity (síla, rychlost, láska) 4. nekonečno co do dokonalosti (přesnost) 1592–1667 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 6 / 12 Nekonečno Prehistorie Rodrigo (Roderico) de Arriaga Od roku 1625 pracoval v Praze. Uznával aktuální nekonečno. 1. nekonečno co do počtu 2. nekonečno co do rozlehlosti (délka, obsah, objem) 3. nekonečno co do intenzity (síla, rychlost, láska) 4. nekonečno co do dokonalosti (přesnost) 5. Bůh 1592–1667 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 6 / 12 Nekonečno Prehistorie Rodrigo (Roderico) de Arriaga Od roku 1625 pracoval v Praze. Uznával aktuální nekonečno. 1. nekonečno co do počtu 2. nekonečno co do rozlehlosti (délka, obsah, objem) 3. nekonečno co do intenzity (síla, rychlost, láska) 4. nekonečno co do dokonalosti (přesnost) 5. Bůh (nekonečný svým vlastním způsobem) 1592–1667 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 6 / 12 Nekonečno Galilei Galileo Galilei: nekonečno je sporné 1564–1642 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 7 / 12 Nekonečno Galilei Galileo Galilei: nekonečno je sporné Předpoklad: Všechna přirozená čísla existují. 1564–1642 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 7 / 12 Nekonečno Galilei Galileo Galilei: nekonečno je sporné Předpoklad: Všechna přirozená čísla existují. 1564–1642 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 . . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . . . Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 7 / 12 Nekonečno Galilei Galileo Galilei: nekonečno je sporné Předpoklad: Všechna přirozená čísla existují. 1564–1642 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 . . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . . . Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 7 / 12 Nekonečno Galilei Galileo Galilei: nekonečno je sporné Předpoklad: Všechna přirozená čísla existují. Axiom: Celek je větší než část 1564–1642 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 . . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . . . Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 7 / 12 Nekonečno Galilei Galileo Galilei: nekonečno je sporné Předpoklad: Všechna přirozená čísla existují. Axiom: Celek je větší než část Závěr: Počet čtvercových čísel je menší, než všech přirozených. 1564–1642 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 . . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . . . Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 7 / 12 Nekonečno Galilei Galileo Galilei: nekonečno je sporné Předpoklad: Všechna přirozená čísla existují. Axiom: Celek je větší než část Závěr: Počet čtvercových čísel je menší, než všech přirozených. 1564–1642 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 . . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . . . 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 212 222 232 242 252 262 . . . Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 7 / 12 Nekonečno Galilei Galileo Galilei: nekonečno je sporné Předpoklad: Všechna přirozená čísla existují. Axiom: Co se kryje, rovno jest. 1564–1642 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 . . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . . . 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 212 222 232 242 252 262 . . . Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 7 / 12 Nekonečno Galilei Galileo Galilei: nekonečno je sporné Předpoklad: Všechna přirozená čísla existují. Axiom: Co se kryje, rovno jest. Závěr: Počet čtvercových čísel je stejný, jako všech přirozených. 1564–1642 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 . . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . . . 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 212 222 232 242 252 262 . . . Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 7 / 12 Nekonečno Galilei Galileo Galilei: nekonečno je sporné Předpoklad: Všechna přirozená čísla existují. Axiom: Celek je větší než část Axiom: Co se kryje, rovno jest. Závěr: Spor! 1564–1642 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 . . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . . . 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 212 222 232 242 252 262 . . . Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 7 / 12 Nekonečno Bolzano Bernard Bolano: Nekonečno je paradoxní 1781–1848 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 8 / 12 Nekonečno Bolzano Bernard Bolano: Nekonečno je paradoxní Existuje aspoň jedna pravdivá věta. 1781–1848 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 8 / 12 Nekonečno Bolzano Bernard Bolano: Nekonečno je paradoxní Existuje aspoň jedna pravdivá věta. Důsledek: Existuje neomezeně mnoho pravdivých vět. 1781–1848 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 8 / 12 Nekonečno Bolzano Bernard Bolano: Nekonečno je paradoxní Existuje aspoň jedna pravdivá věta. Důsledek: Existuje neomezeně mnoho pravdivých vět. Bůh je vševědoucí. 1781–1848 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 8 / 12 Nekonečno Bolzano Bernard Bolano: Nekonečno je paradoxní Existuje aspoň jedna pravdivá věta. Důsledek: Existuje neomezeně mnoho pravdivých vět. Bůh je vševědoucí. Důsledek: V boží mysli jsou všechny pravdivé věty. 1781–1848 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 8 / 12 Nekonečno Bolzano Bernard Bolano: Nekonečno je paradoxní Existuje aspoň jedna pravdivá věta. Důsledek: Existuje neomezeně mnoho pravdivých vět. Bůh je vševědoucí. Důsledek: V boží mysli jsou všechny pravdivé věty. Závěr: Nekonečné množství existuje. 1781–1848 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 8 / 12 Nekonečno Bolzano Bernard Bolano: Nekonečno je paradoxní Existuje aspoň jedna pravdivá věta. Důsledek: Existuje neomezeně mnoho pravdivých vět. Bůh je vševědoucí. Důsledek: V boží mysli jsou všechny pravdivé věty. Závěr: Nekonečné množství existuje. 1781–1848 Eukleidovy axiomy platí pouze pro konečná množství. Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 8 / 12 Nekonečno Bolzano Bernard Bolano: Nekonečno je paradoxní Existuje aspoň jedna pravdivá věta. Důsledek: Existuje neomezeně mnoho pravdivých vět. Bůh je vševědoucí. Důsledek: V boží mysli jsou všechny pravdivé věty. Závěr: Nekonečné množství existuje. 1781–1848 Eukleidovy axiomy platí pouze pro konečná množství. Pozoruhodný vztah dvou nekonečných množství spočívá v tom, že je možno každý předmět jednoho množství spojit s předmětem z druhého množství ve dvojici tak, že žádný předmět v obou množstvích nezůstane bez spojení a že také žádný se nevyskytuje ve dvou či více dvojicích. Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 8 / 12 Nekonečno Bolzano Bernard Bolano: Nekonečno je paradoxní Existuje aspoň jedna pravdivá věta. Důsledek: Existuje neomezeně mnoho pravdivých vět. Bůh je vševědoucí. Důsledek: V boží mysli jsou všechny pravdivé věty. Závěr: Nekonečné množství existuje. 1781–1848 Eukleidovy axiomy platí pouze pro konečná množství. Pozoruhodný vztah dvou nekonečných množství spočívá v tom, že je možno každý předmět jednoho množství spojit s předmětem z druhého množství ve dvojici tak, že žádný předmět v obou množstvích nezůstane bez spojení a že také žádný se nevyskytuje ve dvou či více dvojicích. Avšak přes to mohou tato množství být ve vztahu nerovnosti, takže se jedno jeví být pouze částí druhého. Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 8 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat 1845–1918 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat Axiom co se kryje, rovno jest platí i pro nekonečná množství. 1845–1918 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat Axiom co se kryje, rovno jest platí i pro nekonečná množství. Axiom celek je větší než část je nutné zeslabit: celek není menší než část. 1845–1918 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat Axiom co se kryje, rovno jest platí i pro nekonečná množství. Axiom celek je větší než část je nutné zeslabit: celek není menší než část. Nejmenší nekonečné množství je množství přirozených čísel ℵ0 1845–1918 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat Axiom co se kryje, rovno jest platí i pro nekonečná množství. Axiom celek je větší než část je nutné zeslabit: celek není menší než část. Nejmenší nekonečné množství je množství přirozených čísel ℵ0 1845–1918 Celých čísel je ℵ0. Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat Axiom co se kryje, rovno jest platí i pro nekonečná množství. Axiom celek je větší než část je nutné zeslabit: celek není menší než část. Nejmenší nekonečné množství je množství přirozených čísel ℵ0 1845–1918 Celých čísel je ℵ0. 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, 5, −5, 6, . . . Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat Axiom co se kryje, rovno jest platí i pro nekonečná množství. Axiom celek je větší než část je nutné zeslabit: celek není menší než část. Nejmenší nekonečné množství je množství přirozených čísel ℵ0 1845–1918 Racionálních čísel je ℵ0. Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat Axiom co se kryje, rovno jest platí i pro nekonečná množství. Axiom celek je větší než část je nutné zeslabit: celek není menší než část. Nejmenší nekonečné množství je množství přirozených čísel ℵ0 1845–1918 Racionálních čísel je ℵ0. 1 2 3 4 5 6 7 8 . . . 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 . . . 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 . . . 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 7 4 8 4 . . . 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 5 . . . 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 6 . . . 1 7 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7 8 7 . . . 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 8 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. , 1, 1 2 , 2, 1 3 , 2 2 , 3, 1 4 , 2 3 , 3 2 , 4, 1 5 , 2 4 , 3 3 , 4 2 , 5 . . . Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat Axiom co se kryje, rovno jest platí i pro nekonečná množství. Axiom celek je větší než část je nutné zeslabit: celek není menší než část. Nejmenší nekonečné množství je množství přirozených čísel ℵ0 1845–1918 Racionálních čísel je ℵ0. 1 2 3 4 5 6 7 8 . . . 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 . . . 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 . . . 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 7 4 8 4 . . . 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 5 . . . 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 6 . . . 1 7 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7 8 7 . . . 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 8 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. , 1, 1 2 , 2, 1 3 , 3, 1 4 , 2 3 , 3 2 , 4, 1 5 , 5 . . . Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat Axiom co se kryje, rovno jest platí i pro nekonečná množství. Axiom celek je větší než část je nutné zeslabit: celek není menší než část. Nejmenší nekonečné množství je množství přirozených čísel ℵ0 1845–1918 Reálných čísel je více než ℵ0. Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat Axiom co se kryje, rovno jest platí i pro nekonečná množství. Axiom celek je větší než část je nutné zeslabit: celek není menší než část. Nejmenší nekonečné množství je množství přirozených čísel ℵ0 1845–1918 Reálných čísel je více než ℵ0. Sporem: 0,a11a12a13a14a15a16 · · · 0,a21a22a23a24a25a26 · · · 0,a31a32a33a34a35a36 · · · 0,a41a42a43a44a45a46 · · · 0,a51a52a53a54a55a56 · · · 0,a61a62a63a64a65a66 · · · ... Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat Axiom co se kryje, rovno jest platí i pro nekonečná množství. Axiom celek je větší než část je nutné zeslabit: celek není menší než část. Nejmenší nekonečné množství je množství přirozených čísel ℵ0 1845–1918 Reálných čísel je více než ℵ0. Sporem: 0,a11a12a13a14a15a16 · · · 0,a21a22a23a24a25a26 · · · 0,a31a32a33a34a35a36 · · · 0,a41a42a43a44a45a46 · · · 0,a51a52a53a54a55a56 · · · 0,a61a62a63a64a65a66 · · · ... 0,b1b2b3b4b5 · · · bi = 0, aii = 0 1, aii = 0 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat Axiom co se kryje, rovno jest platí i pro nekonečná množství. Axiom celek je větší než část je nutné zeslabit: celek není menší než část. Nejmenší nekonečné množství je množství přirozených čísel ℵ0 1845–1918 Reálných čísel je více než ℵ0. Sporem: 0,a11a12a13a14a15a16 · · · 0,a21a22a23a24a25a26 · · · 0,a31a32a33a34a35a36 · · · 0,a41a42a43a44a45a46 · · · 0,a51a52a53a54a55a56 · · · 0,a61a62a63a64a65a66 · · · ... 0,b1b2b3b4b5 · · · bi = 0, aii = 0 1, aii = 0 Cantorův diagonální argument Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat Axiom co se kryje, rovno jest platí i pro nekonečná množství. Axiom celek je větší než část je nutné zeslabit: celek není menší než část. Nejmenší nekonečné množství je množství přirozených čísel ℵ0 1845–1918 Bodů na úsečce je stejné množství jako bodů ve čtverci Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat Axiom co se kryje, rovno jest platí i pro nekonečná množství. Axiom celek je větší než část je nutné zeslabit: celek není menší než část. Nejmenší nekonečné množství je množství přirozených čísel ℵ0 1845–1918 Bodů na úsečce je stejné množství jako bodů ve čtverci Body jednotkového čtverce (x, y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 Body jednotkové úsečky: q, 0 ≤ q ≤ 1. Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat Axiom co se kryje, rovno jest platí i pro nekonečná množství. Axiom celek je větší než část je nutné zeslabit: celek není menší než část. Nejmenší nekonečné množství je množství přirozených čísel ℵ0 1845–1918 Bodů na úsečce je stejné množství jako bodů ve čtverci Body jednotkového čtverce (x, y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 Body jednotkové úsečky: q, 0 ≤ q ≤ 1. x = 0,ξ1ξ2ξ3ξ4ξ5ξ6ξ7 · · · , y = 0,η1η2η3η4η5η6η7 · · · , q = 0,ξ1η1ξ2η2ξ3η3ξ4η4ξ5η5ξ6η6 · · · Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat Axiom co se kryje, rovno jest platí i pro nekonečná množství. Axiom celek je větší než část je nutné zeslabit: celek není menší než část. Nejmenší nekonečné množství je množství přirozených čísel ℵ0 1845–1918 Bodů na úsečce je stejné množství jako bodů ve čtverci Body jednotkového čtverce (x, y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 Body jednotkové úsečky: q, 0 ≤ q ≤ 1. q = 0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 · · · , x = 0, 1 3 5 7 9 · · · , y = 0, 2 4 6 8 10 · · · Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat Axiom co se kryje, rovno jest platí i pro nekonečná množství. Axiom celek je větší než část je nutné zeslabit: celek není menší než část. Nejmenší nekonečné množství je množství přirozených čísel ℵ0 1845–1918 Bodů na úsečce je stejné množství jako bodů ve čtverci Body jednotkového čtverce (x, y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 Body jednotkové úsečky: q, 0 ≤ q ≤ 1. q = 0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 · · · , x = 0, 1 3 5 7 9 · · · , y = 0, 2 4 6 8 10 · · · Cantorův zip Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat Exkurs V té době vznikl i opravdový zip (zdrhovadlo) Roku 1851 si ho nechal patentovat Elias Howe (vynálezce šicího stroje) Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat Axiom co se kryje, rovno jest platí i pro nekonečná množství. Axiom celek je větší než část je nutné zeslabit: celek není menší než část. Nejmenší nekonečné množství je množství přirozených čísel ℵ0 1845–1918 Bodů na úsečce je stejné množství jako bodů ve čtverci Body jednotkového čtverce (x, y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 Body jednotkové úsečky: q, 0 ≤ q ≤ 1. q = 0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 · · · , x = 0, 1 3 5 7 9 · · · , y = 0, 2 4 6 8 10 · · · George Cantor Richardu Dedekindovi, 29. června 1877: Je le vois, mais je ne crois pas! Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Nekonečno Cantor Georg Cantor: S nekonečny lze počítat Axiom co se kryje, rovno jest platí i pro nekonečná množství. Axiom celek je větší než část je nutné zeslabit: celek není menší než část. Nejmenší nekonečné množství je množství přirozených čísel ℵ0 Ke každému nekonečnému množství existuje množství větší, ℵ0 < ℵ1 < ℵ2 < ℵ3 < · · · 1845–1918 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 9 / 12 Množiny Naivní teorie množin Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 10 / 12 Množiny Naivní teorie množin Primitivní pojmy: množina být prvkem ∈ Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 10 / 12 Množiny Naivní teorie množin Primitivní pojmy: množina být prvkem ∈ Prázdná množina: ∅ := {x : x = x} Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 10 / 12 Množiny Naivní teorie množin Primitivní pojmy: množina být prvkem ∈ Prázdná množina: ∅ := {x : x = x} Podmnožina: a ⊆ b z x ∈ a plyne x ∈ b Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 10 / 12 Množiny Naivní teorie množin Primitivní pojmy: množina být prvkem ∈ Prázdná množina: ∅ := {x : x = x} Podmnožina: a ⊆ b z x ∈ a plyne x ∈ b Operace s množinami: Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 10 / 12 Množiny Naivní teorie množin Primitivní pojmy: množina být prvkem ∈ Prázdná množina: ∅ := {x : x = x} Podmnožina: a ⊆ b z x ∈ a plyne x ∈ b Operace s množinami: sjednocení množin a ∪ b := {x : x ∈ a nebo x ∈ b} Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 10 / 12 Množiny Naivní teorie množin Primitivní pojmy: množina být prvkem ∈ Prázdná množina: ∅ := {x : x = x} Podmnožina: a ⊆ b z x ∈ a plyne x ∈ b Operace s množinami: sjednocení množin a ∪ b := {x : x ∈ a nebo x ∈ b} průnik množin a ∩ b := {x : x ∈ a a současně x ∈ b} Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 10 / 12 Množiny Naivní teorie množin Primitivní pojmy: množina být prvkem ∈ Prázdná množina: ∅ := {x : x = x} Podmnožina: a ⊆ b z x ∈ a plyne x ∈ b Operace s množinami: sjednocení množin a ∪ b := {x : x ∈ a nebo x ∈ b} průnik množin a ∩ b := {x : x ∈ a a současně x ∈ b} rozdíl množin a \ b := {x : x ∈ a a současně x ∈ b} Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 10 / 12 Množiny Naivní teorie množin Primitivní pojmy: množina být prvkem ∈ Prázdná množina: ∅ := {x : x = x} Podmnožina: a ⊆ b z x ∈ a plyne x ∈ b Operace s množinami: sjednocení množin a ∪ b := {x : x ∈ a nebo x ∈ b} průnik množin a ∩ b := {x : x ∈ a a současně x ∈ b} rozdíl množin a \ b := {x : x ∈ a a současně x ∈ b} Uspořádaná dvojice: (x, y) := {x} , {x, y} Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 10 / 12 Množiny Naivní teorie množin Primitivní pojmy: množina být prvkem ∈ Prázdná množina: ∅ := {x : x = x} Podmnožina: a ⊆ b z x ∈ a plyne x ∈ b Operace s množinami: sjednocení množin a ∪ b := {x : x ∈ a nebo x ∈ b} průnik množin a ∩ b := {x : x ∈ a a současně x ∈ b} rozdíl množin a \ b := {x : x ∈ a a současně x ∈ b} Uspořádaná dvojice: (x, y) := {x} , {x, y} Kartézský součin množin: a × b := {(x, y) : x ∈ a, y ∈ b} Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 10 / 12 Množiny Naivní teorie množin Primitivní pojmy: množina být prvkem ∈ Prázdná množina: ∅ := {x : x = x} Podmnožina: a ⊆ b z x ∈ a plyne x ∈ b Operace s množinami: sjednocení množin a ∪ b := {x : x ∈ a nebo x ∈ b} průnik množin a ∩ b := {x : x ∈ a a současně x ∈ b} rozdíl množin a \ b := {x : x ∈ a a současně x ∈ b} Uspořádaná dvojice: (x, y) := {x} , {x, y} Kartézský součin množin: a × b := {(x, y) : x ∈ a, y ∈ b} Relace na množině a: ⊆ a × a Korespondence množin a, b: ⊆ a × b Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 10 / 12 Množiny Naivní teorie množin – univerzální jazyk matematiky Primitivní pojmy: množina být prvkem ∈ Prázdná množina: ∅ := {x : x = x} Podmnožina: a ⊆ b z x ∈ a plyne x ∈ b Operace s množinami: sjednocení množin a ∪ b := {x : x ∈ a nebo x ∈ b} průnik množin a ∩ b := {x : x ∈ a a současně x ∈ b} rozdíl množin a \ b := {x : x ∈ a a současně x ∈ b} Uspořádaná dvojice: (x, y) := {x} , {x, y} Kartézský součin množin: a × b := {(x, y) : x ∈ a, y ∈ b} Relace na množině a: ⊆ a × a Korespondence množin a, b: ⊆ a × b Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 10 / 12 Množiny Naivní teorie množin – pokračování Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 11 / 12 Množiny Naivní teorie množin – pokračování Zobrazení množiny a do množiny b, f : a → b: f ⊆ a × b taková, že z (x, y1) ∈ f , (x, y2) ∈ f plyne y1 = y2 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 11 / 12 Množiny Naivní teorie množin – pokračování Zobrazení množiny a do množiny b, f : a → b: f ⊆ a × b taková, že z (x, y1) ∈ f , (x, y2) ∈ f plyne y1 = y2 Prosté zobrazení (injekce) množiny a do množiny b: takové zobrazení f : a → b že z (x1, y1) ∈ f , (x2, y2) ∈ f , x1 = x2 plyne y1 = y2 Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 11 / 12 Množiny Naivní teorie množin – pokračování Zobrazení množiny a do množiny b, f : a → b: f ⊆ a × b taková, že z (x, y1) ∈ f , (x, y2) ∈ f plyne y1 = y2 Prosté zobrazení (injekce) množiny a do množiny b: takové zobrazení f : a → b že z (x1, y1) ∈ f , (x2, y2) ∈ f , x1 = x2 plyne y1 = y2 Zobrazení množiny a na množiny b (surjekce): takové zobrazení f : a → b že ke každému y ∈ b existuje x ∈ a, že (x, y) ∈ f Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 11 / 12 Množiny Naivní teorie množin – pokračování Zobrazení množiny a do množiny b, f : a → b: f ⊆ a × b taková, že z (x, y1) ∈ f , (x, y2) ∈ f plyne y1 = y2 Prosté zobrazení (injekce) množiny a do množiny b: takové zobrazení f : a → b že z (x1, y1) ∈ f , (x2, y2) ∈ f , x1 = x2 plyne y1 = y2 Zobrazení množiny a na množiny b (surjekce): takové zobrazení f : a → b že ke každému y ∈ b existuje x ∈ a, že (x, y) ∈ f Vzájemně jednoznačné zobrazení množin (bijekce) a, b: zobrazení a → b, které je současně injekce a surjekce. Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 11 / 12 Množiny Naivní teorie množin – pokračování Zobrazení množiny a do množiny b, f : a → b: f ⊆ a × b taková, že z (x, y1) ∈ f , (x, y2) ∈ f plyne y1 = y2 Prosté zobrazení (injekce) množiny a do množiny b: takové zobrazení f : a → b že z (x1, y1) ∈ f , (x2, y2) ∈ f , x1 = x2 plyne y1 = y2 Zobrazení množiny a na množiny b (surjekce): takové zobrazení f : a → b že ke každému y ∈ b existuje x ∈ a, že (x, y) ∈ f Vzájemně jednoznačné zobrazení množin (bijekce) a, b: zobrazení a → b, které je současně injekce a surjekce. Množiny a, b mají stejnou mohutnost, |a| = |b|, pokud existuje bijekce a → b. Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 11 / 12 Množiny Naivní teorie množin – pokračování Zobrazení množiny a do množiny b, f : a → b: f ⊆ a × b taková, že z (x, y1) ∈ f , (x, y2) ∈ f plyne y1 = y2 Prosté zobrazení (injekce) množiny a do množiny b: takové zobrazení f : a → b že z (x1, y1) ∈ f , (x2, y2) ∈ f , x1 = x2 plyne y1 = y2 Zobrazení množiny a na množiny b (surjekce): takové zobrazení f : a → b že ke každému y ∈ b existuje x ∈ a, že (x, y) ∈ f Vzájemně jednoznačné zobrazení množin (bijekce) a, b: zobrazení a → b, které je současně injekce a surjekce. Množiny a, b mají stejnou mohutnost, |a| = |b|, pokud existuje bijekce a → b. Množina a nemá větší mohutnost než množina b, |a| ≤ |b|, pokud existuje injekce a → b. Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 11 / 12 Množiny Naivní teorie množin – pokračování Zobrazení množiny a do množiny b, f : a → b: f ⊆ a × b taková, že z (x, y1) ∈ f , (x, y2) ∈ f plyne y1 = y2 Prosté zobrazení (injekce) množiny a do množiny b: takové zobrazení f : a → b že z (x1, y1) ∈ f , (x2, y2) ∈ f , x1 = x2 plyne y1 = y2 Zobrazení množiny a na množiny b (surjekce): takové zobrazení f : a → b že ke každému y ∈ b existuje x ∈ a, že (x, y) ∈ f Vzájemně jednoznačné zobrazení množin (bijekce) a, b: zobrazení a → b, které je současně injekce a surjekce. Množiny a, b mají stejnou mohutnost, |a| = |b|, pokud existuje bijekce a → b. Množina a nemá větší mohutnost než množina b, |a| ≤ |b|, pokud existuje injekce a → b. Platí: |a| = |b| právě tehdy, když |a| ≤ |b| a současně |b| ≤ |a|. Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 11 / 12 Množiny Naivní teorie množin – pokračování Zobrazení množiny a do množiny b, f : a → b: f ⊆ a × b taková, že z (x, y1) ∈ f , (x, y2) ∈ f plyne y1 = y2 Prosté zobrazení (injekce) množiny a do množiny b: takové zobrazení f : a → b že z (x1, y1) ∈ f , (x2, y2) ∈ f , x1 = x2 plyne y1 = y2 Zobrazení množiny a na množiny b (surjekce): takové zobrazení f : a → b že ke každému y ∈ b existuje x ∈ a, že (x, y) ∈ f Vzájemně jednoznačné zobrazení množin (bijekce) a, b: zobrazení a → b, které je současně injekce a surjekce. Množiny a, b mají stejnou mohutnost, |a| = |b|, pokud existuje bijekce a → b. Množina a nemá větší mohutnost než množina b, |a| ≤ |b|, pokud existuje injekce a → b. Platí: |a| = |b| právě tehdy, když |a| ≤ |b| a současně |b| ≤ |a|. Potenční množina množiny a: P(a) = {b : b ⊆ a} Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 11 / 12 Množiny Babylónská věž Přirozená čísla: 0 := ∅ 1 := {∅} 2 := {{∅}} Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 12 / 12 Množiny Babylónská věž Přirozená čísla: 0 := ∅ 1 := {∅} 2 := {{∅}} ... n := {n − 1} ... Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 12 / 12 Množiny Babylónská věž Přirozená čísla: 0 := ∅ 1 := {∅} 2 := {{∅}} ... n := {n − 1} ... a < P(a) Z. Pospíšil ·Množiny ·30. září 2021 12 / 12