Ztráta jistoty: matematická logika, neúplnost CORE004 Matematika jako součást kultury Zdeněk Pospíšil 707@mail.muni.cz Masarykova univerzita 9. prosince 2021 Obsah Obrat k jazyku Jazyk matematiky Matematika jazyka Logiky Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 2 / 20 Obrat k jazyku Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 3 / 20 Obrat k jazyku Co je to X? Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 3 / 20 Obrat k jazyku Rudolf Carnap, 1891–1970 Co označuje ,X’? Co je to X? Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 3 / 20 Obrat k jazyku Rudolf Carnap, 1891–1970 Ludwig Wittgenstein, 1889–1951 V jakých souvislostech používáme ,X’? Co označuje ,X’? Co je to X? Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 3 / 20 Jazyk matematiky Rhindův papyrus 18st BCE kopie staršího originálu Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 4 / 20 Jazyk matematiky Rhindův papyrus Kruhová sýpka (o rozměrech) 10, 10. Odečti 1 9 z 10, je to 11 9 a zbytek je 82 3 1 6 1 18 . Počítej s 82 3 1 6 82 3 1 6 krát. Vyjde 79 1 108 1 324 . Počítej s 79 1 108 1 324 10 krát. Vyjde 790 1 18 1 27 1 324 . Přidej k tomu 1 2 z toho. Vyjde 1 185. Počítej s 1 185 20 krát, je to 591 4 . To je co se do ní vejde v stovkách čtyřnásobných měřic. 18st BCE kopie staršího originálu Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 4 / 20 Jazyk matematiky Rhindův papyrus Kruhová sýpka (o rozměrech) 10, 10. Odečti 1 9 z 10, je to 11 9 a zbytek je 82 3 1 6 1 18 . Počítej s 82 3 1 6 82 3 1 6 krát. Vyjde 79 1 108 1 324 . Počítej s 79 1 108 1 324 10 krát. Vyjde 790 1 18 1 27 1 324 . Přidej k tomu 1 2 z toho. Vyjde 1 185. Počítej s 1 185 20 krát, je to 591 4 . To je co se do ní vejde v stovkách čtyřnásobných měřic. 18st BCE kopie staršího origináluChybí jakékoliv zdůvodnění (že to funguje). Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 4 / 20 Jazyk matematiky Rhindův papyrus Kruhová sýpka (o rozměrech) 10, 10. Odečti 1 9 z 10, je to 11 9 a zbytek je 82 3 1 6 1 18 . Počítej s 82 3 1 6 82 3 1 6 krát. Vyjde 79 1 108 1 324 . Počítej s 79 1 108 1 324 10 krát. Vyjde 790 1 18 1 27 1 324 . Přidej k tomu 1 2 z toho. Vyjde 1 185. Počítej s 1 185 20 krát, je to 591 4 . To je co se do ní vejde v stovkách čtyřnásobných měřic. 18st BCE kopie staršího origináluChybí jakékoliv zdůvodnění (že to funguje). Týká se jediného případu. Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 4 / 20 Jazyk matematiky Rhindův papyrus Kruhová sýpka (o rozměrech) 10, 10. Odečti 1 9 z 10, je to 11 9 a zbytek je 82 3 1 6 1 18 . Počítej s 82 3 1 6 82 3 1 6 krát. Vyjde 79 1 108 1 324 . Počítej s 79 1 108 1 324 10 krát. Vyjde 790 1 18 1 27 1 324 . Přidej k tomu 1 2 z toho. Vyjde 1 185. Počítej s 1 185 20 krát, je to 591 4 . To je co se do ní vejde v stovkách čtyřnásobných měřic. 18st BCE kopie staršího origináluChybí jakékoliv zdůvodnění (že to funguje). Týká se jediného případu. Není uvedena ani náznak metody. Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 4 / 20 Jazyk matematiky Rhindův papyrus Kruhová sýpka (o rozměrech) 10, 10. Odečti 1 9 z 10, je to 11 9 a zbytek je 82 3 1 6 1 18 . Počítej s 82 3 1 6 82 3 1 6 krát. Vyjde 79 1 108 1 324 . Počítej s 79 1 108 1 324 10 krát. Vyjde 790 1 18 1 27 1 324 . Přidej k tomu 1 2 z toho. Vyjde 1 185. Počítej s 1 185 20 krát, je to 591 4 . To je co se do ní vejde v stovkách čtyřnásobných měřic. 18st BCE kopie staršího origináluChybí jakékoliv zdůvodnění (že to funguje). Týká se jediného případu. Není uvedena ani náznak metody. Úloha není integrována do žádného systému. Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 4 / 20 Jazyk matematiky Rhindův papyrus Kruhová sýpka (o rozměrech) 10, 10. Odečti 1 9 z 10, je to 11 9 a zbytek je 82 3 1 6 1 18 . Počítej s 82 3 1 6 82 3 1 6 krát. Vyjde 79 1 108 1 324 . Počítej s 79 1 108 1 324 10 krát. Vyjde 790 1 18 1 27 1 324 . Přidej k tomu 1 2 z toho. Vyjde 1 185. Počítej s 1 185 20 krát, je to 591 4 . To je co se do ní vejde v stovkách čtyřnásobných měřic. 18st BCE kopie staršího origináluChybí jakékoliv zdůvodnění (že to funguje). Týká se jediného případu. Není uvedena ani náznak metody. Úloha není integrována do žádného systému. Nic se nevysvětluje (proč to funguje). Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 4 / 20 Jazyk matematiky Rhindův papyrus Kruhová sýpka (o rozměrech) 10, 10. Odečti 1 9 z 10, je to 11 9 a zbytek je 82 3 1 6 1 18 . Počítej s 82 3 1 6 82 3 1 6 krát. Vyjde 79 1 108 1 324 . Počítej s 79 1 108 1 324 10 krát. Vyjde 790 1 18 1 27 1 324 . Přidej k tomu 1 2 z toho. Vyjde 1 185. Počítej s 1 185 20 krát, je to 591 4 . To je co se do ní vejde v stovkách čtyřnásobných měřic. 18st BCE kopie staršího origináluChybí jakékoliv zdůvodnění (že to funguje). Týká se jediného případu. Není uvedena ani náznak metody. Úloha není integrována do žádného systému. Nic se nevysvětluje (proč to funguje). Nepřesahuje nic fakticky daného. Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 4 / 20 Jazyk matematiky Jazyky matematiky aritmetika syntetická geometrie algebra analytická geometrie matematická analýza Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 5 / 20 Jazyk matematiky Jazyky matematiky aritmetika syntetická geometrie algebra analytická geometrie matematická analýza predikátová logika teorie množin Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 5 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 6 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Logická síla – co lze dokázat Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 6 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Logická síla – co lze dokázat Expresívní síla – co (nového) lze vyjádřit Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 6 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Logická síla – co lze dokázat Expresívní síla – co (nového) lze vyjádřit Metodická síla – jaké metody lze zavést (místo spleti nesouvisejících triků) Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 6 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Logická síla – co lze dokázat Expresívní síla – co (nového) lze vyjádřit Metodická síla – jaké metody lze zavést (místo spleti nesouvisejících triků) Integrativní síla – jak je možné vidět jednotu tam, kde se ukazovaly jen jednotlivé případy Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 6 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Logická síla – co lze dokázat Expresívní síla – co (nového) lze vyjádřit Metodická síla – jaké metody lze zavést (místo spleti nesouvisejících triků) Integrativní síla – jak je možné vidět jednotu tam, kde se ukazovaly jen jednotlivé případy Explanatorická síla – jak lze vysvětlit selhání předchozího jazyka Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 6 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Logická síla – co lze dokázat Expresívní síla – co (nového) lze vyjádřit Metodická síla – jaké metody lze zavést (místo spleti nesouvisejících triků) Integrativní síla – jak je možné vidět jednotu tam, kde se ukazovaly jen jednotlivé případy Explanatorická síla – jak lze vysvětlit selhání předchozího jazyka Konstitutivní síla – jak lze konstituovat nové objekty, jak jazyk umožňuje překročit meze skutečnosti dané v rámci předchozího jazyka Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 6 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Logická síla Vyjadřování obecnosti Jazyk syntetické geometrie: neurčitá délka úsečky Jazyk algebry: symbol pro proměnnou Jazyk analytické geometrie: rozvinutí veličiny do tvaru číselné osy Jazyk matematické analýzy: zavedení proměnných veličin Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 7 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Expresivní síla Generování komplexnosti Jazyk syntetické geometrie: Eukleidovy postuláty Jazyk algebry: vytváření vyšších mocnin Jazyk analytické geometrie: reinterpretace násobení Jazyk matematické analýzy: zavedení nekonečných řad Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 8 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Metodická síla Zavádění parametrů Jazyk syntetické geometrie: označování bodů a přímek písmeny v obrázcích Jazyk algebry: zavedení symbolů pro parametry Jazyk analytické geometrie: odlišení závisle a nezávisle proměnné Jazyk matematické analýzy: zavedení funkcionálních parametrů Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 9 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Integrativní síla Nacházení jednoty, spojení termů do forem Jazyk syntetické geometrie: (jednota Eukleidových základů) Jazyk algebry: zavedení polynomických forem Jazyk analytické geometrie: vyjádření křivek pomocí polynomických forem Jazyk matematické analýzy: sjednocení polynomů, exponenciálních a goniometrických funkcí pomocí nekonečných řad eiπ + 1 = 0 Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 10 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Explanatorická síla Vytváření formálních predikátů; vysvětlení selhání předchozího jazyka Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 11 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Explanatorická síla Vytváření formálních predikátů; vysvětlení selhání předchozího jazyka Jazyk syntetické geometrie: nemožnost trisekce úhlu Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 11 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Explanatorická síla Vytváření formálních predikátů; vysvětlení selhání předchozího jazyka Jazyk syntetické geometrie: nemožnost trisekce úhlu Jazyk algebry: lze vytvořit predikát „kořen ireducibilního polynomu třetího stupně“ Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 11 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Explanatorická síla Vytváření formálních predikátů; vysvětlení selhání předchozího jazyka Jazyk syntetické geometrie: nemožnost trisekce úhlu Jazyk algebry: lze vytvořit predikát „kořen ireducibilního polynomu třetího stupně“ některé rovnice nemají řešení Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 11 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Explanatorická síla Vytváření formálních predikátů; vysvětlení selhání předchozího jazyka Jazyk syntetické geometrie: nemožnost trisekce úhlu Jazyk algebry: lze vytvořit predikát „kořen ireducibilního polynomu třetího stupně“ některé rovnice nemají řešení Jazyk analytické geometrie: křivky v rovině se nemusí protínat Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 11 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Explanatorická síla Vytváření formálních predikátů; vysvětlení selhání předchozího jazyka Jazyk syntetické geometrie: nemožnost trisekce úhlu Jazyk algebry: lze vytvořit predikát „kořen ireducibilního polynomu třetího stupně“ některé rovnice nemají řešení Jazyk analytické geometrie: křivky v rovině se nemusí protínat nemožnost kvadratury kruhu Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 11 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Explanatorická síla Vytváření formálních predikátů; vysvětlení selhání předchozího jazyka Jazyk syntetické geometrie: nemožnost trisekce úhlu Jazyk algebry: lze vytvořit predikát „kořen ireducibilního polynomu třetího stupně“ některé rovnice nemají řešení Jazyk analytické geometrie: křivky v rovině se nemusí protínat nemožnost kvadratury kruhu Jazyk matematické analýzy: platí eiπ + e0 = 0 a Lindenmannova věta1 1 Pokud A1, A2, . . . , an jsou nenulová a α1, α2, . . . , αn jsou různá algebraická čísla, pak A1eα1 + A2eα2 + · · · + Aneαn = 0. Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 11 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Konstitutivní síla Definování nových objektů pomocí určitých deskripcí Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 12 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Konstitutivní síla Definování nových objektů pomocí určitých deskripcí Jazyk syntetické geometrie: Jazyk algebry: záporná čísla, odmocniny, komplexní čísla, ... Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 12 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Konstitutivní síla Definování nových objektů pomocí určitých deskripcí Jazyk syntetické geometrie: Jazyk algebry: záporná čísla, odmocniny, komplexní čísla, ... Jazyk analytické geometrie: transcendentní křivky, logaritmus jako číslo vyjadřující obsah pod hyperbolou xy = 1 mezi body 1 a x, ... Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 12 / 20 Jazyk matematiky Potenciality jazyků Konstitutivní síla Definování nových objektů pomocí určitých deskripcí Jazyk syntetické geometrie: Jazyk algebry: záporná čísla, odmocniny, komplexní čísla, ... Jazyk analytické geometrie: transcendentní křivky, logaritmus jako číslo vyjadřující obsah pod hyperbolou xy = 1 mezi body 1 a x, ... Jazyk matematické analýzy: funkce jako integrál horní meze, řešení diferenciální rovnice, ... Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 12 / 20 Matematika jazyka George Boole Zákony myšlení The Laws of Thought, 1854 1815–1864 Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 13 / 20 Matematika jazyka George Boole Zákony myšlení The Laws of Thought, 1854 1815–1864 Booleova algebra: x ∨ y = y ∨ x x ∧ y = y ∧ x komutativita (x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z) (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z) asociativita x ∨ 0 = x x ∧ 1 = x neutrální prvek x ∧ x = 0 x ∨ x = 1 komplementární prvek x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) distributivita x ∨ (x ∧ y) = x x ∧ (x ∨ y) = x absorpce x ∨ x = x x ∧ x = x idempotence x ∨ 1 = 1 x ∧ 0 = 0 agresivita (x ∨ y) = x ∧ y (x ∧ y) = x ∨ y De Morganovy zákony Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 13 / 20 Matematika jazyka Gottlob Frege Formální logika 1848–1925 Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 14 / 20 Matematika jazyka Gottlob Frege Formální logika Begriffsschrift, 1879 1848–1925 Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 14 / 20 Matematika jazyka Gottlob Frege Formální logika Begriffsschrift, 1879 1848–1925 Logika není věda o správném myšlení. Ale o vyplývání a jeho převádění na řetězce elementárních odvození (inferencí). Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 14 / 20 Matematika jazyka Gottlob Frege Formální logika Begriffsschrift, 1879 1848–1925 Logika není věda o správném myšlení. Ale o vyplývání a jeho převádění na řetězce elementárních odvození (inferencí). Druhý zakladatel logiky. Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 14 / 20 Matematika jazyka Gottlob Frege Formální logika Begriffsschrift, 1879 Die Grundlagen der Arithmetik, 1884 1848–1925 Logika není věda o správném myšlení. Ale o vyplývání a jeho převádění na řetězce elementárních odvození (inferencí). Druhý zakladatel logiky. Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 14 / 20 Matematika jazyka Gottlob Frege Formální logika Begriffsschrift, 1879 Die Grundlagen der Arithmetik, 1884 Über Sinn und Bedeutung, 1892 1848–1925 Logika není věda o správném myšlení. Ale o vyplývání a jeho převádění na řetězce elementárních odvození (inferencí). Druhý zakladatel logiky. Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 14 / 20 Matematika jazyka Gottlob Frege Formální logika Begriffsschrift, 1879 Die Grundlagen der Arithmetik, 1884 Über Sinn und Bedeutung, 1892 1848–1925 Logika není věda o správném myšlení. Ale o vyplývání a jeho převádění na řetězce elementárních odvození (inferencí). Druhý zakladatel logiky. výraz význam označuje smysl vyjadřuje identifikuje 6 ? -       Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 14 / 20 Matematika jazyka Ludwig Wittgenstein 1889–1951 Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 15 / 20 Matematika jazyka Ludwig Wittgenstein Logisch-Philosophische Abhandlung, 1921 Tractatus Logico-Philosophicus, 1922 1889–1951 Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 15 / 20 Matematika jazyka Ludwig Wittgenstein Logisch-Philosophische Abhandlung, 1921 Tractatus Logico-Philosophicus, 1922 1889–1951 Svět je vše, co je zkrátka tak. Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 15 / 20 Matematika jazyka Ludwig Wittgenstein Logisch-Philosophische Abhandlung, 1921 Tractatus Logico-Philosophicus, 1922 1889–1951 Svět je vše, co je zkrátka tak. Logika není nauka, nýbrž zrcadlový obraz světa. Matematika je metoda logiky. Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 15 / 20 Matematika jazyka Ludwig Wittgenstein Logisch-Philosophische Abhandlung, 1921 Tractatus Logico-Philosophicus, 1922 1889–1951 Svět je vše, co je zkrátka tak. Logika není nauka, nýbrž zrcadlový obraz světa. Matematika je metoda logiky. O čem lze mluvit, o tom lze mluvit jasně. O čem nelze mluvit, o tom se musí mlčet. Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 15 / 20 Matematika jazyka Alfred N. Whitehead, Bertrand A.W. Russel Logistika A.N. Whitehead, 1889–1951 B. Russell, 1872–1970 Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 16 / 20 Matematika jazyka Alfred N. Whitehead, Bertrand A.W. Russel Logistika B. Russell: Principles of mathematics, Cambridge, 1903 A.N. Whitehead, 1889–1951 B. Russell, 1872–1970 Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 16 / 20 Matematika jazyka Alfred N. Whitehead, Bertrand A.W. Russel Logistika B. Russell: Principles of mathematics, Cambridge, 1903 Matematika je logika: The fact that all Mathematics is Symbolic Logic is one of the greatest discoveries of our age; and when this fact has been established, the remainder of the principles of mathematics consists in the analysis of Symbolic Logic itself. A.N. Whitehead, 1889–1951 B. Russell, 1872–1970 Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 16 / 20 Matematika jazyka Alfred N. Whitehead, Bertrand A.W. Russel Logistika B. Russell: Principles of mathematics, Cambridge, 1903 Matematika je logika: The fact that all Mathematics is Symbolic Logic is one of the greatest discoveries of our age; and when this fact has been established, the remainder of the principles of mathematics consists in the analysis of Symbolic Logic itself. Paradox: A.N. Whitehead, 1889–1951 B. Russell, 1872–1970 Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 16 / 20 Matematika jazyka Alfred N. Whitehead, Bertrand A.W. Russel Logistika B. Russell: Principles of mathematics, Cambridge, 1903 Matematika je logika: The fact that all Mathematics is Symbolic Logic is one of the greatest discoveries of our age; and when this fact has been established, the remainder of the principles of mathematics consists in the analysis of Symbolic Logic itself. Paradox: M := {A : A ∈ A} A.N. Whitehead, 1889–1951 B. Russell, 1872–1970 Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 16 / 20 Matematika jazyka Alfred N. Whitehead, Bertrand A.W. Russel Logistika B. Russell: Principles of mathematics, Cambridge, 1903 Matematika je logika: The fact that all Mathematics is Symbolic Logic is one of the greatest discoveries of our age; and when this fact has been established, the remainder of the principles of mathematics consists in the analysis of Symbolic Logic itself. Paradox: M := {A : A ∈ A} M ∈ M ⇔ M ∈ M A.N. Whitehead, 1889–1951 B. Russell, 1872–1970 Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 16 / 20 Matematika jazyka Alfred N. Whitehead, Bertrand A.W. Russel Logistika B. Russell: Principles of mathematics, Cambridge, 1903 Matematika je logika: The fact that all Mathematics is Symbolic Logic is one of the greatest discoveries of our age; and when this fact has been established, the remainder of the principles of mathematics consists in the analysis of Symbolic Logic itself. Paradox: M := {A : A ∈ A} M ∈ M ⇔ M ∈ M „Tato věta není pravdivá.“ A.N. Whitehead, 1889–1951 B. Russell, 1872–1970 Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 16 / 20 Matematika jazyka Alfred N. Whitehead, Bertrand A.W. Russel Logistika B. Russell: Principles of mathematics, Cambridge, 1903 A.N. Whitehead, B. Russell:Principia Mathematica, I 1910, II 1912, III 1913 M := {A : A ∈ A} M ∈ M ⇔ M ∈ M A.N. Whitehead, 1889–1951 B. Russell, 1872–1970 Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 16 / 20 Matematika jazyka Alfred N. Whitehead, Bertrand A.W. Russel Logistika Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 16 / 20 Matematika jazyka Kurt Gödel 1906 28. dubna narozen v Brně (Pekařská 5) 1912–1916 Evangelická základní škola v Brně (s německou řečí) 1916–1924 Reálné gymnázium v Brně (s německou řečí) 1924 Vstupuje na univerzitu ve Vídni 1927 Seznamuje se s Adelou Nimburskou, roz. Porketovou 1929 Vzdává se československého občanství, nabývá občanství rakouského 24. října obhajuje disertaci Über die Vollständigkeit des Logikkalkulus. 1929–1939 Zásadní výsledky na poli matematické logiky 1931 Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme I. Monatshefte für Mathematik und Physik, 38, 137–198. 1933 11. března habilitován na Vídeňské univerzitě 1938 20. září svatba s Adelou Nimburskou ve Vídni 1940 V lednu až březnu cesta manželů Gödelových do USA (přes Sibiř, Yokohamu a San Francisco do Princetonu) 1947 What is Cantor’s continuum problem? American Mathematical Monthly, 54, 515–525. 1948 Získává americké občanství 1949 An example of a new type of cosmological solutions of Einstein’s field equations of gravitation. Review of Modern Physics, 21, 447-450. 1958 Uber eine bischer noch nicht benütze Erweiterung des finiten Standpunktes. Dialectica, 12, 280–287. (Poslední publikovaná práce) 1978 14. ledna umírá v Princetonu 1992 9. dubna založena Společnost Kurta Gödela v Brně 1996 25.–29. srpna mezinárodní konference Logical Foundations of Mathematics, computer Science and Physics – Kurt Gödel Legacy v Brně Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 17 / 20 Matematika jazyka Kurt Gödel Neúplnost formálně-logických systémů O formálně nerozhodnutelných větách v Principia mathematica a příbuzných systémech, 1931 Formule („věty“) formálního systému jsou konečné posloupnosti základních znaků („písmen“) – pro proměnné, logické konstanty, závorky. Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 18 / 20 Matematika jazyka Kurt Gödel Neúplnost formálně-logických systémů O formálně nerozhodnutelných větách v Principia mathematica a příbuzných systémech, 1931 Formule („věty“) formálního systému jsou konečné posloupnosti základních znaků („písmen“) – pro proměnné, logické konstanty, závorky. Lze precizovat, které posloupnosti základních znaků jsou smysluplné. Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 18 / 20 Matematika jazyka Kurt Gödel Neúplnost formálně-logických systémů O formálně nerozhodnutelných větách v Principia mathematica a příbuzných systémech, 1931 Formule („věty“) formálního systému jsou konečné posloupnosti základních znaků („písmen“) – pro proměnné, logické konstanty, závorky. Lze precizovat, které posloupnosti základních znaků jsou smysluplné. Důkazy jsou konečné posloupnosti formulí s pevně stanovenými vlastnostmi. Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 18 / 20 Matematika jazyka Kurt Gödel Neúplnost formálně-logických systémů O formálně nerozhodnutelných větách v Principia mathematica a příbuzných systémech, 1931 Formule („věty“) formálního systému jsou konečné posloupnosti základních znaků („písmen“) – pro proměnné, logické konstanty, závorky. Lze precizovat, které posloupnosti základních znaků jsou smysluplné. Důkazy jsou konečné posloupnosti formulí s pevně stanovenými vlastnostmi. K formuli lze přidat symbol , který označuje její dokazatelnost. Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 18 / 20 Matematika jazyka Kurt Gödel Neúplnost formálně-logických systémů O formálně nerozhodnutelných větách v Principia mathematica a příbuzných systémech, 1931 Formule („věty“) formálního systému jsou konečné posloupnosti základních znaků („písmen“) – pro proměnné, logické konstanty, závorky. Lze precizovat, které posloupnosti základních znaků jsou smysluplné. Důkazy jsou konečné posloupnosti formulí s pevně stanovenými vlastnostmi. K formuli lze přidat symbol , který označuje její dokazatelnost. Všechny znaky se zobrazí na přirozená čísla. Formule je reprezentovatelná konečnou posloupností přirozených čísel, důkaz konečnou posloupností konečných posloupností čísel. Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 18 / 20 Matematika jazyka Kurt Gödel Neúplnost formálně-logických systémů O formálně nerozhodnutelných větách v Principia mathematica a příbuzných systémech, 1931 Formule („věty“) formálního systému jsou konečné posloupnosti základních znaků („písmen“) – pro proměnné, logické konstanty, závorky. Lze precizovat, které posloupnosti základních znaků jsou smysluplné. Důkazy jsou konečné posloupnosti formulí s pevně stanovenými vlastnostmi. K formuli lze přidat symbol , který označuje její dokazatelnost. Všechny znaky se zobrazí na přirozená čísla. Formule je reprezentovatelná konečnou posloupností přirozených čísel, důkaz konečnou posloupností konečných posloupností čísel. Zkonstruuje se formule A, pro kterou A ⇔ A. Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 18 / 20 Logiky Logický kalkul Abeceda – používané symboly Pravidla pro tvorbu formulí Axiomy Odvozovací pravidla Sémantika: význam formulí Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 19 / 20 Logiky Výrokový kalkul Abeceda výrokového počtu 1. a, b, c, . . . , a1, a2, a3, . . . atomické výroky {výrokové proměnné} 2. ¬, → (výrokové) operátory 3. (, ) levá a pravá závorka Definice výroků (i) Každý atomický výrok je výrok. (ii) Je-li A výrok, je i ¬A výrok. (iii) Jsou-li A, B výroky, je i (A → B) výrok. (iv) Není jiných výroků. Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 20 / 20 Logiky Výrokový kalkul Klasický Axiomy (1) A → (B → A) (2) (A → B) → (A → ¬B) → ¬A (3) (A → (B → C) → (A → B) → (A → C) (4) ¬¬A → A Odvozovací pravidlo A → B, A | B Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 20 / 20 Logiky Výrokový kalkul Klasický Axiomy (1) A → (B → A) (2) (A → B) → (A → ¬B) → ¬A (3) (A → (B → C) → (A → B) → (A → C) (4) ¬¬A → A Odvozovací pravidlo A → B, A | B Sémantika Významy výroků: T, F (true, false) A ¬A T F F T A B A → B T T T T F F F T T F F T Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 20 / 20 Logiky Výrokový kalkul Intuicionistický Axiomy (1) A → (B → A) (2) (A → B) → (A → ¬B) → ¬A (3) (A → (B → C) → (A → B) → (A → C) (4) ¬A → (A → B) Odvozovací pravidlo A → B, A | B Sémantika Významy výroků: T, F (true, false) Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 20 / 20 Logiky Výrokový kalkul Vícehodnotový (fuzzy) Axiomy (1) A → (B → A) (2) (¬A → ¬B) → (B → A) (3) (A → (B → C) → (A → B) → (A → C) (4) (A → B) → A → A Odvozovací pravidlo A → B, A | B Sémantika Význam výroku A: pravdivostní hodnota P(A) z intervalu 0, 1 ; 1∼T (true), 0∼F (false) P(¬A) = 1 − P(A), P(A → B) = max {1 − P(A), P(B)} Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 20 / 20 Logiky Výrokový kalkul Modální S4 Axiomy (1) A → (B → A) (2) (A → B) → (A → ¬B) → ¬A (3) (A → (B → C) → (A → B) → (A → C) (4) ¬¬A → A (5) (A → B) → ( A → B) (6) A → A (7) A → A Odvozovací pravidla A → B, A | B A | A Sémantika Možné světy Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 20 / 20 Logiky Výrokový kalkul Parakonzistentní Sémantika Významy výroků: T true (pravda) F false (nepravda) O truth-value gap (ani pravda ani nepravda) X truth-value gluts (pravda i nepravda) A ¬A T F O O X X F T B A → B T O X F T T O X F O T O T O A X T T X X F T T T T Z. Pospíšil ·Logika ·9. prosince 2021 20 / 20