Adobe Systems CORE004 Matematika jako součást kultury Týden 4. Analytická geometrie 7. října 2021 Jan Slovák Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 2 1. Za co všechno může Descartes (aneb jak vznikla „analytická geometrie)? ̶Od dětství patrně žijeme všichni v přesvědčení, že je kolem nás „třírozměrný prostor“ ve kterém se snadno zorientujeme pomocí „souřadnic polohy“, případně k těm třem číslům přidáme ještě čtvrté – čas. Vše si přitom asi představujeme v tzv. kartézských souřadnicích. ̶Poznámky: ̶„kartézské“ odvozeno od Cartesius, což bylo latinské jméno René Descarta ̶v současné podobě je u Descarta neuvidíme ̶v angličtině „cartesian co-ordinates“ ̶A co tedy skutečně (u)dělal Descartes? Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 3 Portrét René Descarta od Franse Halse (cca 1649–1700) René Descartes (Cartesius), 1596 – 1650 „profesionální vědec“ Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 4 Proč Matematika? ̶Snaží se vytvořit spolehlivou obecnou analytickou metodu poznání ̶Stručně v bodech: ̶Přijímat jen to, co se mi samo představuje tak jasně a zřetelně, že o tom nemohu pochybovat. ̶Každý problém rozdělit na co nejjednodušší části, které lze bezpečně poznat. ̶Postupovat od jednoduchého ke složitému v pořadí. ̶Sestavit úplné seznamy a obecné přehledy, aby bylo jisté, že jsme na nic nezapomněli. ̶Přílohy v rozpravě o metodě (optika, metorologie, geometrie) slouží jako ilustrace její účinnosti. ̶Na první pohled „materialista“ (svět kolem, včetně funkce vlastního těla vidí jako „mechanický systém“), vnímá ale Boha jako „nestvořenou“ substanci, vedle které odlišuje „svět těles“ a substanci s „atributem myšlení“ (neprostorový, netělesný duch). ̶ Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 5 Proč Matematika? ̶Descartes je skeptik, poznávání světa těles pomocí smyslů má za v principu klamné, plnohodnotné poznání je jen to, které lze vyjádřit v jasných rozumových (tj. matematických) pojmech. ̶Hlavní a jedinou jistotu vidí v přemýšlení („cogito ergo sum“). ̶Ve své geometrii cíleně propojuje (antickou) geometrii s algebrou. ̶Podobně jako předchůdci či současníci (Viète, Fermat) navazuje na tzv. Pappovu úlohu poloze bodů vymezených geometrickými podmínkami. ̶Opouští přitom porovnávání veličin se stejnými „dimenzemi“ a používá „velikost úsečky“ pro vyjádření čehokoliv. ̶ Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 6 Pappus Alexandrijský ̶Jeden z posledních velkých řeckých matematiků (250 – 390). ̶ Sepsal tzv. Sbírku (Synagogé, Συναγωγή), v osmi knihách ̶Geometrii se zabývá zejména pojednává o rovinnými a prostoromi problémy (jako trisekce úhlu, zdvojnásobení objemu krychle, aritmetické, geometrické a harmonické průměry a další) ̶Konstrukční úlohy (např. jak určit elipsu procházející pěti dannými body) Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 7 François Viète ̶Francouzský advokát, poradce panovníků (1540 – 1603) ̶Bavil se astronomií => zabýval se geometrií a algebrou ̶Zavedl dnes obvyklé používání symbolů pro proměnné (ale nepoužíval znak pro rovnost) ̶Dodnes používané jsou Viètovy vztahy mezi koeficienty a kořeny polynomů François Viète, francouzský matematik Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 8 Pierre de Fermat ̶Francouzský právník u soudu v Toulouse (1607 – 1665) ̶Věnoval se i geometrii, budeme o něm slyšet ještě mnohokrát (ranné varianty infinitesimálního počtu, teorie čísel, optika) ̶Rukopis „Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum“ koloval ještě před pracemi Descarta a v mnohém je předbíhá a převyšuje. Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 9 A je tedy v La Géometrie? ̶Příklad: Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 10 A kde jsou tam „kartézské souřadnice“? ̶Descartes používá typicky jednu (oříznutou) přímku – abscissa, na které vynáší některé ze sledovaných hodnot (jako úsečky dané velikosti), jiné veličiny pak vynáší na systém přímek vztyčovaných k abscisse pod stále stejným úhlem, zpravidla kolmo – ordinála. ̶Souřadnice (anglicky „co-ordinates“) jsou pak nástrojem, který zahrnuje abscissu i kolmou ordinálu, které jsou rovnoprávné. ̶Pro Descarta i Fermata bylo podstatné, že v typických problémech určení polohy, kde jsou svázány dvě veličiny x a y společně s pevnými dalšími parametry (jako např. u rovnice z2 = ax + b2 vyjádřené geometricky) jsou oba popisy, geometrický a algebraický ekvivalentní. Tak vznikla „analytická geometrie“. Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 11 „Metody“ Descarta a Fermata Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 12 „Metody“ Descarta a Fermata Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 13 Fermat ̶Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 14 A kde jsou tam „kartézské souřadnice“? ̶Descartes používá typicky jednu (oříznutou) přímku – abscissa, na které vynáší některé ze sledovaných hodnot (jako úsečky dané velikosti), jiné veličiny pak vynáší na systém přímek vztyčovaných k abscisse pod stále stejným úhlem, zpravidla kolmo – ordinála. ̶Souřadnice (anglicky „co-ordinates“) jsou pak nástrojem, který zahrnuje abscissu i kolmou ordinálu, které jsou rovnoprávné. ̶Pro Descarta i Fermata bylo podstatné, že v typických problémech určení polohy, kde jsou svázány dvě veličiny x a y společně s pevnými dalšími parametry (jako např. u rovnice z2 = ax + b2 vyjádřené geometricky) jsou oba popisy, geometrický a algebraický ekvivalentní. Tak vznikla „analytická geometrie“. Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 15 2. Analytická geometrie dnes ̶Vektory ̶lineární kombinace, lineární zobrazení a transformace, ̶n-tice čísel versus „abstraktní“ vektorový prostor ̶maticový počet – původně „array method“, v Číně dávno před Kristem, Cardano – Ars Magna, 1545, Jan de Witt jako nástroj pro zápis transformací - 1659, Caley a Sylvester – 19. století ̶Afinní geometrie ̶Euler zavedl pojem „afinní“ (z latiny, „podobný“, „související“) – 1748, během 19. století už vnímána jako Euclideovská geometrie „bez volby měřítka vzdálenosti“ (Felix Klein). ̶Euklidovská geometrie ̶Velikosti pomocí „skalárního součinu“, úhly, ve funkcionální analýze Hilbertovy prostory, ̶Projektivní geometrie ̶Řeší „problém s paralelními přímkami“ přidáním nekonečných bodů ̶Perspektiva, projekce, postupně rozvíjeno od Pappa (3. st.), přes Keplera a Desarguese (17. st.), k Möbius a Plücker (19. století, algebraická geometrie)