Adobe Systems CORE004 Matematika jako součást kultury Týden 4. Pohyb a změna: infinitesimální počet 14. října 2021 Jan Slovák Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 2 1. Infinitesimální počet: co to znamená? ̶Infinitesimal: z latinského „infinitesimus“ tj. „člen posloupnosti v nekonečnu“, později „nekonečně malé“ číslo, tj. takové, které je nule blíže než jakékoliv reálné číslo. ̶Calculus: v matematice pro nás dnes znamená „počet“ (ve smyslu „počítání“), původně z latinského calculus = oblázek ̶Calculus je dnes elementární část tzv. matematické analýzy zahrnující diferenciální a integrální počet (v češtině i němčině pod zjednodušeným názvem „matematická analýza“, původně „matematická infinitesimální analýza“) ̶V medicíně je zachován původní latinský význam slova, označuje různé typy „kamenů“ (žlučníkové, ledvinové, …) ̶Převzato prý ze starodávného „taxametru“ v Římě, založeného na počítání malých oblázků během jízdy. Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 3 2. Jak se s „nekonečně malým“ nakládá? ̶Velmi dávno se objevovaly myšlenky integrálního počtu, lidé potřebovali počítat objemy a plochy geometricky daných objektů. ̶V docela pokročilé formě už u starých Řeků ̶metoda vyčerpání: rozvinutá Archimedem, včetně heuristiky práce s „neviditelnými“ částmi, velmi připomíná základy integrálního počtu. ̶podobně, v přibližně stejné době také v Číně. ̶ve formalizované podobě tzv. Cavalierův princip (Bonaventura Cavalieri, 1598-1647). ̶Kupodivu, myšlenka vyčíslení „okamžité změny hodnoty“ a souvislost s počítáním objemů nebyla pořádně rozvinuta před Newtonem a Leibnizem. ̶Dnes poměrně jednoduché, díky základnímu konceptu limity (jednoduchá formalizace významu „libovolně blízko“). ̶Už Pierre de Fermat: „rovno až na infinitesimální chybu“. ̶ Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 4 Leibniz versus Newton ̶Gotfried Wilhelm Leibnitz, 1646 – 1716, péče formální stránku, šikovný zápis ̶ Obsah obrázku osoba Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text, osoba Popis byl vytvořen automaticky ̶Isaak Newton, 1642 – 1726, „Calculus“ jako nástroj ̶ Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 5 Leonhard Euler 1707 – 1783 ̶ ̶„inženýrská matematika“ ̶naši dnešní absolventi programu Matematika umí jen malinký zlomek toho, co obsáhl Euler ̶k dokonalosti dotáhl (Newtonovu) práci s nekonečnými řadami a komplexními čísly (řada pro exponenciálu ex) ̶našel diferenciální rovnice popisující mnoho dějů i jejich řešení ̶eiπ + 1 = 0 , rovnice obsahuje 5 nejdůležitějších čísel … ̶ Obsah obrázku text, osoba, muž Popis byl vytvořen automaticky Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 6 Carl Friedrich Gauss 1777 – 1855 ̶ ̶dokonalé zvládnutí diferenciálního a integrálního počtu jako nástroje pro řešení problémů ̶neskutečné množství „průlomových“ výsledků (např. „základní věta algebry“, odhad rozložení prvočísel), ̶tzv. „normální“ rozdělení chyb měření (dnes všudypřítomná „Gaussova křivka“) ̶neeuklidovská geometrie ̶ ̶ Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 7 3. Infinitesimální počet dnes – limity ̶binomická věta pro racionální mocniny vedla k potřebě práce s „nekonečnými polynomy“ (Newton, psal o „mé metodě nekonečných řad“, formálně nedokonalou „interpolací“ k formuli dospěl dříve např. Wallis) ̶limity funkcí v „hromadných bodech“ definičního oboru, posloupnosti jsou speciální případ ̶jednoduchá pravidla pro počítání s limitami ̶geometrická řada a konvergence mocninných řad ̶spojitost Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 8 3. Infinitesimální počet dnes – diferenciál ̶Přírůstek hodnot nahradíme nejlepší možnou lineární aproximací, mluvíme o derivaci ̶Když je chyba „nekonečně malé číslo řádu aspoň 2“, mluvíme o diferenciálu ̶Když takto lze postupovat kvadratickými, kubickými atd. aproximacemi, dostaneme mocninnou řadu. Pokud konverguje k původní funkci, mluvíme o analytických funkcích ̶Hladké funkce, zobecněné funkce … Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 9 3. Infinitesimální počet dnes – diferenciální rovnice ̶Hledání Newtonova integrálu je nejjednodušší případ differenciální rovnice: y’ = f(t), hledáme y(t), které rovnost splňuje. ̶Obecně, „obyčejné diferenciální rovnice“ jsou infinitesimální vztahy mezi proměnnými zadávající křivky v prostoru (v zásadě jsme zpět v analytické geometrii, ale máme teď k dispozici silné nástroje) ̶Ještě obecněji: závislost na více proměnných než jen na času, vede k „parciálním diferenciálním rovnicím“. ̶V analytických případech přímočaře přechází v kombinatorické (zpravidla neřešitelné) problémy. Adobe Systems Matematika jako součást kultury, podzim 2021 10 3. Diskrétní varianty – sumační a diferenční počet ̶V praxi a v numerických metodách vidíme často diference místo derivací a pracujeme tak s diskrétními hodnotami času. ̶Analogie derivace a integrálu u posloupností. ̶Diferenční rovnice, neboli rekurence.