Základy astronomie 1
Příklady ke cvičením
Sbírka zadání příkladů k předmětu
F1251 Základy astronomie 1
VÁCLAV GLOS, GABRIEL SZÁSZ,
JAN ROKOS, LENKA ROKOSOVÁ,
JIŘÍ LIŠKA, TEREZA KLOCOVÁ
Obsah
1 Astronomické jednotky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Astronomické jednotky (pokračování) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Čas, kalendář, soustavy souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Čas, kalendář, soustavy souřadnic (pokračování) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5 Objekty Sluneční soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6 Objekty Sluneční soustavy (pokračování), paralaxa . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7 Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
8 Fotometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
9 Fotometrie (pokračování), dalekohledy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
10 Gravitační pole, Dopplerův jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
i
Příklady ke cvičením 1
1 Astronomické jednotky
1.1 Astronomická jednotka (astronomical unit – au) je střední vzdáleností Země od Slunce. Její
hodnota je 149 597 871 km (1,5 ⋅ 108
km). Spočítejte jak dlouho světlu trvá než doletí ze
Slunce na Zemi, jestliže znáte rychlost světla ve vakuu 299 792 485 m/s (3 ⋅ 108
m/s),
1.2 Světelný rok (light year – ly) je vzdálenost, kterou světlo ve vakuu urazí za 1 rok. Jaké vzdálenosti
v metrech odpovídá 1 ly? Kolik je to astronomických jednotek?
1.3 Jeden parsek (parsec – pc) je vzdálenost, ze které vidíme 1 au pod úhlem jedné úhlové vteřiny
(1′′
). Kolik je to metrů, astronomických jednotek a světelných let?
1.4 Charakteristiky Slunce se v astrofyzice používají jako základní jednotky. Vypočítejte hmotnost
Slunce 𝑀⊙, jestliže víte, že jeho poloměr 𝑅⊙ je 6,96 ⋅ 108
m a střední hustota Slunce 𝜌⊙
je 1,41 ⋅ 103
kg/m3
.
1.5 Sirius, nejjasnější hvězda naší noční oblohy (souhvězdí Velkého psa), je ve skutečnosti dvojhvězda
(perioda 50,1 let). Jasnější složka má hmotnost 𝑀S1 = 4,02 ⋅ 1030
kg a poloměr
𝑅S1 = 1,252 8 ⋅ 109
m. Méně jasná složka má hmotnost 𝑀S2 = 1,95 ⋅ 1030
kg a poloměr
𝑅S2 = 5,88 ⋅ 106
m.
(a) Vyjádřete hmotnost a poloměr v jednotkách Slunce M⊙ a R⊙.
(b) Ve fyzice hvězdných soustav se často používá veličina 𝑞 = 𝑀2∕𝑀1 vyjadřující poměr
hmotností složek dvojhvězdy. Spočítejte poměr hmotností 𝑞S složek Siria. Může být
tato veličina větší než jedna? Jestli ano, co nám 𝑞 > 1 napovídá o povaze složek?
2 Základy astronomie 1
2 Astronomické jednotky (pokračování)
2.1 Spočítejte úhlový průměr Slunce a Měsíce pro pozorovatele na Zemi, jestliže víte:
průměr Měsíce je 𝑑M = 3,476 ⋅ 106
m, vzdálenost Měsíce od Země je 𝑟MZ = 3,844 ⋅ 105
m,
průměr Slunce je 𝑑⊙ = 1,392 ⋅ 106
km, vzdálenost Slunce od Země je 𝑟ZS = 1,496 ⋅ 1011
m.
2.2 Vypočítejte úhlový průměr hvězdy Proxima Centauri (nejbližší hvězda k Sluneční soustavě),
jestliže znáte její průměr 𝑑PC = 214 600 km a její vzdálenost 𝑟PC = 4,243 ly.
2.3 Jak velké by viděli Slunce případní pozorovatelé na planetě Merkur a trpasličí planetě Pluto?
Průměr Slunce je 𝑑⊙ = 1,392 ⋅ 106
km, střední vzdálenost Merkuru od Slunce je 0,387 au
a střední vzdálenost Pluta je 39,5 au. Porovnejte s úhlovým průměrem Slunce pozorovaným
ze Země.
2.4 Na obloze s omezeným obzorem zahlédnete „padat hvězdu“, za 0,5 s uletí na obloze dráhu
odpovídající 13◦
. Byl to meteor nebo dopravní letadlo? Typická výška letadla je 10 km a rychlost
1 000 km/h. Meteor vidíme ve výšce 85 km a jeho rychlost se pohybuje okolo 40 km/s.
2.5 Meteoroid o hmotnosti 10 kg vletí do atmosféry Země a při dopadu na povrch má rychlost
40 km/s. V případě, že po průletu atmosférou mu zbude jen desetina své hmotnosti, jak velkou
energii bude mít srážka? Dále převeďte energii na ekvivalent kilogramů TNT, jestliže víte, že
energie výbuchu TNT je 4,2 MJ/kg. (Hirošima měla 15 kT TNT, kolikrát hmotnější by musel
být meteoroid aby měla srážka stejnou energii?)
2.6 Vzdálenost Galaxie v Andromedě M31 je 𝑟M31 = 778 kpc. Jak dlouho potrvá světlu, než
k nám doletí z této galaxie?
Příklady ke cvičením 3
3 Čas, kalendář, soustavy souřadnic
3.1 Určete rozdíl místního a pásmového času pro Brno (Monte Boo) 𝜆MB = 16◦
35′
1,8′′
východní
délky a taky pro město Aš 𝜆A = 12◦
11′
42′′
. Jaký bude rozdíl místních časů v Brně a Aši?
3.2 Juliánské datum JD je číslo, které každým dnem roste o jedničku, přičemž zlomková část
tohoto čísla značí část dne, jenž uplynula od poledne světového času (12:00:00 UT). Tato
časová škála je často používaná v astronomii, zejména pro dlouhodobě děje. Pokud víte, že
1. 1. 2012 v 0:00:00 světového času bylo JD = 2 455 927,5, spočítejte JD dne 9. 10. 2018
v 16:50 SELČ.
3.3 Některé astronomické souřadnice se namísto ve stupních vyjadřují v hodinách. Kolika stupňům
odpovídá 12 hodin? Kolik minut odpovídá jednomu stupni?
3.4 Jaká je maximální a minimální deklinace 𝛿 objektu, který může člověk vidět ze severní zeměpisné
šířky 𝜑 = 50◦
?
3.5 Jak vysoko nad obzorem se nachází Polárka pro pozorovatele na severní šířce 𝜑 = 30◦
?
3.6 Jaká je maximální zeměpisná šířka 𝜑, ze které bychom mohli pozorovat souhvězdí Jižní kříž,
které má deklinaci 𝛿 = −63◦
?
4 Základy astronomie 1
4 Čas, kalendář, soustavy souřadnic (pokračování)
4.1 Jak vysoko nad obzorem je Slunce v pravé poledne v den jarní rovnodennosti, jestliže se
nacházíme v Brně (𝜑 = 50◦
)? V den rovnodennosti má Slunce nulovou deklinaci.
4.2 V kolik hodin vyjde hvězda s rektascenzí 𝛼1 = 14h
35m
8s
, pokud víme, že hvězda se stejnou
deklinací s rektascenzí 𝛼2 = 8h
23m
53s
vyšla přesně o půlnoci?
4.3 Rektascenze hvězdy je 𝛼 = 14h
30m
. Určete její hodinový úhel 𝑡 v hvězdném čase LST =
Θ = 21h
14m
.
4.4 Určete místní hvězdný čas Θ, pokud znáte hodinový úhel hvězdy 𝑡∗ = 50◦
13′
48′′
a její
rektascenzi 𝛼∗ = 13h
20m
30s
.
4.5 Jaký je astronomický azimut Slunce v Brně v pravé poledne?
4.6 Jaký je astronomický azimut Slunce při východu a západu v den podzimní rovnodennosti?
Příklady ke cvičením 5
5 Objekty Sluneční soustavy
5.1 Spočítejte maximální elongaci Merkuru a Venuše, pokud víte, že poloměr dráhy Merkuru je
0,387 au a poloměr dráhy Venuše je 0,723 au. Předpokládejte kruhové dráhy.
5.2 Vypočítejte vzdálenost Marsu od Země, když je Mars v kvadratuře. Poloměr dráhy Marsu je
1,52 au. Předpokládejte kruhové dráhy.
5.3 Vypočítejte synodické oběžné doby Venuše a Marsu pozorované ze Země, jestliže znáte jejich
siderické oběžné doby: 𝑃V = 225 dní, 𝑃M = 687 dní. Využijte vztahu (1), kde 𝑆 je synodická
oběžná doba, 𝑃I je siderická perioda vnitřní planety a 𝑃O je siderická perioda vnější planety.
1
𝑆
=
1
𝑃I
−
1
𝑃O
(1)
Odvození vztahu (1) najdete na stránce:
http://astro.unl.edu/naap/ssm/ssm_advanced.html
5.4 Vypočítejte siderickou oběžnou dobu Jupitera, pokud znáte synodickou oběžnou dobu pozorovanou
ze Země 𝑆 = 398,88 dne.
5.5 Planetka Hermes obíhá kolem Slunce po dráze s velkou poloosou 𝑎 = 1,655 au a numerickou
excentricitou 𝜀 = 0,624. Určete skutečnou excentricitu 𝑒, její největší a nejmenší vzdálenost
od Slunce (𝑟p a 𝑟a) a délku malé poloosy 𝑏.
6 Základy astronomie 1
6 Objekty Sluneční soustavy (pokračování), paralaxa
6.1 Oběžná doba Neptunu je přibližně 165 let. Určete jeho velkou poloosu 𝑎.
6.2 Callisto a Ganymed jsou dva největší měsíce Jupitera. Vypočítejte hlavní poloosu měsíce
Ganymed 𝑎G, jestliže jeho oběžná doba 𝑃G je 7,154 dní. Hlavní poloosa měsíce Callisto 𝑎C
je 1,883 ⋅ 106
km a jeho oběžná doba 𝑃C je 16,689 dní.
6.3 Perioda oběhu měsíce Io okolo Jupiteru 𝑃I je 1,77 dne a jeho velká poloosa 𝑎I je 4,22⋅108
m.
Předpokládejme, že hmotnost měsíce Io můžeme vzhledem k hmotnosti Jupitera zanedbat.
Vypočítejte hmotnost Jupitera.
6.4 Paralaxa hvězdy Proxima Centauri je 0,769′′
. Jaká je vzdálenost této hvězdy od Slunce? Určete
v parsecích, světelných letech a astronomických jednotkách.
6.5 Družice Gaia je schopná rozlišit paralaxu od 20 úhlových mikrovteřin. Pro jakou nejvzdálenější
hvězdu je schopna určit vzdálenost? Uveďte v parsecích i světelných letech. Byli
bychom schopni určit vzdálenost dostatečně jasné hvězdy i na nejvzdálenějším okraji naší
Galaxie? Vzdálenost Slunce od středu Galaxie je přibližně 8 kpc a maximální odhadovaný
průměr Galaxie je 60 kpc.
Příklady ke cvičením 7
7 Spektroskopie
7.1 Spektrální emisní čára neutrálního vodíku, se kterou se v astronomii setkáváme velmi často,
má vlnovou délku 𝜆 = 21 cm. Spočítejte frekvenci, energii a hybnost fotonu o této vlnové
délce.
7.2 Monochromatické světlo dopadá na fotografický film. Jednotlivý foton se zaznamená, pokud
má energii alespoň 0,6 eV, která je potřebná k disociaci molekul AgBr obsažených ve filmu.
Jaká je maximální vlnová délka fotonu, který můžeme zaznamenat? V jaké oblasti spektra se
tento foton nachází?
7.3 Při anihilaci elektronu a pozitronu vznikne pár fotonů. Určete vlnovou délku těchto fotonů.
Do kterého spektrálního oboru patří? Hmotnost elektronu 𝑚e− = 9,11 ⋅ 10−31
kg.
7.4 Maximum energie v slunečním spektru je na vlnové délce 500 nm. Vypočítejte povrchovou
teplotu Slunce pomocí Wienova posunovacího zákonu (obr. 1).
Obrázek 1: Wienov posunovací zákon.
7.5 Na jaké vlnové délce bude maximum vyzářené energie pro Vegu, jejíž povrchová teplota je
9 600 K?
8 Základy astronomie 1
8 Fotometrie
8.1 Jaký je rozdíl hvězdných velikostí dvou těles, jejichž poměr intenzit
𝐼1
𝐼2
je 1, 10, 100 a 1 000?
8.2 Jaký je poměr intenzit
𝐼1
𝐼2
dvou hvězd, jejichž pozorované hvězdné velikosti se liší o 7 mag-
nitud.
8.3 Složky okem nerozlišitelné dvojhvězdy mají hvězdné velikosti 𝑚1 = 1,0 mag a 𝑚2 = 2,0 mag.
Jaká je pozorovaná hvězdná velikost dvojhvězdy?
8.4 Spočítejte zářivý výkon Slunce 𝐿⊙, jestliže znáte intenzitu slunečního světla pozorovanou na
Zemi 𝐼⊙Z = 1 360 W/m2
8.5 Odvoďte rovnici modulu vzdálenosti.
Příklady ke cvičením 9
9 Fotometrie (pokračování), dalekohledy
9.1 Spočítejte absolutní hvězdnou velikost Slunce. Pozorovaná hvězdná velikost Slunce ze Země
je 𝑚⊙ = −26,74 mag.
9.2 Hvězda 18 Scorpii je jedno z „dvojčat“ našeho Slunce (má podobnou hmotnost, poloměr,
teplotu i složení). Jeho pozorovaná hvězdná velikost je 𝑚18Sco = 5,5 mag. Jak je tato hvězda
vzdálená, pokud budeme předpokládat, že má stejnou absolutní hvězdnou velikost, jako naše
Slunce?
9.3 Máme dalekohled Sky Watcher 254/1200. První číslo značí průměr objektivu v milimetrech
a druhé číslo značí ohniskovou vzdálenost dalekohledu v milimetrech. Vypočítejte jeho maximální
rozlišovací schopnost v zelené barvě v úhlových vteřinách. Využijeme maximální
rozlišovací schopnost, pokud budeme pozorovat při seeingu 2′′
?
9.4 Jakého zvětšení a zorného pole dosáhneme s okulárem s ohniskovou vzdáleností 12 mm
a vlastním zorným polem 50◦
při použití na dalekohledu Sky Watcher 190/1000. Jaké zvětšení
a zorné pole bude dávat stejný okulár v dalekohledu Celestron SCT 355/3910? Zorné
pole uveďte v úhlových minutách.
9.5 Spočítejte rozlišovací schopnost radioteleskopu Arecibo v Puerto Ricu na frekvenci čáry neutrálního
vodíku 1,42 GHz, pokud znáte průměr antény 305 m.
10 Základy astronomie 1
10 Gravitační pole, Dopplerův jev
10.1 Neutronová hvězda má hmotnost přibližně 1,5 M⊙ a poloměr 10 km. Jaké gravitační zrychlení
je na povrchu hvězdy? Za jaký čas a jakou rychlostí dopadne předmět padající z výšky
1 m? Vzhledem k malé výšce předmětu můžete gravitační pole považovat za homogenní.
10.2 Vypočítejte oběžnou kruhovou rychlost kolem Země ve výšce 400 km.
10.3 Vypočítejte parametry dráhy geostacionární družice.
10.4 Vypočítejte únikovou rychlost z povrchu Země. Dále spočítejte únikovou rychlost ze Sluneční
soustavy, pokud vyrážíme ze Země. Hmotnost Země 𝑀Z = 6 ⋅ 1024
kg a hmotnost
Slunce 𝑀⊙ = 2 ⋅ 1030
kg.
10.5 Při analýze spektra hvězdy zjistíme, že čáru H𝛼, která se obvykle nachází na vlnové délce
656,297 nm, pozorujeme na vlnové délce 656,666 nm. S jakou rychlostí a jakým směrem
se vůči nám hvězda pohybuje?