F1251 — cvičení — příklady z kapitol 8—10
Budeme potřebovat Pogsonovu rovnici: m\ — m,2 = —2, 5 log (jj^J a Stefanův-Boltzmannův zákon: L = 4irr2I. Poznámka: I se často značí jako F.
8.1. : Za j1/j2 postupně dosadíme 1, 10, 100 a 1000, dle zadání. Čili nám vyjde, že mi — to2 = Omag, resp. —2, 5, —5 a —7, 5mag ve stejném pořadí, jak jsme pro jednotlivé případy dosazovali poměr toků. Záporné znaménko výsledků nám říká, že hvězda s indexem 1 je jasnější (ii > I2).
8.2. : Vyjádříme si z Pogsonovy rovnice j1/j2 : log (jjfe^ = "^2 s*2 =^ 7^ =
10 -2>5 = io_0'4(mi_m2). Víme ze zadání, že m\ —m^ = 7mag, takže I1/I2 = 1, 58 • 10~3. Je vidět, že hvězda s indexem 1 je zde ta méně jasná, čili můžeme invertovat výsledek, abychom lépe viděli poměr: I2/I1 = 630, 96.
8.3. : Každou ze studovanýcn hvězd dáme do vztahu s nějakou referenční hvězdou (ref) v Pogsonově rovnici: m\ — mTe{ = —2, 5 log {j^^j a totéž to 2 — mTe{ =
—2, 5 log (t2^) ■ Víme, že hustoty zářivého toku můžeme normálně sčítat, čili iceik. = ^1+^2- Nyní dáme do poměru celkový tok našich dvou hvězd ku toku referenční hvězdy:   J|e1^- = Tj+*2 = 7 J*   + Potřebujeme si tedy
vyjádřit poměry intenzit (hustot zářivého toku) z prvních dvou rovnic: = 10-o,4(mi-mref) a stejně tak/a- = 10"°A(-m2-m"^. Stejným způsobem si i vyjád-
* ref
říme poměr intenzit celkového toku našich hvězd ku referenční hvězdě:
íceik, = 10-0,4(mcelk.-mref)_ Ted, tQ dáme dohroniady.
10r-o,4(mcelk.-mref) = 10-o,4(mi-mref) _|_ 10-o,4(m2-mref)_ Využijeme pravidlo pro počítání s logaritmy a dostaneme:
^Q-0,4mceik. ^g0,4mref _ ^g-0,4mi ^g0,4mref _|_ ^Q-0,4m2 ^g0,4mref
10-o,4mCeik. 10o,4mref = 10o,4mref (10-o,4mi + 10-o,4m2^ Společný člen se nám na obou stranách rovnice pokrátí, rovnici zlogaritmujeme a celou rovnici podělíme -0,4. Nakonec dostaneme mceik. = -2, 51og (l0~°-4mi + 10~°-4m2). Pro naši dvojhvězdu tedy vyjde, že mceik. = 0, 636 mag.
Příklady tohoto typu s libovolným počtem hvězd můžeme i zapsat jednodušeji: mn = —2,5 log 5^™=i 10~°'4mí, kde n nám značí celkový počet hvězd vícenásobného systému, jehož hvězdy sčítáme, a i zastupuje indexy jednotlivých hvězd systému.
8.4. : Použijeme Stefanův-Boltzmannův zákon a dosadíme dle zadání (/©z se nazývá solární konstanta a někdy se značí symbolem K):
L0 = 47rr2/0Z = 4tt(1, 496 • 10n)21360 = 3, 825 • 1026 W.
1
8.5.: Máme odvodit následující vztah: to — M = 5 log r — 5. Použijeme Pogsonovu rovnici a Stefanův-Boltzmannův zákon, ze kterého si vyjádříme /: I = ■ Jelikož modul vzdálenosti svazuje pozorovanou a absolutní hvězdnou velikost se vzdáleností (v parsecích), uděláme přeznačení to2 = M, kde nám tedy M značí absolutní hvězdnou velikost hvězdy o pozorované hvězdné velikosti to (mi tedy přeznačíme na to). Obdržíme tedy následující:
to — M = —2, 5 log      j 1    , kde r\ značí vzdálenost hvězdy, odkud pozoru-
jeme hvězdnou velikost to, a r 2 znační vzdálenost 10 pc, jak je definována absolutní hvězdná velikost. Jelikož obě / jsou jedna a tatáž intenzita (jedná se o jednu hvězdu) a ostatní jsou konstanty, toto vše se nám vykrátí a dostaneme
následující:  to — M = —2,51og^^|^ = —2,51ogr| — (—2, ôlogr^), jelikož
logaritmus podílu se rovná rozdílu jednotlivých logaritmů.   Řekli jsme si, že f 2 = 10 (pc) a í*i zjednodušíme přeznačením na r, čili přepíšeme rovnici: to —M = —2, 51og 100+2, 51ogr2 = —5+2, 5-21ogr, kde jsme uplatnili pravidlo \(ygxv = ylogx. Čili vidíme, že m — M = —5 + 5 log r, což jsme měli odvodit.
9.1.: Použijeme modul vzdálenosti a vyjádříme si z něj M: M = to —51ogr + 5. Za r musíme dosadit vzdálenost Země-Slunce, ale v parsecích (viz příklad 8.5.). lpc = 206 289,5 AU ->• 1 AU = 1/206 289,5 pc. Nyní dosadíme:
M = —26, 74 — 5 log ( 206239 5) + 5 = -26, 74 + 5 log 206289, 5 + 5 = 4, 83 mag.
9.2.: Dle zadání předpokládáme, že M18gco = MQ. Z modulu vzdálenosti (vyjádříme si z něj r) a použitím výsledku z 9.1. spočteme, že
rTH8Sco-M18Sco + 5 5,5-4,83+5
r = 10 = 10     5      = 13,61 pc.
9.3.: Použijeme vlnovou délku zeleného světla, A = 550 nm. Rozlišovací schopnost, která se značívá 9 a vyjde nám v radiánech, se vypočte: 9 = 1,22-^. Anebo, abychom se drželi značení a vzorce ve skriptech (kap. 10.4.3), rozlišovací schopnost v úhlových vteřinách: S = 206265     A (pozor, abyste A i D dosadili
ve stejných jednotkách!), takže v našem příkladu S = 2062651'22'05254°— = 0,54". V našem příkladu jeho rozlišovací schopnost nevyužijeme, jelikož nám pozorování bude kazit vysoká hodnota seeingu, který je dle zadání 2".
9.4.: Zvětšení je jednoduše poměr ohniskové vzdálenosti objektivu a okuláru, čili pro dalekohled Sky Watcher 190/1000 (SW) dostaneme zsw = =
lyrp = 83, 3. Zorné pole dalekohledu O závisí na vlastním zorném poli okuláru
2
ů a zvětšení dalekohledu (kap. 10.5.1 skript) a pro náš příklad a dalekohled Sky Watecher máme: Osw = f = Jf-g = 0,6° = 36'. Nyní porovnáme s dalekohledem Celestron SCT 355/3910 (C) a dostaneme zc = ^ = 325,83 a Oc = 325 gg = 0,15° = 9'. Vidíme, že dalekohled s větším objektivem nám při použití stejného okuláru dá větší zvětšení, ovšem naopak nám sníží zorné pole.
9.5.: Přepočteme frekvenci neutrálního vodíku na vlnovou délku: A = ^, kde v značí frekvenci: A = 0, 21 m, což je naše znavná spektrální čára, v astronomii hojně používaná. Pro výpočet rozlišovací schopnosti použijeme vztah z příkladu 9.3.: ô = 2062651'2|„°'21 = 173, 3".
10.1. : Gravitační zrychlení je závislé na hmotnosti a poloměru daného objektu. Vystupuje zde samozřejmě i gravitační konstanta, takže dosazujte vždy v jednotkách SI. g = ^-M = G(130^23° = 2 • 1012m/s2 (srovnejte s g Země). Nyní si
připomene něco z mechaniky a volného pádu: y = yo + + \gt2'. Polohu, odkud předmět padá, si stanovíme vhodně na nulu, čili yo = 0 m. Předmětu jsme neudělili žádnou počáteční rychlost (v zadání není zmíněna), čili vq = Om/s. Takže se nám rovnice zjednoduší na y = \gt2, kde y je dráha, jakou předmět urazí, než dopadne (1 m). Nyní si vyjádříme z rovnice čas, dosadíme a obdržíme:
t = = \J'2.1012 = 1 ' 10~6 s = 1 |xs. Časová derivace použitého vztahu pro y nám dá rovinici pro určení rychlosti, s jakou předmět spadne na povrch neutronové hvězdy. Do tohoto vztahu dosadíme rovnici pro výpočet t a spočteme
rychlost: v = gt = g^f = ^f- = ^/2yg = V2 ■ 1 • 2 • 1012 = 2 • 106 m/s = 2000 km/s.
10.2. : Velikost gravitační síly a dostředivé síly (o stejné velikosti jako odstředivé, jen opačně orientované) jsou si rovny, čili Fg = => GIf2m = ^p-- čili pro kruhovou dráhu a vyjádření si rychlosti dostaneme: v2 = ^r-. Mu síme si uvědomit, že r měříme od středu Země, čili pro nás r = R + h, kde i? je poloměr Země a h je výška nad povrchem Země, pro kterou máme určit oběžnou kruhovou
rychlost. Nyní dosadíme: v = §^ = \Jean^+^WW = 7690,4m/s = 7, 7 km/s.
10.3. : Geostacionární družice je družice, která oběhne Zemi za jeden siderický den (úhlové rychlosti se rovnají). Čili při pohledu z povrchu Země ji máme stále nad sebou (pohybuje se samozřejmě nad rovníkem). Abychom zjistili její výšku pro danou periodu a aby nám nespadla na hlavu či neuletěla, opět se zde budou rovnat velikosti gravitační a dostředivé síly. Takže co se týče rychlosti, víme ze
3
zmíněného a z předešlého příkladu, že v2 = SM_ Víme také, že velikost oběžné rychlosti objektu pohybujícího se po kruhové dráze je v = 2yr, kde P je perioda oběhu (P = 23 h 56 min = 86 160 s). Toto vyjádření rychlosti nyní dosadíme do předešlé rovnice a poté si vyjádříme r, které potřebujeme znát: 4p2r  = =>
4iT2rs = GMP2 r = {j^1 = ^■"•'y6"2' = 42 228 229,45m = 42 228 km. Opět je to vzdálenost od středu Země, kterou musíme odečíst, abychom zjistili výšku nad povrchem Země (r — R = h): 42 228 — 6371 = 35 857 km. Pro výpočet oběžné rychlosti využijeme již několikrát použitý vztah (r = R + h):v = ^f = = 3079, 5 m/s = 3, 08 km/s.
10.4. : Úniková rychlost z povrchu objektu a jeho gravitačního vlivu je tzv. 2. kosmická rychlost. Její rychlost získáme ze zákona zachování energie, kde se rovná kinetická energie energii potenciální:      = Ep => |mi)2 = GMrm. A nyní
si vyjádříve rychlost: v = y,2^- = \j2^Í\V = 11 212m/s = H,2km/s. Pro únik z vlivu gravitace Slunce a opuštění sluneční soustavy použijeme 3. kosmickou rychlost, kde namísto hmotnosti Země dosadíme hmotnost Slunce a namísto poloměru Země vzdálenost Země-Slunce:
v = \J i 496-u)3ir = 42 244.2 m/s = 42, 2 km/s. Mohli byste namítnout, že třeba ignorujeme poloměr Země nebo hmotnost Země, ale pokud to zkusíte do rovnice přidat, zjistíte, že výsledná rychlost je téměř totožná s naším výsledkem, čili že parametry Země jsou oproti parametrům Slunce zanetbatelné.
10.5. : Jedná se zde o Dopplerův jev, kde si označíme laboratorní a pozorovanou vlnovou délku: Ao = 656, 297 nm a Ap = 656, 666 nm. Vlnová délka laboratorní a pozorované spektrální čáry je s radiální rychlostí vT svázána vztahem ^ = ^, kde AA = Ap — Ao a c je rychlost světla ve vakuu.  Příklad tedy
vypočteme jednoduše: vT = c ApA[)Ao = 169 km/s. Hvězda se pohybuje od nás, jelikož Ap > Ao a tím pádem vT je kladná (červený posun). Záporná vr a Ap < Ao by znamenalo, že se hvězda pohybuje směrem k nám (modrý posun).
Hodně štěstí u písemky (písemek)! :-)
4