řec. apeiron: neomezené, bez konce, bez hranic, nezměrné, nevýslovné apod. regressus ad infinitum; paradoxní, rozporné, záhadné, mysteriosní, nepochopitelné apod. reductio ad absurdum; úplný celek, totalita, maximální pozitivita, veškerost, vyčerpané možnosti, dokonalé ve smyslu završené, pojmově uchopené nekonečno, apod. Historický přehled názorů na povahu nekonečna Nekonečno ∞ Vedle uvedených pramenů jsou použity citace z knih Petra Vopěnky. Vedle původních pramenů jsou mnohde použity citace z knih Petra Vopěnky Matematické nekonečno vznikne z apeira tak, že se v některém aspektu omezí. O nekonečnu je pak možná věda. (Petr Vopěnka) nekonečně velké nekonečně malé rozlišuje již Platón kladné, záporné kladné, záporné rozlišuje teprve novověká matematika bludné (nekonečný návrat, Faidros-oběh bohů, Sisyfos-valení kamene) lineární (Archytas Tarentský) přirozené (Petr Vopěnka) klasické, absolutní (vliv Eukleidových Základů) potenciální aktuální možné (nehotové, stále dál pokračující) skutečné (završené, dokonalé) Středověké termíny: synkategorematické kategorematické negativní pozitivní Georg Wilhelm Friedrich Hegel (1770-1831) (Logika jako věda, 1812) špatné (nekonečný progres) opravdové (dialektický zdvih) Bernard Bolzano (1781-1848) Paradoxy nekonečna – Bůh „vidí“ nekonečně mnoho věcí naráz jakoby to byly stromy v sadu. Nekonečno je způsob uspořádání množství2. Georg Cantor (1845-1918) na základě studie o iracionálních číslech a diagonální metody - 1890: spočetné dá se dobře uspořádat (jako přirozená čísla) nespočetné nedá se dobře uspořádat Cantorovo transfinitní (v matematice), absolutní (v Bohu) Super nekonečna (nejznámější kardinální čísla): inaccessible, Mahlo, weakly compact, indescribable, 0#,Jónson, Ramsey, measurable, O´, strong, Woodin, superstrong, supercompact, extendible, Vopěnka´s principle, huge, j:V2®V2 Blažena Švandová 2021 2 Indičtí Arjové: ve spise Lalitavistara se popisují Buddhovy schopnosti dopočítat se velkých čísel, největší tallakšána v dnešním zápise je 10 na padesátou třetí Co bylo dříve: konečno nebo nekonečno? Nesymetrický vztah: opakem červené věci není jedna nečervená věc, ale všechny nečervené věci. Anaximander (6. př.n.l.) APEIRON zlomek B1: Původcem věcí je neomezené (apeiron). Z čeho věci vznikly, do toho se zase navracejí „v pořadí času“, vždycky znova a znova, ve věčném koloběhu. Anaximandera, žáka Tháleta Milétského řadíme mezi první „kosmology“. Vymyká se, protože základem všeho nepovažuje některý z živlů, ale „neomezené“. Existuje nekonečno ve skutečnosti? V lidské mysli je něco nekonečného: Herakleitos, Řeč o povaze bytí B 45 z Diogéna Laertia: Ani ten, kdo prošel všechny cesty, nenalezne hranice duše - tak hluboký má logos. Duše je nekonečná hloubkou smyslu, nedostižností svých určení. K tomu, o co jde v duši, se nelze dostat žádnou metodou (cestou), která by se chtěla opřít o něco pevného, o hranici, mez, peras. B 115 ze Stobaia: K duši patří logos, který roste sám sebou. Logos, řeč, smysl, množí sama sebe. Ne tím, že vágní řeč nebere konce, ani pouze tím, že se vždy můžeme ptát "A co dál? Co z toho plyne?" Ta množivá hlubina řeči, kterou se smysl živí a roste, souvisí s tázáním řeči po sobě samé, po svých předpokladech a souvislostech řečeného. Smysl je odkazován do stále větších hloubek, do celkovějších souvislostí. Plamen, který se v duši zažehne, už se sám živí. (Petr Vopěnka) Blažena Švandová 2021 3 Bludný, cyklický monismus zejména ionských fyziků O kulovitém světu jako cyklickém: Empedoklés B 28: Než ze všech stran byl stejně velký a zcela bez konce, koule v kruhu se točící a těšící se z okolní samoty. Herakleitos B 103: Neboť obvod kruhu má všude společný počátek i konec. Parmenidés B5:V sobě je uzavřen: kdekoli začnu, tam se zas znovu vrátím. Proklos – orfický zlomek: (Vejce zárodek vesmíru) v nekonečném kruhu nezemdleně se pohybovalo. Podle Aristotela byly označovány jako nekonečné prsteny bez kamenů. Fyzika III 6, 2017a. (Delos – malý kruhový ostrůvek v moři označobván jako apeiron); Anaximandros připisuje apeiru změnu, příčinu vznikání a zanikání - aidios kinésis - věčný pohyb. Jak z apeira vysvětlit vznik všeho (přisoudit mu roli pralátky)? Anaximander vychází z procesu přírodní periodicity, jenž je spontánní a v němž „se točí“ oheň a voda, země a vzduch, noc a den. Přivedeno do důsledků: vznikání a zanikání je věčné a platí stejně pro věci nejmenší i největší. Kruh návratu je nejzákladnější hybná síla-prapodstata, která tvoří jednotlivé světy roztáčející je všechny z nekonečna času (Pseudo-Plutarchos); podle Záviš Kalandra: Parmenidova filosofie Blažena Švandová 2021 4 Lineární (klasické) nekonečno: Archytás, jak říká Eudémos, se takto tázal rozumu: „Kdybych se ocitl nejdále, např. v obloze stálic, zdaž bych mohl natáhnout vně ruku nebo hůl či nemohl? A že bych nemohl, je nemožné; natáhnu-li však, bude vně buď těleso nebo prostor ...“ Půjde tedy stále týmž způsobem k následující hranici a bude se stejně tázat. A bude-li stále něco jiného, kam zasáhne hůl, je zjevno, že je nekonečno. Simplikios, 6. stol. n.l. podle J. Grygar, Zd. Horský, P. Mayer, Vesmír, Praha 1979 Blažena Švandová 2021 5 Aristotelés (384-324 př.n.l.) Druhy nekonečna (apeira) u Aristotela: bludné (věčný návrat); aktuální přirozené (např. hvězdy na obloze); potenciální (nevyčerpatelnost možností): Nekonečnou délku lze do nekonečna dělit - nekonečno zde existuje v možnosti, ubíráním nebo přidáváním, “ale nepřekročí hranici libovolné velikosti“ ; Metafyzika, kniha 11, kap.10 Několik důvodů ve prospěch existence neomezena: „z povahy času, ten je totiž neomezený, z dělení velikostí – neboť i matematikové užívají neomezené, dále z toho, že vznik a zánik nepřestává pouze tehdy, když to, z čeho je vznikající oddělováno je neomezené, dále z toho, že omezené vždycky u něčeho končí … dál a dál bez konce, a konečně a především z okolnosti, která všem badatelům působí společnou obtíž,... Protože totiž myšlení může stále a bez mezery pokračovat, zdá se, že číslo je neomezené, i matematické velikosti také“; Fyzika III,4. Neomezeno není ve skutečnosti: Aristotelés se domnívá, že náš vesmír má omezený kulový tvar, protože mimo tento náš svět mohou existovat i jiné. Kdyby bylo nekonečné neomezené těleso našeho světa, „pak by se muselo nekonečně rychle pohybovat tam, kde je sféra hvězd, ale to nevidíme.“ Fyzika, II, 5 Blažena Švandová 2021 6 Aristotelův pojem Boha Bůh - první hybatel, netělesný, aktuálně nekonečný v čase, živý, dokonalý a blažený sám v sobě. Zřetězení příčin musí mít nějaký počátek, nemůže postupovat do nekonečna; proto musí existovat na počátku něco, co se samo nepohybuje, ale je příčinou pohybu - první hybatel. Není ani konečný, protože působí hybně po nekonečný čas, nic konečného však nemá nekonečnou sílu, ani nekonečný, poněvadž vůbec nemůže být žádná nekonečná tělesná velikost; nemá tedy žádnou velikost; je netělesný. Hic autem est non procedere in infinitum. (Zásada Aristotelovy argumentace podle L.Velecký, 1970). Všechny věci se mění, aby se přiblížily určitému cíli a tímto cílem je dokonalost (řec. teleion, lat. absolutus = naprostý, samostatný, nepodmíněný, dokonalý, dovršený, úplný). Ale cíl, účel (telos) musí být již součástí prvního nehybného hybatele. Tento účel je on, ale navíc je i svým účelem - je sám sobě účelem. Jako původce života (bios) musí být živý. Jako původce dobra je dobrý a sám se z toho raduje. Jako původce myšlenky (logos) je myslící. Kdyby přemýšlel o měnících se a nedokonalých věcech tohoto světa, byly by takové i jeho myšlenky, a nebyl by dokonalý. Přemýšlí tedy sám o sobě, je dokonalostí přemítající sama o sobě, blažený sám v sobě – Bůh. Blažena Švandová 2021 7 Volně podle 12. knihy Metafyziky, kap. 7 sv. Augustin (354-430) Bůh je nad aktuálním nekonečnem, zná všechna čísla naráz – nelze připustit, že mu některá unikají: „Neskončenost tedy počtů - třebať by nekonečné tyto řady nižádným počtem nebylo lze pronésti – není přece tomu nepostižitelna, jehož moudrosti není počtu … neskončenost počtů před Božskou vše zahrnující vědoucností nemůže nepostižitelna být. … Bůh nepostihlým postihováním všechny nevystižitelné věci obsahuje, a sice tak, že kdyby věčně nové věci a rozdílné od předešlých stvořovati chtěl, přece nic bezladného a nepředvídaného nemohlo by od něho přijít ... vše bylo by obsaženo ve věčné předvědoucnosti jeho.“ O Boží obci. Proti těm, kteří praví, že každá nekonečnost nemůže být ani Božskou všemohoucností obsažena, překlad František Ladislav Čelakovský. Blažena Švandová 2021 8 sv.Tomáš Akvinský (1225-1274) - aktuálně nekonečný je Bůh; „bytí Boží jsouc sebou svébytné, v ničem nepřijaté, když se nazývá nekonečným, rozlišuje se ode všech jiných a jiná jsou od něho odloučena…“ - potenciálně nekonečný je svět; „nekonečné množství se neuvádí do uskutečnění tak, aby bylo celé zároveň, ale postupně“; Boží rozum poznává nekonečno, lidský rozum je konečný, poznává konečno. Bůh vidí nekonečno naráz, aktuálně; člověk lineárně a potenciálně jedno po druhém. Bůh může nekonečno stvořit i ve světě, ale nemusí. Sv. Tomáš podřídil Boha rozumu – i pro Boha platí zákonu sporu; „Bůh je čiré bytí, proto má činnou moc (může všechno), ale nikoli trpnou - když pták vzlétl, jeho moc vzlétnout je už jen trpná, neuskutečnitelná, když už to bylo uskutečněno.“ „Bůh nemůže učinit, aby nebylo minulých, proto Bůh nemůže být tělem, nemůže se měnit, nemůže být unaven, nemůže zapomínat, nemůže být přemožen,…“ Summa proti pohanům Blažena Švandová 2021 9 Mikuláš Kusánský (1401-1464) Církevní hodnostář, diplomat, všestranný učenec; „Řekneme-li, že Bůh je pravda, dobro, či krása sama, řekneme-li, že je první příčinou všeho, že je Stvořitelem, řekneme-li, že je substancí všech substancí, řekneme-li, že je esencí zcela shodnou s existencí, řekneme-li, že je jednotou tří osob (Otce, Syna a Ducha svatého) atd., je to všechno nevýstižné proti infinitas sive Deus.“ (nekonečno nebo Bůh); „… i svět, nejen Bůh je nekonečný.“ Docta ignorantia Tradiční vlastnost Boží (nekonečnost) se stává základem univerza. Některé další Kusánského domněnky: V nekonečnu není celek větší než část. V nekonečnu dojde ke sjednocení všech rozporů. Nekonečno je absolutní maximum, absolutní nutnost, absolutní bytí, v němž se veškerá geometrie degeneruje na linii. (Pavel Flos) Blažena Švandová 2021 10 Měl vliv na Amose Komenského Giordana Bruna, je považován za největšího učence 15. stol. Giordano Bruno (1548-1600) dominikán; Veden snahou zvětšit Boží moc, tvrdil, že Bůh může vložit aktuální nekonečno do světa, protože je nekonečně mocný a absolutně dobrý - nevyvrací Tomáše Akvinského, ale Aristotela, kterého kritizuje velmi ostře. Prostor je klasický nekonečný geomerický prostor. Bůh nestvořil v tomto nekonečném prostoru jen malou kouli (středověký vesmír); kdo popírá nekonečný výsledek, popírá Boží všemohoucnost! Vesmír je nekonečná nehybná prázdnota, v níž se pohybují kosmická tělesa – nekonečně mnoho hvězd-světů, Země není ve středu vesmíru; Země se točí, obloha jen zdánlivě. Všemohoucnost Boží světu uděluje nekonečný pohyb – Bruno říká, že svět se nekonečně pohybuje (i když my to nevnímáme). Církev Brunovi vytýkala, že upírá Bohu svobodnou vůli: podle Bruna Bůh musí, zatímco podle Tomáše Akvinského Bůh může, ale nemusí vložit nekonečno do světa. Poznámka. První filosof, který popisuje nekonečno v přírodě je Mistr Eckhart (1260-1328): „Tvořit, plodit, rodit jsou projevy živého. Živý, skutečný Bůh musí být věčným plozením. I příroda je jednou z forem tohoto věčného plození. Je přímým dílem nekonečného Boha a proto je také nekonečná.“ Pavel Flos, Mikuláš Kusánský, Vyšehrad, Praha 1977, s.42 Blažena Švandová 2021 11 Poznámka. První filosof, který popisuje nekonečno v přírodě je Mistr Eckhart (1260-1328): „Tvořit, plodit, rodit jsou projevy živého. Živý, skutečný Bůh musí být věčným plozením. I příroda je jednou z forem tohoto věčného plození. Je přímým dílem nekonečného Boha a proto je také nekonečná.“ Pavel Flos, Mikuláš Kusánský, Vyšehrad, Praha 1977, s.42 Zakladatel Tovaryšstva Ježíšova Ignác z Loyoly přikázal držet se učení sv. Tomáše Akvinského. Jakub Lainez, druhý generál řádu ustanovení zmírnil, dovolil se odchylovat. Po třicetileté válce – katolíci se cítili ohroženi protestanty – sjednocují učení, vrací se k Tomáši Akvinskému. Pražští teologové začali přehodnocovat, co o nekonečnu napsal Rodrigo de Arriaga a další dědicové barokní mystiky. Barokní mystika Těsné přilnutí Boha ke světu, spojení lidské duše s Bohem poutem lásky, do krajnosti umocněné jevy tohoto světa; být skutečný znamená být vnímán Bohem; barokní reálný svět: zhmotnělá touha, aby do osudu lidí zasahoval Bůh Blažena Švandová 2021 12 Teologové zkoumali nekonečno, protože chtěli lépe chápat Boha. Teologové zkoumali nekonečno, protože chtěli lépe chápat Boha. Pražští jezuité Rodrigo de Arriaga (1592-1667) polemizuje s Gordanem Brunem ve spise Cursus Philosophicus. Nekonečno existuje: - co do množství (jednotek); - co do velikosti (rozlehlost prostoru, času?); - co do intenzity (teplota, úsilí apod.); uberou-li se 3 od nekonečna, je to stále nekonečno; „poněvadž je nekonečně možných lidí, je více jejich očí, vlasů,… než těchto lidí“. Ale i nekonečno lze sevřít do mezí: „...mezi člověkem a kamenem je nekonečně mnoho navzájem různých možných živočichů nebo druhů. Kámen je první, člověk poslední.“ To znamená, že Bůh nemusel rozepnout vesmír do nekonečna, aby ukázal svou schopnost stvořit nekonečno. „Bůh může ukázat svou moc a chtít stvořit nekonečné…Jde-li o nekonečno co do velikosti, pak živé bytosti takové být asi nemohou. Ale u neživých není důvod, proč by takové nemohly být.“ Například „nekonečně velký oheň, snad ne v tomto světě, ale v jiném možném“. Jezuité přenesli do Prahy barokní mystiku. Blažena Švandová 2021 13 1685 – Jan Senftleben prof. Karlovy univerzity, ve spise Philosophia Aristotelica píše, že skoncovat s aktuálním nekonečnem lze, neboť je v něm logický spor – nekonečné těleso (Arriagovi nevadilo) je sporný objekt – tvar bez tvaru v důkaze používá Eukleidovy axiómy: 1. Veličiny témuž rovné navzájem rovny jsou 4. Přidají-li se nerovné k rovným, celky jsou nerovné. 7. Co se navzájem kryje, navzájem rovno jest. 8. Celek větší než díl. 1697 – disputace v Karolínu obhajoval zde žák profesora Maxmiliana Větrovského Zigmund Hübner Bůh všechny věci může, ale přitom všechny věci nemůže vytvořit, přesto může tvořit stále větší a lepší bez konce. 1756 – Kašpar Sagner v Institutiones Philosophiae: nemůže být velikost, kterou nelze zvětšit, ani malost, kterou nelze zmenšit – opět popřel aktuální nekonečno. Blažena Švandová 2021 14 Galileo Galilei (1564-1642) Discorsi e demonstrazioni matematicne, intorno a due nuove scienze – obsahuje 4 dialogy mezi Salviatim (Galileovy názory), Sagredem a Simpliciem Simplicio řekl, že na delší úsečce je více bodů než na kratší. Salviati odpovídá, že náš intelekt je konečný a pojmy větší a menší nelze aplikovat na nekonečná množství. Všechna přirozená čísla mají čtverce čili každé přirozené číslo je stranou čtverce, ale ne každé je plochou čtverce: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,.. stran i ploch čtverců je stejně a přece se zdá při pohledu na číselnou osu, že je ploch méně. Pojmy vypracované pro konečná množství jsou pro nekonečná nepoužitelná. Odmítnutí aktuálního nekonečna vznikající novověkou vědou: Dialogo Blažena Švandová 2021 15 Thomas Hobbes(1588-1679) „Vše, co si představujeme, je konečné. Proto není představy ani pojmu toho, čemu říkáme nekonečnost. Nikdo na světě si nemůže představit nekonečnou velikost, ani si pomyslit nekonečnou rychlost, nekonečný čas, sílu nebo nekonečnou moc. Pravíme-li, že je něco nekonečné, chceme tím jen naznačit, že nejsme sto pomyslit na konec toho, meze jmenované věci. Nemáme ponětí té věci, nýbrž své nedostatečnosti. Užíváme-li slova Bůh, není to proto, že bychom se snažili představit si jej – neboť Bůh je nepochopitelný a jeho velikost a moc je nepředstavitelná - ale proto, abychom se mu klaněli.“ Leviathan Leviathan Blažena Švandová 2021 16 Benedikt Spinoza (1632-1677) „…i kdyby nekonečný počet věcí existoval, nemůžeme ho žádnou schopností poznání ani chtění obsáhnout.“ Etika „Pokud se někteří domnívají, že chci dokázat jednotu Boha a přírody (kterou chápou jako jistou hmotu nebo tělesnou látku), úplně se mýlí.“ Dopis Oldenburgovi 21/73, listopad 1675„ Blaise Pascal(1623-1662) „Nechť je jakýkoliv pohyb, kterýkoliv prostor, jakýkoliv čas, vždy je nějaký větší a nějaký menší, a to tak, že se všechny navzájem nacházejí mezi nicotou a nekonečnem, jsouce vždy nekonečně vzdáleni od těchto krajností.“ O geometrickém duchu Blažena Švandová 2021 17 John Locke (1632-1704) „.není bezvýznamným hnidopišstvím, řeknu-li, že bychom měli pečlivě rozlišovat mezi ideou nekonečnosti prostoru a ideou prostoru, který je nekonečný. První je předpokládaný nekonečný postup mysli, kupící opakování ideje prostoru jaké mysli vyhovují. Mít aktuálně v mysli ideu prostoru, který je nekonečný, znamená však předpokládat, že mysl už prošla a aktuálně přehlíží všechny opakované ideje prostoru, což nekonečným opakováním nikdy nelze mysli zcela předvést, a to s sebou přináší zřejmý logický spor.“ I,17,§7,str.187 – Esej o lidském rozumu Locke zrušil nekonečný prostor a nahradil jej ideou prostorové potenciální nekonečnosti. Nepřiznal člověku možnost vytvořit ideu aktuálního (pozitivního) nekonečna. Blažena Švandová 2021 18 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Theofilus Th (Leibniz) a Filolates F (Locke). Theofilus souhlasí s Filolatem, že aktuální nekonečno není možné vytvořit v reálném světě a že opravdové nekonečno je jen v absolutnu – v Bohu. „F: Nemáme představy nekonečného prostoru a nic nemůže být tak absurdní jako skutečná představa nekonečného počtu (množství). Th: Jsem téhož mínění. Není to však proto, že by nebylo možno mít představu nekonečna, nýbrž proto, že nekonečno nemůže být pravý celek.“ Nové úvahy o lidské soudnosti Leibniz není konzistentní: „Jsem natolik pro absolutní nekonečno, že namísto abych připustil, že se ho příroda děsí, jak se běžně říká, jsem přesvědčen, že je má v oblibě všude, aby lépe zdůraznila dokonalost svého Tvůrce.“ Úvodní motto v Paradoxech nekonečna Bernarda Bolzana Blažena Švandová 2021 19 Jean le Rond d´Alembert (1717-1783) zavedl pojem limity „Nekonečno je limitou konečna, tj. mezí, k níž konečno neustále směřuje, ale nikdy jí nedosáhne, ačkoli se k ní stále více blíží. 1/2+1/4+1/8+1/16+ … = 1 Čím více členů řady sečteme, tím blíže bude výsledek 1, může se 1 libovolně přiblížit. Právě tak tvrdíme, že součet řady 2+4+8+16+… nebo každé jiné vzestupné řady je nekonečný, … tento součet může překročit libovolně velké číslo. .. Nezabývám se otázkou zda nekonečná množství skutečně aktuálně existují, zda je prostor aktuálně nekonečný, zda je nekonečné trvání, zda je v konečné části hmoty reálně nekonečné množství částeček. Všechny tyto otázky jsou cizí nekonečnu matematiků, které není ničím jiným než limitou konečného množství.“ Esej o základech filosofie kap. O metafyzických předpokladech infinitesimálního kalkulu Obrázek Blažena Švandová 2021 20 Immanuel Kant (1724-1804) •Kritika čistého rozumu (1781) •Transcendentální dialektika •Antitetika čistého rozumu • První rozpor transcendentálních idejí Teze: Svět má počátek v čase a také v prostorovém ohledu je ohraničen. Antiteze: Svět je bez počátku a nemá v prostoru žádné hranice, nýbrž je jak s ohledem na čas, tak s ohledem na prostor nekonečný. Druhý rozpor transcendentálních idejí Teze: Každá složená substance ve světě sestává z jednoduchých částí a nikde neexistuje nic jiného než to, co je jednoduché, nebo to, co je z jednoduchého složeno. Antiteze: Žádná složená věc ve světě nesestává z jednoduchých částí a v těchto částech neexistuje vůbec nic jednoduchého. Blažena Švandová 2021 21 První rozpor transcendentálních idejí Teze: Svět má počátek v čase a také v prostorovém ohledu je ohraničen. Antiteze: Svět je bez počátku a nemá v prostoru žádné hranice, nýbrž je jak s ohledem na čas, tak s ohledem na prostor nekonečný. Druhý rozpor transcendentálních idejí Teze: Každá složená substance ve světě sestává z jednoduchých částí a nikde neexistuje nic jiného než to, co je jednoduché, nebo to, co je z jednoduchého složeno. Antiteze: Žádná složená věc ve světě nesestává z jednoduchých částí a v těchto částech neexistuje vůbec nic jednoduchého. Georg Wilhelm Friedrich Hegel (1770-1831) Základy fenomenologie ducha Logika I a II Malá logika Logika nebo dialektika? opravdové a špatné nekonečno Blažena Švandová 2021 22 „Začátek myšlení musí být úplně abstraktní a všeobecný a musí být formou bez jakéhokoli obsahu. … Ještě není nic a má se stát něco. Začátkem není čisté nic, ale takové, z něhož má něco vzejít; bytí je tedy obsažené už i v začátku. Proto začátek obsahuje obojí. Bytí i nic; a je jednotou bytí a ničeho; – nebo je nebytím, které je zároveň bytím, a bytím, které je zároveň nebytím. … Tedy to, co tvoří začátek, začátek sám, je třeba pokládat za cosi neanalyzovatelného, prostě bezprostředně nenaplněného, a tedy za úplně prázdné bytí. … Ať je první určením vystupující ve vědění, jakkoli bohaté, je jednoduché; neboť pouze v jednoduchém není nic než čistý začátek; pouze bezprostřední je jednoduché, protože pouze jednoduché ještě nepostoupilo k jinému. I bohatší formy představování jako představování absolutna a boha nemají na začátku nic než prázdné slovo a pouhé bytí; toto jednoduché, které nemá další význam, toto prázdné je tedy začátkem filosofie.“ Blažena Švandová 2021 23 čisté bytí (Sein) opaky bytí ↔ nic dění, stávání Jsoucno (Dasein) Z Nauky o bytí, Logika jako věda I. Díl (o bytí a jsoucnu) Začátek myšlení musí být úplně abstraktní a všeobecný a musí být formou bez jakéhokoli obsahu. … Ještě není nic a má se stát něco. Začátkem není čisté nic, ale takové, z něhož má něco vzejít.; bytí je tedy obsažené už i v začátku. Proto začátek obsahuje obojí. Bytí i nic; a je jednotou bytí a ničeho; – nebo je nebytím, které je zároveň bytím, a bytím, které je zároveň nebytím. … Tedy to, co tvoří začátek, začátek sám, je třeba pokládat za cosi neanalyzovatelné, prostě bezprostředně nenaplněné, a tedy za úplně prázdné bytí. … Ať je první určením vystupující ve vědění, jakkoli bohaté, je jednoduché; neboť pouze v jednoduchém není nic než čistý začátek; pouze bezprostřední je jednoduché, protože pouze jednoduché ještě nepostoupilo k jinému. I bohatší formy představování jako představování absolutna a boha nemají na začátku nic než prázdné slovo a pouhé bytí; toto jednoduché, které nemá další význam, toto prázdné je tedy začátkem filosofie. Začátek Nauky o bytí z knihy, Logika jako věda I čisté bytí opaky bytí ↔ nic rozvinutí sporu: dění, stávání Jsoucno určenost něco ↔ jiné spor: konečno ↔ nekonečno rozvinutím úvaha ubíhá do „špatného nekonečna“ Bytí pro sebe opravdové nekonečno spor: reductio ad absurdum přivedení k absurditě (ke sporu) rozvinutím sporu v čase: progressus ad infinitum do nekonečna Dialektickým zdvihem přechod na vyšší modalitu bytí Blažena Švandová 2021 24 G.W.F.Hegel argumentace G.W.F. Hegel argumentace This drawing illustrates a Hindu creation myth. The tortoise supports elephants that hold up the world, and everything is encircled by the world serpent. Anaximanderova kritika Thaletovy Země plovoucí na vodě regressus ad infinitum Anaximanderův učitel Thálés se domníval, že země je plovoucí deska na vodě. Anaximander namítal: aby země nikam nepadala, potřebuje oporu vody; ale co je oporou vody? A tak usoudil, na nekonečnou řadu opor nutných, aby země zůstala stabilní. Ale když zamezíme „padání jen v jednom směru, proč ten směr preferujeme? Nikam by nepadalo těleso symetrické ve všech směrech – koule. K.R. Popper o prvních kosmolozích a důležitosti kritického myšlení Blažena Švandová 2021 25 Anaximanderův učitel Thálés se domníval, že země je plovoucí deska na vodě. Ansaximander namítal: aby země nikam nepadala, potřebuje oporu vody, ale co je oporou vody? A tak usoudil, na nekonečnou řadu opor nutných, aby země zůstala stabilní. Ale když zamezíme „padání jen v jednom směru, proč ten směr preferujeme? Nikam by nepadalo těleso symetrické ve všech směrech –koule. dokonalý štít a dokonalá halapartna (Japonsko) •Jeden obchodník, který prodával halapartny a štíty, vyvolával: „Toto je dokonalá halapartna, která probodne každý štít. A toto je dokonalý štít, který odrazí každou halapartnu.“ Šel kolem mudrc a zeptal se: Probodne tvá halapartna tvůj štít, anebo odrazí tvůj štít tvou halapartnu?“ Mudrc chtěl odhalit spor, • •Ale obchodník se tomu uměl vyhnout (rozvinutím v čase). Poté, co pravdivě vyslovil svou první větu (o halapartně), rychle vyrobil dokonalý štít, aby mohl, opět pravdivě, vyslovit svou druhou větu o štítu. Chce-li pak znovu potvrdit svou první větu, stačí, aby rychle vyrobil novou, ještě dokonalejší halapartnu. • •Volně podle Ivan Havel, Vesmír Blažena Švandová 2021 26 nesouměřitelnost strany a úhlopříčky čtverce (výsledkem je aritmetické kontinuum) Důkaz sporem: Předpokládejme, že strana a úhlopříčka čtverce jsou čísla nesoudělná. Z Pythagorovy věty pro trojúhelník plyne u2 = 2a2, je proto u2 sudé a tedy i číslo u sudé. Jestliže však v posledním vztahu položíme u=2k , kde k je přirozené, můžeme jej upravit na tvar 2k2=a2. Je tedy i číslo a je sudé, a to je spor s předpokladem nesoudělnosti čísel a, u. Důkaz nekonečným regresem: Blažena Švandová 2021 27 Dialektický zdvih: vedle racionálních čísel existují i čísla iracionální. Dialektický zdvih: vedle racionálních čísel existují i čísla iracionální Bertrand Russell (1872-1970) Většina množin (tříd), o kterých se dá uvažovat, není svým vlastním členem: množina celých čísel není celé číslo, množina národů není národ, a množina francouzských žen není francouzská žena. Ale množina všeho, co není francouzská žena je svým vlastním členem, neboť to není francouzská žena, ale množina; a teď pozor: množina všech množin je svým vlastním členem, protože je to množina. Pak ale množina všech množin, které nejsou svým vlastním členem je obojí. Je to jak množina, která je svým vlastním členem, tak množina, která není svým vlastním členem, a to je kontradikce. Tento paradox způsobil zastavení projektu výstavby matematiky z logiky, na kterém pracoval Gottlob Frege (1848-1925). (Russellův dopis Fregemu 16.6.1902) Russellův paradox množiny všech množin, 1902 rozvinutí kontradikce (sporu) v čase: má být uvnitř sebe samé nebo nemá? do sebe nekonečněkrát vnořená množina (Hegelovo špatné nekonečno?) Blažena Švandová 2021 28 Př. Na množiny, které nejsou svým vlastním členem množina celých čísel, národů, francouzských žen, všech červených věcí, stolů, domů, planet, Sluncí,… Př. Množina, která je členem sebe samé množina něčeho nebo všeho, co není freancouzská žena, množina všeho, co není červené, množina všeho, co není stolem,… V druhém případě jsou členem množiny zase množiny. Množina je v roli člena množiny – kategoriální či řádová chyba. Také chyba směšování modality bytí. paradox lháře: lžu •Bez uvažování času máme spor: • říkám pravdu ↔ neříkám pravdu •nelžu ↔ lžu • •Když to někdo říká, rozvíjí v čase zvláštní smyčku nebo také opakuje do nekonečna: •Jestliže mluvím pravdu a říkám, že lžu, tedy lžu. •Ale jestliže lžu a říkám, že lžu, pak říkám pravdu. • •Alenka v kraji divů: to je logika! • Blažena Švandová 2021 29 Hegelovo špatné nekonečno – příklady na argumenty regressus ad infinitum a reductio ad absurdum: - Anaximanderův důkaz tvaru Země; - dokonalý štít a dokonalá halapartna; - nesouměřitelnost strany a úhlopříčky čtverce (pythagorejci); - Russelův paradox množiny všech množin, které neobsahují samy sebe; - lhářský paradox; - paradox hromady a holohlavého (sorites a falakros) ….. - Sókratova ironie (dialektický zdvih) podle Samuela Skolnicova; - Sókratovo rozlišení příjemného a dobrého v dialogu Prótagoras; - Aristotelův důkaz věčné existence Boha; - paradox vlastního Já u novoplatonika Plótina; - paradoxologie sv. Pavla v Novém zákoně; - quinque viae Tomáše Akvinského; - Lukasiewiczův důkaz existence svobodné vůle; … - Gödelův důkaz nerozhodnutelné věty; … - argumenty indukcí vyšší úrovně (žádný strom neroste do nebe); … Blažena Švandová 2021 30 Vznik systémové korupce na volném trhu. Zárukou bezespornosti aktuálního nekonečna je Bůh. Bernard Bolzanovo (1781-1848) Blažena Švandová 2021 31 Nekonečno má předmětnost – realizaci. Aktuálně nekonečně mnoho pravd o sobě Pravdy - věty, které vypovídají něco tak, jak to skutečně jest, nemusí být vysloveny (např. počet listů na stromě v naší zahradě). Důkaz aktuálně nekonečného množství pravd o sobě: existuje alespoň jedna pravda o sobě -P1 kdyby P1 nebyla pravdivá, pak by byla pravdivá věta: neexistuje žádná pravda o sobě (je paradoxní-sporná) existuje alespoň jedna pravda o sobě různá od P1 -P2 existují alespoň 2 pravdy o sobě různé od P1 a P2 -P3 …atd. Bohu musíme přiznat pravou vševědoucnost (poznávací schopnost), obsáhne naráz nekonečné množství pravd – obsáhne naráz všechny. Bernard Bolzano Vědosloví, Paradoxy nekonečna Blažena Švandová 2021 32 Skutečný je pro Bolzána jednak reálný svět, ale také Bůh. Skutečné v Bolzanově smyslu ale nejsou například pravdy o sobě. Dále se Bolzano v Paradoxech nekonečna zabývá pojmem možnosti: co je skutečné je možné, ale ne všechno možné je skutečné. Například mohu tvrdit že odmocnina ze dvou je racionální číslo, ale skutečnost taková není. V oblasti myšlenek je skutečné to, co je bezesporné. – dnes se to nedomníváme, tato podmínka není postačující. V čem spočívá paradoxní chování dvou nekonečných množin v matematice? 1. Prvky lze na sebe vzájemně jednoznačně přiřadit. M=N Př. 12x=5y [MOHUTNOST] MNOŽINY 7. Eukleidův axiom: Co se navzájem kryje, navzájem rovno jest. 2. Jedna množina je podmnožinou druhé MÌN Př. {1,…,5} Ì {1,…,12} [VELIKOST] MNOŽINY 8. Eukleidův axiom: Celek je větší než díl (část). Paradoxy nekonečna, §20 Paradoxien des Unendlichen, 1. vyd. 1850, vydali žáci; §1 Paradoxy, s nimiž se setkáváme v matematice souvisí s pojmem nekonečna. Některé banální vznikly z nedorozumění, ale na vyřešení těch vážných spojených s nekonečnem závisí odpovědi na důležité otázky matematiky a fyziky. Řešení paradoxů spočívá v odstranění zdánlivých rozporů, které obsahují. Začneme tím, že si ujasníme, co vlastně nekonečnem rozumíme. §2 Matematika je nauka o veličinách (jako jsou ve fyzice hmota, dráha, rychlost,..), u kterých určujeme velikost a množství [a obojí vyjadřujeme čísly]. Velikost je spíše veličina geometrická, zatímco množství vyjadřuje počet věcí, a pro souhrny věcí zavádí BB pojem die Menge – množina. Množina je vytvořena spojením spojkou a – libovolných věcí, mezi kterými není žádná vazba-struktura. Souhrny-Inbegriffe na rozdíl od množin mohou ale nemusí strukturu obsahovat. Př. sklenice-rozbitá sklenice.§4 Blažena Švandová 2021 33 §1 Paradoxy, s nimiž se setkáváme v matematice, souvisí s pojmem nekonečna. Některé jsou zcela banální vzniklé z nedorozumění, ale na vyřešení těch vážných spojených s nekonečnem závisí odpovědi na důležité otázky matematiky a fyziky. Řešení paradoxů spočívá v odstranění zdánlivých rozporů. Začneme tím, že si ujasníme, co vlastně nekonečnem rozumíme. §2 Matematika je nauka o veličinách (jako je ve fyzice hmota, dráha, rychlost,..), u kterých určujeme velikost a množství [a obojí vyjadřujeme čísly. Velikost je spíše veličina geometrická, zatímco množství vyjadřuje počet věcí, a pro souhrny věcí zavádí BB pojem die Menge – množina. Množina je spojením spojkou a – libovolných věcí, mezi kterými není žádná vazba-struktura. Souhrny na rozdíl od množin mohou ale nemusí strukturu obsahovat.] Bolzanovo nekonečno z konečna Paradox řady přirozených čísel Množstvím druhu A máme na mysli množinu, jejíž všechny části jsou chápány jako jednotky určitého druhu, §4. Mysleme si nyní řadu, jejímž prvním členem je jednotka druhu A, a jejíž každý další člen je následníkem - vznikne přičtením jednotky k předchozímu – tak budou všechny členy této řady množství druhu A, a to taková, která nazýváme konečná nebo počítatelná, též snad přímo čísla, určitěji celá čísla §8. Tato řada nemá poslední člen §9. Nekonečno je skladbou množství §10 Jestliže každé číslo - mohlo by se snad říci - je podle svého pojmu jen konečnou množinou, jak to, že je množina všech čísel nekonečná? 1,2,3,4,5,6,… množina všech čísel musí být stejně velká jako poslední z nich, takže musí být sama také číslem a tedy nemůže být nekonečná. – Ale v množině všech čísel není žádné poslední! Pojem posledního čísla v sobě skrývá spor, neboť podle vytvořujícího zákona (viz §8) existuje ke každému členu opět člen následující. Tento paradox bychom tedy mohli považovat za rozřešený §15. Blažena Švandová 2021 34 Znal G.W.F. Hegela (viz §11 a §12 Paradoxů nekonečna, kde kritizuje, že pro Hegela znamená nekonečno Veškere (o jnstvo) Nekonečno z konečna Množství druhu A: množina jejíž všechny části jsou chápány jako jednotky určitého druhu, §4. Myslíme řadu, jejímž prvním členem je jednotka druhu A a jejíž každý další člen je následníkem předchozího – tak budou všechny členy této řady množství druhu A a to taková, která nazýváme konečná nebo počítatelná, též snad přímo čísla, určitěji celá čísla §8. Tato řada nemá poslední člen §9. Nekonečno je skladbou množství §10 Jestliže každé číslo mohlo be snad říci je podle svého pojmu jen konečnou množinou, jak to, že je množina všech čísel nekonečná? 1,2,3,4,5,6,… množina všech čísel musí být stejně velká jako poslední z nich, takže musí být sama také číslem a tedy nemůže být nekonečná. – Ale v množině všech čísel není žádné poslední. Pojem posledníhoi čísla v sobě skrývá spor, neboť podle vytvořujícího zákona (viz §8) existuje ke každému členu opět člen následující. Tento paradox bychom tedy mohli považovat za rozřešený§15. Richard Dedekind (1831-1916) Když "řízneme" do číselné osy reálných čísel v náhodném místě, získáme nějaké číslo, které se v tom místě nachází, (což neplatí u všech číselných oborů). definice √2 pomocí Dedekindových řezů 1872 –Stetigkeit und irrationale Zahlen 1888 –Was sind und was sollen die Zahlen R. Dedekind z nekonečného vyvozuje konečné : Systém S se nazývá nekonečným, když je podobný vlastní části sebe sama. Vlastní část A systému S: je-li A částí S, ale různou od S. Otakar Zich v poznámce k §8 Bolzanových Paradoxů nekonečna. Blažena Švandová 2021 35 Stetigkeit - kontinuum Georg Cantor (1845-1918) Vyjádřil iracionální čísla pomocí fundamentálních posloupností racionálních čísel: a1, a2, …, an, …, která má tu vlastnost, že pro každé racionální číslo e, existuje přirozené číslo a tak, že pro každé m