Teoretická mechanika Úlohy ke cvičení
Dvojitý kladkostroj Na obrázku je zobrazen dvojitý kladkostroj sestávající se ze tří kladek u nichž
neuvažujeme příspěvek k energii spojený s otáčivým pohybem. Centrální kladka se může volně
pohybovat vertikálně, a má hmotu M. Hmoty m1 a m2 jsou na konci vlákna, a jsou vedené
přes pevně umístěné krajní kladky. Vlákno spojující tyto tři tělesa je nehmotné a neprokluzuje.
Gravitační zrychlení nechť je g. Tření je zanedbatelné.
Sestavte pohybovou rovnici tohoto systému, a zjistěte za jakých podmínek bude soustava v klidu,
bude-li. (Odevzdávejte do 20. října 2021)
m1
m2
M
g
Sférické kyvadlo Vypočtěte Euler-Lagrange rovnice pro sférické kyvadlo, tj. pro hmotný bod m na niti
konstantní délky l, který se může bez odporu kývat vertikálně, a zároveň opisovat horizontální
elipsu. Dále určete, které fyzikální veličiny se zachovávají, vypočtěte je, a přímým výpočtem
dokažte, že tomu tak skutečně je. (Odevzdávejte do 27. října 2021)
m
l
φ
θ
Skluz po pohyblivé rampě Tělísko o hmotnosti m se bez tření pohybuje po nakloněné rovinně s
pevným vrcholovým úhlem α o hmotnosti M. Rovina se zároveň, také bez tření, pohybuje po
vodorovné podložce. Do 3. listopadu 2021 vyšetřete pohyb systému.
M
m
α
g
Hamiltonián neznámého systému Mějmež Lagrangián
L =
1
2
mq2
+
1
2
kq2
.
Spočtěte Hamiltonián. Získejte hamiltonovy rovnice a vyřešte je oběma možnými způsoby.
Nakreslete fázový portrét. O jaký jde systém? (Odevzdávejte do 10. listopadu 2021)
1
Hamiltonián relativistické částice Lagrangián částice o klidové hmotě m pohybující se rychlostí
v ≤ c srovnatelnou s rychlostí světla je
L = −mc2
1 −
v2
c2
.
Najděte zobecněnou hybnost a Hamiltonián této částice. Vypočtěte aproximaci hybnosti i Hamiltoniánu
pro v c. Jde o překvapivý výsledek? (Odevzdávejte do 17. listopadu 2021)
Poissonův poměr Nalezněte vhodný materiál a předmět (s vhodnou strukturou, mající malý Youngův
modul, příhodný tvar a velikost), vystavte ho působení síly, a zdokumentujte, fotograficky či
měřením, změny jeho tvaru. Odhadněte Poissonův poměr tohoto materiálu. (Odevzdávejte do
24. listopadu 2021)
Torzní kroucení gumy Představme si dva ocelové soustředné válce o výšce h. Prostor mezi nimi je
vyplněn gumou. Vnitřní válec je pevně uchycen. Působíme-li tangenciální vnější silou F, otočíme
válec o úhel φ. Ostatní vnější sily zanedbáváme. Dokažte, že jediný nenulový prvek tensoru napětí
je τrφ = −2Bµ/r2 a určete hodnotu konstanty B. (Odevzdávejte do 8. prosince 2021)
Jeden z možných postupů:
i) Předpokládejte vektor posunutí ve tvaru u = (0, uφ(r), 0), a užijte rovnici rovnováhy
tuhého tělesa ve vhodně zvolených souřadnicích.
ii) Obdrženou diferencální rovnici vyřešte.
iii) Vypočtete tensor deformace.
iv) Rozdělte jej na objemovou a smykovou část.
v) Sestavte Hookův zákon a z něj vypočtete tensor napětí.
R2
R1
F
φ
Izotermický model atmosféry Vypočtete jak se mění tlak p, a hustota ρ, s výškou pro jednoduchý
model atmosféry Země, jenž předpokládá vrstvu ideálního plynu podléhající stavové rovnici:
p
ρ
= konst.
Zdůvodněte, proč jej nazýváme izotermickým modelem. (Odevzdávejte do 15. prosince 2021)
2