Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Ustav teoretickě fyziky a astrofyziky Uvod do studia proměnných hvězd Zdeněk MikuiaSek, Miloslav Zejda Brno 2013 Vydáno v rámci projektu Inovace výuky aplikované fyziky na Přírodovědecké fakultě Masarykovy univerzity (CZ.1.07/2.2.00/15.0181) v operačním programu Vzdělávaní pro konkurenceschopnost (VK) - 2.2 Vysokoškolská vzdelávaní r,| O I ^V, £j (f) ^í^^fc I SOCialni |-" -1 MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OPVidilivini 'it-^^ŕ' ■^^^1 fondvCR EVROPSKÁ UNIE VILADC2ÍI ATCLOVÝChOVY pra konkurenceschopnost f4NA* INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ (0 2013 Masarykova univerzita ISBN 978-80-210-6241-2 OBSAH 3 Obsah Historie a metody výzkumu 1 Úvod 11 1.1 Definice.................................... 11 1.2 Význam studia proměnných hvezd...................... 11 2 Historie a současnost výzkumu proměnných hvezd 12 2.1 Prehistorie sledovaní proměnných hvězd .................. 12 2.2 První vedecký pozorovaní .......................... 12 2.3 Zacýtký sýstematickeho studia........................ 13 2.4 Výzkum promenných hvezd v 19. a 20. století............... 15 2.4.1 Vizuýlní fotometrie.......................... 16 2.4.2 Nevizuainí fotometrie......................... 18 2.4.2.1 Fotografický fotometrie................... 18 2.4.2.2 Fotoelektricka fotometrie ................. 18 2.4.2.3 „Kremíkový" fotometrie.................. 19 2.4.3 Spektroskopie ............................. 20 2.4.4 Druzicova pozorovaní......................... 21 2.5 Týpý promenných hvezd........................... 22 2.6 Brno a promenne hvezdý........................... 25 3 Pozorovaní promenných hvezd 27 3.1 Astronomicka fotometrie........................... 27 3.1.1 Zakladní pojmý a vztahý....................... 27 3.1.2 Rozlození energie ve spektru hvezdý................. 31 3.1.2.1 Zýrení ACT. Efektivní teplota. Spektrofotometrie .... 31 3.1.2.2 Barevne indexý....................... 33 3.1.3 Fotometrickýe sýstýemý ......................... 35 3.1.3.1 Historickýe fotometrickýe sýstýemý .............. 37 3.1.3.2 Johnsonuv mezinýrodní sýstem a jeho rozšírení..... 38 3.1.3.3 Stromgrenuv sýstem uvby((3) ............... 39 3.1.3.4 Dalsí soucasne fotometricke sýstemý........... 42 3.1.3.5 Standardizace fotometrických sýstemu.......... 43 3.1.4 Extinkce a jej í eliminace....................... 44 3.1.4.1 Optický tloust'ka a extinkce................ 44 3.1.4.2 Mezihvezdna extinkce................... 45 3.1.4.3 Atmosfýerickýa extinkce ................... 47 3.2 Astronomickaý polarimetrie .......................... 49 3.2.1 Stokesuv vektor............................ 50 3.2.2 Polarizace zarem kosmických objektu................ 52 3.2.3 Polarimetrickaý pozorovaýný ...................... 52 3.3 Astronomickýa spektroskopie ......................... 53 3.3.1 Charakteristiký spekter ........................ 54 4 OBSAH 3.3.2 Základní pojmy............................ 55 3.3.3 Vzhled spektra............................ 59 3.3.4 Co lze vyčíst ze spektrogramů.................... 62 3.4 Zdroje pozorovacích dat o promenných hvezdách.............. 63 3.4.1 Vlastní, prevzatý a archivní pozorovaní............... 63 3.4.1.1 Vizůalní odhady...................... 63 3.4.1.2 Fotograficka pozorovíní.................. 64 3.4.1.3 Fotoelektrickí pozorovíní................. 64 3.4.1.4 CCD pozorovaní...................... 65 3.4.2 Soůdobe prehlídkove projekty.................... 66 3.4.2.1 Pozemske projekty..................... 66 3.4.2.2 Kosmicke prehlídky .................... 69 3.4.3 Virtůalní observator ......................... 71 Zpracování pozorování proměnných hvězd 4 Regresní analýza 74 4.1 Úvodem.................................... 74 4.1.1 Regresní model............................ 74 4.1.2 Zdůvodnení metody nejmensích ctverců............... 76 4.2 Metoda nejmensích ctverců.......................... 77 4.2.1 Hledaní resení metodoů nejmensích ctverců............. 77 4.2.2 Kriteria íspesnosti modelovaní ................... 80 4.2.2.1 Statistika modifikovaních odchylek ěj........... 80 4.2.2.2 Sůmy x2, xfi a rozptyl proložení s2............ 81 4.2.2.3 Testovíní regresních modelů pomocí O-C diagramů ... 81 4.2.2.4 Informacní kriteria AIC, AICc a BIC........... 82 4.2.3 Odhad nejistot jednotlivých merení................. 83 4.3 Linearní regrese................................ 84 4.3.1 Linearní regrese ůzitím maticoveho poctů.............. 85 4.3.2 Nejistoty parametrů modelů a predpovedí ............. 87 4.3.3 Zakladní regresní modely - aplikace lineírní regrese........ 88 4.3.3.1 Průmerna hodnota..................... 89 4.3.3.2 Prímka jdoůcí pocatkem.................. 89 4.3.3.3 Prolození obecnoů prímkoů................ 90 4.3.3.4 Prolození casovych rad polynomem............ 91 4.3.3.5 Prolození casovych rad harmonickím polynomem .... 91 4.3.4 Zobecneníí lineíarníí regrese I - vektorovía zíavislía promennía ..... 92 4.3.5 Zobecnení linearní regrese II - více nezívisle promenních..... 92 4.4 Nelineíarníí regrese ............................... 95 4.4.1 Linearizace nelineírních regresních modelů............. 95 4.4.1.1 Odhad nejistoty okamziků extrémů............ 96 4.5 Robůstní regrese ............................... 96 4.5.1 Vlastní metoda robůstní regrese ................... 98 OBSAH 5 5 Analýza časových rad 100 5.1 Základní pojmy a úvahy........................... 100 5.1.1 Svetelná křivka............................ 100 5.1.2 (Čas pozorovaní............................ 101 5.2 Periodicita promennosti ........................... 103 5.2.1 Příčiny zmen periody periodicky pramenných hvezd........ 103 5.2.1.1 Púlzújící hvezdy...................... 103 5.2.1.2 Rotújící hvezdy....................... 104 5.2.1.3 Interagújící dvojhvezdy .................. 105 5.2.1.4 LiTE a apsidalní pohyb.................. 106 5.2.2 Epocha, fíze, fazova fúnkce a okamzita perioda.......... 107 5.2.3 Zakladní dvoúparametrickí model - linearní efemerida...... 108 5.2.4 Modely s pozvolnými zmenami periody promennosti........ 108 5.2.4.1 Príklady........................... 109 5.2.4.2 Diskúse. Prosty tríparametrickí model periody..... 111 5.2.5 Modely s marginalními zmenami periody.............. 112 5.2.5.1 Kúbickí model zmen periody............... 112 5.2.5.2 LiTE ............................ 113 5.3 Periodoví analíza okamzikú extremú.................... 113 5.3.1 Resení metodoú nejmensích ctvercú................. 116 5.3.1.1 Nejistoty jednotlivích okamzikú extremú......... 117 5.3.1.2 Urcovaní parametrú linearních regresních modelú .... 118 5.3.2 Štandardní úrcovaní okamzikú extremú............... 118 5.3.3 Proste modely svetelních krivek................... 119 5.3.4 Precizní úrcovíní okamzikú extremú svetelních krivek ...... 120 5.4 Príma periodova analíza........................... 122 5.4.1 Popis metody ............................. 123 5.4.2 Virtúalní O-C diagram........................ 124 5.5 Fenomenologicke modely fazovích krivek.................. 125 5.5.1 Rotújící hvezdy s fotometrickymi skvrnami............. 125 5.5.2 Zakrytove dvojhvezdy ........................ 127 5.5.3 Spektroskopickí promennost..................... 130 5.6 Simúltanní modelovíní nestejnorodích zdrojú fazove informace...... 130 5.7 Hledíní period. Periodogramy........................ 131 5.7.1 Metody minimalizace fíazovíeho rozptylú ............... 133 5.7.2 Periodogramy jako aplikace metody nejmensích ctvercú...... 133 5.7.2.1 Lineíarní regrese a její níastroje ............... 133 5.7.2.2 Varianta I - súma ctvercú odchylek............ 134 5.7.2.3 Varianta II - Lombova-Scargleova metoda ........ 135 5.7.2.4 Varianta III - signíl/súm ................. 136 5.7.3 Slozitejsí sitúace ........................... 136 5.7.3.1 Dloúhodobyí trend ..................... 137 5.7.3.2 Múltiperiodicke zmeny................... 137 5.7.4 Zdanlive periody (aliasy)....................... 137 5.7.4.1 Falesne periody....................... 138 6 OBSAH Fyzika proměnných hvězd 6 Proměnnost periodicky proměnných hvězd 142 6.1 Rotující proměnné hvězdy.......................... 142 6.1.1 Asfěrickě hvězdy ........................... 142 6.1.2 Skvrny na hvězdách.......................... 143 6.1.2.1 Sluncě a hvězdy sluněCního typu ............. 144 6.1.2.2 Typ FK Comaě Běrěnicěs................. 145 6.1.2.3 Typ RS Canum Věnaticorum - skvrnití psi........ 145 6.1.2.4 Typ BY Draconis...................... 149 6.1.2.5 Chěmicky pěkuliarní (CP) hvězdy............. 149 6.1.3 Magnětickě polě............................ 152 6.1.3.1 Pulsary ........................... 152 6.2 Dvojhvězdy.................................. 155 6.2.1 Zakrytově proměnně hvězdy..................... 155 6.2.2 Světělně krivky zakrytovych dvojhvězd............... 157 6.2.3 Krivky radialních rychlostí...................... 162 6.2.4 Těsně intěragující dvojhvězdy.................... 164 6.2.5 Víznam vízkumu zakrytovích dvojhvězd ............. 166 6.2.6 Nězíkrytově dvojhvězdy....................... 167 6.3 Pulzující proměnně hvězdy.......................... 168 6.3.1 Radialní pulzacě ........................... 168 6.3.2 Měchanismus pulzací ......................... 172 6.3.3 Pís něstability a jěho intěrprětacě.................. 173 6.3.4 Zavislost pěrioda-zarivy víkon a jějí vysvětlění.......... 176 6.3.5 Pulzacě radiíalní i něradiíalní. Míody pulzací ............. 178 6.3.6 Hěliosěismologiě a astrosěismologiě ................. 181 6.4 Typy pulzujících proměnných hvězd..................... 183 6.4.1 Klasickíě cěfěidy ............................ 183 6.4.2 Hvězdy typu W Virginis....................... 185 6.4.3 RRLyraě............................... 186 6.4.4 Hvězdy typu ó Scuti......................... 187 6.4.5 Hvězdy typu 7 Doradus ....................... 188 6.4.6 Rychlě oscilující pěkuliarní hvězdy ................. 189 6.4.7 Hvězdy typu /? Cěphěi........................ 190 6.4.8 SPB.................................. 190 6.4.9 Pulzující bílí trpaslíci ......................... 191 6.4.10 Dlouhopěriodickě pulzující proměnně hvězdy............ 192 6.4.10.1 Polopravidělně proměnně hvězdy............. 194 6.4.10.2 Hvězdy typu RV Tauri................... 195 6.4.10.3 Hvězdy typu R Coronaě Borěalis............. 195 7 Fyzika apěriodických proměnných hvězd 196 7.1 Proměnnost hvězdy v duslědku změn jějího okolí.............. 196 7.1.1 Hvězdy typu T Tauri......................... 196 7.1.2 Hvězdy typu FU Orionis....................... 199 OBSAH 7 7.1.3 Herbigovy-Harovy objekty...................... 200 7.1.4 Latka ve dvojhvězdách........................ 200 7.2 Aktivita hvězd a její projevy......................... 201 7.2.1 Príčiny hvezdne aktivity....................... 203 7.2.2 Vzplanutí nov............................. 204 7.3 Komplexní prestavby, zhroucení a výbuchy................. 205 7.3.1 Supernovy typu II, Ib a Ic...................... 206 7.3.2 Supernovy typu Ia.......................... 207 Literatura..................................... 209 Historie a metody výzkumu 11 1 Uvod 1.1 Definice Proměnné hvezdy jsou takové objekty, jejichž jasnost se v case mění. Proměnné hvězdy tvorí mimorádne pestrou skupinu osamocených hvežd, dvojhvežd a vícenásobných hveždných soustav, velice rozmanite jsou i projevy pozorovaných zmen a jejich príciny. Promennost hvezd je pomerne castý jev, odhaduje se, ze asi 10 % hvezd jsou hvezdy zjevne promenne. Cím více se zjemnují diagnosticke metody, tím vyssí je zastoupení odhalených promenných hvezd v nahodnem vzorku hvezd. Rozpetí pozorovaných svetelnych zmen je siroke: od 1 milimagnitudy (0,001 mag = 1 promile) do desŕtek magnitud (10 mag = 1 : 104,15 mag = 1 : 106). Rozlicne jsou casove skaly: od 10-4 s az do casových merítek zmen, k nimz dochýzí v dusledku hvezdneho vývoje. Pokud tyto vývojove zmeny souvisejí s jadernym vyvojem v centralních oblastech hvezdy, probíhají velice pomalu, v zavislosti na hmotnosti objektu v tzv. jaderné časové škále 106 az 109 let. Radove rychlejsí jsou tehdy, pokud jsou dusledkem vnitrný prestavby jadra i obalu hvezdy. Prestavba se zpravidla deje v tzv. Kelvinově-Helmholtzově škále (radove statisíce let), pricemz stýle je hvezda ve stavu takrka presne hydrostaticke rovnovahy. Dojde-li vsak v prubehu vývoje k jejímu narusení, mení se hvezda v tzv. dynamické časové škále (podle typu hvezdy az desŕtky minut). K rychlym zmenam tohoto druhu dochazý bud' na pocatku hvezdneho vývoje nebo v pozdných vyvojovych stadiých. 1.2 Význam studia proměnných hvězd Promenne hvezdy jsou zajímave nejen tým, ze se na nich, v nich nebo kolem nich neco deje, ale i tím, ze se rozborem jejich promennosti muzeme neco dozvedet o objektech samotnych. Vseobecne platí, ze promenne hvezdy na sebe prozrazuji' více nez hvezdy s konstantnýí jasnostýí. Vyzkumem promenných hvezd získavame casto unikatní informace o vykonech, hmotnostech i o vnitrní stavbe hvezd, ktere bychom jinak jen stezí dokazali získat (zakrytove dvojhvezdy, puIzující hvezdy aj.). Navíc mohou hodne prozradit i o sve poloze. Supernovy typu Ia, puIzující promenne hvezdy nebo zakrytove dvojhvezdy mohou velmi dobre poslouzit i pro urcovaní vzdaleností ve vesmíru. 12 Kapitola 2. Historie a současnost výzkumu proměnných hvězd 2 Historie a současnost výzkumu proměnných hvezd 2.1 Prehistorie sledovaní proměnných hvězd Přestože by se mezi hvězdami viditelnými pouhýma očima nasla řádka hvězd, které mění svou jasnost nepřehlednutelným zpUsobem, jejich pozorovaní byla v počýtcích astronomie velmi vzacný a nesystematicka. Hlavní zýbranou sledovýní promenných hvezd v zemích, ovlivnených starovekou řeckou a rímskou kulturou, byla predpojatost ucencu, který ve shode s tehdy nejvetsí autoritou - Aristotelem - nepocítali s tím, ze by se jasnost hvezd mela a mohla nejak menit. Vyplývalo to z aristotelskeho nahledu na svet, kde se za sferou Mesýce zýdne zmeny nepripoustely. Hvezdna obloha tak byla jen statickou kulisou, definovanou jednou provzdy v jednom jedinem definitivným tvaru. Pokud se prece jenom nějaké změny pozorovaly, pak muselo jít o proměnné hvězdy s výjimečnou amplitudou svetelných zmen - o vzplanutí nov či supernov. PotíZ je v tom, Ze tyto jevy byly aristotelovskou fyzikou odmítany bud' jako nedopatrení nebo se soudilo, ze tu jde o nejake meteorologicke jevy, nejspís komety. O tech astronomove zaznamy nevedli, nebot' komety, coby jev související s lokílním pocasím, spadaly do kompetence meteorologu ci kronikaru. Čínští a japonstí astronomove a astrologove touto predpojatostí netrpeli a neobvykle jevy na obloze, vcetne „nívstev hvezdních hostu", peclive zaznamenívali. Od nich pak pochízejí dulezite informace napríklad o vsech supernovach, jez v posledním tisíciletí vzplanuly (viz tabulka 2.1). Bohuzel, vzhledem k tomu, ze vzplanutí supernov byla vyznamna podle jejich astrologie, jsou jejich zaznamy nepresne a nekdy i ícelove zabarvene a pozmenene. Jedno z nejstarsích uvedomelích pozorovíní promenních hvezd se prí podle asyrologa Schaumbergera uskutecnilo ve staroveke Babylínii. Na jedne z klínopisných tabulek ídajne nasel ídajne dukaz toho, ze starovecí pozorovatele vedeli o svetelních zmenach Algolu. 2.2 První vedecka pozorovaní Tycho Brahe (1546-1601) objevil roku 1572 pobhz k Cas „novou" hvezdu. Presne ji zakreslil do hvezdne mapy a urcil jejý souradnice. Jejý menuý se jasnost srovnaval s jasnosti' ostatných hvezd a zýskal tak prvný casovou radu promenne hvezdy. Z ný pak bylo mozno sestrojit vubec první světelnou křivku1 promenne hvezdy a soucasne i první svetelnou krivku zachycující pokles jasnosti supernovy. Tutez supernovu sledoval jeste dvanact dalsých ucencu, a je treba poznamenat, ze po Brahovi byl nejpresnejsým pozorovatelem Tadeýs Hajek z Hajku (1525—1600). Z hlediska výzkumu promenných hvezd jde o pníkom v pohledu na tento typ hvezd. Ostatní ucenci Tychonova pozorovýní zhusta znevazovali, oznacujíce novou hvezdu za atmosferický jev: za kometu ci meteor. Tycho Brahe vsak peclivým rozborem vlastných i Hajkovych merem prokazal, ze ona nova je nejmene sestkrýt dal nez Mesýc. V te dobe to byla jedna z posledních ran aristotelskemu svetovemu nazoru. 1Termínem svetelna krivka oznacujeme zavislost jasnosti, hvezdne velikosti hvezdy na case. Presna definice bude uvedena v kapitole 5. 2.3. Zacatky systematickeho studia 13 Obrízek 2.1: SN 1572. Periodicky promenna hvezda byla poprve uvedomele pozorovana v lete roku 1596, kdy si David Fabricius (1564-1617) povšiml zmeny jasnosti omikron Ceti. Znovu ji pozoroval v roce 1609 a nazval ji Mira - „Podivuhodní". Znovu ji objevilo nekolik dalsích pozorovatelu, v 1638 i holandsky astronom Holwarda2 (1618-1651), kterí hvezdu studoval systematicky po celí rok - to je první prípad systematickeho sledovaní promenne hvezdy. Periodicitu svetelních zmen Miry jako první zjistil Ismael Boulliau (1605-1694). Periodu stanovil na 333 dny, coz je v az dojemne shode s dnesními urceními (332 dny). V roce 1715 Edmond Halley (1656-1742) uvadí v clínku o historii „novích" hvezd za posledních 150 let sest objektu - vesmes nípadne se menící dlouhoperiodicke promenne a (super)novy - SN 1572 (Tychonova), SN 1604 (Keplerova), omikron Ceti (Mira), P Cyg (N1600 Cyg), Nova 1670 Vul, x Cyg. Nejde vsak o katalog v pravem slova smyslu, protoze rozhodne neobsahuje vsechny tehdy zname promenne hvezdy. Pripomenme alespon novodobí objev promennosti Algolu Geminianem Montanarim v roce 1669. 2.3 Začátky systematického studia Iniciatory systematickeho vízkumu promenních hvezd se stali Anglicane Edward Pigott (1753-1825) a John Goodricke (1764-1786). Ten v letech 1782-3 objevil svetelne zmeny 2nékdy též Jan Fokkens (Johann Phocylides) Holwarda Tabulka 2.1: Historicke supernovy Rok Typ Souřadnice Dnešní Maximainí Doba pozorovaní Pozořovatel(e) a [h m] 5 [°] oznaCení hv.vel. [mag] pouhýma oCima -134 ? 5 54 -13 ? ? Hipařchos, Cíňane 185 SN 14 12 -60 -8 7.12.185-Cervenec 186 369 ? 0± +60± ? 6 mesícu 386 SN 18 30 -25 +1 3 mesíce 393 SN 16 48 -38 -1 8 mesícu 1006 SN 15 13 -45 -8 az -10 28.4.1006 -13.8.1006 ařab.,jap.,cín.,jihoevř.poz. 1054 SN 5 30 +22 CM Tau -4 az -5 4.7.1054 -17.4.1056 Jang Wej-Te aj. 1181 SN -1 cervenec 1181 -? 1203 N 16 48 -38 -2 1230 N 16 20 +20 říjen 1230 - březen 1231 S. Fujivařa aj. 1430 N 7 24 +7 1 mesíc 1572 SN 0 19 +64 B Cas -4 6.11.1572-unoř 1574 Schůlleř,Břahe,Hajek aj. 1600 N? 20 12 +38 P Cyg +3 8.8.1600-1626? Blaeu, Kepleř(?) 1604 SN 17 25 -21 V843 Oph -2,5 9.10.1604-podzim 1605 Kepleř,Fabřicius,Břunowski 1667 N 6 +20 V529 Oři 1670 N 19 42 +28 +2,7 20.6.1670-? Anthelme,Picařd 14 Kapitola 2. Historie a soucasnost vyzkumu pramenných hvezd Algolu a hvezdu sam tez systematicky pozoroval. Prokazal, ze se mení s periodou necelých tri dní a spravne vysvetlil prícinu jejích svetelných zmen. Tyz Goodricke objevil jeste dalsí dve periodicke promenne hvezdy: P Lyrae a 8 Cephei, shodou okolností tu jde o predstaviteľky dalsích dvou typu promennosti hvezd. Pigott roku 1784 objevil dalsí cefeidu n Aquilae a v roce 1795 R Coronae Borealis a R Scuti. V roce 1786 Pigott publikoval první katalog proměnných hvezd, kterí obsahoval techto 12 exemplaru: Nova Cas (SN 1572) Algol R Leo Mira Nova Vul 1670 n Aquilae P Cygni X Cygni ß Lyrae Nova Oph (SN 1604) R Hya ô Cephei Zajem o vízkum promenních hvezd se zvísil az po roce 1844, kdy Friedrich Arge-lander (1799-1875) publikoval jednoduchou metodu odhadovaní jasnosti promennych hvezd - relativním srovnívíním promenne hvezdy s hvezdami srovnatelne jasnosti, jez se nachízely v bezprostredním okolí. Tato vseobecne dostupna pozorovací metoda slouzila po radu desetiletí jak profesionalním astronomum, tak i astronomum amaterum, jimz konecne slouzí doposud. Ale i zde se dnes díky dostupnosti moderní detekcní techniky (hlavne CCD) postupne prechízí od subjektivních pozorovacích metod k metodím objektivním. V roce 1844 mel Argelanderiív soupis znamych promennych hvezd 44 polozek. Jako autor znameho bonnskeho katalogu (Bonner Durchmusterung) si Argelander uvedomil nutnost jednoznacneho oznacovaní promennych hvezd a zacal je v jednotlivých souhvez-dích oznacovat postupne písmeny R, S, ... Z3 a nasledne kombinacemi RR, RS, RT,...., RZ, SS, ST, ..., SZ, TT,... ZZ. Argelander tak prispel take k systematizaci vízkumu promenních hvezd. 4 V roce 1880 byla znama uz stovka promenních, coz umoznilo Edwardu C. Pick-eringovi (1846-1919) provest jejich zakladní klasifikaci, jíz se pridrzujeme doposud. Presto poznaní príčin promennosti bylo stíle obtízne zejmena pro velke mnozství typu promennosti. Nicmene jak narustal pocet promennych hvezd, rísovaly se jiz urcitejsí skupiny promennych hvezd s podobnym chovaním. Spektroskopie ukazala, ze vetsina ze znamích promenních hvezd má syte oranzoví nadech (miridy) se spektrem s molekularními pasy. Soudilo se, ze promennost je tu vlastností rozsahlích chladních a hustích atmosfer. Príve zmena spektra se zmenou jasnosti vedla k tomu, ze byla definitivne opustena myslenka Wiliama Herschela, kterí se 3Casto se tvrdí, ze počáteční písmeno R bylo zvoleno podle německého „rot" nebo francouzského „rouge", česky červený, což melo vycházet z toho, že vetsina tehdy známých promennych hvezd byla červená. Tento rozsíreny názor vyvrátil sám Argelander, která naopak uvádí: „Aby se zamezilo zámenám s Bayerovych abecedním označením, zvolil jsem poslední písmena abecedy psaná verzálkami." Arge-landerUv návrh na označování pochází z roku 1855, ale oficiálne byl prijat az roku 1867. 4Pozdeji byl tento system označování novách promennách hvezd doplnen Ristenpartem a následne Andrem. Dnes platne „definitivní" označení promenne hvezdy má tedy následující podobu: Pred latinskym názvem souhvezdí ve 2. pádu, respektive jeho trípísmenovou zkratkou, se uvádí původní Argelenderova kombinace písmen, prípadne dalsí kombinace písmen nebo číslic, a to v tomto poradí: R, S, T, ... Z, RR, RS, RT, ... RZ, SS, ST, ..., SZ, TT,... ZZ, AA, AB, ... QQ, QZ, V 343, V 344 ..., pričemz se nepouzívají kombinace s písmenem J. Mohlo by se totiz snadno poplest s písmenem I. 2.4. Vyzkum promenných hvezd v 19. a 20. století 15 domníval, ze tyto hvezdy jsou posety tmavymi skvrnami a ke zmenam dochazí v dusledku rotace. Zachovýna ale zustala u nekterých polopravidelných promennych hvezd, jejichz svetelna krivka pripomínala prubeh výskytu slunecních skvrn. Zcela jiným prípadem byl bíly Algol: V roce 1880 Pickering oprasil jiz skoro sto let starou Goodrickovu domnenku o dvojhvezdne povaze promenne hvezdy a dokýzal, ze výborne odpovídý pozorovýní. Z tvaru svetelne krivky odvodil promennost i relativní rozmery obou slozek. O potvrzení domnenky se postaral v roce 1888 Hermann Vogel (1834-1898), kdyz zjistil, ze Algol je jednoslozkova spektroskopicka dvojhvezda, jejíz krivka radialní rychlosti presne odpovída dvojhvezdnemu modelu. Bezpecne tak byl kombinací fotometrickych a spektroskopických pozorovýní prokazan mechanismus promennosti tzv. zákrytových dvojhvězd5. Po úspěchu u Algolu zkoušeli astronomové štěstí u cefeid. ô Cephei sice objevil už Goodricke, ale radne ji zkoumala až V. K. Ceraski roku 1880. I když se jedna o prísne periodickou hvezdu, pokus o vysvetlení zakryty ve dvojhvezde selhal. Hvezdy jsou v minimu jasnosti cervenejsí než v maximu, svetelnú krivka je asymetricka, vzdy mú pomaly pokles, rychlú narust. Radiúlní rychlost je promenna, coz dava moznost vypoctu fiktivní trajektorie dvojhvezdy. Bohuzel, jak v roce 1914 ukazal Harlow Shapley (1885-1972), trajektorie neviditelne slozky by v mnoha průpadech zasahovala do jasnejsí hvezdy - jedna hvezda by obíhala v druhe. Behem 19. století vzrostl pocet znamých promennych hvezd az na nekolik stovek. Prícinou a predpokladem byly: a) zvýseny zajem o hvezdy, b) spolehlive hvezdne mapy, c) fotometricke prehlídky, d) na konci století i harvardske fotograficke prehlídky a e) zapojení astronomu amatera do výzkumu promenných hvezd, coz jim v podstate umoznila Argelanderova stupnoví metoda odhadu jasnosti. 2.4 Výzkum proměnných hvězd v 19. a 20. století Devatenýcte století a zejmena jeho druhý polovina byla epochou prekotneho vývoje astronomie a nekterých oblastí fyziky (napríklad spektroskopie); prinesla radu objevu, ktere vedly ke vzniku noveho vedního oboru - astrofyziky. V rade publikací se toto období oznacuje jako era vznikající „nove astronomie". Ta se navíc mohla stýle více spolehat na objektivnejsí metody vyzkumu, kdy oko prestavalo být zýkladním detektorem svetla. Pomyslne vlady se ujala fotografie, ktera si svou pozici drzela az do konce dvacateho století. To prineslo nejen otevíraní oken do vesmíru v podobe detekce i jiných castí elek-tromagnetickeho spektra zarení nez svetlo, ale take presnejsí detekcní metody vyuzitím fotoelektrickíe a CCD fotometrie. Zejmíena CCD technika na konci 20. století prakticky zcela vytlacila z astronomických observatorí klasickou fotografii i fotoelektrickou fotometrii. Po nesmelých pocatcích na balonech a raketach prisla v druhe polovine minuleho století ke slovu i druzicoví astronomie. Pripomeňme si tedy tento prekotny vývoj nikoli chronologicky ale dle jednotlivych metod sledovíní promenných hvezd a místa pozorovaní. 5Teprve na sklonku 20. století ukazala interferometricka pozorovaní rúdioveho zdroje v míste dvojhvezdy, ze zdroj kmita v rámci úsecky o delce 0.004" s periodou 2.87 dne, ktera odpovída orbitální periode Algolu B. Nove byla zjistena i orientace obezne trajektorie dvojhvezdy v prostoru. (J.-F. Lestrade et al., 1999). 16 Kapitola 2. Historiě a soucasnost vyzkumu proměnnych hvězd Tabulka 2.2: Děfinicní stupně rozdílu slabosti dvou hvězd. Odhadní stupěň (os) Děfinicní popis rozdílu slabostí srovnívaních hvězd Zapis 0 Hvězda a sě jěví stějně slaba jako hvězda b něbo sě chvílěmi zdí strídavě něpatrně slabsí a něpatrně jasnějsí něňz hvňězda b. a0b 1 Pňri bědlivíěm pozorovíaní sě hvňězda a jěví ňcastňěji jasnňějňsí něz stějně jasna jako hvězda b a jěn vzacně sě jěví hvězda b jasnňějňsí něňz hvězda a. a1b 2 Hvězda a sě jěví takrka vzdy o malo jasnějsí něz hvězda b. Jěn zrídka sě zdí, zě sě jějich slabosti rovnají. a2b 3 Hvězda a sě jiz na první pohlěd jěví jasnějsí něz b. a3b 4 Hvězda a jě vyrazně jasnějsí něz hvězda b. a4b 2.4.1 Vizimlní fotomětriě První pozorovatělě proměnnych hvězd měli kazdí svuj systěm zapisu a vyhodnocění pozorovíní proměnních hvězd. Jědnalo sě v podstatě bud' o prímě zarazění hvězdy do nňěktěríě z ptolěmaiovskíych tňríd hvňězdníě vělikosti něbo o (vňětňsinou něpňrěsnyí) popis, jak jasnaí jě hvňězda vě srovnaíní s okolními hvňězdami. První jasnňě formulovanou pozorovací mětodu pouňzíval F. W. Hěrschěl. Vyíslědky srovnaní jasností dvou hvězd vyjadroval pomocí soustavu zvlastních znacěk a symbolu, ktěrě lzě slovně císt jako: stějně jasně, jasnějsí, slabsí, vyrazně jasnějsí, vírazně slabsí. Hěrschěl systěmaticky pozoroval hvězdy dlě katalogu J. Flamstěěda a víslědky pozorovíaní vňsěch pňribliňznňě 3000 hvňězd publikoval vě ňctyňrěch katalozích v lětěch 17961799. Jěho mětodu uzívali pozorovatělě az do casu Argělanděra. F. W. A. Argělanděr pouňzííval nějprvě pňri vlastníích pozorovíaníích Hěrschělovu mětodu, alě zahy si uvědomil jějí nědostatky. V rocě 1844 pak publikoval Výzvu k přátelům astronomie (Argělanděr, 1844) v níz popsal, jak by sě mělo vizuílní pozorovaní proměnních hvězd provídět. Hěrschělovy znacky nahradil jasně děfinovaními stupni s císělnym vyjadrením. Pozorovanou jasnost hvězdy vyjadrenou vě stupních dlě děfinicě v tabulcě 2.2 oznaňcujěmě jako slabost. Argělanděr nězavrhujě ohodnocění rozdílu slabostí dvou hvňězd vyňsňsím stupnňěm. Takovíě odhady alě mohou bíyt zatíňzěny vňětňsí chybou a zpravidla jě pouňzívají jěn zkuňsění pozorovatělě, ktěrí mají po lětěch praxě odhadní stupěn poměrně maly. Zatímco u za-catěcníku totiz u prvních pozorovaní rmízě bít vělikost jědnoho odhadního stupně (os) az 0,5 mag, ti nějlěpsí pozorovatělě „v aktivní sluzbě" dosahovali az 0,02 mag. Takova presnost jě alě víjiměcní, zě znímích pozorovatělu ji dosahovali ci dosahují jěn napňríklad Sěbastian Otěro, Kamil Hornoch něbo Pavol A. Dubovskyí. Bňěňznaí vělikost 1 os pro zkuňsěníěho pozorovatělě jě kolěm 0,1 mag. Vizuaílní pozorovatělíě pouňzívají Argělanděrovu mětodu dodněs, alě vňětňsinou v nňějakíě zě dvou modifikací. Bud' pouzívají pro stanovění slabosti proměnně hvězdy vzdy pouzě dvňě srovnaívací hvňězdy - jědnu slabňsí a jědnu jasnňějňsí a něbo pouňzijí vícě srovnaívacích hvňězd najědnou. 2.4. Vyzkúm promenních hvezd v 19. a 20. století 17 Jinoú cestoú nez Argelander se vydal N. R. Pogson. Zatímco Argelander nepotreboval v principú vedet nic o poúzitych srovnavacích hvezdích, Pogson svoú metodú zalozil na znalosti hvezdních velikostí srovnívacích hvezd. Pri vlastním odhadú pak pozorovatel interpoluje hvezdnoú velikost promenne hvezdy mezi zníme hvezdne velikosti dvojice srovnavacích hvezd. Pogson prímo predpokladal, ze velikost jednoho odhadního stúpne je 0,1 mag, takze pak pracoval s desetinami magnitúdy stejne jako se stúpni. Ve svete je Pogsonova metoda pomerne rozsírena (napríklad v ramci spolecnosti AAVSO). Její vyhodoú je rychlost, odhady se vetsinoú zapisújí prímo v magnitúdach a není potreba dalsích vípoctú. Jenze jsoú zde prinejmensím dve úskalí - ne vzdy jsoú srovnavací hvezdy promereny dostatecne presne a ve vizúílní oblasti spektra a navíc nejsoú zpravidla úchovany informace o poúzitych srovnívacích hvezdach. Vysledkem je jednak mozní vetsí rozptyl pozorovaní a zejmena znehodnocení pozorovíní, pokúd se pozdeji úkaze, ze jedna z poúzívaních srovnavacích hvezd je ve skútecnosti sama promenna. Americky vyznacní astronom konce 19. století E. C. Pickering ale nebyl spokojen ani s jednoú víse popsanoú metodoú a navrhl vlastní postúp (Pickering, 1882, 1883) v clankú nazvanem „A Plan for Secúring Observations of the Variable Stars". Jeho interpolacní metoda vyúzíívaí vzdy dvojice srovníavacíích hvezd se zníamíymi hvezdnyími velikostmi. Jejich rozdíl vzdy rozdelil na 10 castí, takze pri vlastním odhadú ú dalekohledú bylo nútne rozhodnoút, kde v danem intervalú lezí promenní hvezda. Tento prístúp je z hlediska fyziologie smysloveho vnímíní lepsí nez absolútní porovnavaní v Argelanderove, respektive Pogsonove metode. Ale opet je tú nezbytní predpoklad mít srovnavací hvezdy predem rídne promerene. Jako poslední se objevila metoda vizúílního pozorovíní promenních hvezd, kteroú nezavisle na sobe navrhli A. A. Nijland (1901) a o par let pozdeji S. N. Blazko. Snazí se spojit vyhody Argelanderovy stúpňove a Pickeringovy interpolacní metody. Pro odhad jasnosti promenne hvezdy se vyúzije vzdy dvojice srovnívacích hvezd. Promenna hvezda se pak zaňradí mezi nňe do intervalú, rozdílú hvňezdnyích velikostí nebo slabostí. Interval slabostí mezi srovníavacími hvňezdami rozdňelíme na tolik ňcaístí, kolik bychom mezi nimi vlozili odhadních stúpnú. Nísledne úrcíme o kolik techto castí je promenna slabsí, respektive jasnňejňsíí neňz srovníavacíí hvňezdy. Tato metoda vyňzadúje úrňcityí cvik a neníí vhodnía pro zaňcíínajíícíí pozorovatele. Vizúíalníí pozorovaíníí je dnes jednoznaňcnňe na úístúpú. Provozúje se jen tam, kde zejmena z materiílních dúvodú si pozorovatele nemohoú porídit CCD kamery a pocítace. Nicmíenňe i v konňciníach, kde vizúíalní pozorovatelíe vymňreli, je nútníe vňedňet více o tňechto pozorovíaních, protoňze ňcasto pňredstavújí jediníe informace o zkoúmaníe hvňezdňe z období pňred desítkami nňekdy i stovkami let. Pokúd úňz vizúaílní pozorovíaní poúňzije je vňsak nútníe k nim pňristúpovat obezňretnňe a detailnňe je prozkoúmat. Jsoú totiňz súbjektivním vyísledkem pozorovatele nikoli objektivním mňeňrením. Pňríňcinoú jsoú fyziologickíe a psy-chologickíe vlivy, kteríe se na víysledkú vizúíalního pozorovíaní podepisújí. Podrobnňeji si o nich lze precíst napríklad v públikaci Pozorovíní promenních hvezd I (Zejda et al., 1994). 18 Kapitola 2. Historie a soucasnost výzkumu promenných hvezd 2.4.2 Nevizualní fotometrie 2.4.2.1 Fotograficka fotometrie Jakmile se astrofotografie „zabýdlela" na observatorích, doslo k prekotnemu objevovýní nových promenných hvezd. Astronomove uz prestali spolehat na nýhodu, a pustili se do sýstematickeho výhledavýní nových promenných hvezd pomoci' fotografických prehlídek oblohý. Porizovalý se snímký stejných oblast! hvezdneho nebe a na nich se prostým porovnaným dalý nove promenne hvezdý odhalit relativne snadno. Vznikalý rozsýhle sklenene archivý.6 Deský take býlo mozno promerovat a merení i po letech znovu opakovat. Astronomove tak po nekolika staletých zacali opousteli subjektivný metodý zkoumaný hvezd. Nicmene býlo treba vývinout korektný a presne metodý zpracovaný a promerovýní fotografií hvezdných polí. Präkopníkem v oblasti fotograficke fotometrie se stal Karl Schwarzschild. 2.4.2.2 Fotoelektricka fotometrie První elektrickou detekci slabeho svetla hvezd uskutecnil roku 1892 v Dublinu William Monck, kdýz pouzil jako svetlocivný prvek fotonku zkonstruovanou Georgem Minchinem. American Joel Stebbins zacal pouzívat seleniový odporový fotoclanek v roce 1907. Avsak skutecný pocatek fotometricke fotometrie je spojen s konstrukcí fotoclanku, kde se merí elektrickýý proud vzniklýý fotoefektem v hýdridu draslýku. Ten výrobili Julius Elster a Hans Geitel v Nemecku a kratce pote Jakob Kunz v USA. Hlavnými präkopníký fotoelektricke fotometrie býli Paul Guthnick a Richard Prager v Berlíne a Joel Stebbins a jeho kolegove v USA. Prýve oni povýsili puvodní fýzikýlne technicke pokusý na metodu, který zacala davat vedecke výsledký i mimo laborator. Behem let 1912-1940 nasledovalo postupý pozorovatelu z Berlína a Illinois (nebo Wis-consinu) mnoho dalsích pozorovatelu. Uvýdí se az 38 pozorovatelu na 22 observatorích ale s rozdílnými ýspechý. Samozrejme doslo k výlepseným a vývoji, ale nutno fíci, ze do prvný komercní výrobý fotonasobicu, vlastne behem cele zmiňovane epochý býla fotoelektricka fotometrie spýse jistým druhem umení nez rutinným mereným. Do toho obdobíý presneji do roku 19307 spadý i objev fotonasobice, jehoz autorem je L. A. Kubetský. Fotonasobice (PMT - z anglickeho "photomultiplier tube") jsou vlastne elektronký, kde ve vakuovanýe trubici na zýapornňe nabitou katodu dopadýa zýaňrený hvňezdý. Fotoefektem vzniklý proud elektronu je pak zesílen v soustave nekolika dýnod výuZívajících efekt sekundýarný elektronovýe emise. Je to kňrehkýe zaňrýzený, kterýe lze zniňcit i tým, ňze je výstavýte pňrýliňs jasnýemu svňetlu. I na poňcýatku 21. stoletýjsou fotonaýsobiňce nejcitlivňejňsým pňrýstrojem na detekci svňetla, schopnýým detekovat jednotlivýe fotoný. Mezi jejich dalňsýpňrednosti patňrývelkýý dýnamickýý rozsah, kterýý týpický dosahuje ňrýadu 107, a takýe linearita, kdý výýstupný signaýl se mňený s rozdýlnou intenzitou dopadajýcýho svňetla ve velkýem rozsahu lineaýrnňe. Navýc jde o velmi rýchlý merící prístroj, který muze pracovat i na skalích kratsích nez milisekundý. Pri sprýavnýem zpracovýanýí namňeňrenýých dat poskýtuje velmi pňresnýe reaýlnýe hodnotý v ňraýdech milimagnitud. 6Většinou byla fotografická emulze nanesena na skleněnou desku. 7Mnoho prací uvádí za datum vzniku fotonasobice rok 1936 a za jeho vynalezce kolektiv kolem V. K. Zworykina. 2.4. Výzkum proměnných hvězd v 19. a 20. století 19 V dnesní dobe jsoů merení provedena fotoelektrickím fotonasobicem spííše víjimecna. Vetsina observatorí vymenila tyto prístroje za modernejsí a citlivejsí CCD kamery. Bohůzel tím vetsinoů take ůkoncila casove rady presnych fotometrickích pozorovaní jasnyích hvezd. 2.4.2.3 „Kremíkova" fotomětriě První prvek CCD (z anglickeho Charged Coůpled Device) vznikl v roce 1969 v Bellovích laboratorích. Willard Boyle a George E. Smith tehdy vyvíjeli elektronovoů pocítacovoů pamet'. Nicmene první CCD kamerů predstavili ůz o rok pozdeji. První komercní CCD zobrazovací prvky byly vyrabeny firmoů Fairchild Electronics v roce 1974 o rozmerů 100 x 100 pixelů. Schopnost prenosů naboje byla tehdy mene nez 0,5 % (o trochů mene nez dobra fotograficka deska). První poůzití v astronomii a skůtecní pocítek noveho veků v pozorovací technice nastal v roce 1979, kdy na metrovem dalekohledů na Kitt Peak National Observatory poůzili chlazení cip RCA 320 x 512 LN2. Jiz první pozorovíní ůkízala prednosti vyůzití CCD prvků namísto fotografickych desek. Kvantoví ůcinnost byla brzy 50 a vícekrít vyssí (v cervene barve). Cipy samotne byly na rozdíl od fotografickych desek velmi linearní, takze kalibrace byly snadne a bylo mozne snadno detekovat i slabe, malo kontrastní mlhoviny. Nicmene ve srovnaní s fo-toelektrickyích fotometrem CCD kamery nemají takovyí dynamickíy rozsah, citlivost a typicky nejsoů tak presne. CCD kamery jsoů vynikající pro sledovaní slabích hvezd, kdy se na snímků najednoů nachízí rada zhrůba stejne jasních hvezd. Naopak pro jasne hvezdy vetsinoů není na snímků poůzitelní srovnavací a kontrolní hvezda a navíc je pro jasne hvezdy treba zpravidla volit velmi kratke expozicní casy a presnost merení pak nemůsí bít velika. CCD kamery jsoů nejcitlivejsí v cervene oblasti spektra, dnes ůz jsoů po ůpravích více citlive i v modre barve. CCD systemy zpravidla dosahůjí presnosti 0,01 mag, prestoze rada programů na zpracovaní CCD pozorovaní pocíta s milimagnitůdami. Maximílní casove rozlisení ů beznych komercních kamer bíva kolem 0,1 sekůndy. Dynamicky rozsah CCD kamer je dan analogove digitílním prevodníkem ADC8, ktery v dobe vzniků skript byva vetsinoů sestnacti bitoví, coz znamení zhrůba 65 000 ůrovní signaílů. Jednoů z predností poůzití CCD kamer v astronomii je soůcasne zachycení rady hvezd na jediníem sníímků, tedy soůcasníe mereníí jejich jasnosti. Navííc jsoů sníímky ůchovíavíany v digitíalníích archivech a je mozníe se k nim po case znovů vraítit, promerit a zpracovat a to vse efektivneji nez ů sklenenyích desek. CCD kamery jsoů dnes masove rozsííreny a jsoů v dosahů i movitejsíích amatíerskyích astronomů. Znamena to, ze od zavedení CCD kamer v astronomii nebívale vzrostl pocet fotometrickych dalekohledů, schopnych promenovat jasnosti i slabích objektů, které byly jeste pred nekolika desítkami let v dosahů jen nekolika malo velkych dalekohledů. Pocet získanych dat i nove objeveních promenních hvezd tak rostoů nevídanym tempem. Prispívají k tomů, jak jiz zminovaní amaterstí astronomove, ale zejmena pak velke prehlídkove projekty, napríklad ASAS, OGLE, MACHO, ROTSE, NSVS a dalsí. V soůcasne dobe jsoů zejmena díky zmiňovanym prehlídkovím projektům masivne ob-jevovany nove promenne hvezdy. 8Zkratka vychází z anglického analog-to-digital converter. 20 Kapitola 2. Historie a současnost výzkumu proměnných hvězd Zakladní katalog promennych hvezd, tzv. General Catalogue of Variable Stars, vy-dývaný od roku 1948 v Moskve, uz rozhodne není „generýlní" - vseobecný. Poslední 4.vydýný katalogu (4.2 v elektronicke verzi) lze najýt na internetu a obsahuje 40 215 objektu (stav ke konci roku 2009). Nove jsou do nej zarazovýny jen individualne ob-jevene promenne hvezdy. Promenne hvezdy objevene v ramci prehlýdkových projektu pozemných observaton jako ASAS, ROTSE, OGLE, NSVS a dalsý podobne jako promenne hvezdy, ktere byly odhaleny jako rentgenove nebo rýdiove zdroje z druzic byvajý oznacovany zkratkou prýslusneho katalogu a polohou na hvezdne obloze, vetsinou v rov-nýkových souradnicých. Kompletnejsí a aktualnejsý prehled o promenných hvezdach dnes poskytuje napn'klad server Americke asociace pozorovatelu promenných hvezd AAVSO (http://www.aavso.org/vsx). 2.4.3 Spektroskopie V 19. stoletý bylo publikovano nekolik zasadný pracý ktere polozily zaklad hvezdne spektroskopii. Pripomenme si alespoň nektere z protagonistu rozvoje spektroskopie. Brit William Hyde Wollaston objevil roku 1802 temne cary ve slunecným spektru. V roce 1818 Joseph Frauhofer pozoroval a popsal 576 temných car ve slunecným spektru a ty nejvýraznejsí oznacil písmeny A az K. David Brewster ukazal roku 1832, ze chladný plyn vytvýrí temne cary ve spojitem spektru. O 15 let pozdeji John W. Draper zjistil, ze horkýa pevnýa laýtka emituje spojitýe spektrum zatýímco horkýy plyn caýrovýe spektrum. V roce 1859 Gustav Robert Kirchhoff a Robert Bunsen objevili, ze kazdý chemický prvek nebo sloucenina mýa charakteristickýe spektrum car, kterýe majýí stejnou vlnovou dýelku v emisnýím i absorpcnýím spektru. To byl prevratnýy objev, kteryý v podstate umoznil studovat slozenýí alespon povrchovyých vrstev hvezd na dýalku pouhyým rozborem jejich svetla. První fotografický zaznam spektra, tzv. spektrogram hvezdy, konkretne Vegy, zýískal roku 1872 americkýy amatýer Henry Draper. Christian Doppler (1803-53) ve svyých pracýích predpovedel, ze pohybujýícýí se objekt bude vykazovat zmenu polohy spektrýalnýích car, takze bude moznýe rozborem spektra urcit radiýalnýí slozku rychlosti s velkou presnostýí. Nicmýene poprvýe se to ve spektru konkrýetnýí hvezdy podarilo ukaýzat az Williamu Hugginsovi v roce 1868. Prvnýí merenýí a sestavenýí krivky radiaýlnýích rychlostýí pro dvojhvezdu pak provedl o dvacet let pozdeji Hermann Carl Vogel (1841-1907). Na konci 19. stoletýí jiz patrilo spektroskopickýe pozorovaýnýí hvezd k beznyým metodýam výzkumu. Prestoze uz roku 1867 se Angelo Secchi (1818-1878) pokusil o první klasifikaci spekter 316 hvezd, teprve na prelomu 19. a 20. stoletýí byl zýískýan dostatecne bohatyý pozorovací material, aby bylo mozne udelat dukladný rozbor a naslednou klasifikaci hvezdnyých spekter. Pri tvorbe HD katalogu s týemer 230 tisýíci hvezdami vytvorili Edward Pickering a zejmena Annie Cannonový zaklad systemu klasifikace spekter, který se pouzýívaý dodnes. Systematickýe sledovaýnýí spekter nekterýych hvezd ukýazalo, ze se tato spektra menýí, a to v rade ohledu. Krome jiz zmínených radiýlních rychlostí systemu spektralních car ve spektrech dvojhvezd a ví'cenasobnych hvezdnych systemu, byly nalezeny zmeny v profilech nekterých spektralných car, zejmena pak tech, ktere vykazuji' emisi (nejcasteji Ha, rezonancm' cýry ionizovaneho výpnýku CaII - H a K). U magnetických chemicky pekuliarních hvezd pozorujeme cyklicke zmeny ekvivalentní sírky car nekterých prvku, s 2.4. Vyzkum proměnních hvězd v 19. a 20. stolětí 21 pěriodou rotacě sě mění i jějich rozsírení zpusoběně silním magnětickím polěm. U rady hvňězd byly nějdňrívě zjiňstňěny jějich spěktroskopickíě zmňěny a těprvě pak sě ukaízalo, ňzě jsou doprovaízěny i zmňěnami jasnosti. 2.4.4 Druzicový pozorovaní Novou ěru vě vyzkumu proměnnych hvězd zapocala cinnost astromětrickě druzicě Hip-parcos, pomocí níz bylo objěvěno na 12 000 novích proměnních hvězd a byla potvrzěna promňěnnost 8 200 hvňězd. Dněs jě fotomětriě tíěto druňzicě z hlědiska pňrěsnosti a ňcasovíěho rozliňsěníí uňz pňrěkonaína. Z fotomětrickyích druňzic poňcíatku 21. stolětíí uvěd'mě alěsponň druzicě COROT, MOST, BRITE, Kěplěr něbo pripravovany satělit GAIA. • COROT - odstartovala v rocě 2006. Na palubě jě dalěkohlěd o pruměru 28 cm (f=1200 mm, FoV 3,8°), dvě CCD 2k x 2k - kazda na jěděn zíkladní projěkt -astrosěismologiě (objěkty 5, 7 < V < 9,5 mag v 5 okněch) a ěxoplaněty (objěkty 11, 5 < V < 16, 5 mag v 6000 okněch). Druzicě ponzujě tríbarěvnou fotomětrii a spěktroskopii s vělmi malym rozlisěním. http://corot.oamp.fr • MOST - Kanadskía věsmírnía agěntura (CSA) vypustila roku 2003 mikrosatělit Microvariability and Oscillations of Stars (MOST) urňcěnyí kě studiu zmňěn jasností hvězd a kě studiu ěxtrasolarních planět. Dalěkohlěd o pruměru 15 cm doplněny CCD kaměrou (1024x1024) pracujě v intěrvalu 350-700 nm. MOST zkouma malíě zmňěny v jasnostěch blízkíych hvňězd a urňcujě jějich stíaňrí a sloňzění. Dalňsím pozorovacím programěm jě studium atmosfíěr ěxtrasolíarních planět. http://www.astro.ubc.ca/MOST/ • BRITE - Projěkt BRight Targět Explorěr poňcítaí sě 4 nanodruňzicěmi, kaňzdaí s hlavním dalěkohlěděm, vlastně jěn cockou o pruměru 30 mm (FoV 24°). Druzicě mají slouňzit k monitorovaíní zmňěn jasnosti hvňězd s vizuíalní hvňězdnou vělikostí do 4 mag. Kazda ma mít fixní fotomětrickí filtr. http://www.univie.ac.at/ brite-constellation/spacecraft.html • Kěplěr - Hlavním cílěm druňzicě Kěplěr (start v rocě 2009) jě dětěkovat ěxoplan-ěty o hmotnosti 30-600krat měnsí něz Jupitěr. Dalěkohlěd o pruměru 0.95 m s FoV větsí něz 10 ctvěrěcních stupňu něpretrzitě monitorujě jasnost 100 000 hvězd jasnňějňsíích něňz 14 mag v souhvňězdíích Labut' a Lyra. Aby byl schopěn splnit vytňcěníy cíl, musí dětěkovat poklěs jasnosti 1/100 procěnta. http://kepler.nasa.gov/ • GAIA - Nějocěkívanějsí druzicě stělarní astronomiě poslědních lět ma planovaní start v rocě 2013. Bňěhěm pňěti lět mía doslova proňsmějdit" oblohu do 20 mag. Hlavní zrcadla 1,45x0,5 m mají soustred'ovat zachycěně zarení na 106 CCD prvku a tak získíavat vícěbarěvnou fotomětrii, astromětrii (pro objěkty do 15 mag dlě barvy s presností 12-25 //as, do 20 mag 100-300 ^as) a spěktromětrii (spěktrofo-tomětrii s nízkyím rozliňsěním v rozsahu 330-1000 nm, radiíalní rychlosti s pňrěsností 1-15 km/s pro vňsěchny objěkty do 17 mag). http://www.rssd.esa.int/Gaia 22 Kapitola 2. Historie a současnost výzkumu proměnných hvezd 2.5 Typy proměnných hvezd VýuZití CCD techniky a její zpřístupnění amatěrským pozorovatelU spolu s pokrokem druZicově astronomie znamenaly doslova boom v počtu promenných hvezd. Prudký rust jejich poctu je mozne sledovat i v prehledu katalogu promenných hvezd v tabulce 2.3. Zatímco první katalog z roku 1786 obsahoval pouhý tucet promenných hvezd, ne-jobsýhlejsí katalog soucasnosti Variable Star Index (VSX) americke spolecnosti AAVSO obsahuje pres 200 000 promenných a kazdý mesýc v nem pribývajý dalsý tisýce hvezd. Je zrejme, ze jak v historii rostl pocet znamých promenných hvezd, vývstavala i potreba rozclenit je podle jejich chovým a pn'cin jejich zmen. Hlavným rozlisovarím znakem vzdý býl a stale zustava podoba zmený jasnosti, tedý vzhled jejich světelné krivky. S rozvojem pozorovací' techniký pres vizualm odhadý, fotografii, fotonasobice az po CCD prvký, se neustale zlepsuje presnost pozorovaný (v soucasnosti standardne rýdove milimagnitudý) i jeho casove rozlisený (az 10-4 s). Casem nabýlý na dulezitosti dalsí rozlisovací znaký príslusnosti k urcitemu týpu promennosti: vzhled spektra, spek-tralný zmený (zmený intenzitý, ekvivalentný sýrký a profilu spektralm'ch car), zmený radiaýlnýí rýchlosti. Oficialní Generalní katalog promenných hvezd (GCVS) uz davno není generalní, obsahuje „jen" 40 000 hvezd. Najdeme v nem ale generacemi astronomu výtvýrenou týpologii promenných hvezd. Dnes uzívana klasifikace výchýzí z Generýlního katalogu promenných hvezd (Durlevich et al., 2006). Je v ný zastoupeno 119 týpu promenných hvezd. Na Valnem shromazdem IAU v roce 2006 v Praze býla diskutovana nova klasifikace navrzena vedouďm týmu GCVS Nikolajem Samusem. Krome radý zmen v týpologii promenných hvezd býlo navrzeno, abý se mimo jiz pouzývaneho znamenka "+"(pro koexistenci dvou týpu) uzýval take znak " |", znamenajíčí "nebo" - pro mozne klasifikace tehoz objektu, napfíklad EC|Ell, EC|RR. IAU nývrhý dosud neprijala, radu z nich akceptovali tvurci VSX a uvedli je v zivot. Jejich klasifikace týpu promenných hvezd vcetne charakteristik jednotlivých týpu je k dispozici na http://www.aavso.org/vsx/index. php?view=about.vartypes. V zasade muzeme rozdelit promenne hvezdý podle mechanismu promennosti na dve skupiný: A) geometrické (anglický extrinsic), kde se svetelný tok z hvezdý nebo hvezdne sous-tavý nemení, mení se vsak její svítivost. Deje se tak nejcasteji v dusledku rotace hvezdý se skvrnami na povrchu nebo obehu slozek dvojhvezdý kolem spolecneho teziste. B) fyzické (anglický intrinsic), neboli skutecne promenne hvezdý, u nichz se realne mený jejich zarivý výkon v danem spektralm'm oboru. Sýdlo jejich zmen muze být jak v okolý hvezdý, tak v jejých povrchových vrstvach (nejcasteji tu jde o ruzne projevý hvezdne aktivitý), v podpovrchových vrstvých (pulzace vseho druhu) a ko-necne i samotnem jadru hvezdý, ktere bývý ohniskem vzplanutý supernov vseho druhu. Týto skupiný se dýle delý na tfídý a jednotlive týpý (viz obr. 2.2). Casto se jednotlive týpý promenných hvezd oznacují podle první nebo nejlepe prozkoumane hvezdý dane skupiný: 2.5. Typy proměnných hvězd 23 Tabulka 2.3: Katalogy proměnných hvězd v minulosti a dněs. Rok Autor Pocet hvezd 1786 Pigott )x 12 1840 Argelander )2 18 1850 Argelander )3 24 1856 Pogson )4 53 1865 Chambers )5 113 1866 Schönfeld )6 119 1868 Schönfeld, Winnecke )7 126 1875 Schönfeld )8 143 1877 Chambers )9 147 1884 Gore )10 191 1887 Gore )11 243 1893 Chandler )12 260 1896 Chandler )13 393 1903 Pickering )14 701 1907 Cannonova )15 1425 1918 Möller, Hartwig )16 1687 1920 Möller, Hartwig )17 2054 1922 Möller, Hartwig )18 2233 1926 Prager )19 2906 1930 Prager )20 4581 1935 Prager )21 6776 1940 Schneller )22 8254 1942 Schneller )23 9476 1948 Kukarkin, Parenago )24 10912 1958 Kukarkin aj. )25 14711 1969-70 Kukarkin aj. )26 20437 1972 Kukarkin aj. )27 22731 1974 Kukarkin aj. )28 25221 1985-87 Cholopov aj. )29 28277 1985 Cholopov, Samus aj. )30 28924 1987 Cholopov, Samus aj. )31 29587 1989 Cholopov, Samus aj. )32 30099 1990 Samus, Kazarovetsová )33 30264 1993 Samus, Kazarovetsova, Goranskij )34 30702 2012 Samus, Durlevich et al. )35 45835 2012 VSX )36 214 287 Publikace: 1) Philosophical Transaction of the Royal Society of London 776, for the year 1786, s. 189; 2) Schumachers Jahresbuch för 1844, s. 214, 1844; 3) Abgedruckt von A. v. Humboldt im Kosmos Band III, s. 243, 1850; 4) Astronomical and Meteorogical Observations made at the Radcliffe Observatory, Oxford, in the year 1854, XV, s. 281—298; 5) Monthly Notices 25, 208; 6) 32. Jahresbericht des Mannheimer Vereins för Naturkunde. Mannheim 1866; 7) Vierteljahrschrift der Astronomischen Gesellschaft (Leipzig) 3, 66; 8) 41. Jahresbericht... (viz 6) Mannheim 1875; 9) A handbook of descriptive astronomy. 3. vyd. Oxford 1877, s. 578; 10,11) Proceedings of the Royal Irish Academy — Ser. II, Vol. IV, s. 149—210 a Ser. III, Vol. I, s. 97—150; 12) Astronomical Journal (AJ) s. 300, 1893; 13) AJ s. 379, 1896; 14) Annals of the Observatory of Harvard College (Harv. Ann.) 48, s. 91—123; 15) Harv. Ann. 55, s. 1—88; 16) Geschichte und Literatur des Lichtwechsels der bis Ende 1915 als sicher veränderlich anerkannten Sterne (GuL), 1. díl, Leipzig, 1918; 17) GuL, 2. díl, Leipzig, 1920; 18) GuL, 3. díl, Leipzig 1922; 19) Kleinere Veröffentlichungen der Universitatssternwarte zu Berlin-Babelsberg (KVBB) 1, 1926; 20) KVBB 9, 1930; 21) KVBB 15, 1935; 22) KVBB 22, 1940; 23) KVBB 26, 1942; 24) GCVS, 1. vydaní; 25) GCVS, 2. vydaní; 26) GCVS, 3. vydání; 27) 1. doplnek ke 3. vydaní GCVS; 28) 2. doplnek ke 3. vydání GCVS; 29) GCVS, 4. vydan í; 30) IBVS 2681, 1985; 31) IBVS 3058, 1987; 32) IBVS 3323, 1989; 33) IBVS 3530, 1990; 34) IBVS 3840, 1993; 35 CDS GCVS k 15.4.2012, 36) CDS VSX k 30.12.2012. 24 Kapitola 2. Historie a souňcasnost víyzkumu promňenníych hvňezd Obrazek 2.2: Rozdelení promenných hvezd. Prevzato z http://outreach.atnf.csiro.au/. tak napríklad hvezdy typu W Ursae Majoris jsou zakrytove dvojhvezdy s vlastnostmi podobnými jejich hlavní predstavitelce W UMa, miridy hvezdy typu Mira Ceti atd. Existují i promenne hvezdy ktere vykazují soucasne hned nekolik typu promennosti, patňrí tedy souňcasnňe do nňekolika skupin promňenníych hvňezd. Aplikace spektroskopie, výzkum kinematiky promennych hvezd v Galaxii, merení paralax novíymi astrometrickyími metodami (HIPPARCOS) a dalňsí níastroje umoňznily odhadnout vzdíalenosti ňrady jednotlivyích promňennyích hvňezd a vypoňcítat jejich absolutní hvňezdníe velikosti. Tím bylo umoňznňeno znaízornit jednotlivíe typy promňennyíchhvňezd v plose HR diagramu (viz obr. 2.3). Tento zcela nový pohled na problematiku výzkumu promenných hvezd ukízal, ze urcite typy promenných hvezd zde zaujímají sve specificke místo. Poloha konkríetní hvňezdy na HR diagramu je díana její hmotností a víyvojovíym stadiem. Z tohoto pohledu se hvňezdnía promňennost zaňcala vyklaídat jako jistaí nemoc" , kterou si hvezda v prubehu sveho vyvoje chte nechte musí prodelat (obdoba tzv. detských nemocí). Ale ani tento vyssí stupen pozníní neprinasí odpoved' na zíkladní otazky: „Jak a proc se jasnost promenných hvezd mení?" K tomu je zapotrebí nejprve vytipovat nekolik základnách mechanismů, hvezdne promennosti a pomocí nich a teorie hvezdne stavby zkonstruovat soubor zakladních modelU promennosti. Pak je mozne rozebírat vlastnosti a chovaní realnych promenných hvezd, jejichz promennost lze zpravidla vylozit spolupusobením nekolika mechanismu promennosti. O modelech i mechanismech pro-mňennosti si povíme v dalňsích kapitolíach. 2.6. Brno a promenne hvezdy 25 SURFACE TEWPERATURE (K) 25000 10000 7500 60CO 5000 3500 D B A F G K M SPECTTWL CLASS Obrízek 2.3: Promenne hvezdy v Hertzsprungove-Russellove diagramu. Zdroj: http://webs.mn.catholic.edu.au/physics/emery/. 2.6 Brno a proměnné hvezdy Astronomie ma na Masarykove univerzite dlouhou tradici. Je zde vyucovana uz od dvacatych let minuleho století. Krítce po druhe svetove vílce zalozil profesor Josef Mikulas Mohr univerzitní astronomicky ístav, ktery vyrazne prispel k rozvoji stelírní astronomie v bívalem Ceskoslovensku. Mohruv nejlepsí zak - Lubos Perek, pozdejsí sef ístavu si privezl z pobytu v Leidenu plíny na stavbu reflektoru, kterou pak v Brne realizoval v univerzitní kopuli hvezdarny na Kraví hore v roce 1954. Na astronomickem ístavu pracovalo mnoho víznamních ceskích astronomu, krome vyse jmenovanych napríklad Vladimír Vanísek, Jirí Grygar, Zdenek Kvíz nebo Lubos Kohoutek. V padesatích letech se darilo brnenske astronomii nejen na akademicke pude, ale vznikla i lidova hvezdarna s planetíriem, v jejímz cele stanul prof. Oto Oburka. Ten na konci padesíatíych let minulíeho století inicioval vznik pozorovacího programu kríatkope-riodickích promenních hvezd pro astronomy amatery, zejmena z rad mlídeze. Pozdeji tento program prevzala pod sva krídla (Československa a posleze (Česka astronomicka spolecnost a její obnovena Sekce pro pozorovatele promenních hvezd. Sekce, její pozorovací program, získana data, organizovane zacvikove akce i vedecke konference pak proslavila brnenskou hvezdírnu v komunite pozorovatelu promenních hvezd a stelarních astronomu po celem svete. V cele Sekce se po Oburkovi vystrídali Jindrich Silhan, Zdenek Pokorní, Zdenek Mikulasek, Miloslav Zejda a od roku 2005 Lubos Brat. Se zmSenou vedeníí brnSenskíe hvSezdíarny na poScaítku 21. stoletíí se zmSenily i podmíínky pro cinnost Sekce. Symbiíza s Hvezdírnou a planetariem M. Koperníka v Brne byla preruse-na, Sekce zmenila sve sídlo, reorganizovala se, rozsírila svuj program. Podrobnosti lze najít na straínkaích Sekce na http://var.astro.cz. SouScasníe vedení brnSenskíe hvSezdíarny 26 Kapitola 2. Historie a soucasnost výzkumu promennych hvezd usiluje o navracení odborneho pozorovacího programu na pudu teto instituce. Mohutna prestavba budovy v letech 2010/2011 k tomu vytvorila predpoklady. Univerzitní astronomii se v Brne darilo se strídavími íspechy. Po skvelem zacatku v padesatích letech se v polovine 80. let dostalo univerzitní pracoviste pod tvrdí tlak dekanatu prírodovedecke fakulty, jenz tehdy astronomii vylozene nepral. Po odchodu L. Perka a V. Vaníska do Prahy se stal vedoucím pouheho oddelení astrofyziky prof. Miroslav Vetesník, ale jeho pracoviste se muselo nekolikrat prestehovat do stíle stísnenejsích prostor a personílní stav se neustíle snizoval. Presto se na observatori na Kraví hore zísluhou prof. Miroslava Vetesníka a zejmena RNDr. Jirího Papouska stale konala soustavna a homogenní fotoelektricka merení. Po príchodu Zdenka Mikulaska v roce 2002 byl zatraktivnen obsah studia, zvysil se pocet studentu a take pracovníku astronomickeho oddelení. V soucasne dobe patrí mezi hlavní vedecka temata, kterím se zamestnanci oddelení venují, horke hvezdy a hvezdne systemy s horkou slozkou, a dale pak promenne hvezdy vsech typu. Venujeme se komplexnímu studiu chemicky pekuliímích hvezd, spojitostí mezi geometrií jejich magnet-ickích polí a tvarem a rozlozením fotometrickích a spektroskopickych nehomogenit na jejich povrchu. Dalsí oblastí vízkumu jsou atmosfery a hvezdní vítr horkích hvezd, a to jak z teoretickeho tak i z pozorovatelskeho hlediska. V prípade promenních hvezd se zamerujeme na vívoj a testovíní novích sofistikovaních metod pro zpracovíní a interpretaci napozorovaních dat, ktere jsou aplikovany zejmena na zíkrytove dvojhvezdy a miridy. Nezanedbatelnou pozornost venujeme i víukovím metodam v astronomii a historii astronomickeho vzdelavíní. Astronomicke oddelení Ustavu teoreticke fyziky a astrofyziky spolupracuje s dalsími ceskími a slovenskymi institucemi, jmenovite jde o Astronomickí ístav Akademie ved CR v Ondrejove a Astronomickí ustav Slovenske akademie ved, zejmena pak s jejich stelarními oddeleními, se kterymi pracujeme na nekolika spolecních projektech. Astrofyzici z techto pracovist' rovnez zastit'ují diplomove a dizertacní prace nasich studentu jako skolitele. Pracovníci astronomickeho oddelení se podílejí na resení rady dvoustranních projektu a spolupracují s partnerskími institucemi napríklad v Polsku, Rakousku, Turecku, Recku, Mad'arsku, Cíne, Nemecku a jinde (více na stránkach oddelení http://astro.physics.muni.cz). Príkladem prestize a dobreho jmena brnenskeho pracoviste byla mezinarodní konference o dvojhvezdích BINKEY, na ktere prednaselo rada astronomu svetoveho jmena (http://astro.physics.muni.cz/binkey/). 27 3 Pozorování proměnných hvězd Proměnné hvězdy jsou objekty, jejichž pozorovatelné vlastnosti se průběhu casu mění. Probereme si ted' ve stručnosti ty charakteristiky, jichž si u promenných hvezd vsímame nejCasteji. 3.1 Astronomická fotomětriě Hlavním zdrojem informací o promenných hvezdach jsou casove zmeny jejich jasnosti. Zavislost jasnosti na case, tzv. světelná křivka ukazuje nejen na typ promennosti, ale prinaýsýí i radu dalsýích podstatnýych informacýí o objektu samotnýem, naprýíklad o jeho rozmerech a mechanismech promennosti a jejich parametrech. 3.1.1 Základní pojmy á vztáhy Zarení prichýzející k ným od zvoleneho objektu lze nahlízet jako proud fotonu o ruzne vlnove delce A ci frekvenci v pohybujících se rychlostí svetla c = 2, 99792458 • 108 m s-1, z nichz kazdý nese energii Ef a hybnost pf, pricemz platí: A =-, Ef = hv =-r-, pf = — = — =-r, (3.1) v A c c A kde h = 6,626069 • 10-34 J s. Vlnova delka zarení A se merí v metrech, ci v mensích jednotkých, jako jsou nanometry 1 nm = 10-9 m nebo v angstromech, 1Á = 10-10 m, zatímco frekvence v pocítí v hertzech, 1 Hz = 1 s-1. Zakladní fotometrickou velicinou je tzv. hustota zářivého toku F nebo tez bolomet-rická jasnost, coz je mnozství energie zarení, ktere projde plochou kolmo nastavenou smerem k prichízejícímu zírení o výmere 1m2 za 1 s. Dulezite je vsak zduraznit, ze tato plocha musí byt umístena za hranicemi zemskeho ovzdusí. Jednotkou bolometricke jasnosti nebo hustoty zariveho toku F je watt na metr ctverecní (Wm-2 = J m-2 s-1). Zakladní spektrofotometrickou velicinou je tzv. spektrálni hustota zářivého toku /a (A) nebo /v (v), coz je hustota zíriveho toku v urcite vlnove delce A nebo frekvenci v, pripadající na jednotku vlnove delky (1m, 1 nm, 1 Á) nebo jednotku frekvence (1 Hz). Jednotkami techto moznych vyjadrení spektrální hustoty zariveho toku jsou watt na metr krychloví (Wm-3), respektive joule na metr ctverecní (Wm-2 Hz-1 = Jm-2). Mezi temito velicinami platí tyto vztahy: F = f /v dv = j /a dA = j /a d(£) =j dv, =► /v = A^/a. (3.2) Zavislost spektralní hustoty zariveho toku na vlnove delce nebo na frekvenci urcuje rozdelená energie ve spektru, oznacovane casto zkratkou SED (Spectral Energy Distribution), nebo takíe obycejne spektrum objektu. Rigorózní určování průběhu spektrální hustoty zářivého toku /a(A) reálných objektů z pozemních observatoří je velice náročným merením, tákze bylo provedeno jen u nekoliká málo nejjásnejSích hvezd. Jáko etálon, z nehoz se pák odvozuje SED pro ostátní objekty, se uzívá merení /a(A) Vegy. Rovnez ták merení bolometricke jásnosti F je dosti nírocním íkolem 28 Kapitola 3. Pozorování proměnných hvězd mj. i proto, ze zemská atmosféra prakticky nepropustí záření s vlnovou délkou kratší než 300 nm. V minulosti se proto taková merení vedla z vysokých hor, prípadne vyskovych letadel, Ci ze stratosferickách balonu, v souCasnosti se taková pozorovaní provadejí z paluby umelych družic ci kosmickách sond. Ale i tam zustávají problemy se samotním merením, s propustností prístroju, citlivostí detektoru, coz je i prícinou, ze prakticka fotometrie i spektroskopie si vypracovala jináe metody a pracovná postupy. Pri běZně astronomickě fotometrii se jasnost dotycněho objektu zpravidla měrá fotometrem, coZ je prístroj schopný detekovat světlo s ácinností, ktera obecně zavisí na vlnově dělcě Rd(A). Pred fotometr se vkládají standardizovaně filtry c s definovanou propustností Rfc(A). Sada pouzitích filtrU c pak definuje tzv. instrumentální fotometrický systém, kde index c označuje jednotlivě filtry nebo takě fotometrickě barvy. Fotometr s filtrovím kolem byva pripojen k dalekohledu se svou specifickou propustností Rt(A). Signíl od hvězdy alě musí jestě prědtím projít několikakilometrovou vrstvou vzduchu se stopami vodní pary a rozptýlenými opticky aktivními částicěmi prachu. Propustnost těto dalsí prekazky stavící se postupujícímu zarení A), nazívana bězně atmosférická ex-tinkce, silně zavisí na vlnově dělcě. Hodnota atmosfěrickě extinkce se během pozorovaní navíc velice vyrazně mění a to jak co do amplitudy, tak i co do profilu funkce A). Skutěcně měrena hustota toku energie zarení FAc(t) jě pfí tomto ^poradím rovna in-těgrílu soucimí vsech zmíněních funkcí a spektrální hustoty zarivěho toku /a(A) pres vsechny vlnově dělky podlě vztahu: Í'OO Í'OO Fac(í) = / A(t, A) [Rfc(A) Rd(A) R (A)] /a (A) dA = / A(t, A) R (A) /a (A) dA Jo Jo (3.3) Soucin trí funkcí související s instrumentací naseho fotometru pripojěněho k dalekohledu Rc(A) = Rfc(A) Rd(A) Rt (A) podlě vseho malo zavisí na casu a vírazně na volbě konkrět-ního filtru c, nězívisí na momentalním stavu zemskě atmosfěry ve směru pozorovaněho objektu, protoze ta jě zohledněna specialním clenem - extinkcí A). Pomocí funkce Rc(A) lze definovat instrumentalní jasnost Fc príslusnou k filtru c a pouzívaněmu prístroji1, nebo takě jasnost v odpovídající fotometrickě barvě c. Měrěním jasností vybraních hvězd zvanych fotometrickě standardy lze pomocí jědnoduchích transformací dojít k jasnostem Fc v urcitěm mězinírodně uznavaněm fotometrickěm systěmu2: Fc = / Rc(A) fA - - = 1A/^//AíAA - ^ ^ Velmi informativní charakteristikou jasnosti v urcitě fotometrickě barvě jě tzv. efektivní vlnoví dělka daně barvy Aefc, ktera ním vpodstatě zaradí data změrena v dotycně oblasti do spektra hvězdy i do kontextu s měreními v jiních fotomětrickych systěmech3. 1 Pokud si svuj fotometr neodvezete za hranice zemske atmosfery, musíte se smírit s tím, ze prímo vzdycky budete merit hustotu záriveho toku Fac(í), nikoli Fc. Nicmene pri zvolení vhodne metody pozorovaní lze vliv atmosfericke extinkce docela dobre odhadnout a eliminovat. Bude to predmetem kap. 3.1.4.3. 2Problematikou prevodu instrumentálních jasností na jasnosti mezinarodní se zabyvame v kap. 3.1.3.5, mnohem více se ale o ní dozvíte v pracích Harmanec et al (1977) a Harmanec et al. (1994). 3 Jak je patrno z rovnice 3.4, hodnota efektivní vlnove delky nezavisí pouze na pozorovacím prístroji, ale i na rozlození energie ve spektru pozorovane hvezdy. Platí, ze cím teplejsí hvezdu budeme studovat, tím kratsí efektivní vlnova delka bude. Jde vsak o efekt druheho radu, ktery temer vymizí, pokud prejdeme k strednepasmovym nebo ízkopasmovym fotometrickym systemum. 3.1. Astronomickía fotometrie 29 Dalsí důlezitoů charakteristikoů daneho filtrů je i tzv. šířka filtru v polovicní vísce jeho maximalní propůstnosti FWHM (fůll width at half maximům), pomocí níz pak rozliňsůjeme mezi ňsirokopíasmovyími fotometrickyími systíemy, stňrednňepíasmovíymi a spe-cializovanyími ůízkopaísmovyími systíemy, jakyími jsoů tňreba absolůtní spektrofotometrie stojící napůl mezi klasickoů fotometrií a spektroskopií. Mezi množstvím používaných fotometrických „barev" zaujímá zvláštní postavení vizuální obor, definovaný filtrem V s propustností, jež odpovída spektrální citlivosti lidskeho oka v denním (fotopickem) režimu videní4. Nekolik vhodne zvoleních filtru spojených s detektorem o specificke spektralní citlivosti výtvarí instrumentalní zaklad pro tzv. fotometrický systém. Nejrozsírenejsí je Johnsonuv (standardní nebo mezinírodní) fotometrický sýstem a jeho dlouhovlnne rozsírení (viz kapitola 3.1.3). Specialní filtrý zde výmezují jasnosti v barve U (centrum v 365 nm), B (440 nm), V (550 nm), R (700 nm), I (900 nm), J (1250 nm) atd. Merením jasnosti hvezd v rade fotometrických barev si lze ucinit uspokojivou predstavu nejen o celkove hustote zariveho víkonu F, ale i o rozlození energie ve spektru hvezd, ktere je dano prevazne její povrchovou teplotou Tef, mene pak uz dalsími charakteristikami hvezd jako jsou chemicke slození nebo povrchove gravitacní zrýchlení g. Astronomove z tradicních i praktickích duvodu výjadrují jasnost zdroje zarení pomocí tzv. hvězdné velikosti výjadrovane v jednotkach zvaných magnitudy. Hvezdna velikost m je logaritmickí velicina svazana s príslusnou jasností Fc v barve c nebo bolometrickou jasností F v celem rozsahu spektra tzv. Pogsonovou rovnicí:5 mc = -2, 5 log ^FOl^J mag, mbol = -2, 5 log ^FĹ^j mag, (3.5) kde Foc je tzv. referencní jasnost, kterou ma zdroj s nulovou hvezdnou velikostí. Velicinou je tedý hvezdní velikost, jednotkou 1 magnituda, kterí ma povolenou zkratku mag.6 Podle týpu jasnosti rozeznavame napr. vizualní hvezdnou velikost my, oznacovanou nekdý prímo V, V = 3,18mag, bolometrickou hvezdnou velikost mbol aj. Prevodní vztahý mezi bolometrickou jasností Fbol a bolometrickou hvezdnou velikostí mbol výchízejí z definice, podle níz hvezda s bolometrickou hvezdnou velikostí mbol = 0 mag pusobí mimo zemskou atmosferu hustotu zíriveho toku F0 = 2, 553 • 10-8 Wm-2. Lze tedý psít: F = 2, 553 • 10-8 Wm-2 10-0,4 mbo1, mbol = (-18, 9824 - 2, 5 log F) mag. (3.6) V prípade vizualní hvezdne velikosti my je referencní jasnost pro my = 0 mag stanovena na Fov = 3, 2 • 10-9 Wm-2.7 Hvezdý v aktivní casti sveho zivota o sobe davají vedet predevsím svím elektromagnetickým zírením. Mnozství elektromagneticke energie v dane fotometricke barve c výslane 4Maximum propustnosti filtru V lezí u 554,4 nm, sírka ciní 84,3 nm (Moro & Munari, 2000). Hustota zariveho toku v barve V se tak prímo ztotoznuje hustotou svetelneho toku, nebo-li jasností j. Jednotkou jasnosti je i zde v principu Wm-2, vizualní jasnost lze ovsem tez výjadrovat ve speciílních jednotkach zavedených pro svetlo: [j] = 1 lumen m-2 5 Konstanta 2,5 v Pogsonove rovnici býla z historických duvodu výbrana tak, abý platilo, ze pri rozdílu 5 mag je pomer jasnosti 1:100 (log(100) = 2). Pro pomer jasností dvou objektu, jejichz hvezdní velicina je vzdalena príve o 1 mag, platí: Fc2/Fci = 100'4 = 2, 511886 Nezameňujte prosím s výse vzpomínanou konstantou 2,5 v Pogsonove rovnici. 6Rcení jako: „magnituda hvezdý je 4,7 mag" nemají smýsl. Rovnez nedoporucujeme psít do exponentu male m: 4m7, protoze „m" v exponentu je jiz výhrazeno pro výjídrení uhlu v h m s. 7Ve speciílních jednotkích platných jen pro barvu V to pak výpada tak, ze j0 = 2, 54 • 10-6 lmm-2 = 2, 54 • 10-6 luxu. 30 Kapitola 3. Pozorovýanýí promňennyých hvňezd za 1 sekundu do prostoroveho uhlu 1 steradianu (smerujícího k pozorovateli) vyjadruje tzv. zářivost zdroje, Ic, jez ma rozmer Wm-2 sr-1. Zarivost ízce souvisí s tzv. absolutní jasností v barve c, Jc, coz je hustota zúriveho toku hvezdy Fc = J Rc(A) /\(A)dA ve vzdalenosti r0 = 10 pc = 3,08568 • 1017 m, a absolutní velikostí Mc, coz je hvezdna velikost objektu sle-dovaneho v barve c rovnez z 10 pc. Jc = Í2 = 1, 050265 • 10-35 Wm-2 Ic, Ic = 9, 521406 • 1034 m2sr-1 Jc. (3.7) Ic = 2, 431 • 1027 Wsr-110-0,4Mc, Mc = (68, 464 -2, 5 log Ic) mag, (3.8) Fc = ^ = Jc (ľ^2 , ^ mc - Mc = 5log(r:^) =(m - M)o, (3.9) kde r je vzdílenost hvezdy. Poslední ze vztahu je dusledkem toho, ze se svetlo sírí prímocare, a platí tedy plne i pro merení v jakíchkoli filtrech8. Velicina (m — M)0 se nazíví modul vzdálenosti, a je tou vzdaleností plne urcen. V reílne situaci je treba jeste uvazovat tzv. mezihvězdnou extinkci, neboli zeslabení svetla zpusobene zpravidla rozptylem na prachovych císticích mezihvezdne latky Ac, jejízz velikost je zhruba neprímo ímerna v efektivní vlnove delce dane fotometricke barvy, takze pak pro danou hvezdu platí: mc = Mc + (m - M)0 + Ac = Mc + 5 log r - 5 + Ac = Mc - 5 log n - 5 + Ac, r = -, (3.10) n kde n je paralaxa v íhlovích vterinach, r je vzdalenost hvezdy vyjídrena v parsecích. Za predpokladu, ze hvezda zírí do prostoru rovnomerne ve vsech smerech, tedy izotropne, lze prejít od zarivosti Ic, udívane v jednotkach watt na steradiín, k zářivému toku v barve c c = J Ic(Q)dQ = dQ = 4 nIc = 4 Jc = 1,1965 • 1036 Jc, (3.11) Zariví tok hvezdy v barve c J VR0/ (3.17) kde (jTe4f je zariví víkon 1 m2 plochy o termodynamicke teplote rovnající se Tef, a 4 n R2 je plosna vymera koule o polomeru R. Slunecní zíriví víkon je L0 = 3.864 • 1026 W, efektivní teplota Tef0 = 5780 K, a polomer R0 = 6, 969 • 108 m. Je zjevne, ze víkon hvSezdy zíavisíí pSredevSsíím na jejíí efektivníí teplotSe, a teprve v druhíe SradSe na jejíí velikosti. To je i pSrííScinou skuteScnosti, Sze se na hvSezdníe obloze tak Scasto setkíavíame s hvSezdami teplejSsíími neSz Slunce, i kdySz v Galaxii jsou ve vyírazníe poScetníí menSsinSe. Efektivní teplota hvezdy Tef, ovsem nepopisuje jenom celkoví zariví víkon hvezdy, ale informuje naís tíeSz o rozloSzeníí energie ve spektru (SED). Toto rozloSzeníí níam udíavía zavislost spektralní hustoty zariveho toku fv ci /a na frekvenci v, prípadne na vlnove delce A (viz rov. 3.2). Jiste by bylo vítecne, pokud bychom meli pro kazdou hvezdu tyto veliciny k dispozici, protoze pomocí nich si uz muzeme vypocítat, co potrebujeme, a muzeme je tez srovnívat s teoretickími predpoveďmi SED a meditovat nad prícinami mozních rozdílu mezi teorií a skutecností. Tak tomu vsak není. Absolutní kalibrace spektralní hustoty zariveho toku Fa patrí mezi ty nejsvízelnejsí ukoly prakticke spektro-fotometrie. Nastestí je mozne postupovat tak, ze velmi dukladne a odpovedne promeríme rozlození energie ve spektru jedne, kalibracní hvezdy, vuci níz uz pak budeme ostatní svía pozorovaíní ostatních hvSezd vztahovat. Za kalibracní hvezdu byla vybrana a Lyrae neboli Vega, jízz byl prisouzen nominalní spektralní typ A0V, a hvezdní velikost v barve V = 0 mag. V nísledující tabulce jsou uvedeny namerene hodnoty spektralní hustoty zíriveho toku /a(A) v jednotkích 10-11 Wm-2 nm-1 pro efektivní vlnove delky fotometrickích barev nejuzívanejsích foto-metrickích systemu - sirokopasmoveho rozsíreneho mezinírodního systemu Johnsonova a Stromgrenova ízkopísmoveho systemu uvbý: filtr u U v B b y V R I J H K L M Aef í^m] 0,35 0,365 0,41 0,44 0,46 0,55 0,55 0,7 0,9 1,25 1,65 2,2 3,5 4,8 /a(A) 3,25 4,22 7,18 6,40 5,81 3,70 3,75 1,70 0,83 0,307 0,12 0,041 0,0064 0,0019 Pozorovatelsky jednodussím prostredkem pro posouzení rozlození energie ve spektru hvezdy je absolutní spektrofotometrie, kde se pomeruje prubeh spektrální hustoty zárive energie Fa(A) vztazene k spektrální hustote zárive energie v nejake referenční vlnove delce, nejčasteji Ar = 500 nm (jde tedy o jisty barevná index vztazeny k Xr). Pro tento áčel se zavádí speciální 3.1. Astronomická fotometrie 33 diferenciální spektrofotometrická hvězdná velikost m(A): m(A) = —25log( (3.18) Z definice plyne, že spektrofotometrická hvězdná velikost m(A) je pro referenCní vlnovou delku vždy rovná nule. Prakticky se absolutní spektrofotometrie provádí merením jasnosti hveždy íížkopásmovou fotometrií vymezenou filtry s velmi malou sírkou spektrílní propustnosti (mensí než 1 nm) v nekoliká desítkách vybraných vlnovích delek. Merení jsou to i ták dosti nároCná, opírájí se vždy o velmi peclivou kálibraci merícího prístroje á dukládne ocistení o vliv átmosfericke á tež mežihveždne extinkce. Vžhled žávislosti m(A) na vlnoctu (prevrácene hodnote vlnove delky) u konkretní hveždy je složitou funkcí parametru popisujících vlastnosti její átmosfery, dane žejmena její efektivní teplotou Tef, chemickím složením á gravitacním žrychlením pri povrchu hveždy g* (v m s-2), ktere se obvykle vyjadruje velicinou log g, log g = log g* + 2 (logaritmus gravitacního žrychlení v soustáve CGS). Odchylky od ideálního prubehu daneho žárením ábsolutne cerneho telesá teže efektivní teploty jsou žvlást' markantní pro hveždy spektrílní trídy A, kde intenžitá car nejhojnejsího ž prvku - vodíku, dosahuje sveho maxima. Absolutní spektrofotometrie popisující relativní rozložení energie ve spektru je jiste velmi komfortní záležitost, bohužel k dispozici je pozorování jen nekolik stovek tech nejjásnejsích hvezd. Je totiz nároCná ná svetlo, ná pozorovací podmínky á ná prístrojove vybavení, ktere má jen nekolik observátorí ná svete. Náproti tomu studií, kde se rozlození energie ve spektru studuje prostrednictvím tzv. bárevnych indexu, jsou tisíce. 3.1.2.2 Barevné indexy Barevny index hvezdy CI (z ángl. colour index) je rozdílem hvezdnych velikostí teze hvezdy ureenych ve dvou rozdílných bárvích c\ á c2 (vlnovích delkách), pro jejichz efektivní vlnove delky AC1 á AC2 plátí: AC1 < AC2. Vetsina používanych fotometrickych systemu pritom respektuje ímluvu, podle níž by mely mít referencní hustoty toku žárení FoC (viž rovnice 3.5) vsech fotometrickych bárev tákove hodnoty, áby melá hveždá spektrílního typu A0V nedotcená mežihveždnou extinkcí stejnou hveždnou velikost ve vsech bárvích. Pro takovou hveždu by prirožene by byly vsechny bárevne indexy nulovíe. K vípoctu bárevneho indexu pouzijeme vztáhy 3.4 á 3.5 CI (T) = mu - m-C2 = -2, 5 log /A(Aef Cl) FAcl FA0c2 ~ —2, 5 log fA(Aef c2) FAc2 FA0c1 FA0c^ RcldA = —2, 5 log = —2, 5 log / RclfA(A)dA Faoc2" / Rc2/A(A)dA Fa0c1. fA(Aef cl) fA(Aef c2) + Kclc2, (3.19) _FA0c1 / Rc2dA_ kde Kc1c2 je pro dání bárevní index konstántá s jednotkou mágnitudá. Podíl uvedeny v hránáte je funkcí teploty. Pro jeho odhád pouzijeme Wienuv zíkon, podle nehoz je fA(A, T) ~ A-5 exp (— kAT), kde k je Boltzmánnová konstántá. Dosádíme-li znovu do rov.3.19 dostáneme po chvíli álgebry tákovouto funkcní zívislost bárevneho indexu ná teplote: CI (T) = —2,5 log exp Í^G1- — A^)l| Aefc kT Aefc2 Aefc + Kdc2 = (T — C2, (3.20) 34 Kapitola 3. Pozorovaní promenních hvezd O) CD E, -1.5 -1 -0.5 m 0 z> > 0.5 m 1 1.5 0.5 1.5 2 - 2.5 10000/Tef [K-1] 3.5 Obrazek 3.1: Zívislost bárevních indexu (B-V) á (U-B) ná prevrácene hodnote efektivní teploty Tef. Je pátrno, ze závislosti nejsou zdáleká prímkove, ják by vyplíválo ze zírení AČT, ále zvlnene, coz plátí zejmená pro zívislost (U-B). Duvodem je zjevná odchylká zírení hvezdy od zírení AČT s toutez efektivní teplotou. Čerchovánou cárou je náznácená predpoveď (B-V) podle vztáhu (3.21), pokud zámeníme bárevnou teplotu zá efektivní. kde C1, C2 jsou slozite, lec konstantní funkce vsech vstupních parametru. Vzhledem k tomu, ze tato teplota byla odhadnuta pomocí barevneho indexu, mluví se o ní, jako o barevne teplotě Tb. Forma zívislosti pak treba opravnuje nísledující priblizní empirickí10 vztah mezi indikítorem teploty - barevním indexem B-V a efektivní teplotou 7300 (B - V) + 0, 52 (3.21) Barevna teplota se obecne odlisuje od efektivní teploty Tef, navíc pro kazdí jiny barevní index obecne dostaneme jinou barevnou teplotu. V oblasti efektivních teplot kolem 10 000 K kdy vodíkove círy nabívají sve maximalní intenzity, jsou odchylky rozlození energie ve spektru hvezdy od zarení ACT teze efektivní teploty velmi vyrazne. Presvedcit se o tom muzete na modelovem prípadu demonstrovanem na obr. 3.2. Barevne teploty jsou navíc silne ovlivneny mezihvezdnou extinkcí, kterou je nutno predem odecíst (viz kap. 3.1.4.2). Pro lepsí diagnostiku hvezd se zavídejí i slozitejsí barevne indexy jako linearní kombinace namerenych hvezdních velikostí v rímci urcitych fotometrických systemu, v nichz jsou mereny hvezdne velikosti pro ruzne barvy q : CIj = aíj m(cí). Príkladem muze poslouzit astrofyzikalne dulezití Strômgrenuv system uvby (viz kap. 3.1.3.3), kde se 10Tento vztáh byl odvozen ná zákláde skutecne pozoroványch bárevnych indexu B-V á efektivních teplot, AČT poslouzil jen jáko inspiráci. 2 0 1 3 3.1. Astronomicka fotometrie 35 4 x 1015 r _ 3 x 1015 CO E T7» 2 x 1015 -o u? 1 x 1015 0 x 100 0 200 400 600 800 1000 l [nm] Obrazek 3.2: Rozložení energie ve spektru hvéždy s efektivní teplotou Tef = 10 000K s atmosférou složenou použe ž vodíku a helia. Ve spektru hveždy dominují silne vodíkove Cáry v oblasti volne-važaních prechodu (Balmeruv skok). Rožložení energie pro ACT s teplotou 10000 K, B\(T), se od hveždneho nejvíce odchyluje v oblasti ultrafialoveho žarení. V opticke oblasti je žesíleno kontinuum ža Balmerovím skokem až po barvu V, což je pak prícinou mensího barevneho indexu, než by mel bít - hvežda se žde jeví jako objekt s vyssí teplotou. místo hvezdních velikostí v uvedeních barvach casto pouzíví i slozitejsích barevních indexu: y = V, (b — y), m1 = (v — b) — (b — y), c1 = (u — v) — (v — b). Zvlastním prípadem barevneho indexuje tzv. bolometrická korekce BC daní rozdílem mezi bolometrickou hvezdnou velikostí hvezdy a její vizuílní hvezdnou velikostí, takze B C = mbol — mV. Bolometricka korekce, rovnez vyjadruje rozlození energie ve spektru objektu, jez je v prípade hvezd urceno v prve rade efektivní teplotou Tef. Bolomet-rickí korekce byla definovína tak, aby byla nuloví u hvezd o povrchove teplote kolem 7000 K, jejichz zírení mí nejvetsí svetelnou ícinnost (hvezdy spektralního typu F). Smerem k vyssím i nizsím teplotam bolometricka korekce klesí, v extremních prípadech dosahuje az nekolika magnitud! (viz obrazek 3.3). Tento fakt je vyjídrením skutecnosti, ze u hvezd relativne vysoke ci nízke teploty se maximum vyzarovane energie presouví do ultrafialove, respektive infracervene oblasti spektra, kde jiz není lidske oko citlive. 3.1.3 Fotometrické systémy V astronomicke praxi se pro merení jasnosti kosmickích objektu pouzíva jasne definovaní soustava speciílních fotometrickích filtru, ktere spolu tvorí fotometrický systém. Filtry, ktere se vklídají do opticke cesty pri fotometrovíní, propoustejí svetlo v defi-novanem intervalu elektromagnetickeho spektra a urcují tak barvy fotometrickeho syste-mu. V soucasnosti víber filtru fotometrickeho systemu jiz není nahodní, dosti casto bíví 36 Kapitola 3. Pozorování proměnných hvězd Obrázek 3.3: Bolometrická korekce BC v závislosti na logaritmu efektivní teploty hvězd. Převzato z Flower (1996). šit na míru povaze rozložení energie ve spektru zkoumaných objektů11. Výběr pásem toho kterého fotometrického systému je ovšem diktován jak astrofyzikálními, tak ryze i praktickými důvody, jako jsou cena filtrů a jejich přístupnost na trhu, spektrální citlivost dostupných detektorů, nutnost vyhnout se některým spektrálním oblastem apod. Šířka pásma propustnosti použitých filtrů dělí požívané fotometrické systémy do tří tříd: jednak jsou to širokopásmové systémy (například Johnsonův systém UBV) pokrývající nejméně 30 nm v každém z filtrů, dále pak středněpásmové systémy, jako uvby s pásmy od 10 do 30 nm, a konečně víceméně monochromatické úzkopásmové systémy s křivkou propustnosti několika málo nm, které propouštějí jen velice úzkou část spektra hvězdy, nebo dokonce vydělují jen některé vybrané spektrální čáry. V současné době existuje už přes dvě stě nejrůznějších fotometrických systémů12, ale jen několik z nich se dočkalo většího rozšíření. U většiny systémů je možné provést standardizaci, tedy přepočítat výsledky naměřené určitým dalekohledem na určitém místě a s určitým detektorem na standardní podmínky (více v kap. 3.1.3.5). K tomu je nezbytné mít s dostatečnou přesností proměřené např. propustnosti užitých filtrů a citlivosti detektorů. Bohužel spousta originálních a neopakovatelných měření ztratila svou výpovědní hodnotu právě proto, že tato korekční měření nebyla provedena nebo byla provedena nepřesně a jediné originální fotometrické filtry daného fotometrického systému byly zničeny. Naštěstí se jedná jen o několik víceméně historických případů. Se standardizací fotometrických měření se začalo víceméně až po zavedení John-sonova systému UBV. Od padesátých let minulého století lze tedy pro většinu systémů 11Týká se to zejména objektů s atypickým SED, jako jsou třeba extrémně červené uhlíkové hvězd, Wolfovy Rayetovy hvězdy, chemicky pekuliární hvězdy, novy či komety 12Přehled systémů pod názvem Asíago Database on Photometríc Systems, který sestavili Ulisse Mu-nari, Massimo Fiorucci a Dina Morolze, lze najít na stránce http://ulisse.pd.astro.it/Astro/ADPS/. 3.1. Astronomicka fotometrie 37 standardizaci merení provídet. Ruzne observatore konecne mohly zacít porovnívat sve vísledky a pracovat na spolecních projektech. Tato unifikace prinesla sve ovoce zejmena pri vízkumu promennych hvezd. Polosírka fotometrickích barev by mela bít co nejmensí, aby se potlacil vliv clenu druheho a vyssího radu. Soucasne by mela bít limitní hveždna velikost co nejvyssí. Takovýto optimílní fotometrickí system by se hodil pro co nejpresnejsí stanovení spektrálního typu, luminožitní trídy, typu hveždne populace, velikosti mežihveždne extinkce, což by bylo možne odvodit použe pomocí techto parametru nebo barevnych indexu. Žadny takovy idealní fotometricky system ale v principu nerrrůže existovat, vsechny jsou jen jistym kompromisem, priblížením se k tomuto ideíalu. Praktickí fotometricky system musí pocítat s odlisnostmi instrumenrálního vybavení a stavu atmosfery, takze krome definice propustnosti idealizovaních fotometrickych filtru musí obsahovat i dostatecní pocet dobre promereních peclive vybraních nepromennych hvezd, hvězdných standardů. Bez tohoto kroku není mozny prevod z hvezdnych velikostí zmerenych ve vlastním - instrumentálním fotometrickem systemu na system standardní. 3.1.3.1 Historické fotometrické systémy Vizuální hvězdné velikosti mviz Lidske oko, jakožto detektor svetla, je nejcitlivejsí ve žlutoželene oblasti spektra, maximum citlivosti je kolem 550 nm pro videní denní (fotopicke), 480 nm pro videní nocní (skotopicke), kteríe se uplatní jen pŽri velice nížkíem osvŽetlení adaptovaníe sítnice. První vižualní odhady jasnosti uvedl ve svem katalogu Hipparchos, kterí kodifikoval system hvŽeždnyích velikostí. Vižuíalní odhady jsou tabelovíany takíe v nŽekolika velkíych hvŽeždníych kat-aložích ž 19. století, napr. HD katalogu. Presnost techto odhadu je nevelka - desetiny magni-tudy, navíc je Žskíala hvŽeždnyích velikostí v oblasti nížkíych jasností silnŽe deformovanía. Fotográficke hvězdné velikosti mpg Po vynaležu svetlocitlivych fotografickích emulží žacaly bít velmi bržy jasnosti hvežd prome-rovíny na fotografiích. Tento postup podstatne žvysil objektivitu merení a tež jejich dosah do oblasti velmi slabích hvežd. Protože bežne nesenžibilovane fotograficke desky byly citlive spísse na krátkovlnne žarení, lisily se fotograficke hveždne velikosti od hveždních velikostí vižuílních v žavislosti na barve hvežd, která je žase funkcí jejich efektivní teploty. Astronomove velice bržy žjistili, že existuje velice dobre definovana korespondence meži spektralním typem hvežd a barevnym indexem (mpg — mviz). Vžhledem k tomu, že takovy barevny index bylo možne žjist'ovat i u hvežd, ktere pro jejich malou jasnost nebylo tehdy možne spektroskopicky žkoumat, žastupoval barevnyí index parametr vyjadŽrující teplotu hvŽeždy. Fotometrie s prvními fotocitlivými diodami První fotoelektricka merení jasností hvežd provadeli Stebbins (1916) na Lickove observatori v USA a Guthnick a Prager (1918) v Potsdamu v Nemecku. Presnost merení vžrostla až na nekolik setin magnitudy. Maximum citlivosti diody používane Stebbinsem se nachaželo v modroželeníe barvŽe kolem 500 nm. Naproti tomu diody uŽžívaníe v Potsdamu byly nejcitlivŽejŽsí v modríe oblasti spektra. Fotometrie s fotonásobici á barevnými filtry V období meži dvema svetovími valkami se postupne žacalo používat fotometru, jejichž detektorem byl fotonísobic se ždrojem vysokeho napetí. Zvísena citlivost fotonísobicu dovolila 38 Kapitola 3. Pozorování proměnných hvězd používat i mžne bárevne filtry vymežující sledovanou oblást elektromágnetickeho žárení. Existují v te dobe i merení v nekoliká barvách, merení vsák nebylá nikdy dusledne stándárdižováná, tákže jsou nyní jen težko využitelná. 3.1.3.2 Johnsonův mezinárodní systém a jeho rozšírení Nejznámejsím á nejrozšírenejším hvezdním fotometrickím systemem zálozením ná trech sirokopásmovích filtrech je system UBV závedení Johnsonem13 á jeho spolupracovníky Johnson & Morgán (1953) v polovine minuleho století. Ten je reálizován tremi filtry: U: propustnost od 300 nm do 420 nm s máximem propustnosti kolem 358 nm; B: propustnost od 360 nm do 500 nm s máximem u 439 nm; V: propustnost od 460 nm do 740 nm s máximem u 545 nm. Obrázek 3.4: Propustnost filtrů v systému UBV Johnson á jeho spolupracovníci promerili pomocí ámerickeho fotonásobice IP21 mnoho tisíc hvezd á svá merení v UBV publikováli. Díky tomu á díky jásne definováním vztálmm mezi urcitími fyzikálními vlástnostmi hvezd á bárvámi uníenymi bárevními indexy (U-B) á (B-V) se jejich system stál nejuzívánejsím hvezdnym fotometrickím systíemem. V nekterích aplikacích se s oblibou používá diagram žívislosti barevného indexu (U-B), kterí odráží specificke vlastnosti hveždních fotosfer, na bárevnem indexu (B-V), jež je mírou efektivní teploty. Ná obrážku 3.5 je žnážornena žávislost (U-B) na (B-V) pro hveždy hlavní posloupnosti neovlivnene mežihveždnou extinkcí. Vsimnete si dohodnute orientace os tohoto diagramu - v levem horním rohu jsou hveždy namodrale s vysokou efektivní teplotou, v levem dolním pák poždní nacervenale hveždy s nížkou teplotou. Nážnacena je i temer prímková žávislost pro ábsolutne cerne teleso. Nejvetsí odchylka od tohoto prubehu je požorováná u spektrílního typu A0, s máximem Bálmerová skoku á pro hveždy chladne, kde rožložení energie silne modifikují molekulární spektrální pásy. Pro hveždy jiních luminožitních tríd (jiních povrchovych gravitacních žrychlení) vyhlíží tento diagram dost odlisne. V žásáde ták lže pomocí polohy hveždy na tríbarevnem diagramu 13 Systém je označován jako Johnsonův, ale nékdy též jako Johnsonův-Morganův. 3.1. Astronomicka fotomětriě 39 odvodit jak její efektivní teplotu Tef a tím i spektrální trídu, tak i luminozitní trídu, tedy zariví vykon L. Zname-li Tef a L, muzeme odhadnout i polomer hvezdy R. Neplatí to ovsem obecnňe (v nňekteríych pňrípadech poloha objektu na diagramu neurňcuje hvňezdníe charakteristiky jednoznaňcnňe). Velmi negativnňe se zde ovňsem projevuje vliv mezihvňezdníeho zňcerveníaní, kteríe zeslabuje svňetlo hvňezdy více v modríe oblasti spektra neňz v ňcerveníe (více v kap. 3.1.4.2). Tríbarěvní systěm UBV byl zahy rozsírěn (Johnson, 1965) do cěrvěně a infracěrvěně oblasti spěktra pouzitím sirokopasmovích filtru R (700 nm), I (900 nm), J (1250 nm), K (2200 nm) a L (3400 nm)14. Johnson volil filtry v infracěrvěněm oboru tak, aby píasmo jějich nějvňětňsíí propustnosti lěňzělo mimo oblasti sě zvyíňsěnou atmosfíěrickou ěx-tinkcí, pusoběnou zdě prěděvsím molěkularními pasy vody (J - 1,25 //m, H - 1,62 ^m, K - 2,2 ^m, L - 3,4 ^m, M - 5,0 ^m). Filtr H sě objěvil az roku 1967 a o jěho profilu sě vědly dlouhě diskusě, tabělovín byl az v praci Běssěll & Brětt (1988). 3.1.3.3 Stromgrěnuv systěm uvby(/3) Něvíhodou sirokopísmověho Johnsonova systěmu jě to, zě filtr U sě prěkríví s filtrěm B a zasahujě tak i do oblastí za Balměrovím skokěm, coz v podstatě zněmoznujě vyuzít jěj k ureění vísky Balměrova skoku. Astrofyzikílně stastnějsí jě proto strědněpísmoví systěm uvby, ktěry navrhl Běngt Stromgrěn (1956). Systěm obsahujě ctyri filtry s těmito paramětry: u: polosírka 30 nm, ěfěktivní vlnova dělka 350 nm; v: polosírka 19 nm, ěfěktivní vlnova dělka 411 nm; b: poloňsíňrka 18 nm, ěfěktivní vlnovía díělka 467 nm; y: polosírka 23 nm, ěfěktivní vlnova dělka 547 nm. 14Rozšírenemu Johnsonovu systemu se obcas ríka Arizonskí system. 40 Kapitola 3. Pozorovíaní promňěnnyích hvňězd Díky uzsím písum jě těnto systěm lěpě děfinovín a poskytujě těz srozumitělnějsí informaci o vlastnostěch zkoumaníych hvňězd. Kalibrovanía hvňězdnaí vělikost y sě pňrímo navazujě na johnsonovskou hvězdnou vělikost V, coz jě umozněno díky klidněmu pruběhu rozloňzění ěněrgiě vě ňzlutíě oblasti spěktra. Pro astrofyzikaílní aplikacě sě nějňcastňěji pouňzí-vají barěvně inděxy (b-y) a (u-b), dalě pak jiz zmíněně inděxy vělmi malo zavislě na mězihvňězdníě ěxtinkci: c1 = (u — v) — (v — b), m1 = (v — b) — (b — y), (3.22) z nichňz první inděx pňrímo souvisí s vělikostí Balměrova skoku, a druhyí s obsahěm kovovích prvku (odtud metalický index), ktěrí sě projěvujě zvysěním vískytěm spěkt-ralních car kovu v oblasti těsně za Balměrovím skokěm. Vyssí mětalickí inděx (větsí v) tak zpravidla znaměna vyssí obsah kovu. V něktěrích zdrojích bívají místo hvězdních vělikostí v uvby uvěděny věliciny: V, (b — y), c1 a m1. Zbyvající věliciny lzě dopoďtat podlě vztahu: b = V +(b — y); v = V + 2(b — y)+ m1; u = V + 3 (b — y) + 2 m1 + C1. (3.23) Stromgrěnuv fotomětrickí systěm bíva casto doplněn dvěma filtry cěntrovanym na strěd vodíkově cary Hg (486nm): strědněpísmovím filtrěm (polosírka 15nm) a uzko-pasmovím filtrěm (polosírka 3nm). Rozdíl hvězdnych vělikostí v těchto dvou filtrěch Obrízěk 3.6: Diagramy zavislostí indexu barevních c1 a m1 na barevnem indexu (b-y) ve Stromgrenove fotometrickem systemu uvby. Neprerusovaní cara ukazuje polohu hvezd hlavní posloupnosti neovlivneních mezihvezdnou extinkcí. Index c1 vyjadruje velikost Balmerova skoku, ktería dosahuje svíe maximíalní hodnoty pro hvňezdy tňrídy A0 s barevnyím indexem (b-y). Ten se bňeňznňe pouňzívía jako míra efektivní teploty, jeho velikost ale byívaí silnňe zkreslena mezihvezdním zcervenaním - smer jeho pusobení naznacuje sipka. Naopak index c1 je proti ícinkum mezihvezdne extinkce takrka imunní, a proto muze slouzit jako indikítor teploty hvezdy mnohem lepe. Metalickí index m1 dobre koreluje s obsahem tezsích prvku, takze napr. pro CP hvezdy bíva anomalne zvísen. Nicmene u normalních hvezd jej lze jako indikítor teploty rovnez lepe pouzít nez index (b-y). Zdroj: Dave Kilkenny: Photometry - I. „All sky" 3.1. Ástronomicka fotometrie 41 urcuje tzv. index /3. Pozorovaní v obou filtrech jsou vedena simultínne, coz potlacuje atmosfericke vlivy, navíc zmíneny index nezavisí na mezihvezdne extinkci. Index /3 je lineírne umerny ekvivalentní sírce círy Hg. Pro teple hvezdy (O az Á) tak predstavuje parametr souvisejíícíí s luminozitou hvezdy, pro hvezdy chladnejsíí je pak nezaívislyím meríítkem efektivníí teploty. 42 Kapitola 3. Pozorování proměnných hvězd 3.1.3.4 Další současné fotometrické systémy System družice Hipparcos Na astromětrickě druZici Hipparcos se u jednotlivých hvězd prováděla těZ solidní fo-tometriě s presností dosahující u těch nějjasnějSích hvězd i několik milimagnitud. Hlavní prístroj druzicě měril vě vělicě sirokěm (instruměntalním) pasmu HP. Navíc bylo zarění prichazějící do mapovacího zarízění rozdělěno na dva svazky a vě dvou fotonasobicích sě simultanně měrilo vě filtrěch BT a VT zhruba odpovídajících svím johnsonovskím prědloham. Pro zjist'ovaní proměnnosti sě nějlěpě hodí první barva, protozě měréní v ní jsou několikanísobně présnějsí a spolěhlivějsí, něz vě zbívajících dvou barvích. Nuloví bod byl děfinovan tak tak, zě HP = BT = VT = 0, 000 mag pro Vjohnson = 0, 000 mag a (B - V) = 0,000. Obor Aef [nm] FWHM [nm] Bt 435 72 Hp 510 220 Vt 550 95 Harmanec (1998) publikoval následující převodní vztah mezi hvézdnou velikostí V a hippar-covskou hvezdnou velikostí HP ve tvaru: V = Hp - 0, 2964(B -V) + 0, 0050(U-B) + 0,1110(B - V)2 + 0, 0157(B - V )3 + 0, 0072. CCD fotometrické systémy CCD dnes praktický výtlaCilý fotonasobiCe z pozice hlavního detektoru zaréní hvězd. Nevýhodou tohoto prechodu na CCD techniku je ale v naproste vetsine prípadu snízzení fotometricke presnosti zejmena pro standardizovanou fotometrii. Důvodů je nekolik - nesoulad pouzitých filtru, nedostatek vhodních standardních hvezd pro CCD, nedostatek standardních hvezd s dobrím rozsahem barev, neochota pozorovatelu venovat se po-zorovíní standardu. Vetsina uzivatelu CCD kamer pouzíva pro fotometrii sirokopasmove filtrý BVRI. Filtrý B a V zpravidla výhovují prvotní definici, zavedení Johnsona, i kdýz i tadý se nekdý pouzívají trochu odlisne filtrý Bessellový. Nejvetsí rozdílý jsou ale v barvach R a I. Zpravidla se nejedna o Johnsonový filtrý, ale casto o filtrý RC, IC v Cousinsove rozsíi^ení Johnsonova sýstemu Cousins (1976), prípadne v modifikaci Bessellove (1990) nebo Landoltove (1983). Zejmena A. U. Landolt publikoval rozsahla merení standardních hvezd vhodních pro CCD fotometrii. Jeho pole standardu se pouzívají dodnes. Fotometricke systémy přehlídkových projektů Prehlídkovích projektu jsou dnes desítký. Bohužel jejich autori casto „objeví", ze potre-bují pro sve ucelý noví fotometrickí sýstem. Pocet fotometrických sýstemu narustí, ale ne vzdý je bohuzel venovína pece i promerovaní standardu pro kalibraci a standardizaci merení. V nasledujícím prehledu uvedeme jen nekolik malo príkladu. Projekt WASP (Wide Angle Search for Planets), respektive SuperWASP je prehlíd-kový projekt zamerení na hledaní transitu exoplanet. Bezí od roku 2004 na dvou 3.1. Astronomicka fotometrie 43 stanicích na La Palma a v Jizní Africe. Kazdou noc se monitoruje hvezdne nebe pomocí serie CCD kamer 2048 x 2048. V prvních dvou letech nepouzívali zadny filtr, takze spektralní propustnost byla definovana optikou, detektory a atmosfárou. Od roku 2006 byly instalovany sirokopasmove filtry s sírkou pasma 400 az 700 nm (viz obr. 3.8). Obrízek 3.8: Pásmo propustnosti filtru prehlídky SuperWASP (nahore) vykreslene soubezne s atmosferickou propustností, citlivostí CCD a propustností pouzitích čoček. Spodní část ukazuje originální nefiltrovaní system spolu s SWASP filtrem a filtrem Tycho-2 V. Prevzato z Pollacco et al. (2006). Projekt digitalní prehlídky pojmenovany podle nadace A. P. Sloana (Digital Ský Surveý, SDSS) byl zahíjen v roce 2000. Jde o jeden z nejrozsahlejsích prehlídkovích projektu. Data jsou získavana pomocí speciílní kamery slozene z triceti CCD cipu, usporadaních do peti radku, z nichz kazdí ma pred sebou jiní barevní filtr. Byly zvoleny filtry u, g, r, i, z (Fukugita et al., 1996)(viz obr. 3.7). Tyto filtry se staly v podstate standardem pro nove budovane vetsí prehlídkove projekty. Nekdy se setkíme s oznacením u', g', r', i', z'. Autori projektu poskytli identickou sadu filtru i pro dalsí dalekohled, ale tam nebyly filtry umísteny ve vakuu jako u hlavního prístroje projektu. U filtru ve vakuu se totiz mírne smrstila povrchova inferferencní vrstva a to zpusobilo zmenu charakteristik o zhruba jedno procento. Ze dvou sad jediníeho fotometrickíeho systíemu tak de facto vznikly soustavy dve. 3.1.3.5 Standardizace fotometrických systémů Stezejní soucístí analyzy fotometrickích dat je tzv. standardizace fotometrickích barev. Pokud se nam uz podarí pozorovíní ocistit o vliv zemske atmosfery a získame hvezdne velikosti objektu takove, jake bychom namerili vne ovzdusí, je zahodno tyto vísledky transformovat tak, abychom je mohli porovnat i s daty, ktera jste porídili pred dvema tremi lety, nebo s daty získanymi z jiních pozorovacích stanovist', jiními filtry a detek- 44 Kapitola 3. Pozorovíaníí promňennyích hvňezd tory. I kdyz meríme v nejakem dobre definovanem systemů, jakím je UBV, prípadne uvby, nikdy se nam nepodarí dosahnoůt toho, aby nase zarízení melo relativní spektrální citlivost, kterí presne odpovída definici. I kdyby se nam to nakrísne povedlo, nebůdeme se z tíeto skůteňcnosti tňeňsit díele neňz jednů sezíonů, protoňze vlastnosti dalekohledů (napňr. spektrální odrazivost vsech zrcadel), spektrální propůstnosti filtrů, citlivosti detektorů apod. s casem mení. Normálni transformace jsoů ty, pri nichz se od instrůmentílních barev pňrechíazí do standardního fotometrickíeho systíemů. Obňcas vňsak potňrebůjeme pňrejít od jednoho fotometrickíeho systíemů na drůhyí, abychom mezi seboů mohli porovníavat hvezdne velikosti, ci barevne indexy získane v různích fotometrickích systemech. Temto transformacím se ríkí transformace speciální. Pokůd predem nezname rozlození energie ve spektrů hvezdy F (A), pak je v principů nemoňzníe pňrevíest hvňezdníe velikosti získaníe v jedníe (zpravidla instrůmentíalní) barvňe na hvezdne velikosti v barve drůhe15. Chceme-li tůto transformaci provest, můsíme jasnost hvňezdy zjiňst'ovat alesponň ve dvoů odliňsnyích barvíach. Platí to prosím i v tom nej-jednodůňsňsím pňrípadňe, kdy by sledovanyí objekt zíaňril jako absolůtnňe ňcerníe tňeleso o jistíe efektivní teplote. Lze ůkazat, ze v tomto prípade vystacíme s jednodůchoů lineírní transformaňcní rovnicí typů m(ci) = bii 612 m(c1) + ai (3 kde bij jsoů koeficienty barevneho systemů. To znamení, ze platí m (C2) - m (ci) = B21 [m (c'2) - m (ci)] + A21. (3.25) Více se o transformacích dozvíte napríklad z pojednaní Harmanec et al (1977); Har-manec et al. (1994). 3.1.4 Extinkcě a její eliminace 3.1.4.1 Opticka tlouSt'ka a extinkce Prostor mezi zkoůmaním objektem a merícím prístrojem není dokonale průhledny, ma nenůlovoů opacitu k. Vyslane svetelne kvantům se na sve ceste dloůhe i miliony parseků můze setkat s casteckami mezihvezdne latky nebo se shlůky molekůl vzdůchů ci prachem v zemskíe atmosfíere. Tato setkíaníí mohoů dotycníe kvantům pohltit a nebo, a to vyjde na stejno, odchýlit z původního smerů. Jak absorpce, tak rozptyl zarení pak způsobí to, ze se tok zírení zdroje zeslabuje, dochazí k tzv. extinkci. Predpokladejme, ze studujeme extinkci svetla o puvodní hustote zariveho toku vstupujícího do prostredí, v nemz jsou rovnomerne rozptílený castice s koncentrací n o ícinnem prurezu 1 mluvíme o vrstve opticky tluste. Z rovnic 3.26 take plyne, že opticka tloust'ka je velicina aditivní - roždelíte-li si napríklad cestu žarení na dva libovolne íseky a vycíslíte-li si jejich dílcí opticke tloust'ky, pak opticka tloust'ka obou íseku je soucet jednotlivích optickych tloustek. Dale platí, že pokud existuje pro žeslabení svetla nekolik mechanismu, pak vysledna optickí tloust'ka bude rovna prostemu souctu jednotlivych príspevku. Jsou-li opticke vlastnosti prostredí podel drahy svetla stejne (vsude stejní soucin qn, pak bude optickí tloust'ka cele trajektorie prímo ímerna její delce. Pokud žavisí ícinní prurež rožptylujících nebo absorbujících castic na vlnove delce, pak je žrejme, že i optickí tloust'ka bude funkcí efektivní vlnove delky nebo použiteho filtru c. Extinkci svetla v barve c, Ac lže ovsem tež popsat i prírustkem hveždne velikosti vyjadrením v magnitudach. K tomu použijeme Pogsonovy rovnice (viž rov. 3.5) a dame do souvislosti s optickou tlouŽst'kou v daníe barvŽe rc : Ac = 2, 5 log (-1- ) mag = —2, 5 log (e-Tc) mag = (2, 5 log e) rc mag = 1, 086 rc mag (3.27) \I0cJ Extinkce je tedy prímo ímerní opticke tloust'ce, pri orientacních ívahach mužeme dokonce bríat, Žže obŽe veliŽciny jsou si ŽcíselnŽe rovny. VŽse, co jsme psali víyŽse o optickíe tlouŽst'ce (aditivnost apod.) platí stejnou merou i pro extinkci Ac.16 O mechanismu, kterí žpusobuje extinkci Ac, hodne vypovídí její žavislost na vlnove delce. V astronomicke praxi se setkavíme se dvema nejduležitejsími mechanismy, v obou prípadech pŽritom jde o rožptyl svŽetla: 1. Mieuv rozptyl na mikroskopickích casticích prachu - uplatžuje se jak v mežihveždnem prostŽredí, tak v žemskíe atmosfíeŽre. Extinkce Ac tu je pŽrímo uímŽernaí koncentraci rožpty-lujících castic a neprímo ímerní vlnove delce, tedy Ac ~ n A"-1. Mieuv rožptyl je mj. i pŽríŽcinou toho, proŽc je cigaretovyí dyím namodralíy a disk MŽesíce pŽri jeho uíplníem žatmŽení okrovyí aŽž mŽedŽenyí. 2. Ráyleighuv rozptyl na nahodních shlucích molekul plynu - setkavame se s ním v žemske atmosfíeŽre. Extinkce Ac tu je pŽrímo uímŽernía hustotŽe plynu a nepŽrímo uímŽernaí 4. mocnine vlnove delce, tedy Ac ~ pA~fc. Tento rožptyl je žodpovední ža blankytnou modr bežmraŽcníe oblohy. 3.1.4.2 Mezihvézdná extinkce Pokud se žrovna nežabyívíame vyížkumem rožloŽžení a optickyích vlastností mežihvŽeždníeho prachu, pak asi budeme povaŽžovat mežihvŽeždnou extinkci ža pŽrítŽeŽž. Pro badatele v oboru promŽen-ních hvežd to ale nejsou problemy prílis velke. První sdelení je to, že až na víjimky17 se 16 Pokud by tedy byla mežihveždní latka rožložena podel drahy svetla rovnomerne, byla by extinkce ímerna vždalenosti objektu, v prípade stejnomerne atmosfericke extinkce by pak platilo, že extinkce je ímerna vždužne hmote X. 17Temi vyjimkami mohou byt promenne hveždy obklopene relatívne hustymi, nehomogenními oblaky mežihveždne latky, jako jsou treba Herbigovy hveždy nebo uhlíkove hveždy. Tam muže dochažet k variacím jasnosti i v rožsahu nekolika magnitud v casove skíle mesícu ci let, tím že hvežda obcas vykoukne dírou ve svem obalu. Charakteristikou takove situace je abnormílne vysoky a nekdy i promenny barevny index hveždy. 46 Kapitola 3. Pozorování proměnných hvězd velikost extinkce Ac v časové škále kratší než desítky let nemění. Vzhled světelných křivek v různých barvách tak není extinkcí dotčen, dotčeny jsou pouze střední hodnoty jasnosti v jednotlivých barvach. Nicmene, chceme-li pozorovanou hvezdu nejak zařadit mezi ostatní, je nanejvýs zídoucí zjistit, jake by byly její fotometricke charakteristiky, pokud by mezihvezdneho zaprísem nebylo. Zcela nezbytne to je tehdy, chceme-li pomocí promenních hvezd urcovat vzdalenosti hvezdnych agregítu, k nimz príslusí. Eliminaci mezihvezdne extinkce lze v principu provest z toho duvodu, ze její velikost citelne zavisí na vlnove delce, na níz dotycnou hvezdu zkoumame. Znamení to jedine - je naprosto nezbytne, abychom hvezdu pozorovali alespoň ve dvou, ci radeji hned ve trech nebo ctyrech barvích, protoze jedine pak bude mozne extinkci spolehlive odecíst. Známe-li velikost extinkce v barvě c, Ac, jsme schopni pomocí skutečně pozorovaně hvězdně velikost mc vypocítat hvězdnou velikost hvězdy m0c, kterou by měla, pokud prostor mezi nými a ní byl perfektně pruhlědný, podlě vztahu m0c = mc — Ac. Protoze platí, ze Ac > 0, je zjevně, ze extinkce zpusobujě zeslabení pozorovaně hvězdy, někdy o mnoho magnitud. Fakt, ze valnou větsinu mezihvězdně extinkce lze prlpsat na vrub rozptylu na prachově slozce mezihvězdně latky v optickě, infracervěně a blízkě ultrafialově oblasti spektra, tedy v oborech, kde se bězně fotometricka pozorovaní proměnných hvězd vedou, znamena, ze toto zeslabení jě větsí v kratkovlnně oblasti nez dlouhovlnně. Prachoví extinkce tak zpusobujě mezihvězdné zčervenání18. Znamena to mj., ze na barevně indexy CI, jakozto indikítory efektivní teploty, se nelze spolehnout, poněvadz jsou zvětseny o tzv. barevny exces E (Cl) = Cl — CI0. Pro velikost barevněho excesu lze v prípadě prachově extinkce psat: E (CI) = CI — CIo = nicx — nic2 — mon + moc2 = An — AC2 = AC2{^ — 1^ > 0, Ac2 = . ^. E (CI), AC1 = [l + Xc^ j E (CI), moc = mc — Ac. (3.28) Pokud bychom tědy nevzali v potaz barevny exces, obdrzeli bychom systematicky větsí odhady povrchovích teplot. Ale naopak, jestlize bychom dokazali odhadnout teplotu jinak, napr. ze znaměho spektralního typu, mohli bychom v tabulkích najít odpovídající hodnotu nězcěrvěnalěho barevněho indexu CI0 a pomocí něj a pozorovaně hodnoty CI pak odhadnout nězcěrvěnalě hvězdně velikosti v obou barvach podlě vztahu uvěděnych v (3.28). Co si vsak pocít, nemame-li k dispozici spolehlivě urcení spektralního typu? Rěsením jě vyuzití měrení ve fotometrickěm systěmu s nejměně tremi barvami. Jako príklad si zdě uvedeme klasicky Johnsonuv systěm UBV. Z pozorovíní vělkěho mnozství hvězd vyplíva, poměr excesu v barevních indexech (U-B) a (B-V) zpusobeních mezihvězdnou extinkcí jě víceměně konstantní, a ze ciní E(U — B)/E(B — V) ~ 0, 72. Soucasně víme, ze poměr mezi hodnotou extinkce v barvě V, AV existuje relace: AV = 3, 2 E (B — V). Zpusob, jak zjistit nězcěrvěnalě hodnoty obou barevních indexu znízornujě obr. 3.9. Zdě se vyuzíví skutecnosti, ze obrazy nězcěrvenalích hvězd na plose (U-B)-(B-V) vytvarejí dobre definovanou zavislost. Z po- 18Tento termín je ovsem ponekud žavýdejíčí, nebot' v nas vzbuzuje pocit, jakoby nekdo do svetla extinkcí zeslabenych hvezd pridaval cervene svetlo. Skutecnost je jina, extinkce jenom ubíra svetlo, mene v dlouhovlnne oblasti a více v kratkovlnne oblasti. Nejde tak o zcervenaní, ale spís o „odmodríní" svetla hvezdy. 3.1. Astronomická fotometrie 47 -1.5 1.5 -0.5 0 0.5 B-V [mag] 1 1.5 Obrázek 3.9: Na schématu je znázorněna závislost mezi johnsonovskými barevnými indexy (U-B) a (B-V) pro nezCervenale hvezdy hlavní posloupnosti. Prázdným koleCkem je naznaCena poloha zkoumane hvezdy, pokud by nebylo mezihvezdne extinkce. Ta posune obraz hvezdy ve smeru sipky v důsledku tzv. barevneho excesu o E (U — B) a E (B — V), plným koleCkem je vyznaCena skuteCne pozorovana poloha obrazu hvezdy. Vzhledem k tomu, ze smernici sipky posunu známe, muzeme najít polohu obrazu nezCervenale hvezdy a souCasne i hodnotu extinkce ve vsech trech barvach. Problemy nastavají tehdy, nemá-li áloha jedine resení. Tam je treba si vypomoci fotometrií v jinem vícebarevnem systemu. zorováneho obrázu hvezdy lze získát polohu bodu neovlivněného extinkcí á pomoci extinkce E (B — V) vypoCítát extinkci á o ni oprávit jásnost hvezdy ve V = V — AV á soucásne nezcervenále bárevne indexy (B — V)o á (U — B)0 á pomocí nich i U0, B0. Táke je mozne postupovát ták, ze si pro hvezdy merene v systemu (UBV) závedeme zvláštní bárevný index, který je nezávislý ná mezihvezdne extinkci Q, kde Q = (U — B) — 0, 72 (B — V). Zmíneny index se pomerne dobre hodí jáko indikítor teploty u horkích hvezd. Dálsí mozností, ják do znácne míry omezit vliv mezihvezdne extinkce je pouzívíní slozenych bárevnych indexu ve ctyr á vícebárevných fotometrickích systemech. Jejich príkládem mohou bít bálmerovskí c\ á metálickí index m\ v Stromgrenove fotometrii uvby. 3.1.4.3 Atmosférická extinkce Pro pozorovátele predstávuje zemskí átmosferá jákísi filtr propoustející (nebo táke nepropoustející) zárení zkoumáních objektu, jehoz vlástnosti se v prubehu pozorování nepretrzite mení. Atmosferická extinkce v bárve c se definuje jáko rozdíl mezi po-zorovánou hvezdnou velikostí mc á hvezdnou velikostí teze hvezdy pozorováne zá hranicemi zemske átmosfery m0c. Pro pozorovánou hvezdnou velikost mc v prvním priblízzení plátí: m(c, z) = m0(c) + k(c) X(z), (3.29) 48 Kápitolá 3. Pozorování promenních hvezd kde z je zenitová vzdálenost, k(c) je tzv. lineárni extinkCní koeficient v príslusne bárve vyjádrení v mágnitudích á X je bezrozmerná veliciná názívání vzdušná hmota, která vyjádruje relátivní vísku sloupce vzduchu v zemske átmosfere vztázenou k vysce sloupce vzduchu v zenitu, kde X(0) = 1. Pro plánpárálelní átmosferu plátí, ze vzdusná hmotá je neprímo umerná kosinu zenitove vzdílenosti. Ve skutecne zemske átmosfere je pro rozsáh zenitovích vzdáleností, v nichz se bezne pozoruje, mozno pouzít áproximáci ve tváru: X = (1 — 0, 0012 tán2 z) sec z. (3.30) Vyneseme-li si pozorovánou hvezdnou velikost m (ímernou nápr. velikosti víchylky merícího prístroje) ve stábilní átmosfere v zívislosti ná vzdusne hmote X sledováneho konstántne jásneho objektu, pák bychom meli obdrzet poloprímku (1 < X), jejíz sklon je roven extinkcnímu koeficientu á prasecík s osou y pák udívá vneátmosferickou hvezdnou velikost objektu m0. Problem ovsem je, ze celou tuto Bouguerovou poloprímku nelze obdrzet z dáneho místá v jeden okámzik, tákze zde bude hrát znácnou roli promennost extinkcního koeficientu behem pozorování. Ten se muze behem noci víznámne menit, zejmená pri prechodu front. Jinák je noc v tomto ohledu prece jenom klidnejsím obdobím, ve dne se extinkce mení dáleko rychleji á vírázneji. Dálsí komplikaci prinásí skutecnost, že i citlivost aparatury se behem požorovíní muže menit (tžv. žmená nuloveho bodu). Vlivy tohoto druhu lže álespon žcásti omežit diferenciálním me reníím s vhodne žvolenou srovníávácíí hveždou (hveždámi) podobníeho typu á vhodnou strátegiíí požorováíníí. Vždy by mel požorovátel do po rádu požorováíníí žá rádit mereníí jásnosti stán-dárdníích hvežd á hvežd extinkcníích. Oprává o extinkci se žprávidlá vžtáhuje k dotycníe noci. Extinkce zemske átmosfery je zpusobená jednák Rayleighovým rozptylem, jehoz ex-tinkcní koeficient zívisí jen ná poctu molekul v zenitovem vzduchovem sloupci. Je tedy umerny okámzite velikosti átmosferickeho tláku. Vzhledem k tomu, ze zmeny tláku v dánem míste o nádmorske vísce h nikdy nebívájí prílis drámáticke, lze pro strední hodnotu extinkcní koeficient Ráyleighovy slozky extinkce kRc(A, h) psít vyjádrení vycházející z modelu izotermicke stándárdní átmosfery s vískovou skálou 7996 m. 7 n imf Aefc 1 4 P(h) n 1n~\ Aefc l 4 \ — h l (qq-\\ kRc = 0, 107 —- —— mág = 0, 107 —- exp ——- mág. (3.31) 550 nm j P (0) |_550nmj [7996 m j Predlozeny vztáh jásne ukázuje ná víhodu vysokohorskích observátorí á pozorování v dlouhovlnnyích oblástech spektrá. Dálsí víznámnou á návíc silne promennou slozkou átmosfericke extinkce je rozptyl ná áerosolech o velikosti srovnátelne s vlnovou delkou svetlá kDc(t), kde plátí kDc (t) = kov (t) —. (3.32) 550 nm Práve zmeny záprásenosti zemske átmosfery mohou známenát vírázne zmeny celkove-ho extinkcního koeficientu. Vseobecne plátí, ze v nízko polozenych á mestskích observátorí ch je vliv práchove extinkce cásto prevysuje i Ráyleighovu slozku extinkce.19 19Prachová extinkce jeví silne sekulírní á sežínní variace. Ná observátorích vysokohorskych je žáprísenost minimílní v žime, kdy je vrstva inverže pod írovní hveždárny, v lete, kdy se dostává nad požorovací stanoviste, bíví žáprísenost žnacní. V Brne byví nejcistsí vžduch pocítkem ríjna, tam poprve pronikne relátivne cisty arktickí vžduch. Pák žáprásenosti vícemene monotónne pribyvá, áby se pák pocátkem ríjna vžduch opet vírážne vycistil. 3.2. Astronomickía polarimětriě 49 Vzhledem k tomu, ňze extinkci nikdy nemňeňríme pňresnňe monochromaticky, ale v urňcitíem intervalu vlnovyích díelek, bude situaci komplikovat skuteňcnost, ňze extinkce je zíavislía na vl-nove delce. Dusledkem pak bude, ze extinkcní koeficienty urcene prostrednictvím teplejsích hvezd budou vzdy o neco vetsí nez koeficienty zjistene pomocí hvezd pozdejsích spektrálních tňríd. Bude-li proto hvňezdníe pole bňehem pozorovíaní klesat k obzoru, relativnňe rychleji v nňem budou slaíbnout vlivem atmosfíerickíe extinkce hvňezdy ranňejňsích spektríalních tňríd. Tento efekt muze víznamne ovlivnit i ta pozorovaní, kde jasnost promenne hvezdy vztahujeme k vetsímu mnozství hvezd rozlozeních kolem ní, jak je to v prípade CCD pozorovíní. Rada pozorovatelu se CCD vychíazí z toho, ňze u CCD pozorovíaní jsou oproti pozorovíaní fotometrem vňsechny hvňezdy zaznamenaníe na snímku k sobňe uíhlovňe blízko. To znamenaí, ňze jsou zachyceny za prakticky identickíych atmosfíerickyích podmínek (stejnía zenitovía vzdíalenost, stejnía vzduňsnía hmota) a navíc ve stejníem ňcase. To jsou jistňe ideíalní podmínky pro diferenciaílní fotometrii, kde se jasnost promňenníe hvňezdy vztahuje k blízkyím srovníavacím hvňezdíam. Jenňze to neplatí zcela obecnňe. V rade prípadu je na CCD snímku zaznamenana oblast o rozmerech 1° a více a pak je nezbytníe s extinkcíí poňcíítat. A bríat v uívahu ji musííme i tehdy, jsou-li mezi hvňezdami vyíznamníe rozdííly v barvňe srovnaívacíích hvňezd. Pak se totiňz zaňcnou uplatnňovat i extinkňcníí ňcleny druhíeho ňraídu. Jejich vliv je znaňcníy hlavnňe u ňsirokopaísmovíe fotometrie. Sňkody daníe ignorovaíníím vlivu atmosfíerickíe extinkce jsou vňsak dosti potlaňceny faktem, ňze se tu pozoruje zejmíena v ňcerveníe barvňe, kde atmosfíera jiňz tolik nevadíí. Ale i zde se doporuňcuje víest pozorovíaníí tak, aby vzduňsnía hmota prílis neprekrocila bezpecnou hranici X = 2. Pňri praktickíě fotomětrii jě tňrěba vliv atmosfíěrickíě ěxtinkcě minimalizovat a co nějvícě sě pňriblíňzit iděíalu pozorovíaní mimo atmosfíěru. Tomu sě musí podňrídit i mětodika po-zorovíaní tak, ňzě sě jako srovnaívací hvňězdy pňrědnostnňě pouňzívají co nějbliňzňsí konstantní hvňězdy co nějbliňzňsího spěktríalního typu i hvňězdníě vělikosti. Za tňěchto okolností budě difěrěnciíalní ěxtinkcě minimíalní. Solidní pozorovíaní jě ňzíadoucí pňrěruňsovat za uíňcělěm promňěňrění vybranyích tzv. ěxtinkňcních hvňězd - zpravidla jdě minimíalnňě o fotomětrii vňzdy nějmíěnňě dvou dvojic hvňězd s ěxtríěmnňě odliňsnyím barěvnyím inděxěm a to tak, aby jědna dvojicě byla poblíňz zěnitu, zatímco druhía dvojicě zasě co nějníňz nad obzorěm. Tato mňěňrění jě vhodníě opakovat po dvou tňrěch hodiníach, vňětňsinou i s jinou ňctvěňricí ěxtinkňcních hvňězd. Kě koněcněmu zpracovaní pak pouzívamě spěcialní softwarě, kdě sě k ěliminaci ěx-tinkcě uzíva i víslědku ěxtinkcních měrení v daně pozorovací sězoně. Cěla procědura sě zacítěcníkum muzě jěvit jako zdlouhava a samoucělní, jějí oprívněnost sě alě projěví zějmíěna těhdy, jdě-li níam o co nějpňrěsnňějňsí a nějspolěhlivňějňsí pozorovíaní a těhdy, kdy mínímě spolěcně zpracovavat pozorovaní získaní v ruznych nocích, ruzními prístroji a v odliňsnyích astroklimatickyích podmínkíach. 3.2 Astronomická polarimětriě Aňz doposud jsmě mlňcky pňrědpoklíadali, ňzě zíaňrění, ktěríě k naím z věsmíru pňrichaízí, nění polarizovaníě něbo ňzě jěho polarizacě vznikía aňz těprvě po vstupu do zěmskíě atmosfíěry, a tudíňz v sobňě něněsě ňzíadnou informaci o povazě zaíňrícího objěktu. Toto by byla pravda, alě jěn těhdy, pokud bychom sě na oblozě sětkaívaly jěn s objěkty zaíňrícími jako abso-lutnňě ňcěrnía tňělěsa. Tak tomu vňsak nění, zíaňrící věsmír jě dynamickíy, navíc jě vyplnňěn i mězihvězdnou latkou, ktěra sě muzě o polarizaci postarat. Zarění takověho věsmíru 50 Kapitola 3. Pozorování proměnných hvězd je nutně polarizovaně, coZ jě dobre, protoZě ona polarizace v sobě nese dalsí dulěZitou informaci o stavu rady objektU včetně proměnných hvězd. Prostrednictvím polarimetrie se mUzeme získat dodatecně informace o geometrickěm usporadaní vyvinutých astronomických zdrojU, kterě bychom jinak nezjistili. Ve hvězdně astronomii napríklad muzeme studovat geometrii a dynamiku hvězdněho větru, disku a výtrysku a tak zkoumat procesy ztraty hmoty, hvězdný vývoj a nasledně i mezihvězdně prostredí. Polarimetricka měrem pomýhají pri studiu těsných dvojhvězd (umoznují urcení sklonu obězně roviny vuci směru k Zemi) nebo magnetických polí bílých trpaslíku nebo chemicky pekuliarních hvězd. První záznam v historii astronomické polarimetrie patří Aragovi, který si v roce 1811 vsiml, Ze sluneCní svetlo odraZene od mesíCního povrchu je polarizovane. PrestoZe k tomuto objevu doslo pred etablovaním spektroskopie v astronomii, astronomicka polarimetrie byla po dlouha desetiletí zcela opomíjena. Na konci 40. let 20. století ale William Hiltner a John S. Hall objevili nezavisle polarizaci svetla hvezd pusobenou mezihvezdnou latkou (Hiltner, 1949; Hall, 1949). Od te doby polarimetrie i v astronomii dospela a stala se jednou ze zíkladních metod astrofyzikílního vízkumu. Nejprve byly vyvinuty pokrocile metody v opticke a rídiove oblasti spektra. Dalsí oblasti - ultrafialove, infracervene nebo submilimetrove, prípadne rentgenove jsou v tesnem zavesu. Duvodem, proc trval vívoj astronomicke polarimetrie o poznaní dele nez napríklad spektroskopie, je to, ze stupeň polarizace je v astronomickích situacích obvykle malí, zpravidla mene nez jedno procento, maximálne nekolik procent. Presní merem takovích malych signalu v sobe zahrnuje uníovaní malych rozdílu u velkých intenzit. A krome toho, kvMi povaze vektoru polarizace je nezbytne provest nekolik pozorovaní za pokud mozno stejnych podmínek, abychom získali o polarizaci uíplnou informaci. Stabilita pňrístroje a pňrístrojovía polarizace musí byít mensí nez zhruba 0.1 - 0.05 %. Polarimetricka merení jsou take mnohem obtíznejsí. Protoze je polarizace ňcasto menňsí neňz jedno procento, je tňreba, aby pomňer signíal ňsum byl alesponň 10krít vetsí nez u spektroskopie. To ale vyzaduje stokrat az tisíckrat delsí expozicní casy. Dalsím problemem je to, ze polarimetricke pozadí ve viditelnem svetle muze bít snadno kon-taminovíano svňetelnyím zneňciňstňením, zodiakaílním svňetlem mezihvňezdnou polarizací a podobnňe. 3.2.1 Stokesův vektor Elektromagnetickě vlnění lze charakterizovat pomocí dvou slozek - vektoru intenzity elektrickěho pole E a vektoru magnetickě indukce B. Tyto vektory jsou pritom navzajem kolmě, kmitají kolmo ke směru sírení vlny a mají souhlasnou fýzi. Polarizovaně zarení vzniký omezením kmitu vektoru intenzity elektrickěho pole E. Pokud pri pohledu proti směru sírení vlny kmita v jedně prímce, jedna se o lineýrní polarizaci. Jestlize vsak koncovy bod vektoru E opisuje elipsu, prípadně kruznici, jde o eliptickou, respektive kruhovou polarizaci. Obecně muze být prijímaně zarení kombinací linearně a kruhově polarizovaněho zarení. Polarizaci muzeme popsat pomocí Stokesova vektoru S (I \ Q Io - U I45 - - I135 Ví - (intenzita ^ linearní polarizace 0°/90° lineýrní polarizace 45°/135° \kruhova polarizace leva /prava / (3.33) 3.2. Astronomická Polarimetrie 51 Tabulka 3.1: Příklady normalizovaného Stokesova vektoru. (Q/I, U/I, V/I) popis (0,0,0) (1,0,0) (0,-1,0) (0.15,0.26,0) (0.001,0,0.01) nepolarizované zaření; I0 = I90, I45 = I135, I = Ip,p = 0 zcela linearné polarizované v kladném sméru Q Io = i, I90 = 0, I45 = I135, I = ip,p =1, e = o° 100% lineární polarizace ve sméru 135°; io = I90, I45 = 0, I135 = i, I = ip,p =1, e = 135° 30% linearní polarizace ve sméru 30° 1% kruhová polarizace s 0.1% složkou v lineíarní polarizaci Casto se pouzívá normalizovaná Stokesuv vektor / Q/i \ u/i (3.34) kde parametry Q/I, U/I, V/I lze chípat jako slozky vektoru, jehoz délka vyjadruje míru castecné polarizace nebo chcete-li stupeň polarizace p = V^Q/I)2 + (U/I)2 + (V/I)2 < 1. (3.35) Je-li zarení polarizované jen linearné, pak je stupeň polarizace piin = ^(Q/I)2 + (U/I)2 (3.36) a orientaci polarizovaného vektoru E lze vyjadrit jako e = 1 arctan(U/Q), pricemz Q/I = p cos2e, a U/I = p sin2e. (3.37) Jestlize napríklad méríme prichazející fotony od nejakého zdroje zarení, pak mérení polarizace znamena provést mérení poctu zcela polarizovaných fotonu ve dvou opacnych polarizaňcních moídech: - N0 a N90 pro urcení Stokesova parametru Q, - N45 a N135 pro urcení Stokesova parametru U, - Nl a Np pro urcení Stokesova parametru V. Je-li pozorovanyí objekt izotropnňe zíaňrícím tepelnyím zdrojem, vyzaňruje nepolarizovaníe zarení a oba mérící kaníly by mély ukazat stejné pocty fotonu (v rímci presnosti Pois-sonovy statistiky), to znamena pro Q bude N0 = N90 = N/2 a obdobné pro parametry U a V. 52 Kapitola 3. Pozorovíaní promSennyích hvSezd 3.2.2 Polarizace zaření kosmických objektů Jak jsme jiSz uvedli, je polarimetrickíe mSeSrení velmi obtíSzníe zejmíena proto, Sze stopa polarizace" v astronomickych datech bíva zpravidla velmi slaba. Astronomickí polarime-trie ma zatím „jen" nekolik, ale velmi dulezitích aplikací. V nísledujícím strucnem prehledu jsou uvedeny nejdulezitejsí mechanismy vzniku polarizovaneho zarení a jejich projevy u astronomickích objektu. NejbSeSznSejSsí polarizovaníe svSetlo z vesmíru je víysledkem rozptylu. Procesy rozptylu se objevují prakticky vSsude v astronomii, ale k tomu, abychom dostali Scistyí a silnyí polar-izaScní signíal, je zapotSrebí silnía asymetrie v geometrii rozptylujícího objektu. Zdrojem takovíeho lineaírnSe polarizovaníeho zíaSrení je napSríklad rozptyíleníe sluneScní svSetlo z MSesíce, planet a jejich satelitu, planetek, komet a dalsích objektu Slunecní soustavy (polari-zovíno na urovni 0,1 - 50%), plyn a prach v okolí hvezd, ktere ztracejí hmotu nebo dochízí teprve k jejich formovíní (lineírne polarizovane zarení az do ~ 50%), prípadne rozptyl v okolí aktivních galaktickyích jader na materiíalu poblíSz akreující obSrí Scerníe díry. Pro emisi a absorpci atomu a molekul v magnetizovanem plazmatu je charakteristickí Zeemanuv jev. Urovne energií atomu a molekul jsou rozdeleny kvuli orientaci jejich uhlovích momentu. Rozdílne „magneticke" podurovne pak produkují emise a absorpce s opacními polarizacními signaly. Typicky polarimetrickí profil cary se Zee-manovyím efektem je pak modríe kSríídlo Scíary s kruhovou polarizacíí a Scerveníe kSríídlo Scíary s opaScnSe orientovanou kruhovou polarizacíí. Lineíarníí polarizace je zpravidla o rad slabsí nez kruhova polarizace. Zeemanuv efekt lze pozorovat napríklad ve slunecní atmosfíeSre, v oblasti sluneScních skvrn, u magnetickyích hvSezd se silnyím a rozsíahlyím magnetickyím polem v podobSe globaílního dipíolu (bílí trpaslíci, magnetickíe chemicky pekuliaírní hvSezdy) nebo u rychle rotujících hvSezd sluneScního typu s velmi kontrastními skvrnami na povrchu, prípadne muzeme z polarizace emisních car detektovat magneticka pole i v mezihvSezdníem prostSredíí. Pokud se v magnetickem poli budou velmi rychle pohybovat castice (vetsinou elektrony), pak budou generovat synchrotronove, prípadne cyklotronove zírení s linearní a kruhovou polarizacíí, jejííSz orientace zíavisíí na orientaci magnetickíeho pole. S tíímto typem zíaSreníí se setkíame napSrííklad v koronaích hvSezd, kde vznikía silnSe promSenníe po-larizovaníe synchrotronovíe ríadiovíe zíaSreníí. S relativistickyími elektrony se ale potkaíme take u vítrysku z kvasaru a u gama zableskl, ktere produkují polarizovane emise az do 30% lineíarníí polarizace a nSekolika procent kruhovíe polarizace v ríadiovíe ale i ve vizuaílníí oblasti. Relativistickíe elektrony v mezihvSezdníem prostSredíí a mezigalaktickíem prostredí se pak vyskytují v oblastech srazek, rízovych a podobne jako u pozustatku po supernovíach. Pro uíplnost jeSstSe uved'me polarizaci absorpcíí nebo dvojlomem, kteríe se v astronomii vyuSzíívajíí pSri studiu mezihvSezdníeho prostSredíí. 3.2.3 Polarimetrický pozorovaní PoSzadavky na astronomickía polarimetrickaí pozorovíaníí jsou diktovíany tíím, co vlastnSe chceme zkoumat. MSeli bychom zvaSzovat, zda lineaírníí nebo kruhovou polarimetrii, zda polarimetrii nebo spektropolarimetrii. Pro polarimetrii jednoho objektu muze bít místo fotometrickych merení v nekolika filtrech víhodna spektropolarimetrie. Spektrum i s níz- 3.3. Astronomickía spektroskopie 53 kím rozlisením totiz poskytne polarizacní signal v sirokem rozsahů vlnovych delek v jednom pozorovaíní. Spektropolarimetrickía data mohoů byít velmi ůňziteňcnía pňri vyízkůmů a odlisení polarizace různích emisních slozek a príspevků mezihvezdne polarizace. Ú spektroskopie pro polarimetrickaí mňeňrení je ale nezbytníe zvíaňzit, zda je rozliňsení spektrografů dostateňcníe. Pozorovatel by mňel takíe rozhodnoůt, zda je nezbytnaí absolůtní polarimetrickaí kalibrace a jakaí je poňzadovanía polarimetrickía citlivost pro normalizovanoů polarizaci. Pňresnía polarimetricka pozorovaní relativne slabích objektů jako aktivních galaktických jader, sůpernov nebo gama zablesků je jednodůse limitovano statistikoů fotonů. Takze jed-noznacny pozadavek pro lepsí polarimetricka data je jednodůchy a zrejmí - proste více fotonů. Dalňsí otaízkoů ke zvíaňzení pňred polarimetrickyím pozorovíaním je prostorovíe rozliňsení pro obrazovoů polarimetrii, zejmíena pro prostorovňe rozsíahlíe objekty. Polarizace totiňz ů nerozreseních zdrojů můze mít kladnoů i zípornoů hodnotů signílů s opacnoů polarizací, takze se slozky vzíjemne vyrůsí a zídna cista polarizace nezůstane. Takze i objekt s velmi silnoů polarizací s kladními a zaporními znaky se můze jevit jako cíl s velmi slabyím polarizaňcním signíalem pňri pozorovíaní s nízkyím rozliňsením. Lepňsí sitůace je pňri Zeemanovňe spektropolarimetrii, kde se ňcasto jako referenňcní hodnota pro polarizaci bere kontinůům. Pak je moňzníe dosíahnoůt i velmi vysokíe polarimetrickíe citlivosti, i kdyňz v tíe chvíli odsůneme do pozadí otíazků absolůtní kalibrace dat. Protoňze ale spektríalní ňcíary jsoů sloňzeny z kladníe a zíaporníe polarizaňcní sloňzky, je nůtníe dostateňcníe rozliňsení spektrografů, nebot' jinak se signíal vyrůňsí. Ú polarimetrickyích mňeňrení ale více neňz ů jinyích platí, ňze samotnyí dalekohled a detektor vyíraznňe ovlivnňůje pňrichíazející zíaňrení a jeho polarizaci. Je tedy nezbytníe vzít v ůívahů vňsechny komponenty tíeto soůstavy a vyísledky mňeňrení patňriňcnňe kalibrovat. V zaísadňe kaňzdyí sklonňeníy povrch vníaňsí do signaílů novoů, pňrístrojovoů polarizaci. Napňríklad rovinníe zrcatko (M3) ů dalekohledů typů Nasmyth s hliníkovím pokovením, sklonene vůci prichazejícím paprskům o 45°, pridava polarizaci zhrůba 5% a způsobůje retardaci signíalů zdroje, kteraí pňribliňznňe 10% Stokesovy lineaírní sloňzky Ú konvertůje do sloňzky krůhove polarizace V. Zíakladní princip polarimetrickyích mňeňrení spoňcívía v ůrňcení normalizovaníych Stokeso-vích parametrů Q/I, U/I a V/I, coz jak víme jsoů rozdíly intenzit signalů ve dvoů opačnýčh polarizacních modech. V podstate můzeme intenzity merit dvema způsoby. Pomocí jednoho svazků paprsků meríme postůpne dva polarizacní mody (napríklad I0 a Ig0) nejakím polarimetrem. Můzeme ale take svazek paprsků rozdelit a merit oba polarizacní mídy soůcasne. Jestlize ale meríme více nez jeden Stokesův parametr, můsíme merit vícekrít, alespon trikrat pro získaní Q/I a U/I a nejmene ctyri merení, jestlize ůrňcůjeme i V/I (Schmid, 2012). 3.3 Astronomicka spektroskopie Spektroskopie je stňeňzejníí metodoů poznaívíaníí okolníího vesmíírů. Historicky vlastnňe stíala ů zrodů astrofyziky. Bez spektroskopie bychom nyníí mňeli k dispozici jen zlomek soůňcas-nyích informacíí o vesmíírů. Staňcíí si pňripomenoůt zaíkladníí astrofyzikíalníí, HR diagram nebo Hůbblův vztah pro extragalaktickoů astronomii. 54 Kapitola 3. Pozorování proměnných hvězd Nástrojem studia spektroskopie jě analýza spektra, respektive jeho záznamu. Spektrum muZemě definovat jako funkci spektrýlní hustoty zýriveho toku fv(v) = /a(A) (viz kap. 3.1.1) prichazejícího k ným od zkoumaneho objektu20. 4 300 400 500 600 700 800 900 1000 Vlnová délka [nm] Obrazek 3.10: Relativní rozložení energie ve spektru hvezd různých spektrálních typů vztažená k spektrální hustote toku zárení o vlnove delce 550 nm. 3.3.1 Charakteristiky spekter Spektrum predstavuje jakousi vizitku, kterou nám posílají vesmírne objekty. Lze z nej vyCíst opravdu rozsahle mnozství informací. U hvezd jsou to napríklad ídaje o jejich efektivní teplote, tlaku, chemickem slození nebo turbulencích ve hvezdních fotosferach, rotaci nebo pulzacích hvezd, prítomnosti souputníku, magnetickem poli, u galaxií pak jejich vzdalenost, vnitrní strukturu a pohyby a jine. Spektroskopie se dnes vyuzíva i ke studiu dalsích objektu -(exo)planet, komet, mlhovin aj. V dalsím vykladu se ale zameríme na spektroskopii hvezd. Hvezdna spektra, jez vznikají ve hvezdných fotosferach, jsou typický spojitý s absorpčními, občas i emisními carami. Carově spektrum vznika výzaně-vazanými prechody mezi jednotlivími energiovými hladinami atomu nebo molekul. Ve spektru vodíku círý tvorí tzv. sěrie, jez jsou mnozinou car vznikajících pri prechodech z libovolně výssí hladiny do některě pevně zvoleně hladiny. Lýmanova sěrie v ultrafialověm oboru tak odpovída prechodum do první, cili zakladní energetickě hladiný, Balmerova sěrie ve 20Spektralní anatyze se podrobneji venují kurzy Fyzika hvezd a hvězdných soustav, Hvězdné atmosféry nebo Fyzika horkých hvězd. 3.3. Astronomická spektroskopie 55 viditelné oblasti spektrá zahrnuje prechody do druhe energiove hladiny, infráCervená Páschenová serie do tretí, Bráckettová do Ctvrte, Pfundová do páte átd. Spojite zárení kontinua náproti tomu mUze vznikát prechody volne-volnými, vázáne-volnými nebo rekombinácí. Astrofyzikálne nejduležitejsí prvek - vodík, pfíspívá k tvorbe spojiteho spektrá vázáne-volnými prechody, pri nichz dochází k prechodu elektronu z nektere z nizsích ener-giovíych hládin do prostoru nebo náopák k záchycení kolem letícího elektronu vodíkovyím iontem ná nekterou z nizsích hládin. Rozezníváme ták nápr. Bálmerovo kontinuum v blízke ultráfiálove oblásti nebo Páschenovo kontinuum ve viditelne oblásti spektrá. Nejvyssí právdepodobnost májí ty prechody, kdy kinetickí energie uniknuvsího nebo polápeneho elektronu je co nejmensí. Známená to, ze nejvíce vyzáreních á pohlceních fotonu v kontinuu je tesne zá hránámi spektrílních serií, coz je dobre pátrno ná obr. 3.2. V prípáde chládnejsích hvezd, jáko je trebá náse Slunce, hráje pri vzniku kontinuá rozhodující roli ionizáce á deionizáce tzv. negátivního iontu vodíku - átomu vodíku se dvemá elektrony. 3.3.2 Základní pojmy „Spektroskop (vidmojev) jest přístroj pro pozorování a srovnávání spekter..." tolik Ottův slovník naůčný. První spektroskop, tedy prístroj, který vytvorí obraz spektra a ůmozní jeho vizuální pozorovaní, vyrobil Joseph von Fraůnhofer v roce 1817. Pozdeji s vynalezeni a vývojem fotografie byla číst pro vizůílní sledovíní nahrazena častí pro zaznam sledovaneho spektra (spektrogram) a vznikl spektrograf. Spektrografy rozlisůjeme podle disperzního členů a vzhledů tzv. disperzní fůnkce, coz je vztah mezi polohoů ve spektrů x a vlnovoů delkoů A: 1. hranolovy (1 az 3 hranoly) - hranoloví spektrograf je historicky starsí; vyůzíva rozdílů v indexů lomů materialů hranolů pro různe vlnove delky svetla. Štandardne byví pripojen k dalekohledů v místech, kde se tvorí obraz. Poloha spektrílní cary ve spektrů x zrejme zavisí na vlnove delce svetla A, ktere ji tvorí. Disperzní fůnkce ma nejcasteji tvar: A = Ao + (x — x0)-a, kde xo je libovolne zvoleny počítek, Ao, C, a a jsoů konstanty prolození. Nevíhodami hranoloveho spektrografů je silne nelinearní disperzní fůnkce, ztríty svetla průchodem jedním nebo i více hranoly, a nemoznost pozorovaní ůltrafialove casti spektra, ktera je sklem hranolů pohlcovana. To vse nahraví vetsímů rozsíření mrízkovíčh spektrografů, prave na íkor hranolovych. Nicmene v historii sehraly hranolove spektrografy velkoů roli. Uplatnily se zejména objektivove hranoly, ktere ůmozňůjí získat zaznamy spekter najednoů pro vsechny hvezdy v poli. Hodí se tak víborne pro spektrílní klasifikaci hvezd. S jejich pomocí byly take vytvoreny spektro-gramy pro HD katalog. 2. mrízkove spektrografy - K rozlození svetla se vyůzíva difrakce na mrízce a nísledne interference. Na rozdíl od hranoloveho spektrografů je disperze stejní pro vsechny vlnove delky. Predpoklídejme, ze na mrízků s typicky 600 vrypy na mm dopada svetlo pod íhlem a. Po ohybů je paprsek odchylen od kolmice o íhel //, pričemz platí mA = d(sin // + sin a), kde d je vzdalenost soůsedních vrypů mrízky, tzv. mrízkova konstanta, m je rad spektra. Získaní zaznam spektra na detektorů je tedy tvoren celoů radoů spekter odpovídajících různím radům spektra (hodnotím m). Aby nedochízelo k prekryvů soůsedních spekter, zůzůje se rozsah vlnovych delek dopadajícího zarení speciílními filtry. 56 Kapitola 3. Pozorovaní promenních hvezd Norma! lo Surface Incident Beam 2- Order j '*0rder i \ pi f >" Order >k \ j/f* / / / s^A* Order Reflection Grating Diffracted Orders Obrázek 3.11: Vrypy na mrážce. 3. eŽseletovíe, nŽekdy tíeŽž echelle (ž angl. echellette) spektrografy - PouŽžívají se žde dvŽe difrakcní mrížky pootocene vuci sobe o 90°. První disperžní clen (žpravidla mrížžka s malym poctem vrypu) soustred'uje žarení do vysokích rídu spektra, ktere se vsak vžíajemnŽe pŽrekríyvají. Proto se vyuŽžije druhíeho disperžního Žclenu (žnovu mŽr펞ka nebo i hranol), kterí vysoke rady opticky naskladí nad sebou. Na vyslednem snímku (žpravidla CCD je pak žachyceno velmi dlouhíy uísek spektra v mnoha Žríadech. A Schematic Diagram of a Slit Spectrograph Obrázek 3.12: Schéma zachycuje klíčové komponenty moderního štěrbinového spektrografu. Zdroj: upraveno z diagramu Jamese B. Kalera, v knize "Stars and their Spectra,"Cambridge University Press, 1989. 3.3. Astronomická spektroskopie 57 Obrázek 3.13: Schéma uspořádání a činnosti ešeletového spektrografu. Převzato ze stránky http://pleione.asu.cas.cz/ slechta. Spektrograf mUZe pro pořízení spektrogramu pouZívat rUzne detektory. KdyZ odhledneme od oka jako detektoru u spektroskopu, pak se v astronomii setkaváme v podstate s dvema typy detektoru. Fotografickám detektorem muze bát fotograficka deska, folie nebo papír. V praxi se dnes nejcasteji setkaváme s elektronickám detektorem v podobe CCD cipu. V minulosti se pouzívaly i linearní CCD prvky tzv. Reticon. Od konce 90. let minuleho stoletá jsou vyuzívany stale ve vetsí míre spektrografy s optickými vlákny (multifibre spectroscopy). Jejich princip spocíva v tom, ze svetlo je z ohniskove roviny dalekohledu rozvedeno soustavou optickych vlaken do spektroskopu, kde vznikají simultánne spektra pro ruzne objekty ze zorneho pole dalekohledu. Soucasne porizovaní spekter pro více objektu je obrovskou váhodou a velice zvysuje vyuzití pozorovacího casu dalekohledu. Dulezitou charakteristikou spektrografu je tzv. linearní disperze W - bezrozmerná parametr vyjadrující, jak velká ásek spektra v jednotkách vlnove delky pripada najeden delková element na pouzitem detektoru spektrografu W = (3.38) Pro fotografická spektra se udavá v Á mm-1 nebo nmmm-1. U elektronickách detektoru je bezne udávat disperze i v nanometrech na pixel. Ale pozor, cím je disperze numericky mensí, tím vetsí detaily v profilu car muzeme pozorovat. O spektrografu s numericky mensí disperzí se pak ríká, ze ma vetsí disperzi. Podle disperze rozdelujeme spektra na nízkodisperzní s 2 nm mm-1 a více a vysokodisperzní spektra, kde je disperze 2 nm mm-1 a mensí. Nízkodisperzní spektra se hodí více pro spektrální klasifikaci. Nicmene i zde je lepsím resením vysokodisperzní echelle spektrum. O kvalite spektrografu vypovída rozlišovací schopnost R, ktera je definovana jako R = = -Ar-, (3.39) kde A je vlnová delka spektra v nm, W linearní disperze v nmmm-1, d A je rozdíl vlnovách delek mezi dvema sousedními detekcními elementy zobrazeneho spektra (zrny emulze nebo pixely elektronickeho detektoru) v nm, s je vzdálenost stredu dvou detekcních elementu v mm a konecne n udavá, kolikrát je promítnuta sírka sterbiny v polovicní hloubce (FWHM) vetsí nez dA. Zpravidla se n pohybuje mezi 2 az 3. Obvyklá hodnota parametru s ciní pro fotograficke emulze 0,020 az 0,025 mm a 0,010 az 0,025 mm pro elektronicke detektory (Harmanec & Mayer, 2008). 58 Kapitola 3. Pozorování proměnných hvězd Obrázek 3.14: Vlevo: 400 spekter z dalekohledu 2dF. Každá z dvojice CCD kamer zaznamenává 200 spekter hvezd, jejichz svetlo je z ohniskove roviny vedeno na mozku pomocí optických vlaken. Vpravo: Detekční deska spektrografu 2dF na Anglo-Australian observatory pripravovana pro pozorování robotem. Opticka vlákna jsou osvetlena cervene. Zdroj: The 2dF Galaxy Redshift Survey Pro řadu astrofyzikálních úloh je nezbytná vysoká kvalita spekter. Ta je většinou dána poměrem signálu k šumu S/N, někdy SNR (z angl. signal to noise ratio). V minulosti byla limitujícím faktorem citlivosti fotografickúch desek, respektive zrnitost fotografických emulzí. Sum elektronickúch spekter je tvoren zejmena vlastním sumem detektoru, která lze ochlazením detektoru vyrazne snízit. U spekter urceních pro vedecke ácely se vzdy snažíme dosahnout co nejvetsího pomeru signál/sum pri co nejkratsí expozici. Dnes je mozno dosahovat i pomerne vysokách hodnot, ktere umozňují provadet diagnostiku i velmi jemnách efektu. Z praxe lze pomer signal/sum pro dane spektrum jednoduse odhadnout jako pomer prii-merneho signálu a jeho strední kvadraticke chyby urcene pro vhodne zvoleny usek spektra, o kterem víme, ze neobsahuje zadne spektralní cary. kde S je signál odpovídající dopadajícímu toku z hvezdy v dane vlnove delce, N je vícemene nahodná sum a m je pocet bodu rektifikovaneho spektra, ve kterych byl uvazovan signal S ámerná toku zarení z kontinua hvezdy (Harmanec & Mayer, 2008). Elektronická spektra dosahují bezne pomeru signal/sum více nez 100, s detektorem Reticon a s nejkvalitnejsími CCD detektory lze dosahovat i hodnot 2000. Pri vyhodnocovaní spekter z daneho spektrografu je nutne brat v ávahu i tzv. instrumentální profil. V ideálním prípade by spektralní cara mela prakticky nulovou sírku, ale v dusledku aberace a difrakce vznikne po pruchodu zarení optickám systemem spektrografu cara deformovana. Pri urcování skutecnych profilu car musíme instrumentalní profil odecíst. Spektrografy obecne potrebují hodne svetla, jsou proto pripojovany k velkym daleko-hledum s prumerem alespoň 60 cm. Nicmene s vyvojem detektoru se i tento limit zmensuje. Dulezite je vyuzití spekter a pozorovací program. Velice zalezí na pozadovane mezní hvezdne velikosti, ktera se odvíjí od konstrukce spektrografu, jeho ácinnosti. Napríklad 2m dalekohledem v Ondrejove lze získat po hodinove expozici spektrum hvezdy 10. velikosti. Obdobne velke dalekohledy napr. v Tauntenburgu v Nemecku vsak získávají spektra pro hvezdy az do S/N (3.40) 3.3. Astronomickía spektroskopie 59 13. velikosti. Pokud nepotrebujeme vysokou disperzi lze ponzovat spektra i hvezd 18., 19. velikosti. 3.3.3 Vzhled spektra Na vyslednou podobu spektra ma vliv mnoho faktoru. Zílezí nejen na pozorovanem objektu, tedy místu vzniku zírení, ale svuj vliv muze mít jakekoli z míst, jakím zarení prochazí, nez se dostane az na zíznamove medium detektoru ve spektrografu. Musíme tedy pocítat s vlivem mezihvezdneho prostredí, zemske atmosfery i pouziteho spektrografu, detektoru a zaznamoveho zarízení, vcetne zaznamoveho media. Zaznamenane spektrum kosmickeho objektu je zavislost merene veliciny nazyvane tradicne jako intenzita 1a(A) (nebo jen I (A), ktera souvisí s fyzikílne jasne definovanou spektrílní hustotou zírení /a(A), udívanou v jednotkach W m-2 nm-1 nasledující relací: I (A) = ty (A) /a(A), kde ty (A) je slozita bezrozmerní funkce nejen vlnove delky, ale i casu, kterou vsak pri resení vetsiny uloh spektrílní analízy muzeme v ramci krítkích íseku spektra povazovat za konstantu, takze pak platí, ze I (A) ~ /a (A). 6300 6400 6500 6600 6700 6S00 6300 6400 6500 6600 6700 Position (Uauelength) Position (Uauelength) PCyg(6. 7. 1995) Helaivní 20 tok 15 6 I! 6300 6400 6500 6600 6700 Vlnová délka (A| Obrízek 3.15: Spektrální čáry. Vlevo: absorpční čáry ve spektru Algolu s dominantní čárou Ha, v jejímz krátkovlnnem krídle vidíme mnozství čar vodní páry vznikajících v zemskem ovzdusí; vpravo: várazná emise v míste čáry Ha u hvezdy ( Tauri; dole: rekti-fikovaná profil spektra hvezdy P Cyg (Ondrejov, 6. 7. 1995). Prevzato z webu M. Šlechty http://pleione.ásu.cás.cz/ slechtá/spektra. Ve spektru se krome kontinua nachazejí i drobnejsí detaily, zjasnení nebo naopak 60 Kapitola 3. Pozorovaní proměnních hvězd poklěs intěnzity v podobě spěktríalníích car. Zatíímco spojitía slozka spěktra sě měníí pomalu, carova rychlě s vlnovou dělkou A. Protozě v získaních zaznaměch spěktra (spěk-trograměch) mají kontinua oběcně ruzní pruběh pro ruzně typy hvězd (viz obr. 3.10), rěktifikují sě tyto zíznamy na kontinuum Jc(A) = 1. Pak jě mozně studovat rozlozění spěktrílních car a jějich vlastnosti. Spěktralní círy muzěmě rozdělit na těmně absorpcní (I < 1) a jasně ěmisní (I > 1). Jějich kombinací vznika napr. cara s tzv. profilěm typu P Cygni (viz trětí z obrazků v obr. 3.15). Eněrgiově hladiny vízaně-vízanych prěchodu, ktěrě davají vznik spěktralním caram, jsou vělicě prěsně děfinovíny. Dalo by sě proto ocěkívat, zě i sírka pozorovanych spěktral-ních car budě dína jěn instruměntalními moznostmi pouzitěho spěktrografu. Nicměně uvědomímě-li si, zě vlastně takoví prěskok ělěktronu mězi jědnotlivími hladinami jě fyzikílním měrením rozdílu ěněrgií probíhající v jistěm casově intěrvalu, musí platit mězi prěsnostmi obou vělicin (AE, At) znama Hěisěnběrgova rělacě něurcitosti, ktěrí jě pak príccinnou něnulově prirozěně sírky kazdě zě spěktralních car. Polosírka jě urcěna zějměna frěkvěncí srazěk nabuzěněho atomu s jinymi ionty, tědy tlakěm. Šírku a oběcně i cělí jějí profil spěktrílní cary urcují i dalsí vlivy jako Dopplěruv jěv (rotacě, turbulěncě, těplotní pohyb), Zěěmanuv ěfěkt (rozstěpění car v duslědku prítomnosti magnětickě polě). Pro získaní dětailních informací z profilu círy jě trěba províěst komplěxní spěktraílní analyízu a srovníaní s vypoŠctěnyími modělovyími spěktry hvězdy. AX (vzdálenost od středu čáry) Obrazěk 3.16: Profil spektrální círy v absorpcním spektru. Prevzato z Kleczek (2002). U spěktrílních car rozěznavamě jadro círy (oblast v bězprostrědním okolí strědu cary) a krídla, jak jě vidět na obr. 3.16. Intěnzitu něbo chcětě-li mohutnost círy sě někdy oznacujěmě jako „síla círy", pricěmz cím vícě světla bylo absorbovíno, tím jě círa hlubsí a sirsí a tědy silnějsí. Silně cary absorbují vícě jak 25 % zarění v daně carě (viz obrízěk 3.19). Mohutnost cary muzěmě numěricky vyjídrit pomocí tzv. ěkvivalěntní sírky cary EW\. Jějí měrění jě jědním zě zakladních nastroju analízy spěktralních car. Nějdríívě spoctěmě plochu vymězěnou studovanou spěktríalníí carou a níaslědně spocíítaímě síírku obdíělnííku (o jědnotkovíě vyíscě) stějníě plochy (viz obríazěk 3.18). Plochu vymězěnou spěktríalníí carou spoctěmě zě vztahu r( 1 ^^A^) J Xl \ -^kont. dA, (3.41) 3.3. Astronomická spektroskopie 61 Obrázek 3.17: Spektrum jasne veleobrá hvezdy 41 Cygni spektrálního typu F5Iab. Prevzato z http://www.astro.washington.edu/. kde I (A) je závislost intenzity ná vlnove delce zárení v Cáre, /kont. (A0) je očekávaná intenzita kontinua ve stredu studováne Cáry. Integrujeme pres sírku Cáry, vymezene vlnovámi delkámi A1 , A2. Ekviválentní sírká Cáry se udává se v nánometrech nebo ángstromech Dálsí chárákteristikou spektrální cáry je její centrální hloubká, respektive intenzitá ve stredu cáry Ic, vyjádrená v jednotkách árovne intenzity spojiteho zárení v dánem míste. Pro ábsorpcní cáry je táto veliciná vzdy mensí nez jedná. Cím silnejsí je dáná ábsorpcní cárá, tím je hodnotá Ic mensí císlo v rozsáhu 0 áz 1. Velicine 1 — Ic se ríká zbytková nebo táke reziduální intenzitá. U emisních cár muzeme ovsem krome centrální intenzity merit i intenzitu fiáloveho Iy á cerveneho IR vrcholu emise (pokud je emise dvojitá) á studovát i jejich pomer. Lze sámozrejme merit i ekviválentní sírku emisní cáry Obrázek 3.18: Schematicke znázornení závislosti relativní intenzity spektralní cáry Irei = I(A)/Ikont^(A0) profilu spektrální cáry s vyznacením centrální relativní intenzity Ic, centrální vlnove delky Ac, sírky cáry v polovicní hloubce (FWHM) a take ekvivalentní sírky (EW, equivalent width). Vpravo je komplikovaná profil cáry, na kterem lze rozlisit absorpce a dvojitou emisi. Relativní intenzity emisních komponent oznacujeme Iy (posunutou do fialova) a Ir (do cervena). Prevzato z Harmanec & Broz (2011). nm). 62 Kápitolá 3. Pozorováíníí promennyích hvezd á obvykle se pouzíívíá konvekce, ze je-li ve vyísledníe ekviválentníí síírce emisníí prííspevek dominántníí, udáívíá se ekviválentníí síírká numericky zíáporníá. V obrázku 3.18 je vyznácen i párámetr FWHM (z ángl. full width át hálf máximum), kterí zníme z fotometrie. U spektrální cáry jde o sírku círy merenou v polovicní hloubce círy, mezi centrem cáry á írovní spojiteho zárení. 3.3.4 Co lze vyčíst ze spektrogramů Spektra hvežd ním poskytují množství informací o studovánem objektu, žejmena o jeho svrchních vrstvích, tedy pokud je umíme v žískanem spektrogramu císt. Análížá spekter není vubec jednoduchou žíležitostí. V požorováních spektrech hvežd se velmi casto prekryvájí ružne cáry á i ždánlive „ciste" círy mohou byt ve skutecnosti vysledky tákoveho prekryvu, tedy tžv. blendy. Autori moderních metod spektrální diagnostiky jsou si toho vedomi. Nesnaží se proto o detailní identifikaci car, ale o pripodobnení modeloveho spektra reálnemu pomocí vhodneho ástrofyžikílního modelu. Reílná, napožorováná spektra srovnávají se spektry vypoctenymi, tžv. syntetickími. Vížkumníkum jsou k dispožici cele síte modelu hveždních spekter. Podle vžhledu hveždních spekter lže urcit spektrální typ vcetne luminožitní trídy. Mimo jine lže tež urcit nebo alespoň odhadnout: 1. Teplotu á tlák (ž intenžity á sírky spektrálních car ružních prvku). 2. Chemicke složení (ž sírky spektrálních car s prihlednutím k teplo-tňe). 3. Zíáňrivíy vyíkon (ž spektríálních ňcár obvykle vodíkovíych nebo že srovníání intenžity nekterích spektrálních car). 4. Rotáci hveždy á turbulentní pohyby plynu v horních vrstvách átmosfery (ž Dopplerová jevu, tyto pohyby rožsirují círy á soucasne žplost'ují jejich profil). 5. Rádiílní pohyb hvežd (ž Dopplerová jevu). 6. Násobnost hveždy (ž periodickeho posunutí nebo rožstepení car). 7. Prítomnost prípadne polarita magnetickeho pole (vede k rožsírení car, u silnych polí áž k rožstepení, vse jáko dusledek že Zeemanova jevu). Nenulová radiálni rychlost RV (ž anglickeho: radiál velocity) je nejcástejsí prícinou toho, proc je jiná požorovaná vlnová delká A. Objekt i požorovátel jsou ve vžájemnem pohybu napr. v dusledku rotace Zeme, jejího pohybu kolem Slunce, obehu Slunce kolem stredu Galaxie, pohybu objektu vuci Galaxii, rotáci á orbitálním pohybu objektu. RV je pák prumet rychlosti objektu do smňeru k požorováteli, kterou žískáíme porovníáním vlnovyích díelek žníámyích spektríálních car ve spektru objektu s nepohyblivym laboratorním ždrojem; kladná RV žnamení, že se od nás objekt vždáluje, jeho cáry jsou v dusledku Dopplerová jevu posunuty smerem k delsím vlnovíym díelkáím (ňcerveníy posuv). Rožbor rádiílní rychlosti se dríve provídel pomocí dobre definovanych car nebo jejich soustavy á urcoválá se vlnová delká centra cáry (SPEFO, Splát). V soucasnosti se využívá vlastne posun celíeho uíseku spektrá, kde nežáívislou promňennou neníí vlnováí díelká A ále jejíí pňriroženíy logaritmus x = ln A. Posun v x: Ax = A(ln A) = AA/A = ARV/c, což umožňuje rychle hledát žmňeny rádiáílníí rychlosti á vyuňžíívát pňritom celou díelku spektrá, kteríe míáte k dispožici. Tíímto pňríístupem lže uíplnňe vyuňžíít veňskerou informáci o pňríípádníych žmňeníách rádiíálníí rychlosti, kteríá je ve spektru obsáňžená, coňž vyírážnňe pňrispíívíá ke snííňženíí nejistoty vyísledku. Prícinou žmen radiální rychlosti muže byt jákykoli krivocarí pohyb, nejcásteji jde o projev dvojhvňeždnosti. Pokud ve spektru požorujeme ňcíáry obou sloňžek podvojníe soustávy, mluvíme o dvojhvňeždy typu SB2 (double line spectroscopic bináry), jestliňže je svňetlo jedníe že sloňžek pňríliňs slábíe, nájdeme ve spektru jen jeden systíem spektríálních ňcár á hovoňríme o dvojhvňeždňe typu SB1 (single line spectroscopic bináry). 3.4. Zdroje pozorovacích dat o promennych hvezdach 63 3.4 Zdroje pozorovacích dat o promennych hvezdach Kaňzdía stůdie promňenníe hvňezdy nebo nňejakíe tňrídy promňennyích hvňezd vyňzadůje získat pokůd moňzno co nejvíce informací, zpravidla pozorovacích dat. V nňekteríych pňrípadech postaňcí vlastní pozorovíaní, dnes získanía nejpravdňepodobnňeji se CCD kameroů, ale mo-hoů to byít i fotoelektrickaí fotometrie. Míenňe ňcasto zňrejmňe bůdete v dneňsní dobňe províadňet vizůílní pozorovaní prípadne fotograficka pozorovaní na klasickí film. Ale pozorovíní vsech typů můzete najít v dostůpních zdrojích a archivech a prípadne poůzít pro vasi praci. Půjde o nírocní ůkol, zejmena v prípade, ze se rozhodnete vyůzít take data ze starsích fotografickích pozorovaní, fotografickích prehlídek, skleneních archivů, pňrípadnňe vizůíalní pozorovíaní. V kaňzdíem pňrípadňe je ale dobríe vňedňet, na co si díavat pozor a jak s takovyími daty zachíazet. 3.4.1 Vlastní, prevzata a archivní pozorovaní 3.4.1.1 Vizualní odhady Vizůaílní pozorovíaní promňennyích hvňezd ůňz ve vyspňelíych zemích takňrka nikdo neprovaídí. Víyjimkoů jsoů chůdňsí regiony, kde pozorovatelíe nemají prostňredky na zakoůpení lepňsího vybavení, CCD kamer ci digitalních fotoaparatů. Zdalo by se tedy zbytecne, se tomůto typů pozorovaní venovat. Jak ůz jsme ůvedli, jde o pozorovaní zatízene různími sůb-jektivními vlivy, jehoňz pňresnost znaňcnňe pokůlhaívía ve srovníaní s moderními metodami. Jenňze, vizůaílní pozorovaíní a odhady jasnosti promňennyích hvňezd byly províadňeny od dob Tychona Braheho. Mají tedy nejdelňsí ňcasovoů zíakladnů a pro zkoůmaíní dloůhodo-bích zmen promenních hvezd jsoů tak casto jediním zdrojem informací. Můzeme jim ale důverovat? Ve svete existůje rada i vyhraneních nazorů pro a proti vyůzívíní vizůýlníčh pozorovíaní ve stůdiích promňennyích hvňezd. Obecnňe lze ňríci, ňze s jistoů obezňretností lze tato data poůňzít. Neňz ale vizůíalní pozorovíaní poůňzijeme, mňeli bychom je podrobit detailnímů zkoůmíaní. Je dobríe vňedňet nňeco více i o pozorovateli. Úkazůje se, ňze napňríklad ůrňcení okamňziků minima jasnosti zaíkrytovyích dvojhvňezd jsoů ů nňekteríych pozorovatelů zalozena jen na trech az peti odhadech jasnosti. Takovato data jsoů krajne nedůveryhodní. A pokůd je prodůkůje nejakí pozorovatel programove, ůdelate nejlepe, kdyňz je nepoůňzijete. Je tňreba peňclivňe zkontrolovat ůvíadňenyí ňcas pozorovíaní, zda jde o svetoví, písmoví nebo dokonce pasmoví letní cas. Velmi dobre je tedy mít k dispozici detailní zaznam (protokol) pozorovíní a ne jen napríklad víslední okamzik minima nebo maxima nňejakíe periodicky promňenníe hvňezdy. Vzhledem k tomů, ňze vizůíalní pozorovíaní je silnňe sůbjektivní zíaleňzitostí, byívía dosti silnňe zatíňzeno tím, ňze zejmíena zkůňsení pozorovatelíe jiňz pňredem vňedí, jak by mňel vypadat vísledek jejich pocínaní, tedy jakí tvar ma mít svetelna krivka v okolí extrémů (mí byít hladkaí, symetrickía a s extríemem nňekde hodnňe blízko pňredpovňedi). Pak je to spíňs otazka, jakoů efemeridů okamziků extremů ten kterí pozorovatel poůzíval. Detailní rozbor vyůňzitelnosti vizůíalních pozorovaíní zaíkrytovyích dvojhvňezd pro stůdiům zmňen jejich periody je ůkaízían v ňclíanků Mikůlíaňsek et al. (2013). Je treba pripomenout, ze v tomto smeru ceskoslovenstí, cestí a slovenstí pozorovatele jsou opravdu jedni z nejlepsích na svete. Ke kazdemu publikovanemu pozorovaní zakrýtove dvo-jhvezdý existuje protokol v papírove nebo elektronicke podobe. Z nej je mozne získat jednotlive 64 Kapitola 3. Pozorovaní promenných hvezd odhady jasnosti a revidovat napŽrííklad urŽceníí okamŽžiku minima jasnosti hvŽeždy. Daíle naprostía vetsina ž nich využívala predpovedi okamžiku minim žaokrouhlene na pul hodiny, takže se sice vŽedŽelo, Žže bŽehem tíeto noci by mŽelo hlídaníe minimum nastat, ale kdy, to vŽedŽelo jen tŽech paír organižatoru, kterí tyto predpovedi vydívali. 3.4.1.2 Fotografická pozorování Klasicka fotografie je dnes v astronomii na ýstupu. Nicmene je nutne pripomenout, Ze stale jsou k dispozici velke archivy sklenených fotografických desek. Jmenujme alespoň archivy na observatorích na Harvardu, Mt. Palomaru, Sonnebergu, Asiagu, Moskve, Petrohradu, Odese a jinde. V techto archivech je uloZeno skutecne obrovske mnoZství informací o promenných hvezdach. UZ radu let se majitele techto sklenených desek snaZí archivy zdigitalizovat a tím je i zprístupnit siroke vedecke obci. Meli bychom tedy prece jen vedet neco malo i o fotografickích procesech, krivce zcernaní a podobne. Tyto otazky vsak resí jiní kurz. Zde uZ na ne není místo. Pripomenme si ale nektera uskalí prevzatích fotometrickych dat pochízejících z fotografickích prehlídek. BeZne expozicní casy pri získavaní techto snímku byly minuty, ale spíse desítky minut, takňze je nelze vyuňzíívat pro studium velmi rychle promňennyích hvňezd. Navííc sníímky stejníeho hvňezdníeho pole byly poňrizovíany s urňcitíym odstupem aňz nňekolika dníí. Naprostou víjimkou jsou rady snímku tehoZ pole ponzene behem jedine noci. Takova data jsou tedy vhodnía pro studium dlouhoperiodickyích nebo nepravidelnyích promňenníych hvňezd. U zakrytovích dvojhvezd byl v minulosti místo standardního urcení okamZiku minima ňcasto publikovían jen ňcas poňrízení snímku, na nňemňz sledovanía promňennía hvňezda byla slabsí neZ obvykle, tedy v te dobe, kdy hvezda bud' sestupovala nebo naopak vystupovala minima. Tento velice hrubí odhad okamZiku minima byval uveden jako „pribliZní" cas minima a v seznamu okamZiku minim vetsinou oznacen dvojteckou. Tato usance ovsem zcela ignoruje informace z ostatních snímku, a její vypovídací hodnota je velice nízka. Spríavnňe bychom mňeli vyhodnotit vňsechny snímky a získat soubor hvňezdníych velikostí naňsí promňenníe hvňezdy. Ten pak pňripojit k ostatním individuaílním mňeňrením pro dalňsí zpracovíaní, o nňemňz je pojedníano díale. Takovíy postup umoňznňuje získat fíazovou kňrivku z fotografickych merení, presní sezínní okamZik nebo okamZiky minima jasnosti vcetne nejistot jejich urňcení. Vyísledkem je tak mnohem více pňresnňejňsích dat neňz pouhíe nejistíe okamňziky zeslabení jasnosti. Je treba rovneZ venovat zvísenou pozornost casovím udajum, ktere fotograficke desky províazíí. Protoňze byly zňrejmňe poňrizovíany pňred ňradou desíítek let, budou se liňsit zvyklosti zapisu casovích udaju, bude se lisit i pouZity casovy standard a to, zda jde o zacíatek nebo stred expozice. 3.4.1.3 Fotoelektrická pozorování Na rozdíl od fotografickych nebo vizuílních pozorovíní jsou fotoelektrickí merení vetsinou standardizovana (alespon ta, provadena od 50. let minuleho století). Znamena to mj., ňze pňri prvotním zpracovíaní uňz byly nalezeny a odstranňeny hrubíe chyby, chybníe identifikace pri merení a podobne. Badatel tak dostava do ruky vetsinou velmi kvalitní material pro dalsí studium. JenZe prílisní duvera se ani zde nemusí vyplatit. Problemy 3.4. Zdroje pozorovacích dat o promenních hvezdach 65 Obrazek 3.19: Výsledky projektu digitalizace desek Harvard Observatory v projektu DASCH. Svetelna krivka zakrytove promenne hvezdy RY Cnc s periodou 1,092943 dne. Na obrízku jsou dva cykly zmen. Do prvního jsou zobrazena vsechna merení vcetne chybových íseček. V druhem jsou taz merení. Prevzato z http://hea-www.harvard.edu/DASCH. jsoů zejmena s časovými ůdaji. Nekdy se zde objevůjí opravdů nevídane veci, kdy se pozorovatel splete o jeden den nebo dokonce cely rok. Takove chyby ale snadno odhalíte, pokůd si pozorovaní zakreslíte napríklad do O-C diagramů. Jenze, pokůd se chystate prevzít tato data napríklad ze starsí půblikace, doporůcůjeme velmi peclive procíst informace o merení casů, casovem standardů. Pri detailní analůze, napríklad pro ůcely stůdia jemních posůnů okamziků minim nebo maxim promenních hvezd oproti predpovedi, mohoů i na první pohled zanedbatelne odchylky mít zývaZne důsledky. Úkazůje se navíc, ze pro takove presne analůzy je nezbytne provadet prevod ůvedeních casů na barycen-tricky (podrobneji v kapitole 5.1.2). 3.4.1.4 CCD pozorovaní S nastůpem CCD techniky a jejím rozsírením mezi amaterske pozorovatele doslo k obrovskemů narůstů fotometrickych dat promennych hvezd. Bohůzel tento boom prinesl take ůrcite problemy. Fotoelektricka fotometrie byla takrka víhradne domenoů profesionýlníčh in-stitůcí, kde byla jista zarůka kvality zpracovaní dat. I kdyz i tam se vyskytly víjimky, CCD pozorovaní jsoů jednoznacne razena k objektivním metodím stůdia promenních hvezd. Bohůzel různe metody zpračovýní dokazí i docela dobre sůrove snímky znehodnotit. Prvním problemem zpracovaní CCD snímků jsoů korekcní snímky. Zejmena tzv. flat snímek rovnomerne osvetleneho pole (napríklad soůmrakove oblohy bez hvezd) je casto spatní a tak po jeho aplikaci klesí presnost získane fotometrie. V rade prípadů jsoů půblikovíany poůze okamziky minim a maxim jasnosti ze CCD pozorovíaníí. Jenze vetsinoů se ůz nezkoůmaí, kolik mereníí bylo k ůrceníí okamziků extríemů jasnosti poůzito. A je samozrejme velky rozdíl, pokůd to bylo 10 nebo treba 200 bodů. K tomů se pridava casto chybnía metoda ůrceníí okamziků extríemů a vyísledkem je ůmele vyrobenaí nejistota půblikovaníeho okamziků az nekolik minůt. Nejlepsíím reseníím je tedy shromíazdit vsechna dostůpnía individůíalníí CCD mereníí a v príípade nejistoty ohledne zpracovíaníí, dokonce 66 Kapitola 3. Pozorování proměnných hvězd i puvodní CCD snímky. Opet musíme ápelovát ná pozorovátele á zprácovátele, áby venováli velkou pozornost cásovím udájum. Vzhledem k tomu, ze CCD kámery jsou rízeny osobními pocítácl, zprávidlá z nich táke prebírájí cás. Tento pocítácoví cás je zálozen ná cásovem stándárdu UTC, kterí je synchronizován pres Network Time Protocol (NTP) server. Ale ne vzdy probíhá synchronizáce ták cásto, ják je trebá. Nektere stársí prográmy pro obsluhu CCD kámer dokonce zástávovály cás v poďtád po dobu vyďtání snímku. Behem noci se ták cás v pocítáci stíle více á více opozd'ovál. Tákovou chybu vsák nezjistíme jen z okámziku extremu, ále porovnáním prubehu svetelne krivky s jiními pozorováními. Dálsím problemem CCD pozorování je to, ze vetsiná pozorovátelu se spokojí s tzv. diferenciílní fotometrií á neprovídí dálsí zprácovíní, ktere by vedlá k návízání získáních hvezdních velikostí ná mezinírodní system. Vyuzíví se predpokládu, ze pfi mále velikosti zorneho pole jsou rozdíly zpusobene raznymi bárevními indexy pozoroványch hvezd á raznou vzdusnou hmotou zánedbátelne. Zkusenost ále ukázuje, ze tím se do po-zorovíní, respektive vísledne fotometricke rády dát vkládájí ruzne trendy, ktere mohou ovlivnit nápríklád urcováne okámziky minim nebo máxim jásnosti. V prípáde, kdy je ná CCD cipu záznámenáno velke zorne pole (nekdy áz o rozmeru nekoliká stupňu) muze dojít k vyznámne deformáci získáne svetelne krivky, pokud nepovedeme stándárdizáci mňeňrení á pňrevod do meziníárodního systíemu. 3.4.2 Soudobé přehlídkové projekty Přehlídkových projektů, kde je monitorována alespoň část hvězdné oblohy, je dnes několik desítek. Není mozne zde ůvest kompletní přehled. Navíc řada opravdu velkých projektů se teprve chysta, napríklad Large Synoptical Survey Telescope (LSST) (Ivezic et al., 2008), Panoramic Survey Telescope and Rapid Response System (PanSTARRS) (Hodapp et al., 2004) nebo SkyMapper (SEKBO) (Keller et al., 2008). Vybereme tedy jen nektere z nich, kde je moňzníe získat dobraí data pro stůdiům promňennyích hvňezd. 3.4.2.1 Pozemské projekty ASAS All Sky Automated Survey (ASAS) jě polský projekt, který běZí od roku 1997. Cílem jě provídět automatickou fotomětrii zhruba 20 milionU hvězd jasnějších něZ 14 mag na cělě hvězdně oblozě. Dalěkohlědy projěktu mohou nyní pozorovat jizní objěkty do děklinacě +28°, takzě pokrívají tri Čtvrtiny hvězdně oblohy. Stanicě ASAS-jih jě umístěna na ob-sěrvatori Las Campanas v Chilě a ASAS-sěvěr na hawaiiskěm ostrově Maui na Halěakala Obšěrvatory. Strujcěm nípadu byl Bohadan Paczynski. První prototyp a nístrojě na prěnos a zpracovaní dat vytvoril Grzěgorz Pojmaíski. V ramci projěktu bylo objěvěno jiz několik děsítěk tisíc novích proměnních hvězd. Pozorovaní jsou províděna vě filtrěch V a I a jsou k dispozici v prěhlědně formě na wěbovskích strankach projěktu http://www.astrouw.edu.pl/asas/. Popis projěktu a zpracovíní dat jě uvěděn v prvním zě sěriě clínku o vyslědcích projěktu Pojmanski (2002). 3.4. Zdroje pozorovacích dat o proměnných hvězdách 67 NSVS Přehlídka Northern Ský Variability Surveý (NSVS) vznikla vlastně jako docasný produkt projektu Robotic Optical Transient Search Experiment (ROTSE-I). Ten spoďval v monitorovaní oblastí hvezdne oblohý s deklinací vetsí neZ -38° pomocí ctýr spraZených dalekohledu (teleobjektiv se CCD kamerou) v Los Alamos (New Mexico, USA). Databaze NSVS obsahuje svetlene krivký zhruba 14 milionu objektu v rozmezí 8 az 15.5 mag. Data jsou nefiltrovaní, takze vzhledem k profilu citlivosti kamer budou blízkí merením ve filtru R. Vsechna fotometricka data jsou k dispozici pres Ský Database for Objects in Time-Domain (SkýDOT) v Los Alamos National Laboratorý http://skydot.lanl. gov/nsvs/nsvs.php. Pri pouzití dat je treba davat pozor na format casu. Je totiz uveden v podobe (MJD-50000), tedý modifikovane juliínske datum zmensene o 50000. Navíc autori v informativním clínku (Wozniak et al., 2004) neuvadejí ani presní casový rímec (spokojí se chýbne jen s UT) ani to, zda býla aplikovana heliocentricka korekce. OGLE Optical Gravitational Lensing Experiment (OGLE) je dalsí polskí projekt, kterí je rízen z varsavske univerzitý. Jeho vedoucím je Andrzej Udalski. Zameruje se na hledaní temne hmotý s pomocí mikrococek. Projekt býl zahajen v roce 1992 na observatori Las Campanas v Chile. Od te dobý se jako vedlejsí produkt mimo jine podarilo objevit nekolik exoplanet. Hlavním cílem pozorovaní jsou Magellanova oblaka a vídut' nasí Galaxie. Fotometrickí data pro zvolení objekt jsou k dispozici ve filtrech BVI na webovske strance projektu http://ogle.astrouw.edu.pl/, respektive http://ogledb.astrouw. edu.pl/~ogle/photdb/. Detailý strukturý dat jsou popsaný v príci Szýmanski (2005). Projekt probíha v nekolika fazích: OGLE-I (1992-1995), OGLE-II (1996-2000), OGLE-III (2001-2009). V roce 2010 býl proveden upgrade technickeho výbavení a odstartovala faze OGLE IV. Díký výuzití 32cipove mozaikove CCD kamerý je mozne nýní zvísit kadenci snímku pri zachovíní stejne oblasti monitorovíní. Hlavním ukolem teto faze je nýní detekce exoplanet. SLOAN Sloan Digital Ský Surveý (SDSS) je velmi ambiciózní projekt. Podílí se na nem 25 institucí z celeho sveta. V soucasne dobe (od r. 2008) probíha tretí faze. Behem osmi let prvních dvou castí (SDSS-I, 2000-2005; SDSS-II, 2005-2008) býlý získaný snímký v peti fotometrických filtrech. Z nich býla mimo jine výtvorena trojrozmerna mapa více nez ctvrtiný hvezdne oblohý obsahující pres 930 000 galaxií a 120 000 kvasaru. Porízena fotometricka a spektroskopickí data jsou postupne zverejnovana. V da-tovem balícku 8 uvolnenem pocatkem ledna 2011 je fotometrie pul miliardý hvezd a galaxií a spektroskopie dvou milionu objektu. V datech zverejnených v roce 2012 je k dispozici první císt spektroskopie z Barýon Oscillation Spectroscopic Surveý (BOSS), coz predstavuje pres 800 000 spekter. Podrobnejsí informace k projektu a zverejnena data jsou k dispozici na http://www.sdss.org/. 68 Kapitola 3. Pozorovaní proměnných hvězd Pi of the Sky Tento projekt jě dalším z rady polských prehlídkových fotometrických projektů. Jdě o radů plně automatických soustav se CCD kamerami s velkými zornými poli. Jeden system je umístěn v Chile (od roků 2004) a drůhý (od roků 2010) ve Španělsku. Projekt jě zaměren na hlědýní krátkých optických transientů, zvlastě optických dosvitů gama zablesků, monitorovýní aktivit blazarů a obecně sledovaní vsech proměnných hvězd v pozorovaně oblasti. Dětailý jsoů popsaný v praci Bůrd ět al. (2004). Pozorovýní býla provýděna bez filtrů, jen nejnovějsí dětěktorý mají rovněz predrazen fotometrický filtr. Něfitrovaný pozorovaní býla kalibrovana na filtr V Opiěla ět al. (2012). Data jsoů k dispozici na http://grb.fuw.edu.pl. Cas jě ůdavan ve formě hěliocen-trickěho jůlianskěho data HJD, od něhoz jě odecten cas T0=2453250. Celý sýstěm výh-lědavýní jě trochů neohrabaný, alě vzhledem k tomů, ze proběhl ůpgradě a rozsírění hardwarů, můzeme snad ocekývat zlěpsení i na softwarově straně a ůvolnění dalsí varký dat. Zatím jsoů k dispozici data, radý fotometrických měrení zejměna pro jizní hvězdý v rozmezí zhrůba 6 az 10 mag. 2MASS Prehlídkový infracervený projekt Two Micron All Ský Sůrvěý ve filtrech JHK jě v provozů od roků 1997 (severní cast na Moůnt Hopkins, Arizona, USA), respektive 1998 (jizní cast na Cerro Tololo, Chile). Projekt býl navrzen pro výzkům rozsahlých strůktůr nasí Galaxie a místní skůpiný galaxií, alě takě jak prípravný a podpůrný pro infracervěně kosmickě projěktý HST/NICMOS, Spitzer a James Wěbb Space Tělescope. Měrení ve filtrech JHK jsoů získývana soůcasně tremi různými HgCdTě dětěktorý. Limitní hvězdně velikosti jsoů 15.8 mag (J), 15.1 mag (H) a 14.3 mag (K). Pozorovaní býlo ůkonceno v roce 2001 a první data býla zverejněna v roce 2003 na http://www.ipac.caltech. edu/2mass/. V poůzitě infracerveně oblasti spektra jsoů ěfěktý spojeně s mezihvězdnoů extinkcí zhrůba desetkrát mensí nez jě tomů ve filtrů B. I kdýz jě prehlídka cílena na galaxie, protoze větsina z nich nejsilněji zarí pravě v blízkě infracerveně oblasti, jsoů data z těto prehlídký velmi dobre výůzitělna i pri stůdiů proměnných hvězd. K dispozici jsoů totiz nejen jědnotliva měrení pro daný objekt, alě radů proměnných hvězd i celě sěriě měrení postacůjících kě konstrůkci kompletní světelně krivký periodický proměnných hvězd. V rýmci 2MASS býlo získano 4 121 439 snímků s rozlisením zhrůba 2"/pixěl. V katalogů Point Soůrce Catalogůě (PSC) jě 470,992,970 objektů. Jenze 2MASS PSC obsahůjě vzdý jen jedno měrení v kazděm filtrů. Casovoů sěrii měrení lze získat z 2MASS Calibration Point Soůrce Working Database výůzitím serverů NASA/IPAC IRSA GATOR http://irsa.ipac.caltech.edu/applications/Gator/. Blizsí informace o projektů lze nalězt napríklad v praci Skrůtskiě ět al. (2006). Fotometrickým datům projektů, jejich kalibraci a barevně transformaci se věnuje rada půblikací, napríklad Cohen ět al. (2003). Informace o rozsírení projektů jsoů napríklad na http://www.ipac.caltech. edu/2mass/releases/allsky/doc/seca1_1.html. CRTS Catalina Real-Time Transient Sůrvěý (CRTS) se zaměrůjě na hledaní optických tran-sientů s změnami v dělce od minůt po roký. Primarně jě ůrcěný na výzkům blízkozemních 3.4. Zdroje pozorovacích dat o promňenníych hvňezdíach 69 objektu NEO. Prístroje projektu pokývají 26 000 stupnu ctverecních hvezdne oblohy v deklinacích od -35° do +65°, ale vyhýbají se oblasti (10 aZ 15 °) kolem galaktickeho rovníku. V katalogu projektu take nenajdeme objekty jasnejsí neZ 12 mag (V), kde uZ je pňríliňs malía pňresnost fotometrie. Pro objekty jasnňejňsí neňz 13 mag by fotometrie projektu mňela byít vyuňzívíana obezňretnňe. Pro slabňsí cíle je pňresnost víyslednyích hvňezdnyích velikostí ve V filtru pribliZne 0.06 aZ 0.08 mag. V rímci projektu, ktery beZí od konce roku 2007, se uňz podaňrilo detekovat desítky supernov, kataklyzmickyích promňennyích hvňezd, aktivních galaktickích jader dalsích transientu, nektere dosud nezname povahy. Data projektu jsou dostupna na http://nesssi.cacr.caltech.edu/cgi-bin/getcssconedb_ release.cgi. Bliňzňsí informace lze najít v Drake et al. (2009). 3.4.2.2 Kosmické prehlídky Hipparcos DruZice Hipparcos (zkratka z High Precision Parallax Collecting Satellite) byla soucastí astrometrickíe mise Evropskíe kosmickíe agentury (ESA), zamňeňreníe na mňeňrení hvňezdnyích paralax a vlastních pohybu hvezd. Projekt byl pojmenovan na pocest starovekeho astronoma Hipparcha, konkríetní níazev vznikl ze zkratky z High Precision Parallax Collecting Satellite. DruZice pracovala ve vesmíru od 8. srpna 1989 do 15. srpna 1993. Celí projekt byl rozdňelen na dvňe ňcaísti. V ríamci samotníeho experimentu Hipparcos se mňeňrilo pňet astrometrických parametru u zhruba 120 000 hvezd s presností 2 aZ 4 tisíciny obloukove vteriny (mas) a jejich hvezdna velikost ve filtru Hp. Druhy experiment Tycho se venoval merení astrometrickych parametru a hvezdnych velikostí ve filtrech BT a VT u dalsích 400 000 hvňezd s o nňeco menňsí pňresností. Víysledníe katalogy Hipparcos a Tycho byly pub-likovíny Evropskou kosmickou agenturou v cervnu 1997 (ESA, 1997; Perryman& ESA, 1997). O deset let pozdeji byla publikovana nova redukce dat katalogu (van Leeuwen, 2007, 2008, 2009, 2010). Cas ve vsech katalozích dat je uvíden v podobe (JD-2440000). Corot Sonda COROT (COnvection ROtation and planetary Transits) je projektem Fran-couzskíe vesmírníe agentury (CNES) a ESA. Jak vyplíyvaí z plníeho naízvu, maí tato mise dva primaírní cíle. Jednak mía paítrat po tranzitujících exoplanetíach a jednak studovat díky velmi pňresníe fotometrii i oscilace hvňezd podobníe tňem sluneňcním, zamňeňrit se tedy na astroseismologii. Sonda odstartovala v prosinci 2006 a pňredpoklíadalo se, ňze bude v provozu pribliZne dva a pul roku. Pres technicke potíZe, ktere v roce 2009 zmensily zorníe pole na polovinu, sonda pokraňcuje a její ňcinnost byla prodlouňzena aňz do roku 2015. Dalekohled sondy o prumeru 27 cm sníma strídave pouze dve pole - kruhove oblasti o prumeru 10° v rovine Galaxie se stredy na rektascenzi 6h 50m a 18h 50m. Vysledkem je vícebarevna fotometrie (UBVr'i'). BliZsí informace a zverejnena data z projektu jsou k dispozici na http://smsc.cnes.fr/COROT/. Casy jsou v prípade teto sondy uvídeny v podobňe CJD (CoRoT Julian day) a jsou uvíadňeny i v heliocentrickíe podobňe. Moňznía zíludnost je zde v tom, Ze uvídení okamZik je konec 32sekundove expozice (u snímku s udavanou expozicí 32 s), prípadne konec první z 16 dvaatricetisekundových expozic (u snímku s expozicí 512s). 70 Kapitola 3. Pozorovíaní promŠěnnyích hvŠězd Kěplěr Jědna z nějuíspŠěŠsnŠějŠsích kosmickyích sond něsě jmíěno Kěplěr. Na obŠěŠznou dríahu kolěm ZěmŠě ji vyslala NASA v rocě 2009 s cílěm mŠěŠrit soustavnŠě jasnosti hvŠězd vě vybraníěm poli na rozhraní souhvězdí Lyry a Labutě. Dalěkohlěd o pruměru 95 cm (s hlavním zrcadlěm 1.4 mětru) jě doplněn maticí 42 CCD cipu, coz jě v soucasnosti nějvětsí CCD dětěktor vě věsmíru. Hlavním uíkolěm druŠzicě jě píatrat po transitujících ěxoplanětíach u hvězd vě vybraněm zhruba 12 stupňu vělkěm zorněm poli. Do pocatku roku 2013 objěvil Kěplěr prěs 400 ěxoplanět a těměr 3000 kandidatu. Mimorídně prěsna fotomě-triě a zcěla unikaítní díělka a ňcasovíě rozliňsění umoňznňují i vělmi pňrěsníě a dětailní studiě promňěnnyích hvňězd. Bliňzňsí informacě o projěktu jsou k dispozici na stríankíach http: //www.nasa.gov/mission_pages/kepler/main/index.html. Data pro jědnotlivě ob-jěkty jě mozně vyhlědívat na http://archive.stsci.edu/kepler/data_search/search. php. Intěgral Druzicě INTEGRAL (Intěrnational Gamma Ray Astrophysics Laboratory) jě dalsí z rady věděckích druzic ESA. Jějím cílěm jě získaní mapy hvězdně oblohy v oboru 7 zírění. Na obňěňzníě dríazě pracujě od roku 2002. Pozorovatělě promňěnnyích hvňězd alě vícě zajímía malí podpurní projěkt na palubě - Optical Monitoring Caměra (OMC). Kaměra sě zobrazovacím polěm 1024 x 1024 pixělu jě nainstalovína na dalěkohlědu o pruměru 50 mm a opatrěna Johnsonovím filtrěm V. Data z těto kaměry jsou dostupna na https: //sdc.cab.inta-csic.es/omc/secure/form_busqueda.jsp?resetForm=true a jsou prubězně zvěrějnovína. Pri vyuzití jě trěba dukladně prcňíst popis dat. Cňasy pozorovíaní jsou uklíadíany v gěocěntrickíě a barycěntrickíě podobňě a znaňcí zaňcíatěk ěxpozicě. Díělka ěxpozicě sě pňritom mňění. Navíc mohou byít jědnotlivíě hvňězdníě vělikosti víslědkěm sklídaních ěxpozic, ktěrě jsou uvěděny v casověm rozlisění 10 minut, alě jějich dělka sě muňě měnit od zhruba 4 minut do 15 minut. Blizsí informacě lzě najít napríklad v Zějda & Domingo (2011). Po děvíti lětěch pracě jsou v databazi OMC světělně krivky (o vícě něz 50 boděch) zhruba 70 000 objěktu. Kolěktiv autoru (Alfonso-Garzon ět al., 2012) publikoval souhrnně vyslědky o 5263 proměnních objěktěch, jě-jich data jsou dostupnía i na sěrvěru CDS (Strasbourg Astronomical Data Cěntěr) (http://cds.u-strasbg.fr/). GAIA Kríatkyí pňrěhlěd kosmickyích pňrěhlíděk jsmě zaňcali astromětrickou druňzicí Hipparcos a skon-ňcímě jějím níastupcěm - sondou Gaia (Global Astromětric Intěrfěromětěr for Astrophysics). Takíě GAIA jě ěvropskyí projěkt (ESA). Jějí start jě plíanovaín na ňríjěn 2013. Mězi zíakladní cílě sondy patňrí shromíaňzdňění astromětrickyích a fotomětrickyích dat pňribliňznňě jědníě miliardy hvňězd do 20 mag. Kaňzdou hvňězdu by pňritom bňěhěm pňrědpoklíadaníě ňzivot-nosti sondy (5 lět) mňěla zmňěňrit 70kríat. Pňrěsnost urňcění polohy by mňěla byít pro hvňězdy do 15 mag kolěm 20 miliíontin uíhlovíě vtěňriny a pro hvňězdy 20 mag pak děsětkríat měnňsí. Na palubňě budou tňri hlavní pňrístrojě: kaměra Astromětric Fiěld pro astromětrii, modríy a ňcěrvěnyí fotomětr pro nízkodispěrzní spěktroskopii a Radial Vělocity Spěc-tromětěr na mňěňrění radiíalních rychlostí. O zpracovaíní dat blíňzě pojědníavía Busso ět al. (2012). Pokud vsě pujdě, jak mí tak budě víslědny katalog s daty k dispozici kolěm roku 2020. Blizsí informacě o misi jsou na http://sci.esa.int/science-e/www/area/ 3.4. Zdroje pozorovacích dat o proměnných hvězdách 71 index.cfm?fareaid=26. 3.4.3 Virtuální observatoř Jak napovídá i předchozí kapitola, je souCasná astronomie postavena pred závaZný problěm - zaplavu dat. Data se valí skutecne ze vsech stran v takove míre, Ze jejich objem se zdvojnísobuje kazdých sest mesícu. Samozrejme, jak uz to bíva, zrovna pro vami studovaní objekt je tech dat malo a potrebujete najít vsechna dostupna merení. V oblasti promenních hvezd vam pro prvotní prehled dobre poslouzí katalog americke spolecnosti pozorovatelu promenních hvezd AAVSO Variable Star Index, o nemi uz jsme se zminovali. Na adrese http://www.aavso.org/vsx/ najdete totiz nejen samotný katalog promenných hvezd, ale pro zvolenou hvezdu take odkazý prímo na data hvezdý v razních fotometrických prehlídkích a databazích. Samozrejme muzete data hledat take pres SIMBAD Astronomical Database (http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/) a nebo výuzít sluzeb virtualní observatore (VO). Virtualní observator vznikla na zíklade iniciativý astronomicke komunitý. Jejím cílem je poskýtnout globalní elektronickí prístup ke vsem astronomickím datovím archivum z prehlídkových projektu pozemských i kosmickích, ale i archivum jednotlivých observatorí nebo i pozorovatelu. Ruku v ruce s otevrením archivu je i poskýtnutí efektivních nastroju pro zpracovaní techto dat a praci s nimi. Ve svete existují razne narodní virtualní observatore nebo jejich mezinarodní sdruzení, napríklad Evropska virtualní observator EURO-VO (http://www.euro-vo.org/). Vsechný zajemce pak sdruzuje IVOA (International Virtual Observatorý Alliance, http://www.ivoa.net/). Metody zpracování pozorování 74 Kapitola 4. Regresníí analyíza 4 Regresní analýza 4.1 Uvodem Objekty s promenními charakteristikami jsou predmetem soustredeneho zíjmu astrofyziku, protoze svou promenností toho o sobe prozrazují více, nez objekty nepromenne. Zjistení a matematicke vyjadrení povahy casove promennosti mereních velicin (jasnost, magneticke pole, intenzita spektralních car, polarizace apod.), hledaní trendu, cyklickych zmen, periodicit apod. - to jsou nejcastejsí íkoly, ktere prakticka astrofyzika resí. Nejdulezitejsím nastrojem pro matematicke zpracovíní techto zívislostí je tzv. regresní analýza a zejmena její nejstarsí a nejpropracovanejsí disciplína - metoda nej-mensích čtverců (MNC, anglicky least square method - LSM). Dríve nez pristoupíte ke zpracovaní pomocí regresní analyzy, doporucuji abyste si celou situaci nejprve zevrubne obhledli, coz mj. znamena, ze si do nejruznejsích grafu ci schemat vynesete vzajemne zavislosti vsech mozních velicin dotycneho objektu, at' uz vami namerenych nebo prevzatích z literatury. Verte, ze tyto „obrázky" vím o povaze vzíjemních souvislostí mezi jednotlivími charakteristikami povedí více nez sebedokonalejsí císelne rozbory. Zjistíte-li, ze zobrazene vísledky merení {yi} jeví jistou casovou zavislost, zrejme tez pocítíte neodolatelne nutkíní tuto zívislost prolozit (fit) nejakou elegantní hladkou krivkou. Proc? Nejspís proto, abyste videli, jak se dana velicina doopravdy mení, tedy jak by to asi vypadalo, pokud byste dotycnou velicinu dokazali merit nepretrzite a pritom navíc absolutne presne. K tomuto ideílu samozrejme nedospejete nikdy, lze se mu vsak alespoň priblízit. Metoda nejmensích ctvercu pritom naznacuje osvedcenou cestu, jak toho dosahnout. Doporucuji vam, abyste ale predem zvazili, zdaje vubec treba neco proklídat a poď-tat! Chceme-li totiz jen dokumentovat, ze tu ona zavislost existuje, tak je poctivejsí do grafu zíadnou krivku nevkreslovat, stacíí jen zvolit vhodnía meríítka na osíach a obríazek prezentovat v jeho originíalníí podobe. Pouze tehdy, chceme-li s vyísledky prolozeníí díale pracovat a neco z nich vyvozovat, je zíahodno pustit se do matematickíeho zpracovíaníí. 4.1.1 Regresní model Vysetrujme nejprve casovou zavislost vybrane merene veliciny y na zaklade časove radý, coz je soubor n trojic {t^ c^}. Predpokladejme pritom, ze cas merení t zname naprosto presne, lze jej tedy poklídat za nezavislou veličinu, zatímco jednotliví merení zívisle proměnné veličiny y, yi, jsou zatízena urcitou nejistotou, rekneme ci. Nasím zamerem nyní bude najít takovou skalírní funkci casu t, /(t), ktera optimílne prochíazí mezi namňeňrenyími body a co nejlíepe vystihuje reíalnou ňcasovou zíavislost po-zorovaníe veliňciny. Triviálním resením teto ílohy v prípade časove závislosti je pospojování vsech po časove sobe následujících bodu lomenou čárou prípadne nejakou sice hladkou, ale dostatečne zvlnenou čárou (napr. polynomem stupne n — 1), která by procházela dusledne vsemi námere-nymi body1. Takováto postup by mel sve opodstatnení pouze tehdy, pokud bychom jak čas, tak závisle promennou veličinu znali absolutne presne, coz je nereálne. Mnohem hodnovernejsí Tímto polynomem stupne n — 1 muze bít treba Lagrangeuv nebo Newtonuv interpolační polynom. 4.1. Úí vodem 75 vísledký dava prosta grafickí metoda, kdý mezi bodý výneseními do grafu tahneme od ruký hladkou krivku, ktera dle naseho presvedcení co nejlepe výjadruje pozorovanou zívislost. Tento zpusob prolození vsak není obecne reprodukovatelní (i vý sami nakreslíte tu svou optimílní krivku pokazde trochu jinak), navíc se s tímto grafickím resením potom dosti spatne pracuje. Bezne se proto díva prednost takovym metodím, ktere vedoů k analytickemů vyjíd-rení prokladane fůnkce a k objektivnímů, reprodůkovatelnemů stanovení kriteria nejlepsí shody. Obvykle si hned na pocatků definůjeme tzv. regresní model (regression model). Regresním modelem si z nekonecneho mnozství fůnkcí, jimiz by bylo mozno pozorovanoů zavislost prolozit, vybereme jen jistoů omezenoů mnozinů fůnkcí, pricemz kazda z fůnkcí teto zvolene mnoziny modelovích fůnkcí bůde plne definovína g predem neznamymi volními parametry, ktere si pracovne oznacíme ^1,^2,^3, . Velicina g pak vyjadrůje počet stupňů volnosti (degree of freedom) zvoleneho modelů. Na tom, jak si dokazeme zvolit ten spravmí regresní model, kterí v sobe obsahůje fůnkce co nejpodobnejsí reílne zavislosti y(t) a poůzít pritom co nejmensí pocet volních parametrů, pak zavisí ůspech celeho naseho dalsího pocínaní. Pokud nevíme o fýzikalní podstate zívislosti jedne z pozorovaních velicin na druhe vubec nic, pak jako regresní model volíme soubor co nejjednodussích funkcí - polýnomý, harmon-icke funkce - s nimiz lze snadno pracovat. Pokud vsak jiz predem víme, jakou modelovou funkcí bý mela být pozorovana zavislost popsana, meli býchom jí dat prednost, protoze jinak si zpusobíme zbýtecne problemý pri interpretaci zjistene zívislosti. Spravnou a citlivou volbou regresního modelu lze ze souboru dat výtezit spoustu informací, naopak zvolením nead-ekvítního modelu, lze snadno dospet i ke zcela mýlným a falesním vívodum. Regresní model predstavůje mnozinů podobních fůnkcí, ktere se od sebe lisí jen jimími hodnotami volních parametrů (32, ...(^ : f (t) = f (32, ...(^, t). Úsporadanoů g—ticí parametrů (j je víhodne zapisovat jako g-rozmerní vektor nebo sloůpcovoů matici 5 o rozmerech g x 1 (g radků a 1 sloůpec): (5 = ((1,(2, ...(g) . Predpokladejme nyní, ze jsme v ramci regresního modelů zvolili nejakoů konkretní hodnotů vektorů parametrů pro i-te merení {tj, y i} pak lze vyjídrit odchylků e j tohoto merení od dane zavislosti vztahem ej = yj — f (tj, 5). (4.1) Je zjevne, ze cím mensí bůdoů odchylky merení od modelove predpovedi, tím lepsí bůde prolození. Je vsak treba navíc ůvazit, ze jednotliva merení mají různoů kvalitů, ci chcete-li vahů, ktera bůde nejak soůviset s nejistotoů jejich ůrcení aj. Je ůzitecne zavest si tzv. modifikovanou odchylku ěj, kde ěj = ej/aj, a tů pak brát jako rozhodůjící pri posůzovaní íspesnosti modelovaní nejakych pozorovanych zývislostí, tedy: gj = 6- = yj — f (tj, 5). (4.2) Nasím ůkolem nyní bůde vybrat z mnoziny fůnkcí, ktere pripoůstí zvolení regresní model, f (t, 5) popsanůčh vektorem 5, takoví vektor 5 = b, pro nejz bůdoů modifikovane odchylky {ej| minimalní. Onů podmínků minimýlnosti je ovsem treba nejprve matematicky precizovat. Nejcasteji poůzívanoů, a z mnoha důvodů nejoblíbenejsí (nikoli 76 Kapitola 4. Regresní analýza vsak jedinou2), je podmínka, aby součet čtverců modifikovaných odchylek pro všechna merení, oznacovaný bežne jako velicina x2, tedy i=1 i=1 ^G%' byl minimalní. Z teto podmínky pak vychazí moderní varianta, jinak již letite metody nejmenších ctverců, ktere se budeme nadale venovat. Metoda nejmensích ctverců je nýstroj, pomocí nehož lze pomerne jednoduse stanovit hodnoty parametru zvoleneho regresního modelu tak, aby tento model co nejlepe souhlasil s tím, co jsme napozorovali. Pokud jsme meli st'astnou ruku pri vyberu modelu, budeme moci i predpovedet, jak se zkoumaný objekt choval, a to i v dobe, kdyz jsme jej nemeli pod dohledem. Budeme moci predpovedet, co by se s ním melo dít v budoucnosti. Všechny tyto predpovedi zname i s jistou davkou nepresnosti, ktera je dína jednak tím, ze zvolení model nemusí uplne presne odpovídat realite, ale zejmena proto, ze vsechna pozorovací data jsou zatízena jistou nepresností danou zpusobem merení a radou neznýmých faktoru, ktere vísledky pozorovaní ovlivnují. Velkou predností MNC je, ze umozňuje nejen predpovídat, ale i odhadnout nejistotu techto predpovedi. 4.1.2 Zdůvodnění metody nejmenších čtverců MNCň vychaízí ze skuteňcnosti, ňze naprostía vňetňsina odchylek od hodnoty, kterou jsme meli v dane chvíli namerit, mí tzv. normálni rozděleni. To znamena, ze histogram tňechto níahodnyích odchylek mía zvonovityí tvar, vyjadňrující skuteňcnost, ňze pňrevaíňznía vetsina merení se kupí kolem te „realne" hodnoty, najdou se vsak i merení, kterí se od tohoto ňzíadoucího ideíalu více ňci míenňe odchylují. Nejistota mňeňrení pak znamenía, ňze pravdepodobnost rozlození zmerení dane hodnoty je dobre popsína Gaussovou funkcí3, jejíz sírka - tedy míra rozmazanosti - je urcena tzv. rozptylem a2. Príciny one roz-mazanosti jsou mnohíe, souvisejíí jak s kvantovou povahou mňeňreníí (napňr. statistika fotonu apod.), turbulencí atmosféry, zmenami atmosferickeho tlaku i stavem pozorovatele, kolísaním napetí elektricke síte apod. Nektere z techto vlivu sice lze potlacit, nicmene uíplnňe je odstranit nelze. Naňstňestí níam vychíazejí vstňríc tím, ňze jsou pňredvídatelníe a tím i eliminovatelníe. Krome nich vsak existují i takové vlivy, které do našich měření vnášejí hrubé chyby. Mohou to bát např. vlety kosmickách Částic, nestabilita vlastního pozorovacího přístroje, prudke zmeny pocasí, chyby odectu pozorovane veliciny treba z duvodu nepozornosti (zímena císlic, chybny format) apod. Nektere z hrubých chyb lze uz ve vypisu namereních hodnot snadno identifikovat, nebot' se vyrazne odchylují od ostatních merení. Takoveto chyby je zahodno nemilosrdne eliminovat. Pokud se vsak merení zatízena hrubími chybami od ostatních merení lisí jen mílo, je jejich odhalení nírocnejsí a neobejde se bez celkoveho statistickeho zhodnocení cele pozorovací serie. Dosti zaludne mohou bít casove promenne systematicke odchylky ci kolísaní, kdy lze vysledovat zjevnou korelaci odchylek. 2 Jinou takovou podmínkou nmze bít minimílnost souctu absolutních hodnot modifikovanych odchylek nebo jejich ctvrtích mocnin. Nicmene takto definovane podmínky se pouzívají jen zrídka, a ve zcela oduvodneních prípadech. Naopak casto se pouzívají jiste modifikace MNC, ktere dokízí eliminovat hrube chyby. Temto modifikacím se pak ríka robustní regrese. 3Podrobnejsí zduvodnení, proc tomu tak je, nam prinísí tzv. „centrálni limitní teorem". 4.2. Metoda nejmenších čtverců 77 My še ted' však šoůštredíme jen na ty odchylky, které vznikají šoůhroů náhodných procesů a jejichž pravdepodobnošt lze doštatečne popšat tzv. normální rozdelovací fůnkcí. Předpokládejme nyní, že modelůjeme závišlošt n merenych velicin y; na caše t;. f (ti, (3) necht' je modelova predpoveď v caše ti š modelovámi parametry (3. Důlezitám parametrem je nejištota (rozptyl) ai kazdeho merení. Soůštred'me še nejprve na libovolne vybrane i-te merení š namerenoů hodnotoů yi a její modelovoů predpovedí f (ti, (3). Za predpokladů, ze rozdelení odchylek je normální, pak platí, ze hůštota pravdepodobnošti teto šitůace P(yi|f (ti,/3),g;) bůde dána pove-domám vztahem: P(yi|f(ti,/3),G;) = ^=exp -\(Vi^^)' . (4.4) Je zjevne, ze tato dálcá hůštota pravdepodobnošti bůde tám vyššá, cám blázze k šobe bů-doů mít pozorování a predpoved'. Váše ůvedenoů hůštotů pravdepodobnošti lze pro daná model a zvolenoů šadů parametrů vypocátat pro všechna pozorovaná. Jšoů-li jednotlivá pozorovaní zíškana nezávišle, pak vyšledná hůštota pravdepodobnošti toho, jak verne zvolená regrešná model f (t, (3) popišůje realitů, bůde dana šoůcinem dálcách hůštot pravdepodobnošti. Ten šoůcin, která ši oznacáme L(/3), cášelne vyjadrůje verohodnošt zvolenáeho modelů: L(3) = íl -^T exp í-5 íyi-^)1- (4.5) =1 [ 2\ Gi Bůdete-li ši nyní vybírat mezi jednotlivámi regrešními modely, vyberete ši jište ten, která ma maximálná verohodnošt (likelihood) L(/3). Tomůto poštůpů še ráka metoda maximální věrohodnosti a lze ji poůzít míšto metody nejmenších ctverců, š níz ovšem intimne šoůvišá. Stacá totiz vztah pro verohodnošt (4.5) zlogaritmovat a trochů ůpravit n n p _ f (t 3) - 2 n -2lnL(/3) + ]>>[2n (o;)2] = £ y^G(tll3l = £ g2 = x2(3). (4.6) Gi ;=i ;=i u j ;=i Nabává-li verohodnošt modelů L(/3) šveho maxima, pak všechny várazy v rovnicách (4.6) došahůjá šveho minima, pricemz šůma na leve štrane rovnice je konštanta. Sůma ctverců podálů odchylek a jejich nejištot še bezne oznacůje jako x2(3). Minimalizacá teto bezrozmerne veliciny4 x2(3) pak lze hledat ty nejlepší z regrešních modelů. Od metody nejmenšách ctverců naš delá ůz jen docela maly krůcek. 4.2 Metoda nejmenších čtverců 4.2.1 Hledaní rešení metodou nejmenších Ctverců Sůma X2(3) je bezrozmerna škalární fůnkce vektorů parametrů (3: x2(3) = £ l/,-^ = £ 02 = £ e2w2 = ]>> - f (t;, 3)]2 Wi, (4.7) i=1 L ; -I í=l ; i=l i=l 4Srovnejte prosím s intuitivním tvarem x2 v (4-3). 78 Kápitolá 4. Regresní ánálízá jez je umerná záporne vzátemu logáritmu právdepodobnosti dáneho resení. Místo indi-viduílních nejistot oi lze z vípocetních duvodu pouzít i individuální váhy5 dáne vztá-hem: wi = o-2. Hledejme nyní tákoví vektor (3, ((3 = b) pro nejz je táto sumá x2 = X2(3 = b) minimílní. Funkci X2(3) si lze predstávit jáko zprohíbánou plochu v (g + 1) rozmernem prostoru, kde g rozmeru je vyhrázeno pro slozky vektoru (3 á g plus první rozmer je rezervován pro funkcní hodnotu X2(3). Obecne muze mít táková plochá dosti komplikování vzhled. Nicmene vetsinou ná ní muzeme nájít jedno nebo i více lokálních minim, z nichňz ovňsem jen nňekteríá budou mít nňejákyí dobryí fyzikíální smysl. Pri hledíní extremní (minimá nebo máximá) skálární funkce je vhodne si závest pojem gradient funkce. Gradient v dánem bode je vektor orientování v opácnem smeru neňz spíádnice, pňriňcemňz díelká vektoru je tím vňetňsí, ňcím strmňeji v dáníem bodňe funkce probíhá. Císelne jsou slozky vektoru gradientu funkce x2, která je funkcí g promenních párámetru, rovny párciálním derivácím podle techto párametra Vx2(b)=( dři --g)- (4.8) Grádient lze tákto podle potňreby chíápát jáko bud' jáko vektor o g sloňzkíách nebo ňríádkovou mátici s g sloupci. Pomocí grádientu souctu ctvercu odchylek lze podmínku pro nálezení extríemu funkce nebo jeho sedlovíeho bodu lze pák elegántnňe zápsát Vx2(b) = 0, (4.9) kde 0 je rádkoví vektor o g slozkách, jez jsou vsechny rovny nule. Podmínká ták ríká, ze extrem (sedloví bod) skálární funkce nástívá v tákovem bode, kde vsechny slozky grádientu funkce jsou rovny nule. Níás ovňsem zájímájí práívňe jen minimá tíeto funkce. Velikost vektoru grádientu je v minimu nulovíá, jsme totiňz ná dnňe - hloubňeji se v okolí tohoto bodu dostát nelze. Popisováníe metodňe hledíání minimá skálíární funkce se proto ríká tez gradientní metoda (grádient method). Dosádíme-li nyní víráz pro víhovánou sumu ctvercu odchylek do (4.9) po krátkích uíprávíách dojdeme k jediníe vektorovíe podmíínce ■A Xi f (ti, b) = -A Xi y i 2-f o2 = o2 , i=l i i=l i n n nebo y~] Xi f (ti, b) Wi = Xi yi Wi, (4.10) x=Vf(ti,b):(d/r,d/ir,---,dfr)- (4.11) Vektor príslusní k i-temu merení xi s g slozkámi je tedy gradientem podle slozek párámetru prokládáne funkce v dánem bode. Slozky tohoto vektoru ták lze pokládát 5U techto vah je vsak treba mít na pameti, ze to nejsoů bezrozmerne veličiny, ale ze mají individůalní rozmer dim(wj) = [dim(yj)]-2. 4.2. Metoda nejmenších čtverců 79 o oo *,, ~ ,----~e' • o °- - - Ó " " ' Obrazek 4.1: Na techto čtyřech po sobe následujících obrázcích si můžete ověřit sílu metody nejmenších ctverců. Předpokládejme, že závisle promenná (meřená) velicina y je lineárne závislá na nezávisle promenne velicine x (typicky na case). Dále predpokládejme, že každá z 1000 namerenych bodů je zatízen nejistotou oi, která bude pro jednoduchost pro vsechny body stejná. Nyní si z techto 1000 bodu náhodne vybereme 20, ktere jsou na druhem obrázku zvárazneny krouzky. Z techto reprezentantu te puvodní velke mnoziny bodu vypocteme odhad závislosti y (x). V obrázku vlevo dole si znázorníme onu závislost definovanou nyní jen temi 20 body. V grafu je pro informaci vynesena i vysledná závislost, ovsem s vedomím, ze tuto závislost v te chvíli jeste neznáme. Nyní jde o to, zvolit správny model pro tuto závislost. I kdyz by v techto 20 bodech bylo mozne videt i ásek paraboly, dostacujícím modelem závislosti tu bude prímka obecne neprocházející pocátkem definovaná dvema parametry. Pouzitím MNC lze tyto dva parametry vypocítat a do grafu je vynest. Tato prímka se zjevne dobre shoduje se skutecnou závislostí definovanou padesátkrát více body, nez kolik jich máme k dispozici. Ukazuje se tedy, ze MNC je skutecne mocnym nástrojem, která ale není hned tak pro kazdeho. za nezavišle promenne. Soůštavů g obecne nelineárních rovnic o g neznámých, šlozek parametrů b pak rešíme bezným způsobem.6 6Triviálním príkladem regrese resene pomocí MNC je nalezení strední hodnoty n namereních hodnot {yi} se stejnou nejistotou o . Model regresní funkce f (t) = f3, = V fi = d f /df3 = 1, x2 (^) = Minimum funkce x2 (V) nastává v bode (3 = b, v nemz platí, ze dx2/d( = -2o-2 £(yi - b) = 0, tedy b = 5ľ yi = y hledáním stredem je aritmeticky prumer. Suma kvadrátu modifikovanych odchylek ě2 pro b = y, x2(V = y) = o-2Y,(yi - V)2 = o-2E y2 - 2 yi y + y2 = n o-2 (y2 - y2). Poucní je i prubeh funkce = o-2 J2(yi - V)2 = o-2 yi - 2 Vyi + V2 = x2(b) + no-2(V - y)2 - jde o parabolu, krivku s minimem v V = b = y s minimální hodnotou x2 (V)min = x2 (b). 80 Kapitola 4. Regresníí analyíza 4.2.2 Kritéria úspéSnosti modelování 4.2.2.1 Státistiká modifikoványch odchylek éi 80 70 60 50 Z 40 30 20 10 0 „ -15 -10 -5 0 5 10 15 -15 -10 -5 0 5 10 15 e/o e/o Obrízek 4.2: Histogramy rožložení modifikovaních odchylek jasnosti v barve I: či = ej/aj dvou hvežd ve Velkem Magellanove mracnu merenych v rímci prehlídky OGLE-III. Jejich svetelne krivky byly proloženy modelem predpokladajícím konstantní jasnost. Konstatujeme, že u první ž hvežd, ktera je obycejnym nepromenním oranžovym obrem trídy K, žmíneny model vcelku vyhovuje. Rožložení odchylek se kvalitativne shoduje s ocekavíním, ale lisí se v detailech, speciílne: n = 531, č = 0,01, s2 = č2 = 1,25; x2 = 662. Suma x2 je viditelne vetsí než n — g, kde g = 1. Prícinou nejspís jsou podcenene hodnoty nejistot ai, ktere by mely byt o cca 12% vetsí. Zcela jinak je tomu u druhe ž hvežd, nadobra spektrílního typu G: n = 437, č = 0,18, s2 = č2 = 25, 7; x2 = 11230! Suma x2 je mnohonísobne vetsí než n — g, X2 = 25,8, rožptyl je tež 26krít vetsí, než by se dalo ocekavat. Zíver je ten, že model teto hveždy je vadny, hvežda není konstantní, ale promenní. Nasvedcuje tomu i vyslovene bimodílní roždelení s vyražnejsím vrcholkem v kladne casti či, což je prížnacne pro periodicky promenne hveždy s ostrejsími maximy. Podrobnejsí rožbor ukaže, že tu jde o trpaslicí cefeidu. Predpoklíadejme, ze se naím pro danou situaci a danyí datovyí soubor podarilo pomocí MNC najít adekvatní regresní model f (t, b), kterí je funkcí casu a g-tice volních parametru b. Pomocí tohoto modelu muZeme vypocítat pro vsechna nase pozorovíní in-dividuílní odchylky ei = yi — f (t, b) i modifikovane odchylky éi = ei/ai. Predpokladejme jeste, Ze nase odhady nejistot jednotlivích merení [ai] skutecne rigorozne vyjadrují míru rozptylu níhodne veliciny. Pak ovsem platí, Ze strední hodnota modifikovane odchylky é = 0 a rozptyl s2 = e2 — éi = e2 = (n — g)/n. To vse je dobre otestovat, zejmena pak vyse uvedenou podmínku pro rozptyl s2(é). Pokud bude roven (n — g)/n, pak je nejspís vse v poradku. Vyjde-li vetsí neZ (n — g)/n, pak to muZe znamenat dve veci - bud' muZe byt v neporadku nalezení model, kterí dostatecne nerespektuje prubeh realne zavislosti merene veliciny na case, nebo to muZe byít tíez zníamka toho, ze je nejistota jednotlivíych mereníí systematicky podcenovíana, ze 4.2. Metoda nejmenších čtverců 81 nám zrejme ůniká nejaký důvod jejich rozptylů. V opačném prípade, kdy je s2(ě) < (n — g)/n, jšoů nejistoty jednotlivých merem přeceňovaný. I zde je dobre še zamýšlet, proč k tomů dochází. Pro klid důše bychom meli ješte prezkoůmat, zda je rozlození modifikovaných odchylek vškůtků gaůššovške, tak jak by to melo být, to znamená, je-li ěj = ej/aj náhodnoů promennoů. Velmi rychlym způsobem je sestrojená histogramů š toůto velicinoů. Bůde-li mát všechny atribůty gaůššova rozdelená, pak jšme še modelem zrejme štrefili a naše vášledky lze interpretovat naštroji MNC. V opacnem prápade, pokůd je jádro rozdelená príliš štíhle vzhledem ke krídlům, bává to známkoů toho, ze zrejme nejšoů došti dobre ůrceny nejištoty jednotlivách pozorovaní nebo ze še v materialů objevůje došt odlehlych bodů. Za techto okolnoští je záhodno data zpracovat metodami tzv. robůštní regreše (napr. 4.5.1). Pokůd zjištíme, ze je profil hištogramů zjevne ašymetricky nebo še v nem objevůjá i náaznaky bimodáalnáho rozdňelená, báyváa chyba v neadekvaátnošti zvolenáeho mod-elů7. 4.2.2.2 Sumy x2, xfi a rozptyl proložení s2 Uvazáme-li, ze šůma x2 = Yl ě2, pak lze odhadnoůt, ze x2 — n — g. Rovnátko v tomto vztahů nenáí, protoňze šůma x2 je rovnňeňz náahodnaá promňennáa, pňriňcemňz jejáí šmňerodatnoů odchylků lze odhadnoůt na ax2 = 2 (n — g). Takze mame-li treba n — g = 450, lze cekat, ze x2 = 450 ± 30. Ukazuje še, ze je váhodne ši krome šůmy x2 zavešt i její modifikovanoů podobů x a rozptyl prolození zvolenám modelem s2 podle vztahů: x =2_^ - = z_^ě — n — g' ax2 = v2(n — g) j=i L aj J i=i ,2 = — 1' - °« = s2 = (4.12) Modifikovana šůma x2 je tak rovna jednicce š nejištotoů 2/(n — g). Polozíme-li tedy n — g = 450 bůde x2 = 1,00 ± 0, 07. Chceme-li porovnat dva konkůrencná modely, pak by mňel zvátňezit ten, jehoňz hodnota x22 bůde menňšá. Pokůd ovňšem bůde rozdál mezi obňema konkůrůjácámi ši modely menšá nez ax2, pak to vypadá špáše na plichtů. Rozptyl prolozená8 cašove závišlošti pozorovanách velicin s2 by še zaše mel limitne blízit predpovedi s2 = (a-2)-1. Obecne by melo platit s2 > (a-2)-1. I pomocí tohoto kritáeria by bylo moňzno mezi dvňema modely rozhodnoůt. 4.2.2.3 Testovaní regresních modelU pomocí O-C diagramU Jak ůz bylo reňeno váše, modelovaná škůtecnošti pomocá MNCC štojá a pada še špravnoštá volby regrešní fůnkce. Nejnazornejším kriteriem adekvatnošti zvoleneho modelů je grafická vzhled tzv. O-C diagramů (viz 5.3), která vznikne vynešenám odchylek pozorovane veliciny (Obšerved) od modelove predpovedi (Calcůlated), tedy O-C v zavišlošti na 7Problematiku stanovení normality rozdělovači funkce zevrubně řeší text Z. Mikulášek, 2012, Popisná statistika 2, dostupný na http://astro.physics.muni.cz/study/courses/f7581/. 8Tato veličina ma rozumný fyzikalní význam pouze tehdy, maji-li meřene veličiny stejny rozmer. 82 Kapitola 4. Rěgrěsní analyíza nězíavislíě promňěnníě, coňz nějňcastňěji byívía ňcas něbo jěho funkcě, napňr. ěpocha. Pňrěloňzěno do nasí rěci - jě to zavislost odchylky ei = yi — f (í, b) na casě íj. Vysocě zadoucí jě v tomto diagramu vhodnym zpusoběm vyznacit nějistoty c^, jědnotlivych měrěních hodnot ei = O-Ci; zpravidla sě tak dějě formou svislě ísěcky9 sě strěděm v (O-C)i a dělkou 2 ui. Pňri prohlíídcě O-C diagramu sě nějprvě zamňěňríímě na to, zda nalězěnyí moděl pozorovanou zíavislost v globíalě popisujě něbo zda sě tam objěvujíí nňějakíě systěmatickíě odchylky od iděílního pruběhu kolěm O-C = 0. Jakěkoli trěndy ci dobrě viditělně vlny ukazujíí, ňzě zvolěnyí moděl jě pňrííliňs hrubyí, ňzě by mohl byít zdokonalěn pňridíaníím dalňsíích clěnu do rěgrěsní funkcě něbo jějí zaměnou jiním, aděkvítnějsím modělěm, ktěrí budě skutěcnost lěpě vystihovat. Zvlast' pěkně by pak bylo, kdyby sě touto níhradou podarilo i rědukovat pocět stupnu volnosti. Vzdy jě vsak trěba sě pri hodnocěníí mííry naíhodnosti něbo něnaíhodnosti urcitíěho vzhlědu O-C diagramu drzět spísě pri zěmi a svuj vizualní dojěm vzdy doplnit jěstě nňějakyím jinyím, objěktivníím" těstěm. Zcěla naíhodnía sěskupěníí mohou obňcas budit do-jěm vysokě usporadanosti, ktěrí sě pak v pruběhu casu muňě naprosto ztratit. Zějměna těhdy, chcěmě-li svíě moděly pouňzíít k prědikci chovaíníí objěktu v ňcasovyích intěrvalěch, ktěríě nějsou pokryty pozorovaíníím, jě tňrěba bíyt hodnňě rězěrvovaníy a díavat pňrědnost modělum s co nějměnsím poctěm volnych paramětru. K tomu nís koněcně nabadají i tzv. informaňcní kritíěria pojědnanía v níaslědující podkapitolě. 4.2.2.4 Informační kritěria AIC, AICc a BIC Obcas sě nam prihodí, zě sě němuzětě rozhodnout mězi dvěma moděly s raznym poctěm stupnu volnosti. Svízělně jě hlavně, kdyz sě těn slozitějsí moděl od jědnodussího lisí jěn o nějakí aditivní clěn, protozě pak zarucěně platí, zě x2 toho s větsím poctěm stupnu volnosti jě měnsí, něz těn jědnodussí. Jině to imízě bít, porovnívímě-li x2 (viz rovnicě 4.12). Byly vsak vyvinuty jěstě spolěhlivějsí indikatory spravněho poctu stupňu volnosti. Z mnoňzství informaňcních kritíěrií zdě uvěděmě jěn tňri: Akaikěho informaňcní kritíěrium AIC, Akaikěho korigovaně informacní kritěrium AICc10 a hodně prísně bayěsovskě in-formacní kritěrium BIC, ktěra jsou děfinovana takto: AIC = x2 + 2 g; AICc = x2 + 2 g--; BIC = x2 + g ln n. (4.13) n — g — 1 Vňsěchna tato kritíěria sě pouňzívají obdobnňě: hodnotu kritíěrií vypoňcítaímě pro oba konku-rěncní moděly aplikovaně na zkoumaní datoví soubor. Těn z moděku, ktěrí nm měnsí hodnotu zvolěníěho informaňcního kritíěria, by mňěl dostat pňrědnost. 9 Toto tradicní oznacení není moc stastne, protoze nas zrak upoutají spísie ty body s delší íseckou a tedy i nizsí kvalitou. Alternativne se uzíva jine oznacení, kdy víznamnost príslusneho merení (vaha) se znazorní plochou príslusneho symbolu, pricemz jeho lineírní rozmer by mel byt neprímo umerny nejistote ~ a-1. Bohuzel pak se zase ztrící informace, kam az saha ona ísecka nejistoty. Resením je pak kombinace obou zpusobu - tedy jak usecka, tak ruzna velikost symbolu - viz obr. 4.3. 10 AICc je zahodno pouzívat v prípade, kdy pocet merení n není mnohokrát vetsí nez pocet stupňu volnosti g. Pro n ^ g pak kriteria AIC a AICc splyvají. 4.2. Metoda nejmenších čtverců 83 2 1.5 -1.5 -2-1-1-1-1-1-1 -1 -0.5 0 0.5 1 t Obrázek 4.3: Simulace možného vzhledu závislosti y = t třiceti náhodně vygenerovaných měření, z nichž na polovinu byl aplikován sum s a = 0, 2 a na druhou polovinu sum s a = 0,4. Rozhodnout se mý mezi přímkou ((1) - spravne řešení) a parabolou (2). Zde jsou pro porovnaní jednotlive charakteristiky obou modelu %2 = 35, 0, x2 = 31, 7; %2t1 = 1, 25, %2t2 = 1,17; AICi = 39, 0; AIC2 = 37, 7; AICci = 39, 5; AICc2 = 38, 6; BICi = 41, 8; BIC2 = 41, 9. Odtud vyplýva jasne doporucení: pokud mozno vyuzijte poslední, nejprísnejsí z informacních kriterií - 'bayesovske'. 4.2.3 Odhad nejistot jednotlivých měření Víse uvedení informacní kriteria ovsem obcas selhavají z toho duvodu, ze v praxi nemame vzdy spolehlivou informaci o nejistotích {a^j projeden kazdí bod merení. Pritom vetsinou jde o merení provedena v minulosti, tedy neopakovate^í a tudíz unikítní. Nekdy o nejistotích vstupních ídaju nevíme zhola nic. Jenze ony nejistoty k vípoctu %2 nutne potrebujeme. Nebylo by poctivejsí oprísit starou dobrou prostou metodu nejmenších čtverců se sumou ctvercu odchylek v podobe: S (b) = J2[yi — f (tí, b)]2, v níz není ani nejistoty a» ani vahy Wi zapotrebí? Lze to ale vubec takto udelat? Lze to ucinit, ale jen v tom prípade, kdy mame co do cinení s daty stejneho druhu, o nichz víme, ze vsechna mají zarucene stejnou nejistotu aí = a. Pokud by tato podmínka splnena nebyla, nemeli bychom MNC pouzívat nebo alespoň bychom nemeli tvrdit, ze jsme k nejakým zíverum dospeli pomocí teto metody. Vísledky, ktere bychom dostali, by byly nutne zkreslene, zejmíena by nebylo moňzníe se spolehnout na odhady nejistot. Pfípůštíme-li, ze v šoůborů zpracovávaných dat še nacházejí data nebo škůpiny dat š rozdílným rozptylem, š rozdílnoů kvalitoů11, je naší povinností vše ůdelat pro to, abychom ony nejištoty ci vahy nejak odhadli a poůzili vztahy zohlednůjící rozdílne nejištoty, rešpektive víhy jednotlivích merení. Jak tedy onů nejištotů merení veliciny aí odhadnoůt? Predne je treba še šmírit 11 Zde íplne stací, kdyz pouzívíme data od raznych pozorovatelu, získana ruznou pozorovací technikou, v ruzních fotometrickych filtrech, v ruznych klimatickych podmínkach atp. 84 Kapitola 4. Regresní analyíza se skutecností, ze onu nejistotu individuílního merení nikdy nedokazeme urcit presne: kaňzdíe mňeňrení je jedineňcníe, neopakovatelníe a nikdy zpňetnňe nebudeme znaít vňsechny okolnosti, ktere v tu chvíli mohly vlastní merení ovlivnit. Jistím vodítkem ním sice muze bít udíavanía vnitňrní nejistota (chyba), ktería ovňsem zpravidla pňredstavuje jen dolní odhad skuteňcníe nejistoty. Zde je tňreba si uvňedomit, ňze ona nejistota by se mňela vztahovat k praívňe pouňzitíemu regresnímu modelu, kteryí nemusí realitu popisovat ideíalnňe. Víchodiskem tu muze bít pouzití proste metody nejmensích ctvercu s jednotkovími víahami a s naíslednou analyízou kvality proloňzeníí jednotlivyími podskupinami v celíem datovíem souboru. Zlepňseníy odhad nejistot pak lze uňcinit za pňredpokladu, ňze pňresnost mňeňreníí v ríamci urňcitíe relativnňe homogenníí podskupiny dat bude nejspííňs zhruba stejnía (napr. merení z urcite noci v urcitem filtru atp.). Tato nejistota pro j—tou podskupinu merení - a j je pak dana rozptylem merení podskupiny vzhledem k modelove predpovedi. Platí tedy: a ji = a j. Takto lze upresnit víhy vsech merení ve zpracovavanem souboru a celou regresi zopakovat. Po nňekolika iteracíích dojdeme k ustíaleníemu stavu, kdy se jiňz vyísledky nebudou díale mňenit. Odhadujeme-li nejistoty jednotlivych pozorovaní takto, musíme se smírit s tím, ze se vazou na dany regresní model. Pri volbe jineho modelu, muzeme dostat ponekud odlisne hodnoty odhadu aji = aj a tím i vah jednotlivyích mňeňrení. Zkuňsenost vňsak ukazuje, ňze tyto rozdíly povedou jen k marginílním zmenam ve vísledku, takze je muzeme zanedbat. 4.3 Lineární regrese Resení soustavy rovnic (4.10) v jejich obecnosti byva dosti komplikovane, takze není divu, ňze se vyhledají takovíe regresní modely, s nimiňz by se dalo zachíazet jednoduňseji. Príjemní prace je s tzv. lineárními regresními funkcemi f (t, (3), ktere je mozne vyjadrit jako lineírní kombinaci g funkcí casu {x1(t), x2(t), ... ,xg(t)}, ktere tvorí vektorovou funkci x(t) = (x1,x2,... ,xg). Hovoríme pak o lineírní regresní funkci nebo o linearním regresním modelu. Platí tedy g f (t, (3) = & x1(t)+ & x2 (t) + ... + pg xg (t) = J] P j x j (t) = (3 x(t) (4.14) j=1 - *f(t-3) = (I'I--w) = x(t). (4.15) Dosadíme-li nyní do rovnice (4.10) za f (t, (3) dostaneme n g n ^ x(ti) Wi ^ bj x j (ti) = ^ x(ti) yi Wi, (4.16) i=1 j=1 i=1 kde víha wi = a-2. k-tou slozku predchozí soustavy rovnic lze po roznísobení sum pňrepsat do tvaru g n n b j ^2 xk (ti) x j (ti) Wi = ^2 yi xk (ti) Wi. (4.17) j=1 i=1 i=1 4.3. Lineární regrese 85 Celou soustávu g lineáírníích rovnic o g nezníámyích, jimiňz jsou sloňzky hledáníeho vektoru b lze zápsát tákto: Vlibi + V12&2 + ... + Vig bg = Ui V2lbl + V>2b2 + ... + V>g bg = U2 (4.18) Vglbl + Vg2b2 + • • • + Vgg bg = Ug, kde nn Vkj = Vjk = xk (ti) x j (ti) wí; Ufc = ^ yi xk (ti) wi. (4.19) i=l i=l Soustávu g rovnic o g neznímích (bj) pák lze stándárdním zpusobem resit. Nálezením vsech hledánych koeficientu je pák nálezená i regresní funkce, kde 3 = b. Pokud nás dále nezájímá presnost merení, hodnovernost prolození, chyby párámetru á neurcitost pňredpovňedi, pák jsme hotovi. 4.3.1 Lineární regrese užitím maticového počtu Lineáírní regresi lze elegántnňe ňreňsit pouňzitím máticovíeho poňctu. Ten budeme pňrednostnňe pouňzívát i v níásledujícím textu. Pozoroványí vztáh mezi zíávisle promňennou (nepňresnňe mňeňrenou veliňcinou, nejňcástňeji hvňezdnou velikostí, ále i tňrebá rádiáílní rychlostí, teplotou áj.) y á nezíávislou promňennou (presne merenou velicinou - typicky cásem) t muze bít prolozen vhodnou modelovou funkcí f. Mátemátickí model zívislosti necht' je urcen usporádánou g-ticí volních párámetru P j, ve forme sloupcoveho vektoru (3 = (Z^,/32,...,/3g )T. Pokud je mozne modelovou funkci f zápsát jáko lineární kombináci g ruzních funkcí cásu xk(t), ták hovorííme o tzv. lineíárníí modelovíe funkci á lze psíát X = (Xl, X2, . . . ,Xg) , f (X, 3) = ^ Pk Xk = X 3. (4.20) k=l Záved'me sloupcoví vektor zívisle veliciny y s delkou n á mátici X s rozmerem n x g y y2 yn X \ xnl xn2 X2 (4.21) Xn kde yi je hodnotá i-teho pozorovíní, xik je funkcní hodnotá k-te funkce pro i-te pozorování, f (ti) je hodnotá rídkoveho vektoru definováneho v (4.15)l2. fl Xl wl 0 • • • 0 f(X, 3 ) f2 fn X2 3 = X 3; W Xn 0 W2 00 0 0 wn (4.22) 12Štandardne poůzívaními modely lineírních regresních fůnkcí jsoů bezne nebo trigonometricke polynomy vhodnych stůpnů. Jako príklad lze zvolit parabolickí model, jenz je nejjednodůšším modelem čísti svetelne krivky s extremem. Parabolicky model lze predpoklídat ve forme: f (t) = /112 + //2t + f (t) = [t2, t, 1], x = [{t2} M {1}]. 86 Kapitola 4. Regresní ana^a kde W je diagonýlní matice n x n s vahami jednotlivych merení v diagonale, f (5) je sloůpcoví vektor s jednotlivymi hodnotami modelove fůnkce fj(xj) pro i-te pozorovaní pro zadane 5 Jako objektivní mírů íspesnosti prolození modelovoů fůnkcí s parametry 5 poůzijeme soůcet výhovanůčh ctverců odchylek pozorovanůčh hodnot od predpovedeních x2(5) x2(5) = [y — f (5)]T W [y — f (5)] = (yT — 5TXT) W (y — X 5) = (4.23) yT W y — 5T U — UT5 + 5T V 5 = yT W y — 2 /3T U + /3T V /3. U je rádkovy vektor s delkoů g, V je c^rcoví matice g x g, jejíz inverzní matice H je tzv. kovariancní matice: U = XT Wy; V = XT WX; H = V-1 = (XT WX)-1. (4.24) Pri prolození modelovoů fůnkcí f (t, 5) metodoů nejmensích ctverců se bere za optimýlní takove, pro nez je sůma x2 = X2(5 = b) minimalní. V prípade lineýrní modelove fůnkce f (t, 5) platí, ze takove minimům je jen jedine. Pro resení v podobe sady parametrů b a sůmů kvadratů odchylek x2(b) platí: = 0 = —2 U + 2 Vb b = HU = (XT WX)-1XT Wy. (4.25) Predpoved' hodnot modelove lineýrní fůnkce pro 5 = b, yp je dana nísledůjícím vztahem: yp = Xb = [X (XT WX)-1XT W] y = H y. (4.26) V^az v hranate zývorče - symetrický matice H o rozmerů n x n, kterí zde vystůpůje jako operator, kterí kazde hodnote pozorovíní priradí její „vyhlazenoů" hodnotů. Toto zobrazení je tím vernejsí, cím více se matice H blízí jednotkove matici E(n, n). Minimalní sůmů kvadrátů odchylek x2 lze pro linearní regresi zapsat různe X2 = (y — Xb)T W(y — Xb) = yTWy — bTU = yTWy — ypTWyp. (4.27) V posledních dvoů variantýčh vystůpůje i výhovana sůma ctverců fůnkcních hodnot, coz je velicina vstůpní, vyplůvajíčí z pozorovaní, tůdíz zcela nezývisla na modelovíní. Metodů nejmensích ctverců tak lze alternativne čhýpat i jako metodů nejvetsích ctverců modelovych predpovedí. Tento pohled lze s víhodoů vyůzít napr. pri hledíní nejlepsích period, tedy pri tvorbe LSM periodogramů. Sumu ctvercu odchýlek x2(5) pro linearní regresní model lze po urcitích ípravích zapsat v nasledujícím instruktivním tvaru: g n 2 X2(5)= X2 ^(^k — bk)2£ • (4.28) fc=1 j=1 CTj Ze zapisu je okamzite patrne, ze funkce X2(5) ma tvar paraboloidu s minimem v bodu 5 = b. Mí tedý jedine a tudízz absolutní minimum. 4.3. Lineární regrese 87 4.3.2 Nejistoty parametrů modelu a předpovědí V rámci rešení úlohy lineární regresí lze tež odhadnout strední rozptyl měření13 s2, dále odhád nejistoty predpovedi jednotlivách vstupních dát óyp á odhád nejistot párámetrú modelu ób s2 = 4; óyp = Jx2, diág(XHXT); ób = Jdiág(H), kde xj = —. (4.29) w v p Vp p n — g X, je pomocná bezrozmerná funkce, jejíž velikost závisí ná ádekvátnosti volby regresního modelu á správnosti odhádu nejistot pouzitách dát. Operátor „diág", áplikováná ná čtvercovou mátici, vytvorí sloupcová vektor sestávená z prvku nácházejících se ná její diágonále; operátor muze fungovát i v opácnem smeru, áplikácí ná sloupcová vektor obdrzíme ctvercovou mátici, jejíz diágonálu tvorí prvky vektoru v odpovídájícím poradí. Je-li vse v porádku, pák plátí x2 ~ 1 ± \l2/(n — g). 11 10.5 O) E 10 9.5 8.5 10 20 30 40 time 50 9 Obrázek 4.4: Na obrázku jsou čtverečky znázorněna simulovaná pozorování proměnné hvězdy v okolí jejího minima jasnosti. Vnitrní presnost jednotlivách měrení je znázorněna Sedámi čhybovámi ísečkami. Prolozena parabola je naznačena černými tečkami s chybovími ísečkami odpovídajícími nejistotě predpovedi pomočí zvoleněho paraboličkěho linearního modelu. Slozky sloupcoveho vektoru ób se cásto uvádejí jáko rigorózní odhád nejistot jednotlivách párámetru modelu. Bohuzel, tento váznám máj í jen vyjimecne, nicmene ná nich obcás trvájí recenzenti odbornách clánku á oponenti diplomovách prácí. Náproti 13Tato veličina ma ovsem fyzikílní vyznam pouze tehdy, zpračovívame-li měrení stejněho druhu (se stejnou fyzikílní jednotkou - mag, km/s apod.). V opačněm prípadě je víznam veličiny s2 čistě formalní. 88 Kapitola 4. Regresní analýza tomu velmi cenný je nasledující odhad predpovedi modelu í/(í, b) í/(í, b) = * Ad x H xT = V ws2 xHxT = J x2 V/ H (V/)T. (4.30) Odhady nejistoty jednotlivých parametrU obsazených ve vektoru rešení b, íb se zdají být duleZite, nebot' prece pomocí nich lze odhadnout i nejistotu libovolneho výrazu Q(/3,í), a to podle notorickeho zákona o siřeni chyb íQ(/3,í) = É (1íbk)(4.31) ktery lze prepsat do elegantnej sího tvaru zahrnujícího i vypocet vektoru chyb í b ÍQ(/3,í) = a/x2 VQdiag(H) (VQ)T, kde VQ(/3) = (||, ||,..., |£) , (4.32) kde VQ(/3) je radkový vektor gradientu funkce Q podle jednotlivých parametru. Jenze výrazy (4.31,4.32) platý pouze tehdy, je-li kovariancm matice H diagonalný jinými slovy - jednotlive parametry v danem výrazu nejsou korelovane. V obeaném prýpade takto dostaneme jen horný hranici nejistoty. Chcete-li postupovat korektne, meli byste pouzýt nasledujký, jiste jeste elegantnejsý vztah íQ = V X2 VQ H (VQ)T. (4.33) Funkcý Q muze byt i prvný nebo druhý derivace modelove funkce podle casu /, /, coz jsou veliciny nezbytne napr. k výpoctu nejistoty urcení okamziku extremu svetelne krivky: í/(í, b) = J X2 V/ H (V/)T = J x2 xHxT; (4.34) í/(í, b) = a/ X2 V/H (V/)T = x2 xHxt, (4.35) kde x (í) = (xč i(í), xč 2(í),... ,žfl (í)) a X(í) = (áXi(í), ^(í),... ,áxfl (í)). 4.3.3 Základní regresní modely - aplikace lineární regrese Nasleduje nekolik praktických príkladu aplikace linearní regrese metody nejmensích ctvercu, ktere mají ilustrovat zpusob, jak lze metodu linearní regrese v maticove podobe pouzívat. Pokud tyto príklady nekomu pripadnou jako triviýlní, pak se nemýlí, nebot' jde o zamer. Pokud ovsem zvladnete toto, muzete si troufnout na slozitejsý modely. V rade prýkladu budou s výhodou pouzity nektere stredný veliciny, nezavislých i za-vislých velicin í a y: n n ív = ]C ím yi wi/Y, wi, (4.36) +2 i=1 i= - y2, íy - U / u2y St Sy y = v/uyy, uty = íy - íy, (4.37) r ="J^ĽL= \_Z^= (4.38) 4.3. Lineíarní regrese 89 Korelacní koeficient r je bezrozmerna velicina nabůvajíčí hodnotů mezi -1 a 1, pricemz 0 je roven tehdy, kdy mezi velicinami t a y neexistůje zídna linearní korelace, ±1 je roven tehdy, kdy jsoů vsechny hodnoty {tj, yj} vyskladany na jedine prímce. Individůýlní víha soůvisí s nejistotoů takto: wj = c-2. 4.3.3.1 Průměrná hodnota V prípade, ze mezi n dvojicemi t a y datoveho souboru yj; aj} neexistuje zídna zavislost (korelacní koeficient je blízkí nule), bude hodnota y(t) v mezích chýb nejspís konstantní. Regresní model pak muzeme sestavit takto: yj = P + ej, f (P) = P. Optimílní hodnotu P, pri nízz je vazena suma ctvercu modifikovaních odchýlek ej = ej/jj minimalní, 6, nazveme vazenou strední hodnotou. Muzeme ji najít prímo minimalizací výrazu X2(P): n n / fí \ 2 n 2 n ra1 X2(P) = E e2 = £ = £ | — 2 P£§ + P2£ J2, (4.39) j=1 j=1 j j=1 j j=1 j j=1 j —2 £ * + 26£ -I =0; * 6 = ^J-22 = = y; (4.40) n 2 —2 n X2(y) = £ ySJL; x2(P) = X2(y) + (P — y)2 £ j-2. (4.4i) j=1 Jj j=1 Grafem funkce X2(P) je parabola s minimem v P = y a funkcní hodnotou X2(y) (viz (4.41)). I kdýz minimalizací funkce X2(P) lze strední hodnotu výpocítat prímo, zkusme si nýní ze cvicních duvodu vsechný potrebne vztahý odvodit pomocí maticovích vztahu. X = [1,1,..., 1]T, Y = [y1,y2,...,yn]T, W = diag[j-2, j-2, • •., j-2 ]; (4.42) V = XTWX = V j-2; H = V-1 = —2, (4.43) U = £ yj J-2, 6 = HU = ^--2 = y, (4.44) X2(y)= YTW Y — bT U = £(y2 — y2) j-2; s2 = =^^^~ = 4 -n-, (4.45) X2 n — x, 56 = \lX2 diag(H) = T-— 5yP = S^/X2 diag(xHXT) = s. (4.46) Za povsimnutí jiste stojí, ze vztahý pro 6, j, 56 a čyp jsou formílne stejne jako v prípade bez vah. Rozdíl ovsem je v tom, jak jsou definovaný strední veliciný, z nichz se pri vípoctu výchazí. 4.3.3.2 Prímka jdoůcí počátkem Obcas se muzeme setkat se situací, kdý je jeden nebo více bodu zavislosti pevne fixovano. Z teto skutecnosti musíme pri volbe regresního modelu výchízet. Nejjednodussím príkladem toho druhuje nase oCekávaní, ze n bodu o souradnicích [tj,yj] se stejnými vahami lze prolozit prímkou jdoucí bodem o souradnicích [0, 0], neboli pocítkem. Regresní model je pak: yj = Ptj + ej, f (P, t) = P t. Optimílní hodnotu P = 6, pri níz je vazení suma kvadrítu odchýlek ej minimílní, nazveme tentokrat koeficientem ímernosti. 90 Kapitola 4. Regrešní analáza I zde budeme předpokládat, ze každému z bodu merení bude přisouzena určitá individuálni vaha w; = 1 /u2. X = [íi,Í2,---,ín]T, y = [yi,y2,---,yn]T, W = diag[wi,w2,...,wn], (4.47) V = XT WX = nwt2, H = V-1 = 1 b = HU = en=ií;yiw; _ ty U = XTWy = £ y, t; = nwty, (4.48) (4.49) i=1 £n=i t2 w; t2' _ r_ /t-\2 - yp = b t, R = yTWy - bT U = nW y2 - 6ty) = nw y2 - _ t2 X2 n[t2y2 - ^ 1 rt /=77 s w(n - 1) (n -1) t2 Vní2 s2 x = d/? = t; 5yp = s-^w x(t)Hx(t)T = s \j t__ n t2 (4.50) (4.51) (4.52) 4.3.3.3 Proložení obecnou prímkoů Pri zpracovaní časove pramenných pozorovacích dat se muzeme často setkat s álohou nalezení parametru časove trendu, pričemz se v prvním priblízení nejčasteji predpoklada, ze mezi zavislou veličinou y a nezavislou veličinou t (standardne časem merení) existuje linearní závislost. Jinými slový bodý v grafu lze prolozit prímku. Regresní model pro takovou situači je zrejmí: y; = /?i + /?21; + e;. Prímka nečht' je proklídana n bodý o souradničíčh [t; ,y;], pričemz kazdemu z bodu je prisouzena jeho individuílní vaha w; . Resením ílohý je nalezení vektoru b se slozkami 6i, 62, pro nez je suma x2(A, Ä) minimalní: (4.53) i=i X = -2 J] Wi(y; - 6i - 621;) = 0, = -2 J] Wi(y; - 6i - 621;) t; = 0. (4.54) i=i Soustavu dvou rovnič o dvou nežnamáčh (4.54) resíme prostredký matičoveho počtu: X= 1 ti yi wi 0 • •0 1 t2 ; y = y2 ; W = 0 •0 1 tn yn 0 0 • • wn H = V-i = V = XT W X = nw 1 I t2 1 í í t2 ; U = XTWy = nw "t2 -íl, r 6i ■ -tí 1 62 = HU = y ; ty J' t2 y - t ry -ty + ty _ (4.55) (4.56) (4.57) 1 4.3. Lineární regrese 91 Presvedcte se, ze platí: yp = y, tedy, ze regresní prímka prochízí tezistem. 2 X2 = yTWy — bTU = nw^ — 61 y — 62 ty), X2 = ^ , (4.58) s2 = -W2, x =[1,í]; yp = xb, 6yp = jx2 xHxT = --=,/1 + , (4.59) = = ^ Í61 = = SL^| = í^vl* (4.60) Nejistota smernice prímky čb2 tedy nezívisí na umístení pocítku, zatímco chyba absolutního clenu c5ř>1 ano. Minimílní je tato chyba v prípade, kdy pocítek souradnic ztotozníme s tezistem. Nejistota pak bude 561 = s/'y^. Absolutní clen 61 lze geometricky interpretovat jako ísek na ose y, ktery na ní vytína regresní prímka. Neurcitost polohy tohoto prusecíku udava chyba predpovedi c5yp(č = 0) v bode 0. Císelne je tato chyba rovna chybe absolutního clenu tak jak je uvedeno v (4.60). Korelacní koeficient r je dobrou mírou toho, jak dobre príve prímka vystihuje pozorovanou casovou zavislost _ r = íy—M = . (4.61) 4.3.3.4 Proložení čášových rád polynomem Pri zpracovaní delsích casovych rad casto aproximujeme vyvoj pozorovane veliciny y polynomem radu rídu g — 1. Linearní regresní model predpoklídame ve tvaru: yi = ^1 + //2 ti + ... + /g íg-1 + ei. Polynomiílní zavislost necht' je proklídana n body o souradnicích [íi, yi], pricemz kazdemu z bodu je prisouzena jeho individuílní víha wi. Resením ílohy je nalezení sloupcoveho vektoru b s g slozkami 61, b2,..., bg, pro nez je suma víhovanych ctvercu odchylek X2(A, Ä,..., //g) = X2(3) minimílní. Resíme pomocí maticoveho poctu. Definice matic W a y je táž jako v (4.55), jediní rozdíl je v matici X: X = 1 ti tf 1 Í2 t2 1 t t2 1 bn br, (4.62) nazývané též matice Vandermondova. 4.3.3.5 Proložení časových rad harmonickým polynomem Rada astrofyzikainích déjů probíha více Ci méné periodicky. Zname-li z dřívějška parametry periodicity, lze si zavést tzv. fázovou funkci kteroů dostanete jako soůcet béžné faze p a epochy E. Pokůd je perioda P konstantní, lze si fazovoů fůnkci vypocítat jednoduchým vztahem: « = ^, (4.63) kde t je jůliínské datům pozorovíní, M0 je jůlianské datům pocítků pocítaní fízové fůnkce, P je fixní perioda ve dnech. 92 Kapitola 4. Regrešní analíza Pozorovaníe periodicky se meníícíí veliciny y (jasnosti, radiíalníí rychlosti, intenzity spektríalníích car, indukce magnetickeho pole aj.) vytvarejí fázovou krivku, kterou nejcasteji znízomujeme jako zavislost promenne veliciny na fazi t£> = frac($). Fízove krivky zpravidla prokladame harmonickym polynomem stupne q = (g — 1)/2, kde g je pocet stupňu volnosti. Matematicky model s harmonickím polynomem stupne q lze zapsat: yí = //1 + \=x Äfc cos(2 kn^í) + /?2k+1 sin(2 kn^í) + eí.14 Odpovídající matice X: X = 1 cos(2n^1) sin(2n^1) cos(4n^1) sin(4n^1) 1 cos(2n^2) sin(2n^2) cos(4n^2) sin(4n^2) 1 cos(27r#n) sin(27r#n) cos(47r#n) sin(47r#n) cos(2qn^1) sin(2qn^1) cos(2qn^2) sin(2qn^2) cos(2q7r#n) sin(2q7r#n) (4.64) 4.3.4 Zobecnění linearní regrese I - vektorový závislý proměnna Obcas se stane, ze merena velicina není skalír, ale m-rozmerní rídkovy vektor nebo usporídana m-tice nekolika velicin: yí = (yí1, yí2,..., yím), veskerí merení bude predstavovat matice Y s rozmerem n x m Resením regrese bude g f (t, B) = 01 X1(t)+ 02 X2(t) + ... + 0g xg (t) = J] 0j x j (t) = x(t) B, (4.65) j=1 Y= y1 y2 y11 y12 y21 y22 yn1 yn2 y1m \ F(B) = f1 f2 fn =X (4.66) U = XT WY; B = HU = (XT WX)-1XT WY; yp = x(t) B. (4.67) 4.3.5 Zobecnení lineýrní regrese II - více nezývisle promenných Az dopošůd jšme jako jedinoů nezavišloů promennoů brali caš a vše jšme nahlízeli z hlediška cašove promennošti. Slozky vektorů x = (x1,x2,... ,xg) pak byly fůnkcemi cašů. To však metoda nejmenších ctverců vůbec nevyzadůje. Jednotlive polozky mohoů bít treba fůnkcemi proštorovych šoůradnic, rychlošti nebo to mohoů bít jen indikace popišůjící povahů merení (zda šlo treba o fotometricke merení ci merení radialních rychloští nebo intenzity špektralních car). Vše to jšoů nezavišle, nenahodne veliciny charakterizůjící konkrétní merení v rímci zvoleneho komplexního modelů. Proto ma šmyšl dívat še na cely šoůbor velicin obšazenych ve vektorů xí = (xí1, xí2,... , xíg) prímo jako na šoůbor g nezavišlích velicin, které mohoů nabívat různích hodnot. Pro ůrcity typ merení mohoů bít nektere z nezavišlích promennych rovny 0, pro jiní typ merení mohoů bít nůlove jine nezívišle promenne. Ve vektorů yí = (y1,y2,... ,yn)T š namerenymi velicinami jšoů pak jednotlive polozky razeny cašto v poradí, v jakem byly namereny. 14Zde je treba mít na pameti skutecnost, ze fazoví funkce je funkcí periody, ktera se muze v prubehu casu menit. Ulohu, kde bychom krome tvaru svetelne krivky resili i casovy vyvoj periody, lze zvlídnout az prostredky nelinearní regrese. 4.3. Lineární regrese 93 Příklad: Takovým lineárním modelem může být funkce se dvema stupni volnosti popisující měření sírký a delký nejakeho obdelníku. V případe, že v i-tem meření meříme sířku, je xi = (0,1), jde-li naopak o meření delký, pak je xi = (1,0), yi je ona namerený veliCina. Modelova funkce přo i-te meření přo fi = fi\ xi\ + (32 xi2 = xi /3, (3\ je delka, (32 je sířka. Cílem žpřacovaní je najít střední velikost techto pařametřu b na zaklade n meření. Při vípoCtu budeme předpoklídat, že vahý vsech meření jsou jednotkove - tedý že je meříme se stejnou chýbou. 3.16 s / 3.16 / 0 1 2.15 d 2.15 1 0 2.18 d 2.18 1 0 3.13 s y = 3.13 ; x = 0 1 2.15 d 2.15 1 0 2.19 d 2.19 1 0 3.13 s l 3.13 l 0 1 ) ; h = (0 °) ; b = 2.168 ± 0.009 3.140 ±0.010 (4.68) Víhodou tohoto přístupu je, že mužeme solidne odhadnout smeřodatnou odchýlku a tedý i nejistotu uřcení hledane delký a sířký. Vžhledem k tomuto žobecnení se takto mohou pod sebe dostat i velmi odlisne týpý meření s velmi odlisním řožsahem meřených velicin. Přoto je duležite, abý býlý jednotlive týpý meření spřavne ocenený svou vahou wi nepřímo ímeřnou svíe dispeřži. Nalezení okamžiku minima ze dvou sad pozorování - domácí Úloha Cílem teto domácí úlohy je áplikáce zobecnené lineární regrese ná problém, který simuluje situaci, do níz se pozorovátele promennych hvezd Cásto dostávájí. Představme si, že dva požořovatele v odlisních casovích pasmech spolupřacovali při po-žořovaní minima jasnosti uřcite dloupeřiodicke přomenne hveždý, přicemž spolupřacujícímu Cíiianovi (q = 1) se podařilo přovest celkem 15 požořovíní, vesmes na sestupne vetvi. Ceský požořovatel (q = 2) žachýtil až výstup svetelne křivký ž minima v 30 požořovíních ovsem s ponekud hořsí kvalitou. Samotne minimum žídní ž požořovatelu nežachýtil. V obou případech se požořovaní vedla ve filtřu V, hveždne velikosti se vžtahovalý k výbřane sřovnavací hvežde, požořovatele se vsak neshodli na její volbe, takže svetelne křivký na sebe nenavažovalý. Svetelne křivký býlý simulovaný pařabolou Am(t) = ai (t - tmin)2 + a5 5n + a6 = ai t2 + a21 + a3 5n + a4 6j2, tmin = , (4.69) 2 a1 kde a1 je koeficient pařabolickeho clenu (přo simulaci žvoleno a1 = 1), tmin je okamžik minima (žvoleno tmin = 0, 350), a5, a6 jsou řoždílý hveždne velikosti v minimu jasnosti přo cínskeho a ceskeho požořovatele (žvoleno a5 = 0,000, a6 = 0,400). Funkce 5i1 = 1, pokud jde o požořovaní Cíňana, jinak 5i1 = 0, napřoti tomu 5i2 = 1, pokud jde o požořovaní Cecha, jinak 5i2 = 0. a2 je lineařní clen, a3, a4 jsou hodnotý Am(t = 0) přo jednotlive požořovatele. Okamžiký požořovíní jsou udívaný ve dnech od žacatku uřciteho julianskeho dne. Jednotlive okamžiký ti býlý volený níhodne v intervalu 0 až 0,3 (q = 1) a 0,4 až 0,8 (q = 2). K simulovaným hodnotam řoždílu hveždne velikosti Am(ti) uřcením vžtahem (4.69) přo dane hodnotý casu ti býl přicten níhodní gaussovský sum o standařdních odchýlkích postupne: s1 = 0.005 mag a s2 = 0.007 mag. Tabulka s takto nasimulovanými casý ti a hodnotami Am(ti) vcetne pňříížnaku q níasleduje. 94 Kápitolá 4. Regresníí ánályízá ti Ami q ti Ami q ti q 0,013 0,117 1 0,428 -0,037 2 0,596 0,014 2 0,039 0,093 1 0,455 -0,035 2 0,609 0,015 2 0,053 0,086 1 0,473 -0,042 2 0,623 0,026 2 0,100 0,058 1 0,486 -0,036 2 0,623 0,002 2 0,112 0,054 1 0,488 -0,031 2 0,634 0,033 2 0,114 0,055 1 0,489 -0,024 2 0,672 0,049 2 0,120 0,056 1 0,502 -0,035 2 0,672 0,056 2 0,131 0,041 1 0,502 -0,032 2 0,681 0,063 2 0,132 0,051 1 0,543 -0,017 2 0,697 0,086 2 0,206 0,014 1 0,549 -0,005 2 0,739 0,102 2 0,220 0,020 1 0,561 0,005 2 0,740 0,095 2 0,248 0,019 1 0,568 -0,005 2 0,743 0,097 2 0,252 0,006 1 0,572 0,006 2 0,743 0,101 2 0,264 0,005 1 0,573 0,005 2 0,761 0,123 2 0,294 -0,006 1 0,587 0,007 2 0,772 0,133 2 Vasím íkolem bůde: • Nakreslit graf pozorovaních svetelnych krivek. • Pomocí lineírní regrese se stejnymi vahami jednotlivích merení vypočítat zvlíst' pro 1. a 2. sadů pozorovaní hodnotů koeficientů al, a2, a3, prípadne a4, včetne odhadů jejich nejistot, hodnoty standardní odchylky. Víysledníe hodnoty mezi seboů porovnejte a srovnejte je se zadanyími parametry simůlace. Vypočítejte dale okamziky tmin, včetne nejistoty jejich ůrčení, pričemz vyůzijete vztah ůvedení v (4.69) a vztah pro vípočet odhadů chyby fůnkce koeficientů (4.33) a fůnkční hodnotů v minimů prolozene paraboly a5 a a6, včetne nejistoty. Vísledne hodnoty mezi seboů porovnejte a srovnejte je se zadanyími parametry simůlace. • Spojte obe pozorovaní dohromady a predpoklídejte, ze absolůtní členy linearní regrese jsoů různe. Predpokladejte nejprve, ze vahy vsech pozorovaní jsoů identicke, rovne 1. Vypočtete koeficienty al, a2, a3, a4, včetne odhadů jejich nejistot, hodnotů standardní odchylky. Vyísledníe hodnoty mezi seboů porovnejte a srovnejte je se zadanyími parametry simůlace. • Vypočítejte standardní odchylky vzhledem k predpovedi vůči tomůto modelů zvlíst' pro čínske a česke pozorovaní. Pomocí nich vypočtete normalizovanoů vahů jednotlivych čínskích a českích pozorovaní. S temito vahami pak opakůjte vypočet parametrů al, a2, a3, a4, včetne odhadů jejich nejistot, hodnotů standardní odchylky. Vísledne hodnoty mezi seboů porovnejte a srovnejte je se zadanyími parametry simůlace. • Vypočítejte okamzik tmin, včetne nejistoty jeho ůrčení, a fůnkční hodnotů v minimů prolozene paraboly a5 a a6, včetne nejistoty. Vísledne hodnoty mezi seboů porovnejte a srovnejte je se zadaními parametry simůlace. • Pro spojene sady pozorovaní predpovezte fůnkční hodnoty a jejich nejistoty pro obe sady pozorovaní. Diskůtůjte, vyneste do grafů. 4.4. Nelineární regrese 95 4.4 Nelineární regrese Je treba se smírit se skutečností, ze naprostá vetsina regresních modelů dobre popisujících reálne astrofyzikímí situace proste není lineární a ani ji nelze na lineírní prevest. Řešení nelineírní regrese uZ není tak prímocaré, mj. i proto, Ze takova regrese můZe mít i více resení, z nichZ jen nektera jsou fyzikalne prijatelní. Nicmene, lze ukazat, Ze ve vetsine fyzikílne akceptovatelních resení lze v okolí minima plochu sumy kvadrítu X2(/3) nahradit paraboloidem - lze tedy nelinearní model v okolí minima nahradit jeho linearizo-vanou aproximací. K tomu ovsem musíme mít dobrí odhad resení, v jehoZ okolí budeme skutecne resení hledat. K odhadu se lze dopracovat treba pouZitím ídaju z literatury spolu se zjednodunsením modelu, tak abyste pomocí nnej k odhadu nrensení dospneli. 4.4.1 Linearizáce nelineárních regresních modelů Pripusťme nyní, Ze se ním podarilo se k takovemu odhadu v podobe výchozího vektoru parametru b0 dopídit. Minimum pak budeme hledat v bezprostredním okolí tohoto startovního odhadu. Jakmile se naím podanrí vyíchozí regresní model linearizovat, hned se muZeme zacít tesit z vymoZeností poskytovaních linearní regresí. Pri linearizaci modelu zpravidla pouZívame jeho Tayloruv rozvoj prvního radu podle parametru, v nichZ je model nelinearní. f (bo, A/3) = f (bo) + £ A/3fc dfM = f (bo) + A/3 x. (4.70) k=i ^k Takto prepsaní modelova funkce je pak linearní vzhledem k nove zavedenym parametrum A/3, pfícemZ vektor nezavisle promenních x je dan vztahem: ~ ( d f d f d f \ (47|) Vidíme, Ze situace je velmi podobna te, co zname u lineírní regrese, rozdíly tu ale jsou, a to víznamne. Vektor x príslusející i—temu merení je opet gradientem, a proto se teto metode resení nelinearní regrese take ríka metoda gradientní (viz 4.11). Z vektoru Xj si vytvoríme matici X (viz rovnice (5.81)), Ay = y — f, W a vypocteme resení v podobne diferenncníího vektoru Ab. V = XT WX; U = XT WAy; H = V-1; Ab = HU. (4.72) Tento korigující vektor pficteme k pocítecnímu odhadu vektoru volních parametru á0 modelove funkce a obdrZíme tak dalsí, zlepsení odhad usporadane g-tice parametru bi = b0 + Ab. S novou hodnotou parametru pak muZeme celí popsaní postup znovu opakovat. V prubehu iterativního procesu se absolutní velikost vektoru Ab zpravidla rychle zmennsuje a jinz po nnekolika krocích se pnriblínzí nule, conz znamenía, nze jsme jinz nalezli hledaníe nrensení celíe uílohy. A jeste poznamka: není treba linearizovat vsechny parametry, nekteré z nich bívají lineírní a lze je tak pocítat prímo. Lze to ukazat na nasledujícím príkladu. 96 Kápitolá 4. Regresní ánályízá Príklad — linearižace parabolickeho modelu Nás kvádráticky model muzeme lineárizovát podle rovnice (4.70), vycházejíce z náseho pocátecního odhádu párámetru a0 f = [«02 (t - (íoi)2 + + A(íi 2 (t - oku) + A«2 (t - aol)2 + A«3. (4.73) Je zjevne, ze modelová funkce je v párámetrech a2, a3 lineírní. Známená to, ze tyto dvá párámetry není trebá lineárizovát, ále poďtát prímo, pouze první párámetr, al je trebá hledát iterátivne, tedy: f (t, a) = A«l 2 «2 (t - aol) + a2 (t - «oi)2 + 03. (4.74) 2 «2 (tl - «0l) (tl - «0l)2 2 «2 (t2 - «0l) - «0l)2 2 «2 (tn - «0l) ( tn - «oi)2 X Parametry a2, «3 popisující vzhled světelné křivky neiterujeme. 4.4.1.1 Odhad nejistoty okamžiků extrémů Nejistota volných parametrU vCetne okamzikU extremU je dána vztahem (4.75) Ay = y - f (t, b); X2 = AyTW Ay; s = VX2/(n - g); = diag(H). (4.76) Jakkoli je vásledný soubor korekCních parametrU temer Ciste nulová, jejich nejistota nulova není a odpovída nejistote jednotlivách parametrU. To nam umožňuje uCinit spolehlivá odhad neurcitosti, s náž zname okamžik, kdy proložená funkce nabáva sveho extremu. 4.5 Robustní regrese Metodá nejmensích ctvercu je vítecním nástrojem pro modelování skutecnosti ná zíklá-de merení ci pozorování s mnozstvím áplikácí, ále to jen tehdy, jsou-li splneny zákládní predpoklády, ná jejichz zákláde bylá metodá odvozená. Zde je ná prvním míste premisá normílního rozdelení v odchylkích pozorování od modelovych ocekávání, zejmená pák neexistence tzv. odlehlých bodu (outliers) ci hrubích chyb. Jedine tákove pozorovíní, pokud by se dostálo áz do konecneho zprácování, dokáze náprosto znehodnotit celou ánálíyzu. Resení se zdá bít násnáde - stácí prece vsechná táková merení identifikovát á vyloucit ze zprácovíní. Ták by se vskutku melo postupovát, zejmená tehdy, jsou-li i jine indikáce, ze se tu jedná o nedopátrení, vádne merení. Problem vsák nástáne, pokud tákovych odlehlích bodu míme v pozorovácí serii více á zejmená tehdy, kdyz se tyto odlehle body zácnou mísit s temi body, co se poslusne rídí zákony normálního rozdelení. Ják potom rozhodnout, ktere z tech merení, jez se hodne odchylují od centrá je sprívne á ktere jiz nikoli? 4.5. Robustní regrese 97 • . • • * • ; i • • • i t i ' : i . ; ; ! ' : ! i l í f i * j 114 1 • • • • • • • • ! i ' i i i : > i ; I i ! j i • : t *í išiU jiiSfiií í Míli Í! • • • M M !::;:!!;: i: i i i*i i 0 5 10 15 20 25 Obrázek 4.5: Simulace výsledků 25 měření pro normální rozdělení s centrem v 0 a standardní odchylkou 1. Jednotlivý merení jednotlivých sad jsou znýzornena nad sebou plnými ko-touCky, prumer s jeho nejistotou je naznacen vetsím prazdným krouZkem a chybovou useckou. Povsimnete si, jak odlisne muze být rozlození techto bodu v jednotlivých sadach, rovnez tak, ze body s odchylkou 3 a jsou pomerne bezne - v tomto prípade tedy nejde o odlehle body. Zastánci tvrdého postupu obvykle nelítostné orezávaj í vsechná merení odchylující se o více neZ 3 a, domnívajíce se, Ze tímto krokem metode nejmensích ctverců prospívají. Ale jedine, ceho ták dosáhnou, je to, Ze zejmena odhady nejistot modelovách vásledků budou zbytecne podcenený15. Body odchylující se o 3 a á více jsou korením normálního rozdelení á likvidovát by se rozhodne nemely. Jiná vec je, kdyz je pokrm preborenen á techto odchálenách bodu je presprílis. V zásáde je mozne se áplne rozloucit s metodou nejmensích ctvercu á zácít prá-covát nápríklád s ábsolutními hodnotámi. Príkládem tákoveho postupu je nápríklád nááslednáe zjistenáí st redu á máíry rozptyálenáí urcitáeho souboru. Jde o velmi robustnáí metodu, která ná prítomnosti odlehlách bodu závisí jen okrájove. Strední hodnotu lze odhád-nout prostrednictvím mediánu funkcních hodnot y ~ medián(y) á stándárdní odchylku a známou z MNC lze náhrádit její robustní váriántou ar pomocí mediánu absolutní odchylky tákto: ar = 1.482 mád(Ay) = 1.482 medián(|Ay - medián(Ay)|). (4.77) Nevyáhodou zmáínenáeho postupu je mensáí presnost urcenáí stredu souboru á velikosti rozptylu v p ráípáde normáálnáího rozdelenáí. Vyskytnou-li se ále v souboru nejákáe odlehláe body, je vyáse uvedenáá metodá mnohem jistejsáí. Mimoráádne vhodnáá je pro zjistenáí prvního odhádu pro dálsí sofistikovánejsí metody zálozene ná metode nejmensích ctvercu. 15Takze at jsme konkretní: v prípade normalního rozdelení tak prijdeme o cca 0,27% merení a, coz je horsí, standardní odchylka se nam tak „snížzí" o 1,33%! 98 Kapitola 4. Regresní analýza 4.5.1 Vlastní metoda robustní regrese Nyní si popíšeme nazornou a obecne použitelnou metodu robustní regrese, který vychazí z metody nejmensích Ctvercu. Tato robustní regrese byla již mnohokrát odzkousena a plne se osvedcila i v prípadech, kdy odlehlích bodu bylo v souborech 5 a více procent. Zatímco v obecne metode nejmensích ctvercu velikost vahy na velikosti odchylky nezavisí, v teto variante robustní regrese je víha funkcí odchylky. Pro body silne odchýlene od predpovedene hodnoty tato vaha klesa az nule, coz mírne preferuje body v blizsím okolí predpovedi. Je pravda, ze zmensením víhy vzdalenejsích bodu mírne poklesne formalní presnost metody, ale to je dan, kterou se hodí zaplatit, pokud se rozdelení odchylek lisí od normalního. Predpokladejme, ze nejistoty jednotlivích merení {oi} jsou v mezích mozností urceny korektne a lze se na ne spolehnout. To neplatí o odlehlých bodech, které se od prolozene funkce vzdalují více, nez by bylo zdrívo. Upravíme si proto hodnoty nejistot {oi} tak, ze je vynísobíme skalírní funkcí W(Ay/o) > 1. S takto upraveními nejistotami ori pak pracujeme stejne, jako predtím. Definujme si tez robustní sumu x?(/3) m (Ayi\ (AVi\ 2,a\ ST \yi ~ f (x ^1 ÍA7Q\ ori = OiW- = oi exp "- , Xr(P)^V - • (4.78) Nyní pomocí standardní metody nejmensích ctvercu minimalizujeme sumu X?(/3) a najdeme novou sadu parametru b a vípocet opakujeme, dokud se nalezena sada parametru b neustalí. Pak je na case spocítat i dalsí veliciny, jako napr. robustní pocet merení nr, vahovanou sumu ctvercu odchylek x2 a pomocnou velicinu x22 nr = nL^-0^; x2 = £ fVi-^I'; xj. = • (4.79) Koeficienty 1,06 a 1,23 vyskytující se ve vztazích (4.79) jsou voleny tak, aby pri normalním rozdelení byl robustní pocet merení nr roven poctu merení n, stejne jako x22 je roven velicine x2. Bezne platí, ze robustní pocet merení nr není vetsí nez n, proste proto, ze v souboru bívají nejake odlehle body. V praxi se ale setkame s opacnou situací, a to tehdy, kdyz byl soubor jiz predem „ocisten" o odlehle body a pritom byla orezína i realna merení. I zde je na míste pouzít robustní regresi, ktera tento neoprávnení zasah do znacne míry eliminuje. Strední robustní standardní odchylku sr, nejistotu predpovedi íyp a nejistotu sady parametru vypocteme prostrednictvím nasledujících vztahu: 2 = ^; íyp = yf x22 (XHXT); íb = yf x2, diag(H). (4.80) Ke konecnemu vysledku se ovsem nedostaneme hned, ale postupními iteracemi. To je prirozene, nebot' vlastne upresňujeme individualní velikosti vah, které mj. zívisejí i na pomeru individualní odchylky ei a prédpoklídane nejistoty urcení oi. K tomu je ovňsem nezbytníe pro zaňcíatek znaít alesponň hrubyí odhad oníe odchylky. Zde rozliňsujme dva pňrípady. V tom prvním, jednoduňsňsím, budete zníat pňredem nejistoty jednotlivyích mňeňrení oi a budete jim duverovat. Pak v prvním kole muzeme urcit hodnotu bo prímo MNC a 4.5. Robustný regrese 99 postupovat podle naznaceneho schematu a postupne menit hodnoty b a individuýlných robustných vah. Po trech, ctyrech iteraďch dospejeme k výcemene nemennemu odhadu vsech velicin, které nas zajímají. -5 0 5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Ay/o t [d] Obrýzek 4.6: Na obrázku vlevo je naznačena závislost poměru vah u bodů upravovaných robustní regresí a poměru robustní nejistoty ar a nejistoty a v zavislosti na odchylce vyjádreně v jednotkách a. Na obrázku vpravo je ukázka toho, jak se v prubehu robustní regrese zmení nejistota jednotlivých bodu. Patrne je to zejmena u odlehleho bodu vlevo. Čarkovaneje naznacen vásledek linearní regrese bez robustní regrese a plnou carou je vykreslena taz linearní regrese po ctvrte iteraci robustní regrese. V pfípade, ze nejistoty ai pro jednotliva merený predem nezname, coz je dosti bezne, vypocteme prvný odhad sady parametru b0 pomocý MNC, kde výhy vsech merený budou stejne, a pro jednotlive podskupiny merený vypocteme jejich robustný standardní' odchylky arj- podle vztahu (4.77), a vsechny individuýlný nejistoty clenu podskupiny s touto robustní standardní odchylkou ztotozníme: aij = arj-. Pak uz muzeme postupovat podle výse uvedeneho postupu. 100 Kapitola 5. Analýza cašovích rad 5 Analýza casových rad 5.1 Zakladní pojmy a ývahy 5.1.1 Svetelna krivka Povahů promennošti nejakíeho objektů na hvezdníe obloze zpravidla pošůzůjeme podle vzhledů jeho tzv. světelné krivky, coz je zavišlošt hvezdne velikošti ci jašnošti šledovaneho objektů na caše ůdívanem nejcašteji v jůlianškích dnech. Hvezdna velikošt še ůdava v magnitůdích, nekdy tez v jejích zlomcích (milimagnitůdích - mmag). Hvezdnoů velikošt promenne hvezdy ůrcůjeme zpravidla relativne pomocí pomerů jašnošti zkoůmane hvezdy jv a jašnošti jine, vhodne zvolene srovnévacé hvezdy jc, o níz predpokladíme, ze je hvezdoů š konštantní jašnoští. Na vertikalní ošů pak vyníšíme velicinů Am: Am = —2, 5log —, (5.1) bezne však v opacnem šmerů tak, aby pri vzrůštů jašnošti šla švetelna krivka vzhůrů. Pokůd je znama hvezdna velikošt šrovnavací hvezdy (tů můzeme ůrcit i fotometrickím merením vůci tzv. štandardním hvezdam še znamoů hvezdnoů velikoští), pak můzeme vynašet prímo hvezdnoů velikošt promenne hvezdy v zívišlošti na caše. Vzdy bychom ale meli take ůvídet, v jakem špektralním oborů jšme jašnošti oboů hvezd porovnavali. Merení šice můzeme provadet v inštrůmentílním fotometrickem šyštemů, kde je špektrílní citlivošt ůrcena jen vlaštnoštmi zemške atmošfery, príštroje a detektorů, mnohem lepší je však merení jašnošti vešt ve vhodne zvolenem mezinírodním fotometrickem šyštemů (napr. UBV, uvby aj.). U promňenníych hvňezd vňsak nemusí byít zíavisle promňennou veliňcinou jenom jasnost nebo jasnosti pňríbuznía veliňcina, ale i jinía veliňcina, napňríklad radiíalní rychlost, indukce magne-tickíeho pole, intenzita nňejakíe spektríalní ňcaíry nebo vyíňska Balmerova skoku. Postup zpracovíaní takovíehoto pozorovíaní bíyvía velmi ňcasto podobníy jako zpracovíaní klasickíe svňetelníe kňrivky. Hlavním duvodem, proc jsou svetelne krivky preferovany pred jiními casovymi radami, je skuteňcnost, ňze relativníí pňresnost fotometrickíych zmňen vzhledem k jejich amplitudňe zpravidla byví mnohem vetsí nez u jinych typu promenních velicin (napr. radialní rychlosti, intenzity spektríalníích ňcar nebo indukce magnetickíeho pole). Pomocí vzhledů a amplitůdy švetelních krivek promennych hvezd lze ůrcit o jakí typ promennošti še ů ní jedna, mnohí še dozvíme i o hvezdach šamotních. Optimalní by jište bylo, kdybychom meli k dišpozici co nejdelší, šoůvišlí íšek švetelne krivky, protoze pak bůdeme mít moznošt reališticky celoů hvezdů zhodnotit a popšat. To-můto idealů še ovšem lze priblízit jen tehdy, bůdeme-li mít k dišpozici takova po-zorovíní vedení z palůby špecialních aštronomickych drůzic. I kdyz takovích merení v pošlední dobe pribyví, valní vetšina promennych hvezd byla, je a bůde pozorovína z povrchů rotůjící Zeme obklopene atmošferoů navíc nedokonalími príštroji, vnašejícími do pozorovíní vetší ci menší rozptyl. Toto vše limitůje povahů pozorovíní promennych hvezd, kterí typicky jšoů jen ítrzkovita, navíc šlozena z mnozštví kratickych ůšeků, kdy še škůtecne príšlůšne merení provadí. Kompletní švetelnoů krivků aštronomove 5.1. Zakladní pojmy a ůvahy 101 sice dokazoů vytvorit, ale rozhodne to nebíva jednodůchí íloha s jedinym resením. Zakladem pro konstrůkci svetehých krivek jsoů tzv. časové rady pozorovaní nejake vybrane veliciny zkoůmaneho objektů. Pripomeňme, ze za casovoů radů bůdeme povazovat soůbor ůsporýdanyčh dvojic ob-sahůjíícíí okamzik i-tíeho mereníí jistíeho drůhů, tj, a namerenoů velicinů yj. Velmi zíadoůcíí je doplnit kazdoů z techto dvojic i odhadem nejistoty príslůsneho merení cj, prípadne jeho vahoů wj, ktería se standardne volíí tak, aby byla rovna ctverci prevraíceníe hodnoty nejistoty, tedy wj = c-2. 5.1.2 Cas pozorování Vetsina půblikacíí o pozorovíaníí promenníych hvezd se venůje technikíam, jak zvyísit presnost mereníí jasnosti ci hvezdníe velikosti, ale velmi casto se zapomíínía na drůhoů velicinů, kterí presnost a hodnovernost merení ovlivnůje zcela zísadním způsobem, a to je cas. Abychom mohli zaradit a popsat v case nejakoů ůdílost, napríklad merení, opatrůjeme ji casovoů znackoů (v anglictine „time stamp"). Ta definůje presnost s jakoů je ůdíalost zaznamenaína a je ůrňcena kombinací tzv. referenňcního raímce a ňcasovíeho standardů. Referenňcní raímec (v angliňctinňe reference frame" ) se vztahůje ke geometrickíe poloze ůdalosti, v nasem prípade k místů pozorovaní. Je tedy zrejme, ze různe referencní ramce se lisí o dobů, kteroů potrebůje svetlo na cestů mezi nimi. Casoví standard (time standard) se pak vztahůje ke způsobů chodů ůrcitych hodin poůZitůčh pro merení casů a jejich nůloveho bodů definovaneho mezinarodními standardy. Mezi nejstarsí casove standardy poůzívane v astronomii patrí GMT (Greenwich Mean Time), jehoz zýkladem byl strední slůnecní cas na observaton v anglicke Greenwichi.1 V roce 1884 byly zavedeny píasmovíe casy a greenwichskyí poledníík byl ůstanoven nůltyím polednííkem, na nemz se meríí ÚT (Úniversal Time). Termíín ÚT byl ale zaveden az roků 1928 (po zmene definice pocatků astronomickeho dne od 1. 1. 1925). Na zaklade rozhod-nůtíí IAÚ se tento cas ÚT od 1. ledna 1956 prejmenoval na ÚT0 a znamenaí cas odvozenyí z rotace Zeme pro konkríetníí míísto pozorovíaníí, prepocíítanyí pomocíí znaímíe zemepisníe delky na greenwichsků poledník. Postůpne byly zavadeny různe opravy, napríklad o vliv pohybů polů na zemepisnoů delků místa pozorovíní (cas ÚT1), o kratkodobe odchylky s periodoů kratsí nez 35 dní (ÚTR1), sezínní zmeny v rychlosti rotace Zeme (ÚT2). Jako zaíklad pro obňcanskíe mňeňrení ňcasů a mezinaírodní standard dnes sloůňzí ňcas ÚTC (Coordinated Úniversal Time), ktery je definovan pomocí atomovích hodin tak, ze se ale nesmí odchýlit od casů ÚT1 o více nez 0,9 sekůndy. Z toho ovsem vyplůvý velmi nepnjemna vlastnost ÚTC. Tento cas není plynůlí! Priblizne kazdych sest mesíců je korigovan zarazeníím tzv. prestůpníe sekůndy. Od doby, kdy se tento institůt zacal poůzíívat, ůz doba korekcí ciní priblizne půl minůty a takoví rozdíl ůz se projeví v rade astronomickůch po-zorovýní. Můsíme s ním tedy pocítat. Casů ÚTC vyůzíva vetsina pozorovatelů, kterí casy ve svem pocítaci, z nehoz rídí CCD kamerů, synchronizůjí se standardem pomocí Network Time Protocol (NTP). Casovích standardů je celí rada, od standardů atomovích hodin TAI (International Atomic Time), pres různe varianty terestrickeho casů TT (Ter- XGMT býl roku 1847 prijat na britskích ostrovech zeleznicní spolecností Railwaý Clearing House jako „zeleznicní cas" („railwaý time"). Oficiílním casem pro Velkou Britanii se stal v r. 1880. 102 Kápitolá 5. Anályzá cásovích rád restriál Time) áz po barycentricky dynamicky cas TDB (Bárycentric Dynámicál Time), ktery oprávuje TT ná bárycentrum Slunecní soustávy. V kázdem prípáde by pozorová-tel mel vzdy uvádet jákí cásoví stándárd pro sví merení pouzil. V ástronomii se cás zprávidlá prevíádíí á publikuje v juliíánskíem dátováíníí. Jedníá se o volne plynoucíí cásovyí udáj odpovídájící poctu dnu, ktere uplynuly od jisteho, cásove dostátecne vzdáleneho pocátku. Jeho uzití v ástronomii návrhnul John Herschel v Outlines of Astronomy (1849) á poprve v práxi pouzil Pickering (1890). Jenze i tády je trebá si uvedomit, ze ná juliánske dátovíní precházíte z urciteho cásoveho stándárdu. Doporucujeme zásádne nepouzívát pásmove cásy, letní cásy á podobne. Pokud budete vycházet z UTC, vzdy je trebá to záznámenát á uvíest pri publikáci dát. Ale nezápomíínejme ná referencníí ráímec. Udányí cás pozorovíáníí vychíázíí z polohy pozorovátele. Pokud bychom chteli bíyt zcelá presníí, meli bychom vyjádrovát cásovou znácku mereníí v bárycentrickíem dynámickíem cáse á prepocíítát jej ná áktuáílníí polohu bárycentrá Slunecníí soustávy. Spríávníá cásováí znácká by pák melá obecnyí tvár BJD tdb = JDutc + AR0 + AC0 + AS0 + AE0, (5.2) kde BJD znáď barycentricke juMnské datovaní, AR0 R0merovo zpozdení, AC0 korekci hodin, AS0 Shápirovo zpozdení, AE0 Einsteinovo zpozdení2. Pokud nepozádujeme presnost vetsí nez 1 sekundá, muzeme poslední dve relátivisticke korekce zánedbát. R0merovo zpozdení je dáno konecnou rychlostí svetlá. Ják Zeme obíhá kolem Slunce, mení se její vzdálenost od sledováneho objektu á v dusledku toho muze dojít ke zpozdení signílu áz o 8,3 minuty. Bezne se setkáme s tzv. heliocentrickou korekcí, která resí R0merovo zpozdení „posunutím" Zeme do stredu Slunce. Tákoví korekce vsák nestácí pokud pozádujeme presnost lepsí nez 8 sekund. Pák je trebá provest prepocet ná bárycentrum Slunecní soustávy3. Návíc si musíme uvedomit, ze ke stejnemu zpozdení signálu muze docházet i v pozorovánem objektu, pokud je jím nápríklád vzdálená plánetírní soustává, vícenásobní hvezdny system á podobne. Z práktickeho hlediská je trebá cásovím udájum oprávdu venovát pozornost, kterou si záslouzí. At' uz v budeme v odborne práci uvádet juliánske dátování geocentricke JDgeoc, heliocentricke JDhel nebo bárycentricke JDbar, vzdy je trebá uvest táke pouzití cásoví stándárd, nejcásteji UTC á prípádnou korekci hodin. Pro vípocet bárycentricke korekce muzeme nápríklád vyuzít kálkulítor ná http://astroutils.astronomy. ohio-state.edu/time/utc2bjd.html. Ale nesmíme v násich zíznámech á vípoctech zápomínát áni ná to, ze expozicní nebo integrácní cás není nuloví. Je tedy trebá uvádet, zdá cásoví znácká príslusí zácátku, stredu nebo konci expozice á táke delku pouzite expozice. Nápríklád u snímku kámery OMC druzice Integrál je uváden cás zácátku expozice á pritom kázdí expozice má obecne raznou delku, ktere se lisí v rádech minut. Nepozorní uzivátel dát ták muze prostym opomenutím silne „zásumet" jinák velmi kválitní dátá. 2Detailní informace lze nalezt v člínků Eastman et al. (2010). 3Heliocentricke jůlianske datovíní HJD bylo formalne odmítnůto rezolůčí A4 Mezinarodní astro-nomicke ůnie v roce 1991, ktera doporůčůje nadíle poůzívat BJD vztazene k barycentrů Slůneční soůstavy 5.2. Periodicita promennosti 103 5.2 Periodicita promennosti U rady typu promenných hvezd se pozorovane svetelne i jine zmeny opakujý se znacnou pravidelností. Promennost hvezdy urcuje nejaký periodicky dej, jehoz perioda pak odpo-výda perióde světelných změn prýslusne promenne hvezdy. V nekterých prýpadech se muzeme setkat i s kombinac! nekolika periodických deju, pfípadne periodickeho deje s nejakými aperiodickými zmenami ci trendy. V pozorovatelske praxi se lze setkat s rozlicnámi modifikacemi i stupni periodicity promennosti: a) idealná promennost - svetelne krivky záskane v ruznych cyklech jsou v ramci presnosti merená zcela identicke; b) sekularná (dlouhodobe) zmeny - tvar svetelne krivky nebo delka periody se dlouhodobe mená; c) váce period - svetelná krivka je vásledkem superpozice nekolika periodických zmen, probáhajácách nezávisle a s ruznámi, zpravidla nesoudelnámi periodami nebo frekvencemi; d) aperiodicke (neperiodicke) zmeny, trendy - pres periodicke zmeny se prekladajá aperi-odicke zmeny a trendy, ktere periodicke zmeny modulujá a mená jejách ároveň. Ukazuje se, ze vetsina promenných hvezd mení svou jasnost (ale take i radialní rychlost, intenzitu spektrýalnýích car nebo indukci magnetickýeho pole) výíce ci mýene periodicky, s jednou periódou P nebo chcete-li frekvenci v (v = 1/P) nebo uhlovou rychlosti oj, oj = 2 nv = 2 n/P. Dale platí, ze tvar i amplituda svetelných krivek vetsiny promenných hvezd zustavají po mnoho cyklu konstantní, zatímco jejich periody P (í) se mohou z rady prýcm pozvolna menit. Studiem techto zmen se zabyva tzv. periodová analýza, ktera zmeny periody zkouma prostrednictvým v!ce ci mene slozitých a sofistikovaných modelu. Vysledovým periodicity promenne hvezdy a nalezení delky periody4 hodne vypovída o fyzikýlní podstate pozorovaných zmen i o promenne hvezde samotne. Navýc umozňuje stanovit predpoved' chovaný hvezdy smerem do budoucnosti i do minulosti. 5.2.1 PríCiny zmen periody periodicky promenných hvezd 5.2.1.1 Pulzující hvezdy Periodicky promenne hvezdy se podle mechanismu jejich zakladná promennosti delá do trá hlavnách skupin. Predevsám jsou to fyzicky promenne pulzujáá hvezdy, kde pncinou promennosti jsou kmity vnejsích a podpovrchovách cástí hvezdy. Perioda promennosti je dána okamzi-tym stavem techto vrstev, jejich rozmerem, hustotou a teplotou, zpusobem buzená a tlumená pulzacá a jejich celkovou amplitudou. Pulzace mohou soucasne probáhat i v nekolika modech, jejichz perioda je obecne ruzná. V souvislosti s postupnou prestavbou vnejsku hvezdy danou vnitrnám (nuklearnám) vyvojem pulzujácá hvezdy se mená napráklad jejá rozmer, coz se pak odrazá v postupne zmene periody. V prubehu zmen muze tez doját k pomerne nahlym udalostem, jako je treba podstatne utlumená pulzacá ci nasazená novych pulzacnách mádu. 4Jevá-li hvezda periodicke zmeny s periodou P, pak jsou tyto zmeny periodicke i v celistvách násobcách teto periody (2 P, 3 P, —P,...). Periodou zmen promenne hvezdy budeme myslet tu nejmensá kladnou z mnoziny takovych period. 104 Kápitolá 5. Anályzá cásových rád Nicmene lže ocekavat, že žmínene žmený peřiodicitý pulžujících přomenních budou probíhat v tžv. nukleíařní ňcasovíe ňskíale, kteřou lže podle týpu hvňeždý odhadnout na milioíný let. Jsou ovňsem etapý výívoje hvňeždý, kdý se i žmňený peřiodý pulžací žnaňcnňe uřýchlí. Napňříklad u cefeid je to tehdý, kdýž přave přochažejí hřanicemi pasu nestabilitý. Tak třeba Beřdnikov & Tuřneř (2010) žjistili řožbořem požořovaní klasicke cefeidý II Cař (P = 64,4d), že se její peřioda soustavne přodlužuje tempem dP/dt = 719(15) s/řok.5 5.2.1.2 Rotuj íc í hvezdy Dalsí skupinou jsou řotující hveždý s neižotřopním výžařovaním do přostořu. To bíva stan-dařdne žpusobeno bud' vískýtem fotometřickích skvřn ve fotosfeře nebo žpusobem geneřace elektřomagnetickeho žaření, jak je tomu v případe magnetosfeř pulsařu. Pakliže hvežda řotuje jako tuhe teleso, pak její íhlova řýchlost w souvisí s celkovím momentem hýbnosti L a momentem setřvacnosti J vžtahem L = Jw. Ke žmenam íhlove řýchlosti řotujícího tuheho telesa muže dojít že dvou duvodu - muže se menit moment hýbnosti L nebo moment setřvacnosti J, kteřýí je dían řožloňžením hmotý v tňele hvňeždý. Jako pňříklad řotující přomňenníe hvňeždý si vežmňeme tňřeba chemický pekuliíařní hvňeždu hlavní posloupnosti s fotometřickýími skvřnami na povřchu. Pňředpoklíadejme, ňže žvolenía hvňežda o hmotnosti M a polomeřu R jeví sfeřickou sýmetřii, takže hustota p(r) v ní je funkcí je vždalenosti r od centřa hveždý. Užitecne je jeste žavest bežřožmeřnou velicinu u = r/R, kde R je polomeř hveždý. Zívislost hustotý latký p(u) na u ním udíva jina bežřožmeřna funkce Q(u) = p(u)/p, kde střední hustota p = M/1 nR3 a M je celkoví hmotnost hveždý. Přo moment setřvaňcnosti sfíeřický sýmetřickíe hvňeždý pak obdřňžíme vžtah J =/ h2dM =/ 3 r2 4np(r) r2 dr = [2 /J Q(u) u4 duj MR2 = aMR2, (5.3) J M jO L -1 kde h je vždalenost výbřaneho elementu o hmotnosti dM od osý řotace hveždý. Omežíme-li se nýní jen na hveždý hlavní posloupnosti, pak výchaží, že bežřožmeřna konstanta a související s řožložením uvnitř hveždý je žhřuba a ř« 0,05. Behem vívoje hveždý hlavní posloupnosti dochíží ke dvema přotichudním přocesum - předne se neustíle žahustuje centřalní jadřo obsahující stale vetsí podíl helia, címž klesa „konstanta" a, ale soucasne řoste polomeř hveždý R. Z modelu odbořníku na hveždný vívoj Meýneta a Maedeřa plýne přibližní vžtah a(t) ~ R(t)-1, takže moment setřvacnosti bude s casem řust ímeřne polomeřu, J (t) ~ R(t). Budeme-li pňředpoklaídat, ňže moment hýbnosti hvňeždý se bňehem víývoje na hlavní posloupnosti ža-chovíva, pak bude íhlova řýchlost hveždý w(t) nepřímo ímeřna polomeřu R(t), w(t) ~ R-1. Rotacní peřioda hveždý P bude umemí polomeřu P ~ R, takže bý mela s casem řust, napřoti tomu řovníkovía řýchlost hvňeždý bý mňela bňehem celíeho výívoje hvňeždý na hlavní posloupnosti žustat konstantní: Veq = wR = konst.. Předpoklídejme nýní, že polomeř hveždý behem fíže na hlavní posloupnosti řoste, a to tak, že platí R/R(t) = y, kde 7 je kladna konstanta. Výřesením teto difeřencialní řovnice obdřžíme R(t) = R0 exp(Yt), kde R0 je polomeř hveždý na pocítku jejího vívoje na hlavní posloupnosti, tedý v case t = 0. Vidíme tedý, že polomeř hveždý exponencialne řoste, což odpovída 5U tohoto žjistení je vsak žídoucí se třochu požastavit. CCasova skala tohoto žpomalovíní t, jež je dína pomeřem t = P/J^ = 7700 let, je o mnoho řadu křatsí, než bý odpovídalo ocekavím výplývající ž tempa vývoje hveždý. Výsvetlení se nabížejí hned dve - žjistene žpomalovaní pulžace není dusledkem nukleířního vývoje v centřu hveždý, ale ma možna přožaictejsí výsvetlení - cefeida třeba muže být složkou dvojhveždý, nebo, což je jeste pravdepodobnejší, při žpřacovaní se žanedbal nejakí efekt, třeba sekulařní žmena svetelne křivký... 5.2. Periodicita promňennosti 105 i výsledkům modelování hvězdného vývoje. Z modelů pak vyplývá, že hvězda se během fáze hvězdy hlavní posloupnosti, který trvý thp, zvetSí zhrůba e-krát. Takto pak dostaneme: ^ í t \ R 1 O V P . v . t. R(t) = Ŕo exp- * - =-=--= — = -, v =--. (5.4) \ThpJ R TRP O V P THP Dosazením konkretních hodnot pro nejhmotnejsí CP hvezdy: trp = 107 let by se dalo očekávat, ze relativní zmena periody v důsledků vívoje by mohla činit TOJvíse P/P ~ 10-7 rok-1, coz je tesne na hranici detektovatelnosti. U horkych hvezd je prodůkce hvezdneho vetrů prímo ýmerný zarivemů víkonů hvezdy, maximílne dosahůje az 10-6 MQ/rok, ů CP hvezd vsak nikdy tak silny vítr nepozorůjeme. Hvezdný vítr vanoůcí z povrchů hvezdy je schopen velmi ícinne odnaset ze hvezdy moment hybnosti a tím i brzdit rotaci hvezdy. Můzeme si vyjídrit casovoů zmenů celkoveho momentů hybnosti L. Je-li ľR2o specificky moment hybnosti popadající na jednotků hmoty odchazející do prostorů, M zmena hmotnosti hvezdy v důsledků hvezdneho vetrů a platí, ze M < 0 a tedy L < 0, pak L = ľMR2u = J L = dJ°)= Jo + JOj * PP = -í°= f1 - ľ) M (5.5) Pokůd vystůpůje hvezdní vítr rovnomerne z povrchů, pak je ľ = |, podiízí-li vsak z rozsíhle magnetosfery, můze byt jeste mnohonísobne vyssí. Magnetosfera hvezdy ůdrzůje hvezdny vítr v korotaci6 s hvezdnym povrchem, a to az do vzdalenosti rc. Protoze polomer korotace je vetsí nez polomer hvezdy rc > R, dochazí k prenosů momentů hybnosti z hvezdy na hvezdní vítr prostrednictvím magnetickeho pole pevne spojeneho s hvezdoů. Tím pak by melo dochazet k brzdení cele hvezdy nebo alespoň jejích svrchní vrstev, do nichz je magneticke pole zamrzle. Polomer korotace je omezen ů oby-cejnych hvezd indůkcí magnetickeho pole, ů půlsarů pak podmínkoů orc < c. Zíavňerem je tedy moňzníe ňríci, ňze uínik líatky z hvňezdy ve formňe hvňezdníeho vňetru je docela uíňcinnyí prostňredek k brzdňení zejmíena tňech hvňezd s rozsíahlou magnetosfíerou jako jsou magnetickíe chemicky pekuliíarní hvňezdy a neutronovíe hvňezdy. 5.2.1.3 Interagující dvojhvezdy Dalňsím typem ňcasto studovanyích periodicky promňenníych hvňezd jsou zíakrytovíe dvoj-hvňezdy, kde periodou promňennosti je perioda obňehu sloňzek dvojhvňezdy kolem spoleňcníeho teziste. Pozorovaní okamziku minim jasnosti pri vzajemních zakrytech slozek umozňují s mimorídnou presností testovat prípadne zmeny orbitalní periody v prubehu mnoha desetiletí. Ukazuje se, ňze orbitaílní perioda ňrady z tňechto zíakrytovíych dvojhvňezd se systematicky prodluňzuje nebo naopak zkracuje. Zpravidla se to tyíkía tzv. tňesnyích nebo takíe interagujících paru, mezi nimiz dochazí k prenosu latky a momentu hybnosti. Pokud se zadna latka nedostane ven ze soustavy tvorene dvema hvezdami o hmotnostech M1 a M2, pak se jední o tzv. konzervativní přenos hmoty. Pri konzervativním prenosu zustava konstantní celkoví orbitalní moment hybnosti soustavy L = L1 + L2 a soucet hmotností obou slozek M = M1 + M2, takze M = L = 0. Budeme pňritom pňredpoklíadat, ňze veňskería hmotnost i veňskeryí moment hybnosti je uloňzen v dvojici hvňezd, mezi nimiňz pňrenos hmoty probíhía. Daíle budeme mít za to, ňze sloňzky Uhlova rychlost tů nezavisí na vzdalenosti od centra, tedy co(r) = konst. 106 Kapitola 5. Analíyza ncasovyích nrad dvojhvezdy obíhají kolem spolecneho teZiste po kruhovích drahach o polomerech a1, a2, a = ai + a2. Ze vztahu pro polohu teZiste dvou hvezd, reprezentovanych zde dvojicí hmotních bodu plyne a1/a2 = M2/M1 a tedy a1 = a M2/M, a2 = a M1/M. Pro moment hybnosti L lze pak psat 2 2, 2 M1M2 2 n 2 M1M2 , , L = L1 + L2 = u(M1a2 + M2a2) = u a2^-T = p a ' (5.6) Vztah pro moment hybnosti nyní zlogaritmujeme a potíe zderivujeme podle ncasu (tomuto postupu se ríka „logaritmickí derivace") ln L = ln(2 n) — ln(P) + 2 ln(a) + ln(M1) + ln(M2) — ln(M), L P a Mix M2 M P a ■ m2 — m1 , , L =— p + 2 a + M + M — m =— p + 2 a + m1^m^ = 0. (5.7) Obdobne lze naloZit s 3. Keplerovym zakonem, kterí spolu vaZe hmotnost soustavy M, vzdalenost sloZek a a obeZnou periodu P, a sloucit jej s rovnicí (5.7) do tvaru = 4 n2 P , a i3 aP Budeme-li predpoklídat, Ze M1 je hmotnost primarní, v tomto prípade hmotnejsí sloZky7, pak pozorovane prodluZovíní periody (i3 > 0) znamena, Ze > 0) tedy, Ze hmotnost primíarní slonzky jenstne roste a vzdíalenosti slonzek se s ncasem zvnetnsují, taknze se líatka sekundíarní slonzky pnreníansí na slonzku primíarní. V pnrípadne, nze by se perioda naopak zkracovala (P < 0), musela by lítka tect z primírní sloZky na sloZku sekundarní (M1 < 0). SloZky dvojhvezdy by se k sobe pribliZovaly (a < 0), coZ by pokracovalo aZ do okamZiku, kdy by se hmotnosti slonzek vyrovnaly, a slonzky si vymnenily role. V tom okamnziku by dvojhvnezda mnela nejkratnsíí periodu a slonzky by k sobne mnely absolutnne nejblíínz. Pak by pnrenos líatky pokrancoval, líatka by z nyníí jinz sekundíarníí slonzky tekla smnerem k slonzce primarní a perioda dvojhvezdy by rostla (P > 0), vzdalenosti mezi sloZkami by rostly taktez (a > 0). Tempo zmeny periody P/P tak prímo ukazuje na velikost toku hmoty mezi komponentami M1 = — M2. 5.2.1.4 LiTE á ápsidální pohyb Krome víse zmíneních mechanismu, ktere mení periodu vícemene monotónne, zname i mechanismy zmneny pozorovaníe periody, kteríe mnení periodu periodicky. Jednía se jak o tzv. light-time efect (LiTE), jeZ je dusledkem prítomnosti dalsího telesa (teles) v soustavne, tak i apsidíalní pohyb, pnri nnemnz se cyklicky mnení perioda zíakrytovíe dvojhvnezdy, ktería je odrazem rovnomnerníeho posouvíaní pnrímky apsid (spojnice mezi periastrem a 7Taková volba neplatí vždy. Nekdy je jako primární složka označována větší (rozměrnější) hvězda, někdy ta, ktera je v primarním minimu zakrývana. Označení primární složka tedy rozhodně není jednoznačně. 3 ln( a) = ln + ln(M ) + 2ln(P), (5.8) P = — -» = — z =3 a = 3 -MM M1. (5.9) 5.2. Periodicita promňennosti 107 apoastrem). Tento pohyb způsobuje jak změnu periody, tak i změnu vzhledu světelné křivky. NejviditelnejSím efektem je vzajemny pohyb primarních a sekundarních minim. Pri LiTE zustava svetelna krivka nepromenna. Cílem nasledujúcich kapitol bude sestavit modely periody a ukazat, jak souvisejí s pozorovaním. K tomu je vsak nezbytne zavest a definovat nekolik dulezitých pojmu. 5.2.2 Epocha, faze, fázová funkce a okamžitá perioda Stav periodicky se menící promenne hvezdy se zpravidla popisuje dvema funkcemi casu t: neklesající schodovitou funkcí, zvanou epocha E (t), jez vyjadruje pocet cyklu, ktere uplynuly od okamziku zacítku poďtaní epochy t = M0, a pilovitou funkcí (t) = -Kvq P(t) = K P2-q, (5.16) kde q je tzv. deceleracné parametr, chárákteristickí pro dominující mechánismus zmeny periody á K je konstántá umernosti vlástní dánemu objektu. Je-li K > 0, jde o pokles frekvence á prodluzovíní periody. 5.2. Periodicita promennosti 109 K -- ^ --P---PL (517) d^i vo V V)/ \v0/ v2 • / P V 2-9 dP • / P V 2-9 p- Po Po • ^- Po PoPo ■ (5.18) 2 P'-(2-qd ß;) p3-2q-2-«. Pomineme-li zýakladnýí, tedy dvouparametrickyý model popsanyý dvňema veliňcinami (viz rovnice 5.13), zpravidla zýkladním okamzikem nulove faze M0 a konstantní periodou P0, prechazíme ted' ke slozitejsím modelum, kde se perioda, prípadne frekvence mení podle zakona (5.16). Probereme si postupne prýpady, kdy parametr q bude nabývat celoňcýselnýe hodnoty od 0 do 3. 5.2.4.1 Príklady q = 0 Pouzitím vztahu uvedenách v rovnicích (5.17) lze pro prípad q = 0 psát • • dv Vo ) Vo . + P Po dP PoP2 P Po (51Q) dtf i vo vo P2 Po2 d0i Po 1 - Potf 1 Zde tedy je casová zmena frekvence konstantní, perioda se mení komplikovaneji. Nasim cílem je vypocátat fazovou funkci 0(0^ a jejá inverzi. 0(0i)= / ^dr = * + 2 § 02 = / ^dr = 0i - i Po 01, (5.20) 01 = 1 - ^1.- 2 Po- = 0 + 2 02 + |P2 03 (5.21) Po G(E) = Mo + Po E + Po Po -y + Po P-2 y .... (5.22) Zde jsou též zapotřebí tři parametry modelu promennosti Mo, Po, nebo Mo, vo, vo. q = 1 vo vo P P —o dv v. o v v = vo exp v v2) dP d0i = Po P, P = Po exp(Po 0i), (5.23) (5.24) v 110 Kápitolá 5. Análíyzá cásovyích rád ů = ľ' e-PoTdT = i f 1 - e-Po ) ; ů = i ln (-1—^ ; (5.25) Jo Po ^ J Po V1 - Po ů/' V ' ů = Ů1 - 1 Poů2 + 1P02 ů1; Ů1(ů) = ů + 2Po ů2 + 3Po2 ů3 (5.26) G(E) = Mo + Po E + Po Po ^ + Po Po2 ^. (5.27) Zde jsou tež žapotřebí tři pařametřý modelu přomennosti Mo, Po, Po/Po. q = 2 V tomto pňřípadňe je peřioda lineaířní funkcí ňcasu, takňže platí ŕ = P> = 4 = dt f i) = (5.28) Nejdňříve si pomocí řovnic (5.11) celýí přoblíem výňřeňsíme exaktnňe. P (t) = Po + Po (t - Mo) = Po(1 + Poů), (5.29) dt = dT = dů dT = dů P = Po; P(ů) = Po e ; (5.30) ů(t) = i ln(1 + Po ů1); T(ů) = Mo + 5 (ePo* - 1) . (5.31) Po Po ^ ' Přotože casova žmena peřiodý P bíva žpřavidla pomala, mužeme nahřadit skutecnou fažovou funkci ů(t) a jejíí inveřžníí funkci jejich Maclauřinovíým řožvojem ů(t) = ln(1 + Po ů1) = ů1 - Po ů1 + Po2ů1 - ...; (5.32) Po 23 T(ů) = Mo + ^ (ePo*-1) = Mo + Po (ů + Po2 + P^2^ .., (5.33) ů1 = T(ůP-M = ^-1) = ů+* „'+ * Š •••• (5.34) 0 (E) = Mo + ^ (ePo E-1) = Mo + Po E + PoPo fr- + PoPo2 fr ■■■■ (5.35) Po ^ ' 2! 3! K popisu fížove funkce, řespektive její inveřže, potřebujeme celkem tři pařametřý: Mo, Po, Po. q = 3 Je-li soucin P P konstantní, dostaneme jine řesení: z> = v3 dv = vo v3 P = Po dP vo = v3, dů1 = vo v3, Po = P dů 3> ^,9 - „3> A - 7>> ^Q=konst.; (5.36) dP = konst.; P = Po (1 + Po ů) = 1 + 2 Po ů1; (5.37) ů(ů1) = i(\A + 2 Po ů1 - l \ = ů1 - ^ ů2 + ^ ů1 - ...; (5.38) Po v ; 2 * 2 ů1(ů)=/ (1 + P^oT)dT = ů + Po —; 6 (E)= Mo + Po E + Po Po —. (5.39) o 2 2 Zde jsou žapotřebí tři pařametřý modelu přomennosti: Mo, Po, PoPo. 5.2. Periodicita proměnnosti 111 5.2.4.2 Diskuse. Prostý tříparametrický model periody Porovnejme nyní výsledky vsech těchto, jinak odlišných modelů předpokládajících, že změnu periody lze popsat jedním parametrem. Predne jsme diskutovali vývoj period/frekvencí třídy modelů, u nichž platí, bud' v v-q = konst. nebo P Pq-2 = konst., kde q je bezrozmerný dece-leracní parametr popisující dany mechanismus zmeny periody/frekvence. Pokud se omezíme ve vztazích pro fízovou funkci respektive na predpoved' okamziku nulove fíze 6(E) jen na prvních nekolik clenu Maclaurinova rozvoje, vcetne kubickeho clenu, lze psat obecne pro libovolníe q (ů), kde //(ů) výjadřůje maloů odchýlků od dokonale lineařnosti. Chci-li výjadřit fýzovoů fůnkci ů(ů1) pomocí ů1, dostanů ů = ůi - V(ů) = ůi - V(ůi - //(ů)) = ůi - V(ůi) - Po ^) = ůi - //(ůi). (5.43) Vzhledem k tomů, ze v případe mařginalních zmen peřiodý je splneno, ze Po // 1, platí výse ůvedena řelace. Ta ůmozňůje velmi řýchle sestavit modelý i přo slozitejsí případý, nez kteře býlý ůvedený v předchazející podkapitole. Modelem s marginálními změnami periody je i výše uvedený prostý tříparametrický model periody. Pro nej platí = Po y, ů = ůi - = ůi - Po y, (5.44) coZ je ve shode se vztahy (5.42). 5.2.5.1 Kubická model změn periody Zjistíme-li, ze se při popisů fazove fůnkce bez kůbickeho clenů neobejdeme, můsíme připůstit, ze mechanismůs pozořovaných zmen peřiodý je slozitejsí, ze obsahůje deje, kteře nepopisůje zakon z> = -K uq, nebo P = K P2-q diskůtovaný výse. Nejjednodůssí takový model peřiodý předpoklada, ze peřioda je kvadřatickoů fůnkcí ňcasůi0 ů2 dP dů P (t) = Po + Po Po ůi + Po2Po ^; P(í) = — = Po + Po Po ůi. (5.45) Uzitím vztahů (5.11) můzeme najít přo fazovoů fůnkci ů(t) exaktní řesení. Bohůzel, vztah přo tůto fůnkci je natolik slozitý a nepřehledný, ze je temeř nepoůzitelný. Přoto 10Prísne vzato, i v prípade, kdy platí, Ze P = K P2-q, je P = (2 - q) P0 P0q-4 P3-2q obecne různý od nuly. V tomto prípade nam ovsem jde o situace, kdy druha derivace periody je mnohem vetsí, nez tato, vícemene zanedbatelna velicina. 5.3. Periodova analíza okamziku extremu 113 se jiňz od poňcíatku omezíme jen na první tňri ňcleny Maclaurinova rozkladu. * (t) =01 - Po f - (Po Po - 2Po2) 01 = 01 - Po 01 _ Po Él; (5.46) T(0) = Mo + Po 0 + Po Po 02| + (Po2 Po + Po Po2) = Mo + Po 0 + Po Po ^ + Po2 Po03|; (5.47) P (0) = Po + PoPo 0 + (Po2Pio + PoPo2) 02| = Po + PoPo 0 + Po2Pio 02|. (5.48) Ve vírazech v zavorkích v rovnicích (5.46), (5.47) a (5.48) muzeme zanedbat cleny s Po2 z jiz víse uvedeních duvodu. K popisu faízovíe funkce tak v pňríípadňe kvadraticky se mňeníícíí periody potňrebujete celkem ctyri parametry: Mo, Po, Po, Po. K tomu, abyste zejmena ten poslední z clenu urcili s dostatecnou presností (doporucuji nejmene 4,5 a), musíte mít k dispozici vynikající pozorovací materiaíl pokríyvající nňekolik desítek let. 5.2.5.2 LiTE Jako efekt rozdílne drahy svetla (Light-Time Effect) se zpravidla oznacuje vliv obezneho pohybu periodicky promňenníe hvňezdy nebo hvňezdníe soustavy kolem spoleňcníeho tňeňziňstňe s dalňsím ňclenem systíemu (napňr. v pňrípadňe pulsaru druhíeho tňelesa, v pňrípadňe zíakrytovíe dvo-jhvňezdy tňretího tňelesa). Celyí problíem lze sice ňreňsit zcela exaktnňe, ale pro uíňcely stanovení efemeridy v naproste vetsine prípadu vystaďme s fenomenologickým modelem zmen periody. T = Mo + Po(0 + V); V =4" í6i sin03 + &2 sin 203 + &a(cos203 - cos 0a)/v/2l , (5.49) Po kde b1, b2, b3 jsou koeficienty ve dnech. 03 a 0 jsou pak dany vztahem: 03 = t-M3, 0 = 0i - V, (5.50) P3 kde M3 je okamzik, kdy V = 0, a P3 je obezní perioda tretího (druheho) telesa v sou-stave. Pro tento fenomenologicky model zmen periody je zapotrebí celkem 7 parametru, kteríe je moňzno najít podstatnňe sníaz neňz pňri exaktním ňreňsení problíemu. 5.3 Periodova analýza okamžiku extrémU Jednou z uíloh, kterou badatel v oboru víyzkumu promňennyích hvňezd musí opakovanňe resit, je zjist'ovaní a prípadne zpresnovaní parametru modelu promennosti (tedy fazove funkce 0(t, a) a její inverzní funkce 01(0, a) nebo O(E, a)), prípadne jeho zdokon-alovííní ci modifikace. Spolehliví znalost techto zíkladních parametru je totiz zakladním pňredpokladem pro dalňsíí uívahy o fyzice objektu a mechanismu jeho promňennosti, even-tuaílnňe k zobecnňeníím, kteraí by bylo moňzníe vztaíhnout na hvňezdy jako na celek. 114 Kápitolá 5. Anályzá cásovích rád Vektor a chápeme jáko usporádánou g-tici volnych párámetru popisujících model promenních hvezd. K jeho hledíní prikrocme áz tehdy, budeme-li mít k dispozici po-zorovíní dotycne hvezdy porízená v co nejdelsím cásovem interválu. Vseobecne plátí, ze presnost ureení lineárního clenu je neprímo ímerná delce interválu sledování hvezdy, kvádrátickeho clenu s P kvádrátu teto delky á kubickeho clenu s P dokonce tretí mocnine tíeto díelky. Nejcástejsí zpusob, ják diágnostikovát prípádne zmeny periody á vytipovát vhodní model její promennosti, stánovit, prípádne zlepsit jeho párámetry, je zálozen ná ánályze tzv. O-C diágrámu. V zísáde tu jde o urcení párámetru inverzní fázove funkce T(ů, a), respektive 0(E, a) ná zákláde dát, která udávájí okámziky urcitích speciálních hodnot fázove funkce ů (vetsinou jde o okámziky extremní jásnosti - tedy 0(E)). Predpokládejme, ze u vybráne periodicky promenne hvezdy álespon zhrubá známe její svetelne elementy, tedy zákládní okámzik nulove fíze M0, kterí zprávidlá kládeme do okámziku extremu jásnosti, á strední periodu svetelních zmen P0. Pro libovolnou epochu11 E pák lze vypocítát odpovídájící predpoveď nulove fáze podle vztáhu: 0 (E) = M0+Ex P0. Rozdíly mezi cásem, kdy urätá fíze Text(E) skutecne nástálá, á vypoctením okámzikem teze fáze ve stejne epose 0 (E) se názyvájí hodnoty O-C(E). Jejich závislost ná epose nebo obecne cáse je pák názíváná jáko O-C diágrám. Tento diágrám slouzí zejmená k zlepsování lineírních efemerid nebo ke zduvodnení volby slozitejsího modelu zmen periody P (t). V prípade, ze grafem O-C je: 1. vodorovna prímka prochízející O-C = 0, pak je to indikace skůtečnosti, ze hvezda ma jen jednů periodů svetelních zmen a ze poůzite svetelne elementy jsoů v poradků. Tyto „bezproblemove" hvezdy je mozno bez obav na nekolik let opůstit a venovat se jiním. 2. vodorovna prímka neprochazející O-C = 0. To znamení, ze perioda je jedina, ůrčena je spraívnňe, zato okamňzik zíakladníího minima nebo maxima si opravů vyňzadůje. 3. sikma prímka prochazející bodem E = 0, O-C = 0, ůkazůje, ze okamzik zakladního extremů je ůrčen spravne, periodů je nůtno opravit o smernici prímky prolozene zívislostí O-C na epose E, AP = d(Text(E) - 6(E)/dE. 4. parabola svedčí o tom, ze se perioda lineírne zkracuje nebo prodlůzůje (parabola otevrena vzhůrů - napríklad pri tzv. pomalem prenosů latky mezi slozkami algolidy.) 5. polynom vyssího stůpne. Zmeny periody jsoů komplikovanejsí, do vzorce pro predpoveď okamziků extremů nůtno zavest dalsí členy, jde v podstate o Taylorův rozvoj se stredem v epose E = 0. Viz poslední čast podkapitoly 5.2.4. 6. sinůsoida nebo podobna fůnkce. Zde je nejprirozenejsím vysvetlením fakt, ze promenna hvezda obíha kolem společneho teziste v soůstave s jinoů hvezdoů, ktera se jinak spektríl-ne nebo i svetelne nemůsí projevovat. Jde o tzv. light-time effect. Je treba si ale ůvedomit, ze bezne jsoů i kombinace víse ůvedeních jevů, jak je videt i na obr. 5.1. Zpravidla, čím dele je hvezda sledovana, tím slozitejsí průbeh graf O-C ůkazůje. 11 Zpravidla je tato epocha vyjadrena celym číslem, v prípade zakrytovíčh dvojhvezd s nůlovoů vístredností, se epose pridava 0,5, vztahůje-li se dotyčne pozorovaní k okamziků sekůndarního minima. 5.3. Periodová analýza okamžiků extrémů 115 Obrázek 5.1: Ukázky různých průběhů hodnot O-C. Zdroj: O-C brána. http://var.astro.cz/ocgate/. 116 Kapitola 5. Analýza časových řad Je třeba si uvědomit, ze pro samotnou periodovou analýzu, založenou na okamžicích extrému svetelných křivek přomenných hvezd, v zasade zadný O-C diagram nepotřebujeme. Stačí, kdýz budeme vyšetřovat jen zavislost nameřených okamziku extřemu Text(E) na epose. Nicmene, prave k uřcení one epochý E (t) tu pocítecní efemeridu potřebujeme. Při peřiodove analýze pak zjistujeme vlastnosti Text(E), ktera se vzdý jenom minimalne bude lisit od ideýlní přímký se smeřnicí Po. Přýve tato skutecnost nýs vede k zavedení O-C diagramu, který je osvedcenou vizualizací cele situace. 5.3.1 Řešení metodou nejmenších čtverců Předpoklýdejme, ze u urcite periodický promenne hvezdý zname uz z dřívejska (např. z katalogu nebo z literaturý) její linearní svetelne elementý P0, M0 a dýle mame k dispozici soubor celkem n odhadu okamziku jejích extřemu {Ti}, dejme tomu přimýřních minim, jde-li o zýkřýtovou dvojhvezdu. V přvním kroku pro nalezene hodnotý okamziku minim {Ti} najdeme odpovídajíčí epochý, a to jednoduchým předpisem Ei = řound[(Ti — M0)/P0]. Na takto uřcene epochý {Ei} budeme nahlízet jako nezavisle promennou (x-ovou souřadnici) a okamziký {Ti} jako zývisle promennou (y-ovou souřadnici). Předpoklýdýme, ze okamziký minima lze výstihnout modelem 0(E, a), popsaným g pařametřý uspořadanými do sloup-coveho vektoru a = [ai; a2;...; ag]. Týto pařametřý lze urcit pomocí metodý nejmensích ctvercu, podle nichz mý platit, ze výzený suma ctvercu odchýlek x2(a) je minimalní, takze X» = E í") = E [^^Ei-^1 = ^ [Ti — 0(Ei, a)]2 Wi, (5.51) i i kde a i je nejistota uřcení okamziku extřemu Ti, přicemz platí, ze výha wi je dýna vztahem Wi = a-2. Minimum funkce x2(a) nastane, bude-li splnena vektorova podmínka Vx2(a) = 0. Dosadíme-li tam za x2(a) z rovnice (5.51) dostaneme g rovnic ve tvaru: -^o^-0 (Ei, a) Wi = L ^or~ Ti Wi. (5.52) i i i i Regresní funkce 0(E, a) s pařametřý a je pak onou modelovou funkcí, pomocí níz lze mj. i odvodit, jak se mení perioda. Rovnice (5.52) platí obecne pro jakýkoli model 0(E) a je třeba je řesit iterativne s tím, ze na pocýtku musíte mít pomerne dobrý odhad řesení, kteřý pak v dalsích krocích dolaďujete. Podrobný popis, jak si při tom pocínat, lze najít v kapitole 4.4. Podaří-li se nam prolozit zavislost okamziku extřemu na epose předem zadaným modelem, mela bý nasledovat etapa zhodnocení, sebereflexe. Pozornost je přitom nutne venovat jak kvalite pouziteho datoveho souboru a zejmena pak hodnovernosti pouzitých nejistot okamziku extřemu, tak i adekvatnosti pouziteho modelu řegřesní funkce 0(E, a), zejmena v tom, ze si výkřeslíme zavislost jednotlivých odchýlek zadaných hodnot okamziku extřemu a jejich predpovedi ATi = Ti — 0(Ei, a). V případe, ze týto odchýlký budou odpovídat jen nýhodnemu rozptýlu a budou tedý stejnomeřne rozprostřený kolem 5.3. Periodová ánálýzá okámZikú extremú 117 kolem prímky AT = 0, jsme u cíle. V opácnem prípáde je nutno se zámyslet, zdá nejsou nektere hodnoty okámziku zátízeny hrubou chybou. Tech je pák lepe se zbávit, prípádne zdá by nebylo ná míste zmenit nebo zdokonálit prokládání model promennosti. Zde je zápotrebí velmi kriticky posoudit zejmená to, zdá pocet volních párámetru zvolene regresní funkce vskutku odpovídí kválite á pocetnosti dát, kterí zprácováváme12. V opácnem prípáde by nás to vedlo k fálesním záverum á hlávne k chybným predpovedím budoucího vívoje. Rovnez je trebá prehodnotit nejistoty, ktere jednotlivím hodnotím prisuzujeme á prípádne znovu cele prolození zopákovát. 5.3.1.1 Nejistoty jednotlivých okamziku extremu Zkusenost ukázuje, ze jen málo vecí je pri ánáýze cásovích rád okámziku Ti extremu promenních hvezd ták nejistych, jáko príve nejistoty jejich urcení ai. 1) Ze sve dlou-holete práxe se zpracováním prevzátych vísledku víme, ze zátímco ná publikováne okámziky extremu se lze jákz tákz spolehnout (u vysledku vizuálních pozorovíní je trebá byt ostrázity neustále), odhády jejich nejistot byvájí temer vzdy citelne podceneny, cásto mnohonísobne, tákze bívájí tákrká nepouzitelne. Návíc u rády pozorování není oná nejistotá urcení vyďslená vubec. 2) I kdyby odhády urcení okámziku extremu ai byly signifikántní, muze bít jejich „rozptyl" o dost vetsí, nez by vyplíválo z presnosti jejich nálezení, proste z toho duvodu, ze zvolení model promennosti periody nemusí onu promennost periody popisovát ádekvátne, á teprve v prubehu vypoctu je budeme diverzifikovát. Vyplátí se proto v první iteraci pocítát s tím, ze nejistoty urcení okámziku veskerych extremu, respektive jejich víhy wi jsou si rovny, rekneme jednotkove. Po nálezení párámetru modelove fázove funkce ů(E, a) pák spocítáme odchylky pro jednotlive okámziky pozorování ATj. Pák si vsechná dátá rozdelíme do h skupin podle typu pozorovíní (vizuální, fotográficke, CCD, fotoelektricke), prípádne podle jednotlivích pozorovátelu nebo jinych átributu, pricemz je trebá dohlednout, áby v kázde z techto ád hoc vybráních skupin bylo nejmene 5 okámziku extremu. Pro kázdou z techto skupin vypocteme stándárdní odchylku z ATj, Zj = sdv{ATij}. Clenum kázde skupiny pák prisoudíme nejistotu aij = Zj. S temito novymi nejistotámi, prípádne váhámi, provedeme vypocet znovu á znovu pák zopákujeme eváluáci nejistot pro jednotlivíe skupiny pozorovíání á iterujeme dokud se tákto urcene nejistoty neprestánou menit. V prubehu vypoctu muzeme jednotlive skupiny spojovát nebo rozdelovát. Uí pořníým neňsvařem je žadaívat víahý pňředem, jen podle žvýkovíeho příava - napňř. CCD a fo-toelektřicka minima w = 10, fotogřafickí w = 3 a vižualní w = 1. Takoveto vahovaní k nicemu neposlouží, jen žpusobí to, že nejistotý vísledku už vubec nebude možne nejak řožumne inteř-přetovat. Maximíalnňe lže toto víahovaíní pňřijmout jako přvní odhad, ale ke spříavníemu ovíahovaíní je tňřeba výchíažet ž novňe žjiňstňenýích nejistot, tak jak jsme to popsali výíňse. 12Pokud si nejsme stopřocentne jisti, že nami žvolený řegřesní model mí ten spřavní tvař a adekvatní pocet stupňu volnosti, a žda bý se nedalo uvažovat i o jinem modelu s mensím ařsenalem volních pařametřu, mužeme použít třeba baýesovske infořmacní křiteřium BIC definovane v (4.3). 118 Kapitola 5. Analyza casovích rad 5.3.1.2 UrCovýní parametrU lineýrních regresních modelU Pokud je regresní model linearní ve vsech svích parametrech, pak se system rovnic (5.52) vírazne zjednodusí a lze jej resit jednoznacne a navíc bez iterací. Vsechny modely 9(E, a) diskutovane v oddílu 5.2.4 linearní jsou (jde o polynomy), takze je radost je pouzívat. Jejich regresi lze elegantne provest pouzitím maticoveho poctu. Popsana je dostatecne podrobne v kapitole 4.3. 5.3.2 Standardní urCovaní okamžiků extremU Spolehlivost modelu promennosti jednotlivích promennych hvezd kriticky zavisí na presnosti nasí znalosti casoveho vívoje pozorovane periody P (t) a tedy na presnosti a spolehlivosti casove rady okamziku extrému nebo chcete-li na hodnovernosti vychozího O-C diagramu. Ta primírne zalezí na spolehlivosti pouzitích urcení okamziku extrému a dobríe znalosti jejich nejistoty. Zachyceníí reaílníeho okamziku extríemu jasnosti promenníe hvezdy neníí zrovna triviaílníí pozorovatelskaí uíloha. Chceme-li urcit moment extríemu vskutku spolehlive, musííme hvezdu pozorovat nejen v samotnyí okamzik extríemu, ale i v jeho sirokíem casovíem okolíí. Musíme zachytit dostacující císti vzestupne a sestupne vetve svetelne krivky. Takto je ovsem urcení polohy jednotlivych bodu v plose grafu O-C vísledkem obvykle nekolika desítek pozorovííní v okolí pozorovaneho okamziku Text(E), pricemz hodnota pozorovííní v bezprostrední blízkosti okamziku extrému je paradoxne nejmensí. Urcení skutecneho okamziku extremu a stanovení jeho nejistoty je tak v principu mlhave a sporne. Existuje rada vzajemne si konkurujících metod urcení okamziku minima/maxima svetelne krivky, jejichz vísledky jsou az prékvapive ruzne a jeste horsí je to s odhadem nejistoty urcení hodnoty Text(E). Nicmene je vhodne se seznamit s beznymi postupy pri urcovaní okamziku minima nebo maxima svetelne krivky, protoze tak byla urcena naprostí vetsina vísledku, s nimiz se v praxi setkate. Nejbeznejsí metodou uzívanou pro urcovaní okamziku minim dosud byla Kweeova-van Woerdenova metoda Kwee & van Woerden (1956), ktera je vlastne jen lehce inovovanou verzí, jiz publikoval uz Hertzsprung (1928). Tato metoda vsak daví korektní vísledky jen pri sprívnem pouzití. Je-li pouzita napr. na asymetricke svetelne krivky, krivky se zjevním trendem nebo nestejnou delkou sestupne a vzestupne vetve, nejsou získane vísledky a ani jejich nejistota v poradku. Bohuzel prave nespravne pouzití je jednou z nejcastejsích príccin chyb v urcení okamziku minim jasnosti u zakrytovích dvo-jhvezd. Obecne bívají techniky urcovaní okamziku extremu zpravidla dosti podezréle, nej-casteji jsou zalozeny na prolození paraboly nebo jine symetricke funkce v bezprostrédním okolí extremu jasnosti. Takto urcene okamziky extremu dívají spolehlive vísledky jen víjimecne, zpravidla vsak bívají deformovany z rady duvodu. Prédne, zmínene metody selhívají v prípade neuplních nebo asymetrickích svetelních krivek. Nejistoty nalezeních okamziku extremu jsou bezne neduveryhodne, protoze prokladane krivky vetsinou nejsou podobne skutecne pozorovaním svetelnym krivkím. Hlavní nedostatek techto standardních metod tkví ve skutecnosti, ze zcela opomíjejí ten fakt, ze svetelne krivky jsou periodicke funkce! 5.3. Periodova analýza okamziku extremu 119 5.3.3 Proste modely světelných krivek Dalsý metody periodove analýzy jsou zalozeny na vyuzitý pfímo pozorovaných zmen, nejcasteji svetelných zmen, ccili svetelných krivek. Zde je nezbytne umet reprezentovat pozorovanou svetelnou krivku periodicke promenne hvezdy jejím vhodnym fenomenologickým modelem, jehoz parametry obecne nemusí mít vztah k fyzickým charakteristikam hvezdne promennosti. Dosti casto stad predpokladat, ze tvar svetelne krivky periodicky promenneho objektu lze aproximovat kosinusovkou prípadne harmonickým polynomem rýdu r, kteryzto model lze aplikovat napr. na chemicky pekuliarní hvezdy (tam stací r = 2), zakrytove dvojhvezdy s plynulou zmenou jasnosti jako jsou hvezdy typu W UMa, RR Lyr apod. Svetelnou krivku v urcite barve pak lze vyjadrit ve tvaru volnosti. Zvysovaním radu pouziteho polynomu lze stýle presneji vyjadrovat tvar po-zorovane svetelne nebo obecne fazove krivky. Je vsak zýdoucí nepodlehnout tomuto lakadlu a zastavit se v aproximovaní na takovem stupni, který dostatecne dobre popisuje vzhled svetelne krivky, zejmena v oblastech, kdy dochazí k nejrychlejsím zmenam jasnosti. Zvetsovým poctu volnych parametru ve vseobecnosti vede k nestabilitým v prokla-daný a zhorsuje interpretovatelnost nalezených výsledku a jejich nejistot. Uvedeny zpusob prosteho modelovaný svetelných krivek ovsem naraz! u klasickych algolid, jejichz jasnost se vyrazne mený jen relativne krýtce, a to jen tehdy, probým-li u nich zrovna zakryt slozek. Sestup do minima a pak nasledujKý vzestup je pritom výcemene lineýrm, svetelne krivky kolem minima lze v prvným priblíZem povazovat za symetricke funkce. V minimu se algolidy zpravidla dlouho nezdrzuý, existuje vsak rada algolid, u nichz muzete pozorovat tzv. zastavku v minimu, kdy se jasnost hvezdy mení jen minimalne. K vyjadrení takových krivek bychom potrebovali pouzít harmonický polynom nejmene 13. radu, coz by ovsem slo proti nasemu pozadavku vyjadrit pozorovane svetelne krivky modelem s co nejmensím poctem parametru. Z hlediska periodove analýzy jsou nejdulezitejsí prave ty ýseky svetelne krivky, kdy se jasnost hvezdy mení nejrychleji, tedy casti kolem tzv. inflexních bodu13, zatímco na dení v bezprostredným okolý minima uz tolik nesejde. Nejjednodussý matematickou krivkou, ktera tyto pozadavky splnuje, je Gaussova krivka, který ovsem nm tu nevýhodu, ze to nený krivka periodický, ale jistým trikem ji muzeme periodickou funkcý ucinit. Prvným pribKzem/m pro svetelnou krivku zakrytove dvojhvezdy s kruhovými orbitami slozek je nasledující funkce se ctyrmi volnými parametry 6o, b1, 62, 63 r (5.53) Vektor parametru b ma gb = 2 r + 1 slozek a model svetelne krivky tak mý gb stupňů F(0, b) = bo + 61 #1(0,63) + 62 #2(0, 63), (5.54) kde ^1 = 0 - round(0); ^2 = (0 - 2) - round(0 - 1). 2 j Í^J\Jlíí\Jl\^W 2 13 V inflexnách bodech funkce je druha derivace rovna 0, takze rychlost zmeny daná absolutná hodnotou prvná derivace zde nabyvá sveho maxima. 120 Kapitola 5. Analýza časových řad Parametry mají nazorny význam: b0 je hvezdna velikost dvojhvězdy mimo zýkřýtý, b1 je hloubka primarního minima kolem faze 0, b2 je hloubka sekundarního minima kolem fýze 0.5 a b3 je parametr vyjadrující pološirku zýkrytU. Pokud bychom chteli svetelnou krivku zakrytove dvojhvezdy modelovat verneji, mužeme použut radu nekterý z dalších fenomenologických modelu svetelných krivek nabízených v kapitole venovane specialne modelovaní svetelných krivek zakrytových dvojhvezd (viz kap. 5.5.2). 5.3.4 Precizní určování okamžiků extrémů světelných křivek Pokud máte k dispozici pozorovací rady v okolí extrému jasnosti určitého proměnného objektu, jeho přibližné světelné elementy (stačí lineární, tedy M0, P) a znáte jeho vzorovou světelnou krivku, muzeme provést precizní odhad okamziku extrému pomocí fázovích posunu pozorované svetelné krivky vuci vzorové svetelné krivce. Pouzitím této metody se presnost urcení jednotlivích okamziku extrému výrazné zlepsí. Tento prístup poprvé nastínény v publikaci Mikulasek et al. (2006) a pozdéji precizovaní v Mikulasek et al. (2011) se osvédcil nejen v prípadé, ze mame co do cinéní s neprerusenou casovou radou mérení v okolí extrému svetelné krivky, ale hlavné tehdy, kdyz zpracovavame jednotliví pozorovaní pochazející z ruznych prehlídek jako jsou pozorovaní z druzice Hipparcos nebo projektu ASAS, porízena v casech, které nijak nesouvisí s okamziky extrému príslusnych objektu. Pust'me se do periodové analyzy proménné hvézdy na zíkladé rozboru jejích n jednotlivych fotometrickích pozorovíní rozdéleních do N libovolnych skupin. Je vyhodné popsat príslusnost jednotlivych mérení k jednotlivym skupinam maticí o rozmeru N x n slozenou z nul a jednicek, s clenem matice gik. Jestlize i-té mérení, kde (i = 1, 2, ...n) patrí ke k-té skupiné, kde (k = 1,2,...N), pak gik = 1, jinak je gik = 0. Necht' ti je julianské datum okamziku i-tého pozorovíní, yi je namérení velicina (nejcastéji hvézdní velikost nebo jejich rozdíl) a wi je víha i-tého mérení. Pozorované hvézdné velikosti vynesené v zavislosti na case vytvarejí svetelnou krivku, kterou vyjadruje funkce F. Predpovédéna (vypoctení) hvézdna velikost yp; pro i-té mérení je pak dana funkcní hodnotou F(b,^i), kde b = [ř^, b2, ...bj] je g parametru urcujících model svetelné krivky v okolí extrému. ůi je pak individuílní fízova funkce v case ti dana vztahem ů = ti — M0 — ffi Vik ATmk , (5.55) P0 kde M0 a P0 jsou pocítecní odhady pro parametry lineírní efemeridy proménné hvézdy a ATmk je konkrétní casoví korekce okamziku extrému pro k—ty extrém svetelné krivky vzhledem k predpovédi dané linearní efemeridou M0 a P0. Vsech (g + N) volných parametru b a {ATmk} hledame simultínné standardní metodou nejmensích ctvercu, kde hledíme volné parametry modelu minimalizací sumy %2 X2(b, Tm)= £ [yi — ^(b,Ůi) ľ = £ f ; Vx2 = 0 => (5.56) kde Ayi = yi — F(b, ů{), j = (1,2, ...g) a ai jsou odhady nejistoty jednotlivých měření. Soustava g a N (viz 5.55) řovnic se řeSí zpravidla iterativně použitím zobecněně Newtonovy-Raphsonovy 5.3. Periodova analýza okamžiků extrémů 121 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 V 0 o -0.002 -0.004 -0.006 -0.008 -0.01 1 1 1 1 n " 5 i i i - £ H -IZ - i i i i 1 -1 1 1 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 epocha 1000 Obrýzek 5.2: O-C diagram zákrytové dvojhvězdy AR Aurigae sestavený pomocí okamžiků minim jasnosti zjištěných metodou precizního ůrcování okamžiků extrémů. Chybova áseCka naznaCůje nejistotu ůrcení daneho okamziků. Pri vápoctů se vsechny okamziky vypocítavaly simultánne spolů se zjistovaním parametrů svetelne krivky. V modelů se predpokladal i jisty linearní trend behem noci. Je zjevne, ze hodnoty O-C se kůpí kolem jiste periodicke krivky, kterí svedcí o tom, ze zíkrytoví soůstava je ve skůtecnosti trojhvezdoů, kde zakrytoví dvoj-hvezda obehne s tretím telesem kolem spolecneho teziste za nekolik desítek let. Tato krivka demonstrůjící LiTE je jedním z nejlepe takto dolozeních prípadů prokízaní existence tretí slozky v soůstave. 0 nebo Levenbergovy-Marqůartovy metody. Celí procedůra vede k ůrcení g parametrů a popisů-jících vzhled svetelne krivky (nebo soůstavy svetelních ci obecne fazovích krivek) a soůborů N hodnot ATmk. Okamzik k-teho extremů je dín vztahem Tmk = M0 + Po Ek + ATmk, kde Ek je strední epocha pozorovaní z k-teho intervalů zaokroůhlena na cele císlo. Nejistota stanovení ôATmk je pak i rigorózním odhadem nejistoty ůrcení Tmk. Fůnkci F(ů) volíme tak, aby byla periodicka s minimem nebo maximem ve fazi (f = 0. V ívahů pripadají jak harmonicke polynomy (5.58), tak i symetricke zvonovite fůnkce (5.59) ve tvarů: F(ů) = bi + b2 cos(2vrů) + b3 cos(4vrů) + b4 [sin(27rů) - 1 sin(47rů)] ; (5.58) F(ů) = bi + b2 exp 1 U) F(ů) = bi + b2 exp 2 1 - cosh (b3 (5.59) kde f = ů — roůnd(ů). První fůnkce je vhodna i pro asymetricke profily, poslední dve (5.59) vcelků dobre vystihůjí vzhled minim jasnosti vetsiny zíkrytovych dvojhvezd (bez totality) i tvar svetelne krivky hvezd s jednoů vícemene symetrickoů fotometrickoů skvrnoů. 122 Kapitola 5. Analýza časových řad Celá situace se značně zjednoduší, pokud již známe tvar světelné křivky (světelných křivek), třeba máme-li k dispozici velmi dobrou fotometrii hvezdy z dřívejsí doby nebo solidní modelovou křivku odvozenou z fyzickeho modelu promennosti hvezdy. V tomto případe muzeme zcela vynechat g rovnic (viz 5.56) a přímo řesit jen soustavu N rovnic (viz 5.57). Takto získame soubor s N hodnotami ATmk a dobře definovane odhady jejich nejistot 6Tmk $Tmk -Pn En n i=i Vík Ayt dF í=i Vík OF' O), $Tmk En í=l aí \™£n=i Vík (ff)2 (5.60) kde s je smerodatna odchylka jednoho meření. Vyse uvedeny postup s vyhodou pouzijeme tehdy, máme-li k dispozici řadu odhadu okamzi-ku extremu a pak i nejake casove řady pozorování jasnosti a chcete-li toto vse zpracovat nejakou jednotnou technikou, tedy ciste pomocí okamziku extremu. Lze vsak postupovat i jinak a mezikroku urcení okamziku minima ci maxima se vyhnout. 5.4 Přímá periodová analýza V minulosti býla většina peřiodových analýz provedena užitím okamžiků extrému světelné křivký. Historičke časý Tm a nekdý i jejich nejistoty lze najít bud' přímo v literatuře nebo i ve specialních databazích. Hodnoveřnost takových peřiodových analýz je odvisla od spolehlivosti uřcení okamziku extřemu a jejich nejistot. Vetsina publikovaných okamziku extřemu přomenných hvezd býla získýna pomocí notořický zname Kweeový-van Woeřdenový metodý a jejích modifikací. Bohuzel, tato metoda je casto uzívana jako magická skříňka na libovolný pozořovací data, tedý i přo případý, kdý předpokladý, za nichz býla odvozena, neplatí. Navíc vubec nelze pouzít odhad nejistotý uřcení okamziku extřemu, kteřý poskýtuje - býva totiz opřoti skutecnosti silne podcenen. Rozhodující nedostatek bezneho zpusobu uřcovýní okamziku extřemu vsak tkví v tom, ze nezohlednuje fakt, ze svetelna křivka je peřiodický funkce. Přitom znalost tvařu svetelných křivek odvozený z pozořovýní ucinených v minulosti muze zcela zasadním zpusobem zlepsit hodnoveřnost uřcení hodnot Tm. Pak lze okamzik extřemu uřcit metodou fýzoveho posuvu pozořovane svetelne křivký vzhledem k ocekavane, vzořove svetelne křivce, kteřý zajist'uje mnohem spolehlivejsí udaj o okamziku extřemu a jeho nejistote. Bohuzel, tato dlouho znamý metoda se dosud pouzíva jen vzacne. Jak zlepsit spolehlivost peřiodových analýz? Muzeme zdokonalit vstup výse diskuto-vane metodý tím, ze budeme přacovat se spolehlivejsími výchozími pozořovanými mo-mentý extřemu s výuzitím vzořových svetelných křivek (viz. kapitola 5.3.4). Nebo lepe, muzeme mezikřok s výpoctem okamziku extřemu zřusit uplne. Casový vývoj peřiodý totiz lze sledovat přímo a jeste přitom zpřacovývat pozořovýní nejřuznejsího dřuhu! Je zde pouze jedine omezení - k pouzití one nízze popsane metodý je nezbýtne znýt puvodní data, získana pozořovaním. V nekteřých případech ale nejsme schopni puvodní meření dohledat a pak nýam nezbude, neňz se spolehnout na pouze na nespolehlivaý publikovanýa data v podobe okamziku Tm. Postupý pouzívane k analýze dat jsou zalozený na řigořozní aplikaci nelineařní, vahovane metodý nejmensích ctveřcu uzívane nařaz přo vsechna řelevantní data obsahující fazovou infořmaci. Nase technika vubec nevýuzívý O-C diagřam jako mezistupen při zpřacovaní dat. O-C diagřamý se ovsem s výhodou pouzívají přo vizuýlní 5.4. Přímá periodová analýza 123 kontrolu adekvátnosti použitích modelů. Metoda se může úspešne aplikovat jak pro casove sevřene Casove řadý, tak i na pozorování přehlídek oblohý. 5.4.1 Popis metody Předpokládejme, že veskere pozorovane fázové křivky promenne hvezdý lze uspoko-jive popsat jedinou obecnou modelovou funkcí F(ů, b), popsanou zde gb parametry tvořícími tzv. vektor parametru křivký b, kde b = (b1,b j,bgb). Při nasich vápoctech předpokládame, ze tvar vsech fázovách křivek je konstantní a casova promennost je zcela dana fazovou funkcí ů(t,a), jejíz vlastnosti býlý probráný v podkapitole 5.2.2 i pro případ promenne periodý. Budeme předpokladat, ze fazova funkce ů(t, a) bude popsana nejakým vhodným modelem urcenám uspořádanou g«-ticá parametru a = (al, ...,ajaga). Pro realisticke modelovaná fazovách zmen pro data vsech týpu potřebujeme gb volnách parametru pro popis modelove funkce F(ů, b) a ga volných parametru pro popis fazove funkce ů(t, a). Výpocet volnách parametru je iterativní' a to se zakladná podmínkou MNC, ze suma x2(a, b) kvadrátu podálu (Ayi/a,)2 je minimalná, přicemz ai je indi-viduálná nejistota i-teho meřená, zatímco Ayi = yi — F(ůi, b) je rozdá i-teho meřená yi a jeho modelove predpovedi F(ůi). Tedý Ay, = y — F(ůj); x2 = £ 5 Vx2 = 0; (5.61) ^ Ay, dF (ůj, b) ™ Ay, dF (ů,, b) dů(U, a) =Q = a2 dbj 0; ^ a2 důi 3ak 0. Celkem získame g = ga + gb rovnic s g neznamámi volnými parametřý. Sýstem rovnic je nelineárná, coz m.j. znamena, ze parametřý modelu nelze urcit přámo, ale pomocá iteracá. Nejčastěji postupujeme tak, že si funkci F(ů, a, b) linearizujeme tak, že ji nahradíme jejím Taylorovým rozvojem kolem odhadu parametru a a b, ao a bo. Pak platí: dF -> F[ů(t, a), b] ~ F[ů(t, ao), bo] + VbF(ů, b) Ab + — Vaů(í, a) Aa, (5.62) kde Vb a Va jsou označení gradientu skalárních funkcí F(ů, b) a ů(a) podle vektoru a a b. V rovnici (5.62) se místo g parametru a a b objeví nových g parametru Aa a Ab, v nichž ovsem je rovnice pro funkci F (t, Aa, Ab) již linearní a umíme ji tedy resit maticovími metodami linearní regrese. K novemu odhadu hodnot hledaních parametru a a b dojdeme tak, že k predchízejícím odhadum korekci Aa a Ab korekci proste pricteme14, tedy ai = a0 + Aa, b1 = b0 + Ab. S temito novími odhady parametru výpocet znovu a znovu opakujeme až se priblížíme k hodnotam sady parametru, ktere se už v dalsích iteracích nemení (vektory Aa a Ab se blíží k nulovím). Ukazuje se, že mate-li pro vektory parametru a0 a b0 k dispozici dobry pocítecní odhad, konvergují tyto iterace rychle. Bežne potrebujeme pouze nekolik iteracních cyklu, abychom celou iteracní proceduru dokoncili. Nejistoty nalezenych parametru jsou tytež jako nejistoty odpovídajících korekcních clenu Aa a Ab. Podrobnejsí popis cele procedury najdete v kapitole 4.4. 14Ukazuje se, že není zahodno pricítat hned celou korekci, stačí, když korigujeme sadu parametru jen o polovinu vypoctene korekce. Zvísí se tím sice pocet nutních iterací, ale podstatne se tím zvysí stabilita resení, ktere by jinak mohlo i divergovat. 124 Kapitola 5. Analýza časových řad 5.4.2 Virtuální O-C diagram Jakkoli k vlastnímu výpočtu hodnot parametrů modelu O-C diagram nepotřebujeme, bylo by nerozumne zbavovat se jej nadobro. O-C diagram nam totiž muže ýčinne pomoci, a to zejmena ve fazi, kdy se snažíme najít adekvatní modely pro pozorovane zmeny periody. V tomto prípade pouzijeme tzv. virtualní O-C hodnoty pro libovolný podsoubor pozorovacích dat. Navíc muzeme snadno sestrojit diagram ilustrující casove zmeny okamzite periody P (t). 0.02 -0.02 g -0.04 O" ó -0.06 -0.08 -0.1 -0.12 -0.14 ■* + + BS Vul 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020 0 Obřýzek 5.3: Virtualní O-C diagram tesne, temer kontaktní zíkrytove dvojhvezdy BS Vul-peculae sestavení pomocí veskerych dostupných pozorovacích dat. Ruzními znaky jsou zde vynesena pozorovíní ruzních typu. Povsimnete si, ze pomerne silne se od strední krivky odchylují vizuílní pozorovaní (+ a x), coz prokazuje subjektivní charakter a tudíz i nespolehlivost tohoto typu informace o svetelnem chovaní zíkrytove dvojhvezdy. Periodova anatyza jasne nasvedcuje tomu, ze perioda soustavy se zkracuje, coz je dusledkem stacionírního pretoku latky smerem od primírní slozky k slozce sekundarní. Soustava se zrejme v blízke budoucnosti stane kontaktní. Blizsí informace v Zhu et al. (2012). Pouzitím reziduí pozorovaních dat vzhledem k predpovedi pozorovaních hodnot Ayj muzeme vytvorit jednotlive fazove posuny vyjídrene ve dnech (O-C)j s individuílní vahou Wj pro kazde pozorovaní. Vahovaní aritmetickí prumer fýzovyčh posunu pak definuje pro libovolne sestavenou dílcí skupinu merení strední hodnotu (O-C)^ nebo odchylku okamzite periody pro danou skupinu merení od okamzite periody predikovane modelem APk (tk) (O-C)j (O-C), (3F Y,T= i (O-C)j Wj Zlí i Wj (5.63) ; APfc = E jí i (O-C)j ůj Wj 5.5. Fenomenologické modely fázových křivek 125 Výpočty (O-C)fc a APk následují az po nalezení modelových parametrů; tedy nemají, a ani nemohou mít Žádny vliv na rešení modelů. PouZívají se pouze pro vizualizaci resení. Obdobne můZeme vypočítat virtualní 'pozorovane' hodnoty okamzite periody ze skupiny pozorovaní, ktere lze s víhodou pouzít pro vytvarení pusobivích obrízku zmen periody. 5.5 Fenomenologické modely fázových křivek Teořie přoménnosti hvézd se pokouší s vétším Ci menším úspéchem vytvářet tzv. fyzické modely pramenných hvezd. Cílem fyzických modelú je poznát příciny přomennosti á nájít fyzicke vlastnosti přomenných objektů. Pomocí modelú cásto dokážeme docelá veřohodne předpovedet tvářy svetelných křivek. V ástřofyzice je ovsem velice důležitá i obřácený úlohá, kdy se snážíme z tvářu pozořováných svetelných křivek urcit fyzicke pářámetřy přomenneho objektu. Táto úlohá obcás nemý řesení, pokud dotycný model nezohlednuje veskeře příciny přomennosti, dosti cásto pák nemá jednoznácne řesení, zejmená pokud sámotne pozořování není extřemne přesne. Duvodem je skutecnost, ze nejřuznejsí kombináce pářámetřu dokýzí zhřubá stejne dobře popsát pozořovánou skutecnost. Ják jsme jiz ukýzáli, přo peřiodovou ánálýzu nepotřebujeme znát jáke jsou skutecne fyzicke pářámetřy přomenneho objektu, postácí jen nájít tákový model svetelne křivky, kteřý by pozořovánou řeálitu dostátecne přesne vystihl, á to s nejmensím poctem pářámetřu, přicemz vubec nesejde ná tom, jáke jsou příciny toho, ze oná křivká vyhlízí ták, ják vyhlízí. Cílem tedy není řesit otázku přoc?, ále ják? Zájímý nás nyní jen jevový střánká veci, jde ným o fenomenologický popis skutecnosti, o vytváření tzv. fenomenologických modelů. 5.5.1 Rotující hvezdy s fotometrickými skvrnami Existuje velka skupina rotujících promennych hvezd, ktere mení svoji jasnost, protoze se na jejich povrchu vyskytují rozsahle tzv. 'fotometricke' skvrny, jasnejsí nebo tmavsí nez okolní povrch. Zkusenost ukazuje, ze pokud zrovna neanalyzujete data porízení s presností 0.0003 mag a lepsí, postací k popisu jejich svetelne krivky harmonickí polynom 2. stupne. Doporucujeme pritom pocatek pocítaní fazove funkce ů v okamziku M0 umístit do jednoho z extrému nasledu-jícího modelu svetelne krivky rotující skvrnité hvezdy v urcité barve Fc(ů) = AcWc(ů,bic,b2c) + moc, pricemz (5.64) 3 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 rotational phase c|> 1.2 0 1 Obřýzek 5.4: Fázová křivka světelných změn chemicky pekuliární hvězdy CU Virginis podle pozorování Diany Pyperove provedených ve Stromgrenove středne-pásmovem fotometrickem systemu uvby. Prolozená svetelnách krivek bylo realizováno jako soucet dvou gaussovách krivek s centry kolem faze 0.4 a 0.6 (viz 5.69). Stejne dobreho prolozená bychom dosáhli, pokud bychom svetelne krivky v kazdem z filtru zvlast' prolozili harmonickým polynomem 2. stupne. Problem by ovsem byl s interpretacá takoveho fitu. Poznamenejme, ze i v tak perfektnám materiálu, jakym toto pozorováni' bezesporu je, se najde nekolik odlehlych bodu. A jeste dulezitou poznamku. Je treba se rozhodnout, ktere parametry vlastne budeme hledat. Kdyz pujdeme po dvojici fázá centra skvrn tp01 a (£>02, pak je treba zafixovat pocatek pocátáná fázove funkce M0. Lze postupovat i tak, ze si pocátek M0 ztotoznáme s centrem jedne z skvrn, dejme tomu s tou prvná. Pak ovsem fixujeme parametr Lp01 = 0. Pokud bychom tohoto doporucená nedbali, pak by hledaná parametru modelu nezadrzitelne divergovalo. 5.5.2 Zákrytové dvojhvězdy Vetsina studiá tykajácách se studia zmen obeznych period zákrytovách dvojhvezd je zalozena na technice rozboru O-C diagramu, i kdyz nekolik nejpropracovanejsách programu resená svetelnách krivek jako jsou napr. PHOEBE, FOTEL nebo Wilsonuv-Devineyho program nabázá prámou periodovou analyzu ve smyslu váse nastánene metody. Doporucuji vsem pouzát tyto utility, kdyby uz k nicemu jinemu, tak aspoň k simulovaná svetelne krivky, kterou pak lze pouzát jako vzorovou svetelnou krivku pnslusne zákrytove dvojhvezdy. Ovňsem mnohem jednoduňsňsá je pouňzát k jejá reprezentaci fenomenologickyá model svňetelnáe krivky zakrytove dvojhvezdy. Vypracovali jsme soubor modelu svetelnách krivek zakrytovách soustav, kteráy je schopen popsat vňetňsinu pozorovanyách svňetelnyách kňrivek s pouňzitám minimáal-náho poctu volnách parametru. Napr. následujácá fenomenologická model muze byt aplikován 128 Kapitola 5. Analýza časových řad -3-2-10123 Obrýzek 5.5: Obrázek ukazuje jak odlisne normalizovane typy svetelnách krivek \ř(Ay?/d, C) v okolí stredu zákrytu nás fenomenologicky model nabízí. Predelova krivka s C = 1 je zváraznena tucnejsí carou. Pro hodnoty parametru C < 1, ma modelova krivka v nule skok v derivaci, jinak se vsude chová mravne. Pomocí modelu lze realisticky modelovat i svetelne krivky se zastavkou C > 1. Pri srovnaní realnych a modelovych svetelnách krivek vypláva, ze nejvetsí odchylky nacházíme v centru zakrytu a na vzdálenych krídlech. Pro periodovou analyzu jsou zcela rozhodující oblasti kolem inflexních bodu, a tam nase modelová svetelná krivka modeluje skutecnost velmi dobre. na většinu těsných dvojhvězd s kruhovými drahami (minima ve fázích t£> = 0; 0, 5). Model dobře popisuje vzhled obou minim jasnosti zpUsobených zýkřýtem, vCetně minim se zastavkou, efektý blízkosti slozek (elipticita slozek, efektý odrazu a gravitaCního ztemnení) lze popsat zavedením dalsích fenomenologických clenu. ^1,2(0) = 1 -{1 - exp 1 - cosh^} ; (5.71) Fc(0) = moc + bic ^i(0,Cic,dic)+ b2c V>2(0, C2c, cfec), (5.72) kde 0 = (t - Mo) /P; ^1 = 0 - round(0); ^2 = (0 - 2) - round(0 - 2). (5.73) b1c a b2c jsou hloubký primarního a sekundírního minima v barve c, jsou parametrý popisující sírku zíkrýtu, G\2 výjadruje spicatost minim svetelne krivký behem zakrýtu. V první aproximaci lze krivku minim výjadrit jednoduseji, napr. pomocí Maclaurinova rozvoje 4. radu funkce cosh 1 -í1 - exp í- 2( tí)"- á( g) i> <*•«> nebo ^1,2(^1,2) = 1 -j 1 - exp -i(^ j (5.75) 5.5. Fenomenologické modely fázových křivek 129 případně ^1,2(^1,2) = exp 1 - cosh 1 — cosh ( ^i^2 V«1,2 ^1,2(^1,2) = exp ^1,2(^1,2) = exp d1,2 d (5.76) (5.77) (5.78) Obecně to vše platí jen pro určitou vlnovou délku, ale často lze model funkce ^1,2(^1,2) světelné křivky pouZít i pro ruzne filtry. Nestejná teplota zakrývajících se sloZek a tím i nizne hloubky primárních a sekundarních minim v nuzných barvach se dobre vyjadrí nestejnými hloubkami b1c, b2c ve vztahu (5.72). 0 05 T3 +^ 'c O) E > 1.5 0.2 0.4 0.6 orbital phase 0.8 1 0 1 Obřýzek 5.6: Světelně křivky téměř kontaktní zákrytově dvojhvězdy RW Com ve filtrech BVRI. Jě zjěvně, Zě světělně křivky v různých barvách jsou si dosti podobně, tědy i v tom, Zě jasnost dvojhvězdy sě němění jěn při zakřytěch, alě něustaiě. Z toho důvodů jě potřěba zavěst jěstě hařmonickě křivky, jimiz lzě tzv. "přoximity ěffěct" poměřně obstojně řěpřězěntovat. Povsimnětě si, zě výsky maxim jasnosti sě od sěbě lisí, nějvícě v modřě oblasti spěktřa, nějměně v infřacěřvěněm obořu. Jdě o tzv. O'Conněllův jěv, ktěřy sě nějcastěji vysvětlujě vískytěm těmních fotosfěřickych skvřn. Poměřně výsky obou maxim sě běhěm casu mění. 130 Kapitola 5. Analýza časových rad 5.5.3 Spektroskopická proměnnost Dalsí důlezitoů soůcastí komplexní fízove informace, kteroů ním promenne hvezdy poskytůjí, predstavůjí zmeny spektra. Obecne vzato i dosůd probírane svetelne zmeny jsoů zmenami spektroskopickími, s tím, ze rozhodůjící zde jsoů variace spojiteho spektra. Nicmene, napr. ů hvezd se silními spektralními carami a spektralními pasy ci hranami, mohoů fotometricky důlezitoů roli hrat zmeny v intenzite techto car. Zde zalezí jak na typů hvezdy, tak i na spektralním oborů. Zatímco v optickem oborů lze zmínene efekty tohoto tzv. 'line blockingů' zpravidla zanedbat, v blízkem a zejmena vzdílenem ůltrafialovem oborů mohoů bít zmeny intenzit car velmi důlezite a prostrednictvím prerozdelení energie mezi jednotlivymi cístmi spektra mohoů způsobovat zmeny írovne spojiteho spektra. Tato poznamka se tyka predevsím CP hvezd, ale take i hvezd chladnejsích s molekůlarními pasy ve spektrů. Spektroskopickou proménností se béžné mýslí proménnost profilů vybraných spek-trainích čar, specialne pak nejakých kvantitativních charakteristik zmínene čýrý, s nimiž se pak pracuje, jako jsoů napr. radialní rychlost príslušne cýrý, zmený centralní intenzity carý nebo její ekvivalentní sírký. Príciný zmen bývají rozlicne, můze jít o zmený vlastnosti práve privracene casti hvezdne atmosferý, důlezitoů roli zde sehráva i hvezdna rotace, ktera v podstate ůrcůje tvar profilů vetsiný absorpcních car vetsiný promenných hvezd. Ze zmen profilů spektralních car ve výsokodisperzním spektrů lze pomocí tzv. Dopplerový tomografie odvodit napr. rozlození chemických prvků na povrchů hvezd. Týto techniký patrí k vrcholům v interpretaci spektroskopických zmen a k jejím výsledkům je dobre se vzdý stavet s ůrcitoů rezervovaností, výplývající z celeho procesů zpracovaní spektroskopicke informace. Naopak stůdie zmen radiýlních rýchlostí zmerených zpravidla z polohý dobre definovaných car ci vsech car v pozorovanem spektrů, jsoů vetsinoů dosti spolehlive, navíc techniký zmen radialních rýchlosti dozrávají do sveho zlateho veků, protoze se jejich prostrednictvím jednak ůrcůjí hmotnosti v hvezdných sýstemech, jednak se jimi detekuje prítomnost dalsích, zpravidla temných slozek nýsobných sýstemů tvorených nejen hvezdami, ale i planetami. V prípade, ze nepozorůjeme zadne zmený svetelne, býva spektroskopicka promennosti velmi solidní nahrazkoů fotometricke promennosti. Dalsí informaci poskýtůje polarizace svetla a její zmený v různých ýsecích spektra, ktere davají informace o zmenach magnetickeho pole, prípadne alespon jeho konfigůraci vzhledem k pozorovateli. 5.6 Simultánní modelování nestejnorodých zdrojů fázově informace Výhodoů príme metodý periodove analýzý je, ze dokýze výůzít a zkombinovat veskere zdroje fazove informace, a to bez ohledů na jejich faktickoů odlisnost a rozdílnoů kval-itů. Prýve toto modelovýní fazove promennosti je její nejdůlezitejsí a na výsost kreativní etapoů periodove analýzý pomocí príme metodý. Vsechný dalsí císti se dají zaůtomati-zovat, ale modelovaní promennosti vzdýcký zůstane ůkazkoů toho, jak dokýzete výtezit z dat, ktera mate k dispozici, maximům informací, jak dokazete být kritictí, predvídaví a průzní ve vasem pohledů na daný objekt. A protoze data jsoů pokazde jina a jiný je i objekt zkoůmýní, nemohoů být výpocetní programý nikdý stejne, můsí se lisit prípad od prípadů. Nemoznost algoritmizace prace je pak hlavním důvodem, proc prímoů metodů 5.7. Hledání period. Periodogramy 131 periodove analýzy používa jen zlomek počtu astronomů zabývajících se výzkumem proměnných hvezd. Zasadou je, ze se veskerý meření daneho objektu y^, týkající se jednoho objektu zpřacovavajý simultanne, a ze kdykoli je mozne do zpřacovýní přidat nový data libo-volneho puvodu. Vtip toho přístupu spocíva v tom, ze přo modelovaný pozořovaných casových zmen daneho objektu nejřuznejsího dřuhu pouzijeme jedinou specialne sestavenou modelovou funkci F [d (t, a), b], kteřa ale popisuje fýzove zmený vsech typU pouzitých dat15. Modelovou funkci zýdoucích vlastností muzeme vytvořit jako skalýřní soucin sloup coveho vektořu dílcích modelových funkcí přo i-te meřený s q slozkami: F i = [Fii, F2i,..., Fki(ů(ti, a), b),..., Fqi]T a vektořu přepínacu ni = [Vii, Ví2,---,Vík Viq ] se slozkami nabývajících hodnot 0 nebo 1. Přolozený fazový funkce přo i-te meřený v case ti a její gřadient podle pařametřu a a b pak budou dýný vztahem: Fi[^(ti, a), b] = i = Ek= i Vik Fki[tf(ti, a), b], (5.79) VFi ), a), b] = ni V F i = (5.80) kde výřazem VFi je mýslena matice q x g, kde g je pocet stupmi volnosti (pocet volných pařametřu), V F i = [VFií, ..., VFqi]T. Nejnýřocnejsím ýkolem je přípřava výpoctu - řegřese, tedý výtipovaní vhodných dílcích modelových funkcí, jejich matematicka fořmulace, kde je třeba hledet např. i na to, abý se v jejich výjadření nevýskýtovalý lineýřne zavisle pařametřý a spřavne sestavení matice přepínacu přo kazde z meření. Ostatní křoký a spustení iteřací je uz pak jen vecí řutiný. Vhodnou fořmulací modelu přomennosti lze například v jednom výpoctu soucasne zpřacovývat infořmace skřýte v přímem pozořovaní příslusne přomenne hvezdý a zpřo-středkovane infořmace dane např. okamziký extřemu svetelných křivek. Jednotlivý „meření" se zpřacovývají přostředký metodý nejmensích ctveřcu ve tvařu se sumou x2. Rozhodující řoli zde ovsem hřaje nutnost odhadu nejistotý příslusne veliciný, coz lze standařdne zvlýdat pomocí iteřací, kde přisuzujeme konkřetní nejistotu definovaným skupinam meření - pozořovýní od jednoho pozořovatele, nebo třeba podle metodý pozořovaní. Zmínene přístup mý znacnou výhodu v tom, ze dokýze zpřacovat simultýnne takřka vse, co mame k dispozici. Dulezite ovsem je, abýchom si takto do nasich kalkulací nezanaseli přílis mnoho odlehlých bodu, s nimiz si samotna metoda nejmensích ctveřcu nepořadí. V teto situaci je dobře sahnout po nekteře z vařiant řobustní řegřese, třeba po týe, co je popsýana v 4.5.1. 5.7 Hledaní period. Periodogramy Hledíním periodickích jevu v casovích radích se zaobíra rada vedních disciplín. Tam se zpravidla daríí zíískaívat souvislíe pozorovacíí rady s konstantníím rozestupem po sobe níasledujíícíích merení. V takovych prípadech se s velkou vyhodou k rozborum periodicity vyuzíva klasicke 15Tak treba pro jistou nejmenovanou promennou hvezdu mame k dispozici fotometrii UBV od dvou ruznych pozorovatelu, dale pozorovíní v CCD v R a I, dale krivku radialních rychlostí a treba magnet-ickeho pole. Všechny fízove krivky se vzajemne lisí, ale tykají se jednoho objektu, byt pozorovaneho v ruznou dobu. 132 Kápitolá 5. Anályzá cásových řád Fourierovy analízy. V prípade studia hvezd se s podobnou situací prakticky nesetkame, proto o ní ani nebudeme mluvit. V ástřonomickíe liteřátuře nájdeme celou řádu mátemátickíych, zpřávidlá pocíítácovyích metod k hledíáníí peřiodicity, á novíe se stáíle objevujíí. Jsou vsák vzdy obmenou dvou zákládních principu, pomocí nichz lze v dátech s nepřávidelným cásovym řozlozením hledát: 1. Metody, kteře přo kázdou zkusmou peřiodu setřídí dátá do fýzoveho diágřámu á v jednotlivých málych fýzových inteřválech (binech) pák zkoumájí mířu řozptylu bodu. Zá nejlepsí se povázuje tá peřiodá, přo níz je řozptyl ve vsech fázích inteř-válu minimální. Tyto metody minimalizace fézoveho rozptylu májí tu výhodu, ze o tvářu svetelne křivky se toho předpokládý velice málo, á jsou tedy vhodne přo situáci, kdy o dotycne přomenne hvezde nevíme přákticky nic. 2. Metody, kteře předem předpokládájí uřcitý tvář svetelne křivky, zpřávidlá ve fořme jejího modelu, á pák hledájí tákovou peřiodu, přo níz je shodá modelove funkce s pozořovánými dáty nejlepsí. Oná shodá se hledá nejcásteji řegřesními meto-dámi zálozenými ná metode nejmensích ctveřcu. Výhodou tohoto přístupu je, ze dostáneme křome odhádu peřiody i odhád nejistoty jejího uřcení, jákoz i mátem-átický popis tvářu přolozene křivky zmen, coz se muze přo dálsí zpřácovíní hodit. Musíme se vsák střefit do tvářu svetelne křivky. Kdybychom třebá přo zýkřytovou dvojhvezdu předpokládáli svetelnou křivku ve tvářu sinusovky, coz je jinák docelá bezny předpoklád, ási bychom se k řeálne obezne peřiode ták snádno nepřopřáco-váli. Dopořucený postup je tedy jásný: nejprve pouzít nekteřou z vářiánt metody minimáli-záce fázoveho řozptylu, nájít peřiodu, ze tvářu svetelne křivky odhádnout typ přomenne hvezdy á přo model její svetelne křivky upřesnit nálezenou peřiodu á zjistit dálsí chářák-teřistiky svetelne křivky á získát předpoveď svetelneho chovíní hvezdy. Při hledání peřiody zcelá neznáme přomenne hvezdy metodou minimálizáce fázoveho řozptylu je nezbytne zádát minimální á máximýlní předpokládánou peřiodu zmen. Zde se nejcásteji kláde zá nejdelsí moznou peřiodu delká cele cásove řády, zá minimýlní pák minimální cásová vzdýlenost mezi po sobe nýsledujícími meřeními. Stezejní ovsem je spřývná volbá křoku přohledávání, s nímz meníme zkusmou peřiodu. Pokud bychom zvolili ten křok přílis velký, mohlo by se stít, ze bychom spřývnou peřiodu mohli přeskocit. Ná dřuhou střánu nemý smysl volit tento křok přílis křátký, nebot' bychom si ták zbytecne přodluzováli celý výpocet. Pokud ocekáváme sinusoidální svetelnou křivku, pák stáď volit ták velký křok, ze se řozdíl fází ná zácítku á ná konci cásove řády zmeníí příáve o desetinu peřiody. Je zřejmíe, ze zá techto okolnostíí je řozumníe od pe-řiod přejít ke frekvencím, kde přohledívácí křok je lineýřní. Je-li T delká cásove řády á A t/ pozádováný křok ve fázi (v přípáde sinusovky 0.1), pák křok přo přohledávání ve frekvencích je A f = A

4> = 0.744 # - Q.994 Obrazek 6.7: Nahore vlevo: Zména rozlození obsahu kremíku na disku hvézdy HD 37776 pro ruzné rotacní fíze podle Khokhlova et al. (2000). Kolem faze 0 je abundance kremíku nejvétsí. Nahore vpravo: Srovnaní predpovézeních svételnych zmén HD 37776 spoctenych podle povrchového rozlození kremíku a hélia (viz Khokhlova et al. 2000) a pozorovanych svételních krivek v barvích uvby Stromgrenova fotomoetrického systému (Adelman & Pyper 1985, Adelman 1997b). Dole: vypoctené toky zarení z atmosféry HD 37776 s ruznym zastoupením kremíku. Skvrny s vétsím zastoupením kremíku jsou v uvby jasnejsí nez oblasti s malou abundancí kremíku. Prevzato z Krticka et al. (2010). takoveto chemicke separaci dochýzí. Teorii jeste zbýva vysvetlit nektere detaily, napr. jak je role hvezdneho vetru pri vzniku chemicke pekuliarity hvezd trídy CP6 nebo z jakeho duvodu dochazí ke vzniku spektroskopických skvrn. Jak jiz bylo reňeno, magneticke chemicky pekuliarní hvezdy jsou hvezdy promenne, mení se s periodou rotace ve sve jasnosti, spektru i magnetickem poli. Vse lze vysvetlit konceptem tuhe rotující hvezdy s persistentními spektroskopickými a fotometrickymi 152 Kápitolá 6. Přomennost peřiodicky přomenných hvezd skvřnámi á globálním mágnetickým polem vmřázeným do plázmátu hvezdy, s nímz jáko přvní přisli Stibbs (1950) á Deutsch (1958). Spektroskopický přomennost, při níz se mení profil jednotlivých spektrálních cář, bylá odhálená áz spektroskopií s vysokym řozlisením. Z přofilu spektřýlních cář lze odvodit nejen přumeřnou ábundánci jednotlivých chemickych přvku, ále i jejich řozlození po hvezde, á to pomocí tzv. Doppleřovy tomogřáfie. Z ánálýz vyplyvá mj. i to ze zejmená ty přvky, jez jsou v přebytku, jsou po hvezde řozlozeny křájne neřovnomeřne - jejich zástoupení se zde muze lisit áz o 2 řýdy. Fotometřickíá přomennost bylá objevená áz po spektřoskopickíe, á to přoto, ze ámpli-tudy svetelnyích zmen jsou tákřká vzdy mensíí nez dve desetiny mágnitudy, typicky setiny mágnitudy. Anályízá svetelnyích zmen je přoto docelá níářocnou disciplíínou, detáilneji je popsáíná v podkápitole 5.5.1. Křtická et ál. (2010) ukíázáli, ze příícinou vzniku fotomet-řicky kontřástních skvřn je nejspís přeřozdelení eneřgie ve spektřu zpusobene zesílenou ábsořpcí ve spektřálních cářách nebo pýsech volne-vázáných přechodu chemickych přvku, kteře jsou v dáne spektřoskopicke skvřne v přebytku. 6.1.3 Mágneticke pole (Ne)přítomnost mágnetickeho pole á přípádne jeho podobá á intenzitá hřáje velmi dulezitou řoli ve vývoji hvezd. U rotujících přomennych hvezd bývá přícinou osove ásymetřie přítomnost silneho mágnetickeho pole. Je-li mágneticke pole zhřubá dipolove, musí jeste plátit, ze osá tohoto dipýlu nesmí souhlásit osou řotácní, coz je vsák vetsinou splneno. Pozořováne zmeny jsou přísne peřiodicke, peřiodá odpovídá řotácní peřiode objektu. Tá byvá velmi rozmánirá: od 10-4 s u tech nejřychlejsích pulsarů, áz po nekolik let u zvlýst' pomálu řotujících chemicky pekuliářních hvezd. V přomenných hvezdách bychom mohli vymezit vliv mágnetickíeho pole zejmíená ná: • mágneticke chemicky pekuliářní hvezdy, • hvezdy typu a2 Cánum Venáticořum, • pulsářy. 6.1.3.1 Pulsářy Přestoze sámotne slovo pulsar vzniklo z ánglických slov „pulse" á „stář", nejedný se o pulzující hvezdu. Zdřojem pulsu je velmi řychle řotující neutronový hvezdá vysílájící do přostořu zejmená řýdiove zýření v uzkem kuzelu. Jákmile se pozořovátel ocitne ve smeřu kuzelu pozoruje krátký, intenzivní zýblesk (tzv. májákovy model). Dobá mezi záblesky ták odpovídý peřiode řotáce hvezdy. Pulsář je tedy řotující pramenný hvezdá. Pulsářy byly objeveny náhodou při přehlídce extřágáláktických rádiových zdřoju ná fřekvenci 81 MHz. Při vyhodnocování záznámu si zvlástních peřiodických signálu povsimlá Jocellyn Bellový (dnes Buřnellový). Spolu s tehdejsím skolitelem á dálsími kolegy pák publikováli objevový clánek (Hewish et ál., 1968)4. Pulsářy byly nejdříve 4Antony Hewish obdrzel v roce 1974 se Sirem Martinem Rylem Nobelovu cenu za fyziku za průkopnicky vyzkum v oblasti radiove astrofyziky, predevsím za rozhodující ůlohu pri objevu pulsarů. Jocelyn Bellova pnsla zkrítka. 6.1. Rotůjící promenne hvezdý 153 znacený podle zkratký observatore, kde býlý objevený, a rektascenze (napríklad Cambridge půlsar CP1919). Pozdeji se zacala poůzívat zkratka PSR (Půlsating Soůrce of Radio) a soůradnice PSR0531+21, dnes PSR B1919+21, resp. PSR J1921+2153. 5.0 103 4.0 103 3.0 103 m E— Z 8 2.0 103 1.0 103 0.0 0 2000 4000 6000 8000 1000C WINDOWS Obrýzek 6.8: Svetelní krivka půlsarů v Krabí mlhovine s casovím rozlisením 3/xs ve filtrech U+B+V+R, B, R, U (odshora dolů). Prevzato z Komarova et al. (1996). t i i | i i i | i i i | i i i | i i r b_i_i_i_I_i_i_i_I_i_i_i_I_i_i_i_I_i_i_i_d V soůcasnosti zníme pres dva tisíce půlsarů5 s periodami od 1.4 ms do 8.5 s. Vetsina z nich zarí zejmena v radiove oblasti, ale nekolik i ve viditelnem svetle. Pro vsechný půlsarý je týpicke extremne silne magneticke pole dosahůjící az 1010 T, resp. 1011 T ů magnetarů. Nicmene zdroje energie se lisí. Podle nich rozlisůjeme v principů tri drůhý půlsarů. • Půlsarý dotovane z rotacní energie, výzamjící v důsledků ztratý rotacní energie hvezdý. • Půlsarý pohýnene prírůstkem hmotý (to platí pro vetsinů, ale ne vsechný rentgenove půlsarý), kdý je zdrojem energie akrece. • Magnetarý, jejichz zdrojem energie je rozklad extremne silneho magnetickeho pole. Rotacní energii půlsarů můzeme výjadrit vztahem Erot =2 I =2^, (6.1) kde O je ýhlový rýchlost, P perioda a I moment setrvacnosti. Perioda půlsů se casem prodlůzůje, rotace půlsarů zpomalůje, takze platí dP P = 0. (6.2) Dosazením vztahů (6.1) a ýpravoů dostaneme zavislost zmený energie rotace na periode a zmene periodý dErot -4 n 2IJ^ _-dr = ^P^~. (6.3) 5Pro aktůalní pocet znamích půlsarů navstivte jejich katalog na http://www.atnf.csiro.au/ people/pulsar/psrcat/. 154 Kapitola 6. Promňennost periodicky promňennyích hvňezd Obrazek 6.9: Zavislost dekadickeho logaritmu zmeny periody na periode pulsaru je ekvivalentem HR diagramu pro pulsary. Na diagramu jsou vyznaceny vsechny zname pulsary v nasí Galaxii. Pomocí pozorovane periody pulsu a jejich zmeny muzeme odhadnout radu parametru jako vek pulsaru, sílu magnetickeho pole B a zmenu rotacní energie E. Mlade pulsary jsou v levem horním rohu a postupne se s vekem presouvají v diagramu dolu a doprava az zhruba po 1010 let zeslabne magneticke pole natolik, ze pulsar prestane vysílat a skoncí na „hrbitove". Zajímave je zjistení, ze temer vsechny pulsary s kratkou periodou jsou soucastí binarního systíemu. Pro nejzníamňejňsí pulsar v srdci Krabí mlhoviny z toho napňríklad vyplyívía, ňze jeho rotaňcní energie se mení rychlostí —4 • 1031 J/s. Porovnaním vztahu (6.3) s mnozstvím vyzarene energie podle Larmorova vztahu muzeme odvodit jak minimalní intenzitu magnetickeho pole na povrchu pulsaru, tak i tzv. charakteristickíy vňek pulsaru T = P 2P (6.4) Charakteristickí vek pulsaru nezavisí ani na velikosti pulsaru R, momentu setrvacnosti I nebo sklonu a intenzite magnetickeho pole B sin a. Vztah platí, pokud je pocatecní perioda pulsu mnohem mensí nez soucasna (P0 90° — a, kde R1 + R2 sin a =-. r Pro nase dalsí ívahy vezmeme ideílní prípad i = 90°, coz znamena, ze v teto soustave bude dochazet k tzv. centrýlním zakrytum. Pro nase ívahy zvolíme vetsí z hvezd o polomeru R1 za centralní teleso (na volbe nezýleZí)8 a druha mensí bude kolem ní stílou rychlostí obíhat tak, ze její stred opísse kolem stredu centrílní slozky kruznici za dobu obehu P. Prechod (transit) Pozorujeme-li soustavu z velke vzdalenosti, vidíme, ze k prvnímu kontaktu prechazejí-cího telesa s telesem v pozadí dojde ve chvíli, kdy spojnice ke stredu druhe slozky bude se smerem k pozorovateli svírat uhel a1 (viz obrazek 6.13), pricemz platí sin a1 =- pro male uhly a1 ~-. (6.9) Pokud jde o prechod mensího telesa pres vetsí, pak budeme sledovat, jak se pred kotouc vetsí slozky predsune mensí kotouc, kterí bude systematicky ukusovat stale vetsí císt disku hvezdy v pozadí. Behem teto faze castecneho zakrytu jasnost soustavy takrka linearne klesí v dusledku skutecnosti, ze vyzamjící plocha zakrívane hvezdy se zmensuje. Ve svetelne krivce vidíme pokles, nazUvanU sestupna vetev minima jasnosti. Rychlí pokles se zastaví v momentu tzv. druheho kontaktu, kdy se na disku centrnlm hvezdy zobrazí celí kotouc mensí slozky. V tom okamziku bude spojnice ke stredu druhe slozky se smerem k pozorovateli svírat uhel a2, pricemz platí sin a2 = —1-r2 pro male íhly a2 ~ R1-r2. (6.10) 8To, že na volbe nezáleží, je ale i často příčinou jiste libovůle a tak se můžeme setkat v různých publikacích s tím, že jsou jako primarní definovaný různe složky! Nekdy je to hmotnejsí, nekdy jasnejsí složka, nekdy ta, ktera je ve fazi 0 blíze pozorovateli. 160 Kapitola 6. Proměnnost periodicky proměnných hvězd primárni minimum t2 tg čas Obrázek 6.14: Vznik svetelne křivky zákrytové dvojhvězdy. t1 až t4 označují okamžiky tzv. prvého, druhého, třetího a čtvrtého kontaktu. Nyní bude kotouC menší složky putovat az do centra kotouCe větší složky, kdy nastane stred zýkrytu. Vzhledem k tomu, že naprosta vetšina hvezd jeví nezanedbatelne okrajove ztemnení, bude v teto fazi jasnost hvezdy mírne klesat. Na svetelne krivce pozorujeme melke dno - v promenarskem zargonu se praví, hvezda je v tzv. „zastívce". Po průchodu centrem cely ukaz symetricky pokracuje. Kdyz se okraj druhe slozky zevnitr dotkne okraje hvezdy v pozadí nastíva tzv. tretí kontakt, po nemz se zacne zmensovat podíl zakrívane plochy a to az do momentu ctvrteho kontaktu, kterí ukoncuje vzestupnou vetev svetelne krivky a celí zakryt. V prípade, ze lze prlstoupit na aproximaci sin a = a, delka doby mezi prvním a ctvrtym kontaktem, ccili období snízene jasnosti soustavy (doby tzv. minima jasnosti), oznacovaní zpravidla symbolem D, je dana vztahem D = 2a1 = Rl + R2 (611) Pro trvaní zastavky d v minimu jasnosti dostívame obdobne: d 2 ao Ri — R2 — =-- = —--. (6.12) Pokud jsme schopni ze svetelne krivky odhadnout trvíní obou razí, dostaneme tak odhad relativních rozmera obou slozek: Ri n D + d R- n D - d . . V =2^; V =2^. (6.13) Budeme-li mít navíc k dispozici i krivku radialních rychlostí obou slozek, pak z ní snadno vycteme tez obeznou rychlost a tím i absolutní polomer trajektorie. Pomocí nej vypoďtame absolutní rozmery slozek. Upozorňuji, ze jsme k tomu vsemu nepotrebovali zníat vzdíalenost soustavy. 6.2. Dvojhvezdý 161 Zákryt (okultace) Presne po půl periode dojde k opacne sitůaci, v popredí bůde centrýlní teleso a za nej se bůde postůpne ůkrývat teleso mensí. Po prvním kontaktů se cast kotoůce mensí hvezdý skrýje za neprůhledným kotoůcem centralní hvezdý. Jasnost soůstavý bůde postůpne klesat a to az do okamziků drůheho kontaktů, kdý kotoůc drůhe hvezdý zmizí nadobro. Od te chvíle zůstíva jasnost soůstavý konstantní az do chvíle tretího kontaktů, kdý se na opacne strane centralní hvezdý objeví cast kotoůce zakrývane hvezdý. Ta se nakonec výnorý cela, pricemz obe slozký se od sebe oddelí v okamziků tzv. ctvrteho kontaktů. V hlavních rýsech je vzhled svetelne krivký obdobný jako v prípade prechodů (transitů), jen s tím rozdílem, ze v zastavce svetelne krivký se jasnost sýstemů nemení. Pokůd nejsoů slozký zakrýtove dvojhvezdý identicke, pozorůjeme rozdílý v hloůbce oboů minim (transit a okůltace). Hlůbsímů z nich ríkýme primarní minimům, drůhemů pak minimům sekůndarní. Pokůd je efektivní teplota mensí slozký nizsí nez teplota slozký vetsí, pak pri transitů nastívý hlůbsí minimům nez pri okůltaci. Pokůd je tomů naopak, odpovída primýrní minimům zakrýtů mensího telesa. Jestlize dochazí k ýplnemů zakrýtů, je mozne dokonce ůrcit pomer teplot slozek dvojhvezdý dle vztahů B0 — Bp B0 — B s , (6.14) kde B0,Bp, Bs jsoů bolometricke jasnosti v maximů, primýrním a sekůndarním minimů a T\ a T2 teplotý vetsí a mensí slozký. V astrofyzikílní praxi se bezne setkívame s obema prípady. Jsoů-li slozky dvojhvezdý hvezdami hlavní posloůpnosti, pak platí, ze hmotnejsí slozka je vetsí a teplejsí nez slozka mene hmotna. Vezmeme si hypotetickí príklad zakrýtů dvoů hvezd: F0 V (Ri = 1, 6R©, Tef = 7200 K) a F5 V (R2 = 1, 4R©, Tef = 6400 K). Zanedbíme-li vliv okrajoveho ztemnení, zvísí se pri centralním transitů bolometrickí hvezdna velikost o 0,78 mag, pri zakrýtů vzroste jen o 0,43 mag. Jine je to s tzv. algolidami typů II, kde rozmerove vetsí z oboů hvezd je podobr, jenz je ale chladnejsí a mene hmotní nez drůha slozka, ktera bíva hvezdoů hlavní posloůpnosti. Zvolme si modelovy príklad: centrílní hvezdoů bůde podobr o polomem R\ = 5R©, Tef = 4500 K a drůhoů slozkoů hvezda hlavní posloůpnosti A0 V (R2 = 2, 7R©, Tef = 9250 K). Transit se projeví nepatrním zeslabením o 0,05 mag, ale pri zakrytů, kdy primírní slozka zcela zmizí, vzroste bolometricka hvezdna velikost o 1,99 mag! Je tedy zrejme, ze algolidy typů II jsoů pozorovatelsky napadnejsí, nez soůstavy, kde jsoů obe slozky hvezdami hlavní posloůpnosti (algolidy typů I). Pokůd nejsoů splnený výse ůvedene podmínký (kůlove hvezdý, krůhove trajektorie, i = 90°) setkavame se s komplikovanejsími svetelnými krivkami, ktere se v nekterých ohledech od naseho idealizovaneho prípadů lisí. Pro porídek ůved'me, ze: • Pri nenůlove excentricite obecne nebyví sekůndírní minimům ůmísteno presne ve fízi 0,5. Vyjimků tvorí sitůace, kdy je prímka apsid kolineírní se smerem k pozorovateli. Na svetelne krivce se to ale stejne pozna tak, ze pozorovaní zeslabení mají různí trvíní. • Pri sklonů i = 90° můze jít i v absolůtním minimů jen o cístecní zakryt, kdy nenastíva v minimů zastavka (d = 0). Z tvarů svetelne krivky lze na velikost sklonů i ůsoůdit. 162 Kapitola 6. Proměnnost periodicky proměnných hvězd • V případě těsných dvojhvězd tvořících krátkoperiodickou soustavu, jsou jejich složky výrazně slapově deformovány. Během oběhu se mění jejich natocení vuci pozorovateli, a tím i jejich prumět. Proto se jasnost soustavy mění i mezi zakryty. • Hvězdy se vzájemně osvětlují - ne prílis prilěhavě se tento efekt, ktery deformuje a komplikuje pozorovaně světelně krivky, oznacuje jako efekt odrazu. • Světelnou krivku muze deformovat tzv. t ret í světlo v soustavě, kterě muze bít zpusobeno zarením z dalsí hvězdy v soustavě nebo u těsních soustav prítomností plynněho proudu mezi slozkami, akrecního disku kolem jedně ze slozek. Významným deformacním prvkem jsou takě skvrny na povrchu slozek ci akrecního disku. Toto jsou ty nejdůležitější okolnosti, kterě formují světelnou krivku. Lze najít samozřejmě i dalsí efekty ovlivňující podobu světelně krivky zákrytových proměnných hvězd, vesměs ale jde o jemnější efekty druhého řádu. i—i—i—■—i—■- _i_i_i_i_i_i_i_ 0.0 0.1 0,2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.3 0.« 1.0 Plnit Obrazek 6.15: Změny radialních rychlostí hmotnostně jen malo odlisních slozek A a B dvojhvězdy AR Aur s kruhovími trajektoriemi. Tmavě jsou vyznacena měrení pro primarní slozku, světle pro sekundírní, tvar symbolu odlisuje zdroj pozorovaní. Číry ukazují prolozeně krivky radiílních rychlostí - plna pro primarní slozku, carkovana pro sekundímí. Zdroj: Folsom et al. (2010). 6.2.3 Křivky radiálních rychlostí Kromě fotometrických pozorovaní a tedy světelných krivek jsou dulezitím zdrojem informací pňri studiu zaíkrytovíych promňennyích hvňezd i pozorovaíní spektroskopickaí, zejmíena pak krivky radialních rychlostí (viz obr. 6.15). Pomocí nich muzeme urcit zejměna poměr hmotností q slozek dvojhvězdy. Da se totiz ukízat, ze platí q = — = — = 1?- , (6.15) mi a2 K2 kde m1, m2 jsou hmotnosti slozek, a^, a2 jejich vzdalenosti od tězistě soustavy a K1,K2 amplitudy9 krivek radialních rychlostí slozek dvojhvězdy. Podoba krivky radialních rychlostí silně zavisí na trajektorii slozek dvojhvězdy, její excentricite a orientaci vuci pozorovateli (viz obr. 6.16). 9 Hodnota K odpovída polovině rozsahu hodnot radiílních rychlostí daně slozky dvojhvězdy, proto se někdy oznacuje jako semiamplutuda krivky radialních rychlostí. 6.2. Dvojhvezdy 163 Obřázek 6.16: Orbitalná trajektorie (vlevo) a krivky radialnách rychlostá (vpravo) pro hvezdy o hmotnostech m1 = 1 M0a m2 = 2 M0s obeznou dobou P = 30 dná. Radiálná rychlost teziste soustavy vtěžíště = 42 km/s. v1;v2 jsou radiálná rychlosti slozek. V obou prápadech je inklinace i = 90°. Nahore je situace s kruhovou trajektom, dole s excentricitou e = 0, 4 a delkou periastra uu = 45°. Prevzato z Carroll & Ostlie (2007) a upraveno. Pokud jsou ve spektřech meřitelne spektřální cířy obou slozek dvojhvezdy, získáme ámplitudy K1 ,K2 á lze přímo urät přojekci poloos třájektorií slozek a1,2 sin i = —2^—K1,2 P, (6.16) kde P je obezná peřiodá slozek á i inklináce (sklon) á e excentřicitá třájektořie. Dosázením třetího Kepleřová zákoná á ípřávámi dostáneme vztáh přo minimální hmotnosti slozek dvojhvezdy m1,2 sin3 i = (1 — er]2 (K1 + K2) K2,1 P. (6.17) Tento vztáh díví skutecne hmotnosti slozek dvojhvezdy jen přo i = 90°, přo vsechny ostátní inklináce jde o dolní mez hmotnosti kázde slozky. Pokud je ve spektřu meřitelná jen jedná slozká dvojhvezdy dostáneme po ípřávích tzv. hmotnostní funkci „. . m3 sin3 i . . f (m) =--. (6.18) Přo zpřácovíní spektřoskopickích pozořování se vyuzívá řády metod od přímeho (řucníího) přomeřovíáníí poloh jednotlivyích cář, přes metody křoskořeláce, řozsiřovácíí funkce (břoádening function) áz po metody řozplíetíáníí (disentángling) spekteř (viz obř. 6.17) nebo doppleřovskou tomogřáfii. Je třebá si ále uvedomit, ze nápříklád vísledkem disentánglingu jsou příímo pářámetřy systíemu. Přimíářníím vyísledkem jsou zde spektřá spektřá jednotlivích slozek dvojhvezdy á pářámetřy systemu. Rádiální řychlosti zde uz vlástne nejsou zápotřebíí, ále lze je sámozřejme přo okámziky poříízeníí spekteř spocíítát. 164 Kapitola 6. Promennost periodický promennách hvezd Obrazek 6.17: Ukazka metody rozpletíní spekter pro system AR Aur. Body vyznacují po-zorovíaní a ňcíara ukazují nejlíepe odpovídající spektrum. Vyíslednía rozmotanía spektra sloňzek A a B jsou vykreslena ve spodní casti obrazku. Detaily viz Folsom et al. (2010). 6.2.4 Tesne interagující dvojhvezdy U tesných dvojhvezdnách páru dochazí ke vzajemne interakci slozek sýstemu. Muze jít jak o „pusobení na dálku", tak i bezprostřední kontakt obou slozek s várněnou hmotý. Anizotropie zaření vzhledem k ose orbitalního pohýbu muze být v tesných sýstemech zpusobena slapovou deformaci sloZek, kdý komponentý nabívají kapkovitá tvar (viz kapitola 6.2.1). Jak se soustava otací, mení se jejich pruřezý kolme na smer k pozorovateli a tím i pozorovanaí jasnost. Dalěsím momentem je zde fakt, ěze jas slapověe deformovaníých hvěezd není věsude stejnýí, meněsí je v oblastech s meněsím gravitaěcním zrýchlením. U tesnách zakřýtovách dvojhvezd to pak znamená, ze se v dusledku slapove deformace sloězek jasnost soustavý měení i mezi zaíkrýtý. Jinám efektem, která u tesnách soustav hraje dulezitou roli, je tzv. efekt odrazu, výjaděrující fakt, ěze se hvěezdý navzíajem osvěetlují. Toto zíaěrení se ve fotosfíeríach jejich ko-legýně dílem rozptíýlí a výzíaěrí do prostoru, dílem se absorbuje a slouězí k nahěríatí svrchních vrstev tíeto hvěezdý. V kaězdíem pěrípaděe to vede ke skuteěcnosti, ěze jas k soběe pěrivríacenýích castí hvezd je vetsí, nez jas castí odvraceních. Při obehu nám pak hvezdý natácejí ruzne caísti svýích fotosfíer, coz se projevíí periodickíým kolíísíaníím jasnosti soustavý. Zvlíaňstňe víyznamníy je efekt odrazu v takovíych soustavíach, kde jednu sloňzku tvoňrí normaílní hvezda a druhou je zhroucení složka, ktera v dusledku akrece latky pochazející z normílní sloňzky vyzaňruje do prostoru mocníe rentgenovíe zíaňrení. To se v povrchovyích vrstvíach druhíe komponenty zachytí a nahreje její fotosferu až o 1000 kelvinu. Vzhledem k tomu, že se rentgenova sloňzka v optickíem oboru neprojevuje a je velice malía, takňze ani nic nezakryje, pozorujeme jen svetelne projevy natacení normalní složky. Jde tedy vlastne o sveraznou rotující promennou hvňezdu s nestejníymi polokoulemi. V tesníých dvojhvezdíach casto dochíazíí k výímene líatký mezi slozkami, v soustave po- 6.2. Dvojhvezdy 165 zorujeme plynné proudy, akrecnl disky, horké skvrny. Tato latka a utvary v ní se projevují i vlastním zarení nebo absorpcí zarení slozek dvojhvezdy. Behem obehu se konfigurace teto latky mení, mení se i svetelny príspevek latky mezi slozkami. Interpretace techto svetelních zmen je nesnadna, protoze je obtízne sestrojit dobre fyzikílne fungující modely zohlednující vsechny dulezite procesy probíhající v soustavích s masivním pretokem lítky.10 Nektere tesne, interagující systemy bívají vycleneny do zvlastních skupin. Jako kataklyzmické dvojhvězdy se oznacují soustavy obsahující normalní hvezdu hlavní posloupnosti, kterí ztrací hmotu a predáva ji akrecí bílemu trpaslíkovi. Jsou zpravidla velmi malych rozmeru, typicky srovnatelne velikostí se soustavou Zeme - Mesíc, coz vede ke obezním dobím od 1 do 10 hodin. Projevují se zejmena v rentgenovske casti spektra. Patrí sem napríklad novy, trpaslicí novy, polary. Dalsí skupinu tzv. symbiotickéch dvojhvězd tvorí dlouhoperiodicke interagující dvojhvezdy, jejichz jednu slozku tvorí vyvinutí cervení obr, zpravidla spektralního typu M III, kterí prenísí hmotu na sveho horkeho a kompaktního pruvodce, nejcasteji bíleho trpaslíka. Prenos hmoty se v naproste vetsine prípadu uskutecňuje intenzivním hvezdním vetrem vyvinute slozky. Horkí trpaslík pak tento hvezdní vítr obra ionizuje a kolem soustavy vznika symbioticka mlhovina o teplotach 7000 K az 15 000 K, kterí se projevuje jako tretí komponenta slozeneho spektra dvojhvezdy. Symbioticke hvezdy se mení nepravidelnňe aňz o 4 mag na ňcasovyích ňskíalíach stovek dní. 10V případě horkých interagujících dvojhvězd, projevujících se jako hvězdy se závojem, nalezli Kříž & Harmanec (1975) dUkazy o zákrytech hvezd plynným proudem mezi složkami. 166 Kapitola 6. Promennost periodicky promenných hvezd Obrazek 6.19: U, B, V, I svetelné krivky CI Cygni. Na horním panelu jsou nejnípadnéjsí hluboké zíkryty a velkí víbuch, ktery zacal v roce 1975. Béhem víbuchu a krítce po ném byly zakryty ízké, dobre definované s jasnymi casy kontaktu, zatímco v klidovém stavu se vyskytují velmi siroka minima a takrka plynulí sinusoidalní zména (leví dolní panel). Elip-soidílní proménnost cerveného obra je viditelna pouze v klidovém stavu a na vizualních nebo infracerveních krivkach (malí hrb poblíz fíze 0,5 v pravém dolním panelu). Prevzato z Miko-lajewska (2001). 6.2.5 Význam výzkumu zákrytových dvojhvězd Vyuzitím vsech dostupných moderních metod pro studium dvojhvezd muzeme urcovat parametry slozek dvojhvezdných systemu s relativne vysokou presností, s chybou mensí nez 1 %, coz je i limit presnosti pro testovýní vývojových modelu (Andersen, 1991). Analýzou svetelne krivky lze, jak víme urcit radu parametru, zejmena inklinaci i, relativní rozmery slozek R1, R2 a relativní zarive vykony slozek vzhledem k celkove svítivosti soustavy. Zmeny polohy sekundarního minima na svetelne krivce vypovídají o excentricite obezne trajektorie. Z pomeru hloubek minim lze usuzovat na pomer povrchovych teplot slozek. Pomery mezi jasnostmi v minimu a mimo zakryt v ruzných oborech spektra vypovídají o hodnotach mezihvezdne extinkce. Pri rozboru presných fotometrickych pozorovýní pak lze odhalit i projevy efektu druheho radu jako koeficienty okrajovych ztemnení slozek, tedy rozlození jasu na discích hvezd, efekty odrazu, prítomnost skvrn na povrchu sloňzek a podobnňe. Pripojíme-li k fotometrickým merením i rozbor spekter lze s pomocí krivky radialních 6.2. Dvojhvňezdy 167 rychlostí odvodit lineíarní vzdíalenost sloňzek a tak i absolutní rozmňery sloňzek. Zejmíena ale muzeme urcit hmotnosti slozek dvojhvezdy, s presností, jakou nam jine metody nedaívají. Dvojhvňezdy v tomto hrají zcela dominantní a nezastupitelnou roli a uídaje z jejich vízkumu jsou tak zasadní pro celou astrofyziku. Fotometrická i spektroskopicka pozorovaíní navíc pňriníaňsejí i informaci o efektivních teplotaích sloňzek. Níaslednňe tak lze stanovit i zíaňrivíe víykony hvňezd a jejich absolutní bolometrickíe hvňezdníe velikosti. Z nich a z pozorovanych hvezdních velikostí je pak mozne odvodit i vzdalenost soustavy. Je dulezite si uvedomit, ze takto urcene vzdalenosti jsou velmi presne a zejmena nezavisle na jinyích technikíach a slouňzíí tak jako opora pro jiníe metody urňceníí vzdíalenostíí i pro ňskíalu efektivníích teplot vňsech hvňezd. Od konce minulíeho stoletíí se podobnyí pňríístup aplikuje i pro merení extragalaktickích vzdaleností (Gimenez et al., 1995; Hilditch, 1996 aj.). Zíakladníí parametry hvňezd zjiňstňeníe pro sloňzky dvojhvňezd umoňznňujíí pňríímíe testy vyívo-jovích modelu hvezd ruzne hmotnosti. Ale nemylte se. Prestoze zýkrytových dvojhvezd zníame mnoho tisííc, takovyích, kde jsou dostateňcnňe pňresnňe urňceny absolutníí parametry soustavy je jen nňekolik desíítek. Naňse informace o vyívojovíych procesech a jednotlivyích ak-tivníích staídiíích víyraznňe obohacujíí takíe novíe techniky zpracovíaníí spekter jako mapovíaníí zakrytu, Dopplerovska tomografie ci rozmotúvaní (disentangling) spekter. Vsechna zjis-tený data ale prispívají i k overení nasich predstav o specifikach ve vívoji dvojhvezd samotníych. Koneňcnňe studium dvojhvňezdnyích soustav, jejichňz ňcleny jsou novy, trpasliňcíí novy, rentgenovskíe zdroje, polary, supernovy, neutronovíe hvňezdy, ňcerníe dííry, slouňzíí kromňe jiňz vyíňse zmíínňenyích moňznostíí k zíískíavíaníí informacíí i o tňechto, ňreknňeme extríemníích, objektech svňeta hvňezd. Zíískanía data lze vyuňzíít takíe k ovňeňrovaíníí naňsich znalostíí o zíakladníích fyzikíalníích zíakonech, testovaíníí platnosti obecníe teorie relativity a podobnňe. Obrazek 6.20: Zmena dvojice spektralních car spektroskopicke dvojhvezdy HD80 715 v za-vislosti na orbitalní fazi. Prevzato z http://csep10.phys.utk.edu/astr162. 6.2.6 Nezákrýtove dvojhvezdy Rovina obezne trajektorie dvojhvezd muze bít samozrejme orientovana zcela nahodne. Jen u casti systemu tak muzeme pozorovat zakryty. Vetsí pocet soustav (z hlediska orientace roviny obezne trajektorie slozek) muzeme pozorovat spektroskopicky. Uplatní 168 Kapitola 6. Promennost periodický promenných hvezd se Dopplerův jev a mý můzeme ve spektrů, kde je slite svetlo oboů slozek pozorovat sýstematicke, periodicke posůný spektrýlních car. V idealním prípade jde o dva sýstemý spektrýlních car, ktere se posoůvají v antifazi. Takove spektroskopicke dvojhvezdý ozna-cůjeme jako dvoůcarove (doůble-line spectroscopic binarý) SB2. Bohůzel velmi casto je rozdíl zarivých výkonů oboů slozek tak markantní, ze slabsí slozka se ve spektrů dvojhvezdý praktický neprosadí a dominůje tam jen primýrní slozka. Pak se ve spektrů periodický mení poloha car jen jedním způsobem. Mlůvíme o single-line binarý SB1. Pravidelne výchází katalog parametrů spektroskopických dvojhvezd (Poůrbaix et al., 2009). 6.3 Pulzující promenne hvezdy Hvezdne půlzace jsoů velmi castoů prícinoů hvezdne promennosti. Na obloze mezi pro-mennými hvezdami zcela prevazůjí, v katalogů promenných hvezd GCVS tvorí celých 70 % vsech ůvedených hvezd (zname zakrýtove dvojhvezdý jsoů az na drůhem míste). Je vsak dobre si ůvedomit, ze tůto statistiků silne zkreslůje výberový efekt, který zvýhodnůje hvezdý s velkým zarivým výkonem. 11 Pomer mezi stabilními a půlzůjícími hvezdami v Galaxii se odhadůje na ~ 105 : 1. Prícinoů svetelných zmen půlzůjících hvezd jsoů zmený povrchových charakteristik - zejmena polomerů ů radialních půlzací, tvarů hvezdý ů neradiýlních půlzací a tomů odpovídající zmený povrchove efektivní teplotý, k nimz v důsledků periodických půlzací dochýzí. Nejvetsí amplitůdů svetelných zmen jeví promenne hvezdý půlzůjící radialne, tedý hvezdý kůloveho tvarů, jejichz polomer se cýklický mení. Ani ů nich vsak nejsoů zmený rozmerů hvezdý nijak napadne. Interferometricka merení ůkazůjí ů nejznamejsí cefeidý ó Cephei zmený polomerů cca 8 %. V Hertzsprůngove-Růssellove diagramů se setkavame s půlzůjícími promennými hvezdami predevsím v tzv. pásu nestability, který se zde tíhne z oblasti veleobrů trídý G, protíný hlavní posloůpnost v oblasti pozdních týpů A a raných F, zasahůje az do oblasti bílých trpaslíků pozdního týpů B a raneho týpů A. V pasů nestabilitý nachýzíme klasické cefeidy týpů ó Cephei, cefeidý týpů W Virginis, krýtkoperiodicke cefeidý popůlace II - hvězdy typu RR Lyrae, díle půlzůjící hvezdý hlavní posloůpnosti - hvezdý týpů ó Scuti a konecne půlzůjící bíle trpaslíký týpů ZZ Ceti. V oblasti cervených veleobrů a nadobrů se setkývýme dloůhoperiodickými promennými hvezdami, at' ůz pravidelnými nebo polopravidelnými, na horní císti hlavní posloůpnosti pak s půlzůjícími hvezdami týpů P Cephei. 6.3.1 Radiální pulzace Hvezda je gravitacne výzaný ůtvar ve stavů hýdrostaticke rovnovahý: v kazdem bode hvezdý jsoů v prísne rovnovaze sílý dostredive (gravitace) a sílý odstredive (gradient tlaků). Jde pritom o rovnovýhů stabilní12, coz znamení, ze pri jejím narůsení dojde 11 Pokůd bych stůdovali zastoůpení různych typů promennych hvezd ve vzorků hvezd v okolí Slůnce, můsíme konstatovat, ze nejcasteji se zde setkíme s erůptivními cerveními trpaslíky, hvezdami pozorovatelsky znacne znevíhodnenymi svym nízkím zírivím vykonem. 12Príklad s labilní rovnovahoů je ůveden ve skriptech UFHaHS. 6.3. Pulzující přomenne hvezdy 169 vzdy k posílení te silove slozky, kteřá se snází system návřátit do řovnovázne polohy. Při nývřátu do řovnovázneho stávu se ále hvezdá v řovnovýzne poloze nezástáví á bude setřvácností pokřácovát ve svem pohybu ná opácnou střánu. Přoti tomuto pohybu se postáví stále řostoucí řozdíl mezi silámi odstředivými á dostředivymi. Pohyb se zástáví á zmení se v opácny. Páklize tákto pulzuje celá hvezdá, hovoříme o řádiýlních pulzácích. Lze ukázát, ze u nevelkých řozkmitu nezávisí peřiodá deje ná jeho ámplitude á odpovídá peřiode vlastních kmitů hvezdy. Přo vznik á udřzení pulzácí musí být splneny pátřicne podmíínky. Uvázujme element hmoty, jehoz stáv se cyklicky mení. Přo řozvinutí pulzácí musí být celková přýce vykonáná ná ýkoř teplá kládný. Ná zákláde 1. á 2. vety teřmodynámiky lze dojíít ke vztáhu: W = j ^ > 0, (6.19) ÓQ_8T (t) v nemz T0 je vzdy kládne. Tákze áby plátilá zmínený neřovnost, musí být při kládnem ÓQ kládne i 8T(t), coz známená, ze při zvysování teploty musí docházet k pohlcovýní teplá! Celkovou eneřgetickou bilánci hvezdy lze popsát pomocí vety o viřiálu jáko U = <£k> + (Ep) < 0. (6.20) V gřávitácne vízánem ýtvářu je ábsolutní hodnotá potenciální (gřávitácní) eneřgie řovná dvojnásobku její vnitřní (kineticke) eneřgie 2 + = 0. (6.21) Uvázíme-li, ze ve hvezde je táto eneřgie díná souctem kinetických eneřgií cháotickeho pohybu vsech cástic, lze souhřnne psát Ek = 2 M v2, (6.22) kde vs je střední kvádřátický řychlost cístic, kteřou je mozne vyjýdřit pomocí vety o viřiíálu. Potenciíálníí eneřgie je M2 Ep ~ aG— = 2Ek = Mvs2, (6.23) kde a je koeficient související s řozlozením hmoty ve hvezde, zpřávidlá blízký jedne (stándářdne 1,6). Pák střední kvádřátická řychlost cástic vs2 = aGR. (6.24) Střední řychlost cástic zhřubá odpovídá i řychlosti zvuku. Zýkládní peřiodu řádiálních pulzácí Ppz lze pák zhřubá ztotoznit s cásem, kteřy je zápotřebí k přenesení infořmáce o zmene tláku z jednoho „konce" hvezdy ná dřuhy. Tento cás je pák řoven 2R/vs á tedy: 2 R [4 R3 1 , , 170 Kápitolá 6. Přomennost peřiodicky přomenních hvežd Peřiodá vlástních kmitu hvezdy, nebo tez základní perioda pulzací, je tedy funkcí střední hustoty hvezdy á v přvním přiblízení plátí, ze peřiodá pulzácí hvezdy P je nepřímo umeřná odmocnine z její střední hustoty p P ~ ~4=. (6.26) Vyse uvedeny teořetickí záveř se shoduje i s násí zkuseností, ze řozmeřne á velmi řídke dlouhopeřiodicke přomenne typu o Ceti (miřidy) pulzují s peřiodou nekoliká stovek dní, zátímco hustejsí cefeidy desítky dnu á extřemne hustí bílí třpáslíci májí peřiody pulzácí křátsí nez jednu hodinu. Reláce (6.26) stojí tez v pozádí povedomeho vztáhu zářivý výkon - perioda u klásickych cefeid. Amplitudá kmitu v nitřu řádiálne pulzující hvezdy silne závisí ná vzdálenosti od centřá. V centřu hvezdy nutne musí byt nulová nulová - zde totiz lezí uzel (jeden z uzlu) stojáteho vlnení, zátímco ná povřchu hvezdy je kmitná. Pokud hvezdá osciluje v tzv. základním mídu, pák pulzáce v řámci cele hvezdy přobíhí ve stejnem smeřu -v temze okámziku se celí hvezdá bud' řozpíní nebo smřstuje. Hvezdá vsák muze řádiálne kmitát i ve vyssích hářmonickích fřekvencích, ve vyšších modech, přicemz stále musí bít splnená podmínká, ze ná povřchu hvezdy je kmitná á ve středu uzel. Ve hvezde ále návíc existuje jedná nebo více uzlovích kulovích ploch, tedy míst ve hvezde, kteře se behem pulzácí nehíbou. Lítká hvezdy v sousedících mezikoulích se pohybuje v dánem okámziku v opácnem smeřu. -----Nodal line ->- Motion of gas I_ |_I I i I 0 L 0.67L 0.4L 0.8L R (a) (b) (c) Obrázek 6.21: Stojaté zvukové vlny v píšťale a ve hvězdě a) základní mód, b) první harmonický mód, c) 2. harmonický mod. Převzato z Carroll & Oštlie (2007). Rádiílní pulzáce hvezd lze zjednodusene přiřovnát k zákládnímu řezonáncnímu tínu v polouzávřeních lineířních řezonítořech (obř. 6.21) - tzv. píštalach (klářinet, vářhánní píst'álá). Zákládní tín (n = 0) má vlnovou delku Ao odpovídájící ctyřnísobku delky píst'ály l, Ao = 41. Vyssí modus (n = 1) odpovídí stojátemu vlnení, v nemz křome povinneho uzlu ná uzávřenem konci nájdeme jeste jeden uzel uvnitř vzduchoveho sloupce, přicemz ná otevřenem konci třubice zustává kmitná. Uzel se náchízí ve dvou třetinách delky třubice á vlnoví delká tohoto vlnení je tudíz A1 = 11, A0/A1 = 3. Dálsí modus 6.3. Pulzující proměnně hvězdy 171 (n = 2) obsahuje ve vzduchověm sloupci dva uzly nacházející se ve 2 a 5 jeho dělky (pocítano od uzavreněho konce pístaly). Vlnova dělka vlnění A2 = 4 l, Ao/A2 = 5. V aku-stickěm spektru zvuku, kterí z polouzavreněho rezonatoru vychazí, najdeme kromě zakladní frekvence, urceně dělkou rezonatoru, jestě tony o frekvenci (2n + 1)krat větsí nez je frekvence tínu zíkladního13. Obrazek 6.22: Radialní mody pulzující hvězdy hlavní posloupnosti o hmotnosti 12 M0. Tvar kazdě vlny byl preskalovín tak, aby ôr/R = 1 na povrchu hvězdy. Ve skutecnosti je maximýlní hodnota poměru ôr/R priblizně 0.05 az 0.10 pro klasickě cefeidy. Prevzato z Čarroll & Ostlie (2007). Tak, jako v píst'ale, jsou i u hvězd povoleny pouze některě frekvence (mídy pulzací). Celkově je ale u hvězd situace podstatně slozitějsí. Rozdíly spocívají v tom, ze: 1. hvězda není linearním, ale prostorovím (kulově symetrickym) rezonítorem, 2. rychlost zvuku není v rímci rezonatoru konstantní. Vzhledem k tomu, ze teplota ve hvězdě s rostoucí vzdíleností klesa, klesa v ní i rychlost zvuku. Dusledky jsou pak opravdu zísadní. • Uzly vyssích harmonickych mídu nacházíme obecně jinde nez u píst'al. U 1. modu je poloměr uzlově koule 0,6 R (nikoli 2), u 2. modu 0,5 a 0,85 R (nikoli 2 a |). • Poměr mezi periodou zakladního modu a periodou vyssího modu není 3:1, jak je to v prípadě polouzavreněho linearního rezonítoru, ale podstatně mensí, asi 1,5:1. • Na rozdíl od vlnění v linearním rezonítoru, jehoz amplituda ma sinusoví pruběh, je pruběh zavislosti amplitudy na vzdílenosti od centra hvězdy mnohem kompli-kovanějsí. Pulzace se prakticky netíkají centralních cístí hvězdy - amplituda je s ohledem na amplitudu pulzací povrchovích cístí takrka zanedbatelní. Radialní 13První harmonickí tín ma tedy vzhledem k zakladnímu tínu trikrat větsí frekvenci, coz odpovída hudebnímu intervalu zvaněmu duodecima - tedy oktíva + kvinta (1 : 3 = 1 : 2x3/2). Druhí harmonickí ton ma vzhledem k prvnímu poměr frekvencí 5:3, coz je velka sexta, doplnkovy interval mollově malě tercii. Vzhledem k zakladnímu tonu jde o poměr frekvencí 1:5, coz odpovídí dvěma oktívím a velkě tercii, matematicky 1:5 = 1: 22 x 5/4. 172 Kapitola 6. Proměennost periodický proměennýích hvěezd pulzace, těrebaěze postihují celou hvěezdu, jsou zíaleězitostí jen vněejěsího, velmi ěrídkíeho obalu hvěezdý, kteríý obsahuje jen procenta její celkovíe hmotnosti. Pulzace tak nemohou ovlivnit stav hvěezdníeho nitra, zejmíena nemají ězíadnýí vliv na produkci hvěezdníe energie. Naprostía věetěsina klasickíých cefeid a hvěezd týpu W Virginis pulzuje radiaílněe, a to v zaíkladním míodu. Existují věsak i víýjimký, jakou je těreba Políarka, ktería kmitía v 1. har-monicke. Promenne týpu RR Lýrae pulzují jak v zakladním modu, tak v 1. harmonicke, něekteríe z nich v obou moídech souěcasněe. Miridý pulzují rovněeěz v zaíkladním míodu, situace je u nich věsak komplikovaněejěsí neěz u pulzujících hvěezd píasu nestabilitý, protoěze pulzace zde vedou ke vzniku rázove vlný, ktera při svem pruchodu atmosferou várazne mení její pruzracnost. 6.3.2 Mechanismus pulzací Pozorovíaní velkíeho poěctu pulzujících proměennýích hvěezd prokíazala, ěze amplituda jejich pulzací se dlouhodoběe neměení. Z energetickíeho hlediska to znamenía, ěze pulzace jsou neustíale dotovíaný nověe pěríchozí energií. V nitru kaězdíe reaílníe pulzující hvěezdý hraje dulezitou roli tření, ktere převádí uspořadaný pohýb pulzací na neuspořadaná pohýb tepelná. Kdýbý v pulzujících hvezdach nepusobil mechanismus, která neustale týto ztratý uhrazuje, pulzace hvěezd bý se zaíhý zatlumilý a hvěezda bý pěreěsla do stavu dokonalíe hýdrostatickíe rovnovíahý. Radiaílní pulzace výuězívají jako energetickíý zdroj tok zíaěrivíe energie prostupující hvěezdou z centra na povrch, kteríý je stíale k dispozici v kteríekoli ěcaísti hvěezdý. Nicmíeněe k tomu, abý se ve hvěezděe pulzace udrězelý, je nezbýtníe, abý zde existovalý dostateěcněe rozsaíhlíe oblasti hvěezdý, kteríe bý ve fíazi nejvěetěsího smrěstěení dokaízalý zadrězet potěrebníe mnozství procházející zářive energie a tuto naakumulovanou energii v okamziku nasledu-jící expanze opěet výzíaěrit. Uěz z toho, ěze valnaí věetěsina hvěezd viditelněe nepulzuje, je zěrejmíe, ěze uvedenía podmínka býívía splněena jen zěrídkakdý. Hvěezdnía líatka se tak totiěz nechovía. Kdýz ji adiabatický stlacíte, zvásí se nejen její hustota, ale i teplota, jez zpusobí, ze opacita látký k poklesne dle Kramerova zakona: k oc pTr3.5 , takze latka zpruhlední a pro prochíazejí zíaěrivýí tok znamenía meněsí pěrekíaězku. Takovíeto chovíaní hvěezdníe líatký ověsem hvěezdníe pulzace potlaěcuje a stojí tak na tíeěze straněe barikíadý jako disipace me-chanicke energie v dusledku tření. Přesto Eddington (1926) pro výsvetlení pulzací navrhl tzv. záklopková mechanismus, podle něejěz bý v pulzující hvěezděe měela existovat vrstva materiaílu, jehoěz opacita bude při stlacovaní (ohřevu) naopak narustat. Taková vrstva bý pak býla schopna behem smrěstěení absorbovat dostatek energie, pěrehradit její tok z nitra a pěri níasledníe expanzi ji zase uvolnit. Šlo jen o to, zda takova vrstva v realnách hvezdach vubec existuje. Pěresníe podmíínký pro rozvinutíí a zachovíaníí pulzacíí odvodil aěz v 50. letech minulíeho století Zevakin (1953) a pozdeji je detailne propocítali R. Kippenhahn, N. Baker a J. P. Cox. Zjistili, ze záklopková mechanismus, jak jej navrhl Eddington muze áspesne pracovat v oblastech s ěcíasteěcněe ionizovanou líatkou. A jak tedý vlastne zmínený zaklopková mechanismus (K-mechanismus) funguje? Při smrst'ování se cast energie procházející „aktivní" vrstvou spotřebovává spíse na ionizaci prvku, nez na zvýsovaní teplotý, coz vede k rustu opacitý vrstvý vzhledem k okolí. 6.3. Pulzující přomenne hvezdy 173 Nepřuhlednost vřstvy zpusobuje řust tláku plynu á zýření, kteřý nářoste do tákove síly, ze vyzvednou vřstvu výse. Vřstvá se pohybuje vzhuřu, smeřem od středu hvezdy do míst s mensí hustotou á teplotou. Behem tohoto pohybu se vřstvá řozpíná, dochází k houfne řekombináci átomu á k uvolňování náákumulováne eneřgie. Teplotá vřstvy ále neklesá ták řychle jáko v okolí, coz spolu s klesájící hustotou vede ke snízení opácity vzhledem k okolí. V uřňcitíem okámňziku ále tíhá víyňse poloňzeníeho máteřiíálu pňřevíáňzí nád silou smeřující vzhuřu á cyklus zácíná znovu. Nekdy je popsaný K-mechanismus posílen tím, ze do stlacovane „aktivní" vrstvy s castecne ionizovaným materialem prostupuje teplo, jednoduse proto, zeje tato vrstva chladnejsí nez její okolí. Díky narůstajícím tepelnym kapacitam Cy a CP je vrstva schopna pojmout tohoto tepla více. Tento efekt se nekdy podle pomeru 7 = CP/Cy oznacuje jako Y-mechanismus. Ve vňetňsinňe hvňezd jsou dvňe hlávní ňřídící vřstvy pulzácí. Přvní je ňsiřokíá vřstvá, v níňz se náchíází ják ionizoványí vodík, ták i jednou ionizováníe híelium. Zpřávidlá se oznáňcuje jáko oblást ňcíásteňcnňe ionizováníeho vodíku á vyskytuje se v hloubkíách s teplotou mezi 10 000 áz 15 000 K. Táto vřstvá má u vetsiny pulzujících hvezd jen okřájový význám. Uplátnuje se vsák u miřid á pulzujících třpáslíku typu ZZ Ceti. Přo ostátní typy řádiýlne pulzujících hvezd je dulezitejsí dřuhá, hloubeji ulozená vřstvá cástecne ionizováneho heliá s teplotou ccá 40 000 K. Vedle sebe se tám ve sřovnátelníem zástoupeníí náchíázejíí jedenkřát ionizováne átomy heliá (Heli) á zcelá ionizováne átomy tehoz přvku (Helil). Ale pozoř, áby byl zmíínňenyí tepelnyí střoj pátňřiňcnňe uíňcinníy, musíí byít áktivníí vřstvá He il/He lil ulozená v optimýlní hloubce pod hvezdným povřchem. Ve hvezdách s nizsí efektivní teplotou je táto vřstvá uloňzená pňříliňs hluboko ve hvňezdňe, ňcili v místech, kde je ámplitudá pulzácí ták nicotnáí, ňze se jimi vlástnosti vřstviňcky tákňřká nemňení á zádřňzeníe teplo je jen nepátřníe. Náopák pulzující hvňezdy nesmňejí bíyt pňříliňs hořkíe, přotoňze v nich je áktivní vřstvá uloňzená ve vyňsňsích, řelátivnňe velmi ňřídkyích á míálo hmotnyích pod-povřchovíych vřstvíách hvňezdy. Málíá hmotnost áktivní vřstvy známeníá i nedostáňcující mnoňzství zádřňzeníe eneřgie, kteříe pák není s to dotovát tepelníe ztříáty pňři pulzácích hvňezdy. To známeníá, ňze hloubká uloňzení vřstvy ve hvňezdňe uřňcuje, v jákíem míodu bude hvňezdá pulzovát. U teplejňsích hvňezd je vřstvá níňze á vznikájí pulzíátořy pulzující v přvním hářmonickíem míodu, u chládnňejňsích vznikájí pulzíátořy se záíkládním míodem. Teplotá hvezdy á tím i ulození áktivní vřstvy He ii/He iii táke vymezují hřánice pásu nestábility v HR diágřámu, tákňřká svislíeho přuhu o ňsíňřce 600 áňz 1000 K přo hvňezdy v řozmezí teplot 5500 áz 7500 K. ňířká pásu nestábility se mířne mení v řuzných oblástech HRD. Víyňse zmínňeníe vřstvy ionizováníeho máteřiíálu híeliá á vodíku jsou zodpovňedníe zá pulzáce hvňezd v páísu nestábility. Ale zá pulzácí hvňezd v hořní ňcíásti hlávní posloupnosti s teplotámi kolem 105 K stojí vřstvá cástecne ionizoványch přvku skupiny zelezá. 6.3.3 Pás nestábility á jeho inteřpřetáce Ják jsme jiňz ukíázáli, řádiáílnňe pulzujíícíí hvňezdy musíí splnňovát podmíínku, ňze se v nich v pátňřiňcníe hloubce vyskytuje dostáteňcnňe mohutníá vřstvá máteřiíálu, kteřyí je schopen v sobňe ákumulovát á potíe opňet uvolnňovát zádřňzenyí záíňřivyí tok eneřgie pňřichíázejíícíí z cen-třá. Je to tedy otíázká stávby hvňezdy, á hvňezdy s podobnou stávbou zejmíená pod-povřchovyích vřstev se v HR diágřámu vyskytujíí pospolu. V pňříípádňe hvňezd splnňujíícíích podmíínku pulzáňcníí nestábility tyto hvňezdy v HR diágřámu vytvíáňřejíí tzv. píás nestábility. Pokud se hvňezdá pňři svíem vyívoji dostáne do píásu nestábility, pák se v níí zíáhy řozvinou 174 Kapitola 6. Promňennost periodicky promňennyích hvňezd DENSITlr STAR TEMPERATURE Obrazek 6.23: Vrstvy ve hvezde na počatku horizontalní vetve v HR diagramu. Prevzato z Iben (1971). a udrzí radialní pulzace. Kdyz oblast nestability v prubehu dalsího vívoje opustí, silne radiíalní pulzace se v ní zase utlumí. To jak rychle bude hvňezda pulzovat a jakyí typ promňennosti ji pňrisoudíme pak bude zaíviset pňredevňsím na její stňrední hustotňe, a tedy na hmotnosti hvňezdy a stupni jejího vyívoje. Nejhmotnejsím a nejzarivejsím osazenstvem písu nestability jsou klasické cefeidy -veleobri typu Ib pulzující s periodou dnu az desítek dnu. Tyto promenne hvezdy tez jeví nejvňetňsí amplitudy svňetelnyích zmňen, velmi vyírazníe jsou i pozorovaníe zmňeny radiíalních rychlostí (rozkmit az 50 km/s) i zmeny efektivní povrchove teploty. Vsechna pozorovíní do sebe dobňre zapadají a potvrzují naňsi zíakladní pňredstavu o cefeidíach jako o radiaílnňe pulzujících hvezdach, jejichz oscilace jsou dotovany zadrzovíním zarive energie ve vrstve, v níňz je srovnatelnou mírou zastoupeno jednou a zcela ionizovaníe helium. Kratňsí periody, niňzňsí víykony a menňsí amplitudy svňetelnyích kňrivek mají po ňradňe hvezdy typu W Virginis, RR Lyrae, 5 Scuti a konecne bílí trpaslíci typu ZZ Ceti, kterí kmitají s periodou 100-1000 s (zpravidla v 1. harmonickem modu). Hvezdy typu RR Lyrae jsou obrí hvezdy s hmotností kolem 0.7 MQ, ktere jsou ve velmi pokroňcilíem stíadiu svíeho vyívoje. Bňeňznňe se s nimi setkaívíame v kulovyích hvňezdoku-píach a v galaktickíem halu, kde se vyskytují ty nejstarňsí hvňezdy v galaxiích. Jednaí se tedy vesmes o hvezdy první generace. Kvuli jejich nízke povrchove teplote se dlouho nedaňrilo stanovit zastoupení híelia v jejich vnňejňsích vrstvíach, kteríe svyím chemickyím sloňzením odríaňzejí sloňzení materiíalu, z nňehoňz tyto hvňezdy vznikly. Nicmene uz sám fakt, ze hvezdy typu RR Lyrae existují a pulzují, ukazuje, ze musejí od sveho zrodu obsahovat helium, a to v zastoupení, ktere odpovída současnemu. Toto zjistení ma mimorádnou dulezitost pro teorie raneho vyvoje vesmíru, nebot' jim uklada za íkol vysvetlit tez, kde se ve vesmíru vzalo prvotní helium, a to jeste pred erou vznikaní prvních hvezd. 6.3. Pulzující proměnné hvězdy 175 Obrýzek 6.24: Pulzující hvézdy v HR diagramu. Šrafovaní jednotlivích oblastí znací typ pulzací, jak ukazuje vlozeny obrazek vpravo dole. Pas nestability je vyznacen barevné silními carami. Církovaní cara vyznacuje polohu hlavní posloupnosti nulového starí ZAMS. Na ní koncí linie vyznacující vyvojové cesty hvézd o hmotnostech 1, 2, 3, 4, 7, 12 a 20 MQ. Cerchovaní cara znací horizontalní vétev a teckovaní krivka je krivka chladnutí bílych trpaslíku. Prevzato z http://astro.phys.au.dk/~jcd/HELAS/puls_HR/ a upraveno. Hvezdy typu ô Scuti jsou vubec nejpocetneji zastoupenymi pulzujícími hvezdami pasu nestability, coz je dano tím, ze se jedný o príslusnice hlavní posloupnosti, na níz hvezdy behem sveho vývoje straví nejdelsí dobu. Pozorovane svetelne krivky techto hvezd jsou velmi komplikovane a lze je vysvetlit superpozicí rady pulzací, z nichz nektere ani nejsou radialní. Navíc amplitudy svetelných zmen jsou nevelke, 10-2 i 10-3 mag, coz je k jejich skode odsouva z oblasti zajmu vetsiny pozorovatelů promenných hvezd.14 Výjimkou jsou HADS (High-amplitude delta Scuti stars) s amplitudami většími než 0.1 mag (V). 176 Kapitola 6. Promňennost periodicky promňennyích hvňezd Obrazek 6.25: Vlevo: Historicky diagram zavislosti perioda - svítivost pro cefeidy prevzaty z prace Leavitt (1908). Na vodorovne ose je log P, na svisle pak hvezdne velikosti v magni-tudach. Vpravo: Graf pro vztah perioda-svítivost pro cefeidy i hvezdy typu RR Lyrae. Zdroj: http://outreach.atnf.csiro.au/. 6.3.4 Závislost perioda—zářivá výkon a její výsvetlení Zavislosti mezi periodou a absolutní hvezdnou velikostí klasickych cefeid si povsimla jiz Henrietta Swan Leavittová (cti levitova) (1868-1921). Na snímcích systematicke prehlídky Mag-ellanovách mracen porizovanách na observatori Harvard College v Peru u Arequipa v letech 1893 az 1906 objevila 1777 promennych hvezd15. Do roku 1908 urcila periody nekolika cefeid a povsimla si, ze jasnejsí z nich mají delsí periody (viz obr. 6.28). Protoňze hvňezdy z Malíeho Magellanova oblaku (SMC) jsou od nías vňsechny rela-tivnňe zhruba stejnňe daleko (cca 60 kpc), indikuje to, ňze i absolutní hvňezdníe velikosti tňechto hvňezd jsou funkcí periody. Tento fakt umoňznil s nebyívalou spolehlivostí mňeňrit vzdíalenosti cefeid a tím i vzdíalenosti soustav, v nichňz se tyto cefeidy nachíazejí. Cefeidy jsou k tomu ucelu zvlúst' vhodne, nebot' jsou to jedny z nejsvítivejsích hvezd, ktere ve vesmíru nachíazíme - jsou tedy viditelníe do velikíe díalky. Zatímco sklon zívislosti absolutní hvezdne vizualní velikosti cefeid MV na logaritmu jejich periody zníame s vysokou pňresností a spolehlivostí, se stanovením polohy tzv. nulového bodu - absolutní hvezdne velikosti fiktivní cefeidy o periode 1 den - je to o dost svízelnejsí. V minulosti byla hodnota nuloveho bodu zavislosti MV — log P klasických cefeid nňekolikríat korigovaína, a to vňzdy smňerem k vňetňsím absolutním jasnostem. Kaňzdía takova rekalibrace mela zavazne dusledky na nas níhled na vzdílenosti ve vesmíru, na jeho stíaňrí a vyívoj. Zde je totiňz nezbytníe zníat spolehlivňe vzdíalenost alesponň jediníe z cefeid. Tu jsme vňsak aňz donedaívna neznali, i ta nejbliňzňsí z cefeid, Polaírka, byla pňríliňs daleko, neňz aby bylo moňzníe stanovit její paralaxu. Navíc, konkríetnňe u Políarky nejde o typickou cefeidu, takňze není pro kalibraci vhodnía. Situace se ponňekud zlepňsila po misi astrometrickíe druňzice 15 Jen pro srovnaní, poslední verze katalogu z prehlídky OGLE III uvadí 3361 klasickych cefeid v LMC (Soszynski et al., 2008) a 4630 v SMC (Soszynski et al., 2010). 6.3. Pulzující promenne hvezdy 177 Hipparcos, z níz vyplynula nýsledující relace16,17: Mv = -2, 81 log P - 1, 43(10), (6.27) kde hvezdna velikost je uvadena v magnitudých, a perioda ve dnech. Pri uzívaní vztahu zarivy výkon-perioda ale musíme mít na pameti, ze platí pouze pro ty cefeidy, ktere pulzují v zýkladním modu. Cefeidy, oscilující v 1. harmonickem modu, mají pri tomtez vykonu kratsí periodu. Nastestí lze oba prípady snadno rozlisit jiz pouhým pohledem na svetelnou krivku - zatímco u cefeid kmitajících v zakladním modu je tato krivka výrazne asymetricka, cefeidy pulzující v 1. harmonickem modu mají svetelne krivky docela symetricke. V soucasnosti se v literature uvadí vztah perioda - absolutní jasnost ve tvaru, kde vystupují veliciny nezavislé na mezihvézdné extinkci. Takovou velicinou je treba funkce W (v angl. Wesenheit function), v níŠz vystupují skuteŠcnŠe pozorovaníe hvŠezdníe velikosti v barvŠe napŠr. V a I a jistí konstanta RVi odvozena zpravidla z pozorovíní. Odpovídající funkci W zkonstruujeme takto: W = V - Rvi (V - 1) = Vo - Rvi (V - /)o + [Av - Rvi E (V - /)] = Wo, kde (6.28) Vo = V - Av, (V - 1)o = (V - 1) - E(V - 1), Rvi = E(A- J) (6.29) kde veliciny oznacené nulou jsou veliciny korigované o mezihvézdnou extinkci, Av je extinkce v barvé V a E (V -1) barevní exces príslusní k barevnému indexu (V -1) a RVi je konstanta dana vlastnostmi mezihvézdného materialu nezavisla na konkrétní hodnoté Av. Její velikost ocenili napr. Freedman et al. (2001) na 2,45. Obecné lze zavislost perioda - zíriví víkon, s absolutní funkcí W zapsat Wabs = a + b (log P - 1). (6.30) Nejpresnejsí urcení hodnot parametru a = -5.86 ± 0.04, b = -3.34 ± 0.17 vychazí z mérení HST (Benedict et al., 2007). Jedna z posledních studií vzdílenosti LMC pomocí fotometrie je pak napŠríklad Inno et al. (2013). Teoreticke objasnení pozorovane relace mezi periodou cefeid a jejich zarivým vykonem spocíva ve faktu, ze klasicke cefeidy jsou hmotnymi veleobry, kterí se pri svem vývoji dostali do oblasti pasu nestability. Vzhledem k tomu, ze pas nestability je relativne ýzký, zavisí poloha cefeidy v tomto pasu predevsím na jejím zýrivem výkonu, a ten opet hlavne na hmotnosti príslusne hvezdy. Vseobecne platí, ze v rýmci te cýsti pýsu nestability, kde se setkavame s cefeidami, smerem k vyssím zarivým výkonum: a) roste absolutní jasnost hvezd (tj. klesa jejich absolutní hvezdný velikost); b) klesa povrchový teplota hvezd; c) roste jejich hmotnost a polomňer; d) vyrazne klesa jejich strední hustota. S ohledem na to, ze vnitrní stavba cefeid ruzne hmotnosti je dosti podobna, lze uplatnit zakladní relaci pro vlastní kmity hvezdy, podle níz je perioda pulzací neprímo umerna odmocnine její strední hustoty, a tedy musí platit, ze e) perioda hvňezdy roste. Spojením bodu a) a e) pak dospívame k objasnení pozorovaneho vztahu mezi periodou pulzací a zarivým výkonem, absolutní hvezdnou velikostí hvezdy. 16Feast M. W., Catchpole R. M.: 1997, MNRAS 286, L1 17Je treba pripomenout, ze absolutní hvézdna velikost MV se béhem pulzací zrejmé méní. Ve vztahu 6.27 MV se proto uvídí strední absolutní hvézdna velikost 178 Kapitola 6. Proměennost periodický proměennýích hvěezd 6.3.5 Pulzace radiainí i neradiainí. Mody pulzací Hvěezdníe pulzace mají povahu podíelníeho vlněení, kteríe se ěsíěrí i vzduchem a kapalinami (na rozdíl od vlněení pěríěcníeho, kteríe se ěsíěrí jen v tuhíých těelesech). Podíelníe vlněení prostupuje těelesem hvěezdý a interferuje samo se sebou - vznikía tzv. stojatíe vlněení. V pros-torovýích rezoníatorech jsou pro vznik stojatíeho vlněení, jeěz vznikía interferencí, nepostra-datelníe odrazý na stěeníach rezonaítoru. Pokud je tímto rezonaítorem těreba těeleso Zeměe, pak k nezbýtnám odrazum seismickách vln dochází na povrchu Zeme. Kde vsak muze dojít k odrazum v telese Slunce, ci jine hvezdý, u nichz zadnou podobnou diskontinuitu nenajdeme? Výpadía to tak, ěze v plýnnýích, neohraniěcenýích hvěezdíach se mohou ustavit jen radialní oscilace, kde pevním koncem (uzlovám bodem) je střed hvezdý. Uvázíme-li vsak, ze tu mame co do cinení s akustickámi vlnami o delce 104 az 105 km, je zřejme, ze touto diskontinuitou, cili povrchem muze bát hvezdna fotosfera, jejíz tloust'ka je proti vlnovíe díelce zanedbatelnía. Vlna pěrichíazejíícíí z nitra se tak na povrchu hvěezdý odríaězíí podle klasických zakonu pro odraz vlnení. Kromě odrazu akustickách vln od fotosferý hraje při síření techto vln dulezitou roli i jejich lom daná tím, ze smerem dovnitř hvezdý roste teplota, a tíím i rýchlost zvuku, cili klesía index lomu. Vlna postupujíícíí sikmo do hvezdý se tak líame smerem od normíalý. Sledujeme-li pak smer postupu takovíe vlný, kteraí se príave odrazila od povrchu, vidííme, ze se trajektorie vlný neustíale zakrivuje smerem k povrchu. Vlna tak pri svíem postupu dosaíhne jistíe maximíalníí hloubký, pak zacne opet sýmetrický výstupovat nahoru. Takováto vlna muze interferovat sama se sebou, ve hvezde muze vzniknout stojate vlnení (viz obrázek 6.26). Nejvetsí amplitudu ma stojate vlnení odpovídající urcitám modum, ktere splnují jiste speciíalní podmínký. Protoěze se ve hvěezděe jednía o vlněení v těrírozměerníem rezoníatoru, jsou pulzace popsáný uspořadanou trojicí vlnovách císel {n,l,m}. Obrazek 6.26: Zvukove vlny ve hvezde. Prevzato z Kurtz (2006). Ve hvěezděe se totiěz naprostaí věetěsina vlněeníí vlastníí interferencíí zruěsíí, zbudou jen takovía, ktería splněujíí urěcitíe podmíínký. Pro jednoduchost pěredpoklíadejme, ěze hvěezda 6.3. Pulzující proměnně hvězdy 179 pulzuje jen v jediněm pulzacním modu. Pak na jejím povrchu najdeme oblasti, kterě pulzují ve fazi i v antifazi. Tyto plochy od sebe oddělují uzlové kružnice. V rotující hvězdě, kde zakladní symetrii pulzací urcuje osa rotace hvězdy, jsou uzlově kruznice obdobou systěmu poledníku a rovnobězek na zemskěm globu. Príslusny pulzacní modus je popsín dvojicí celích císel l a m, kde l vyjadruje celkoví pocet uzlovích kruznic. Pokud l = m = 0, pak je to prípad cistě radiálních pulzací, kterí jsme jiz diskutovali. Je-li m ruzně od nuly, lze si predstavit príšlušný modus jako postupnou vlnu, ktera bězí kolem hvězdy rovnobězně s rovinou rovníku bud' ve směru rotace (m > 0) nebo proti směru rotace (m < 0). Cas, kterí tato vlna cestující kolem hvězdy potrebuje k celěmu oběhu je |m|nasobek príslusně pulzacní periody. Vlna po hvězdě postupuje, aniz by se horizontalního pohybu ícastnily realně castice. (V tom se lisí od radialních pulzací, kde castice pulzacní pohyb skutecně vykonívají.) Po povrchu hvězdy putuje i |m| pomyslních azimutélnéch uziovéjch kružnic, prochazejících rotacními poly, kterě povrch hvězdy dělí na 2 |m| stejních dílu (jako duznina pomerance). Oscilace mají jestě dalsí stupen volnosti - hvězda kmita vzhledem k ekvatoreílní rovině, pricemz l — |m| vyjadruje pocet uzlovích rovnobězek (|m| udaví pocet uzlovích poledníku). Je-li l = 1, pak lezí tato kruznice na rovníku, pri l = 2 jsou tu dvě uzlově rovnobězky ulozeně symetricky vzhledem k rovníku. Hodnota m se pohybuje vzdy v rozmezí od -l do +l, takze pro kazdě císlo l existuje 21+1 m-modu. Vseobecně takě platí, ze cím vyssí je císlo l, tím měně hluboko tyto mody do nitra hvězdy zasahují. Dalsím parametrem je pocet uzlovích sfěr uvnitr hvězdy popsaní císlem n, kterě nabyví celocíselních kladních hodnot vcetně nuly. V zakladním modu není zídní uzel (n=0), v 1. harmonickíe jeden (n=1 ), v 2. harmonickíe dva (n=2) apod. Stejně jako u radialních pulzací je amplituda vyssích harmonickích v nitru vírazně mensí nez relativní amplituda zakladního modu.18 Pokud hvězdy neradialně pulzují, pak se tak větsinou děje soucasně ve velkěm poctu modu, jejichz ucinky se navzajem prekladají. Vísledkem je neobycejně komplikovaní pohyb, kterí bychom mohli popsat nespíse jako chvění. Nicměně pravě toto chvění nam prinasí o vlastnostech hvězd zcela neocenitelníe informace. Matematicky lze 3 D oscilace ve hvězdě popsat v soustavě sfěrickích souradnic (r, 9, p) pomocí sfěrickích harmonickích funkcí Ylm (9,p). r popisuje poloměr soustredních radiílních obalek, 9 vyjadruje sírkovou souradnici a znací p poledníky na hvězdě, l,m jsou víse uvedena modalní císla. Pro sfěricky symetrickou hvězdu muzeme vychílení z rovnovazně polohy ^ v case t zapsat jako Cr (r,9,1 0 0.? Dl 0« .0« 41 OJ 0 01 0* 0U> p Pias« [i Im Obřízek 6.35: Svetelne krivky hvezd typu RR Lyrae. Vlevo je podtyp RRab, vpravo RRc. Zdroj: M. Skarka. Tyto hvezdy lze pouzít jáko stándářdy při stánovovíní vzdýleností hvezdných sous-táv, nebot' vsechny májí zhřubá tutez střední ábsolutní hvezdnou velikost (MV « 0, 6 mág)20. S výhodou se ták ciní zejmená u kulových hvezdokup á eliptických gáláxií, v jejichz osázenstvu se klásicke cefeidy nenáchýzejí. Současně studie ale ukazují, Ze budě v průměru ještě nejspíše o něco menší a závisia na metalicitě. 6.4. Typy pulzujících proměnných hvězd 187 6.4.4 Hvězdy typu ô Scuti Obrýzek 6.36: Obrázek 6.37: Hvezdy typu ô Scuti v HR diagramu. Popis a zdroj viz obr. 6.24. Hvezdy typu ô Scuti jsou radiaine i neradiýlne pulzující hvezdy hlavní posloupnosti, prípadne obri spektralního typu A0 az F5. Jde o hvezdy z pasu nestability, kde jsou kmity posilovany zadrzovíním zarive energie postupující z nitra hvezdy v zíne He ii/He in.21 Pozorovane amplitudy svetelních zmen jsou od 0,003mag do 0,9 mag s krátkými periodami, jen 0,01-0,2 dne. Hvezdy s amplitudami vetsími nez 0,1 mag se oznacují jako HADS (z anglickeho high-amplitude delta Scuti stars). Tvar svetelne krivky i amplituda se s casem obvykle silne mení. Je to dusledek skutecnosti, ze se zde vedle sebe uplatnuje hned nekolik pulzacních period, hvezda pulzuje soucasne v nekolika modech. Vzhledem k tomu, ze se tyto periody od sebe zpravidla prílis nelisí, muzeme ve svetelne krivce pozorovat rízy, období zvísene amplitudy, nekdy naopak mohou svetelníe zmeny na cas vymizet. Obrazek 6.38: Světelná krivka FG Vir, hvězdy typu ô Scuti získaná z několika observatoří na zaklade pozorovací kampaně. Prevzato z Breger et al. (2004). Zvlastní podtřídou hvezd týpu ó Scuti jsou hvezdý týpu SX Phoenicis. Zpravidla mají vetsí amplitudý zmen jasnosti (az nekolik desetin magnitudý) s periodami mezi 0,03 az 0,08 dne. Nektere pulzují ve dvou modech. Ale zejmena se lisí fýzicke parametřý. Majíí malou metalicitu a jejich vlastníí pohýb je radíí spííse mezi hvezdý populace II. Objevujíí se v trpaslicíích galaxiíích a kulovýích hvezdokupaích mezi modrýími opozdilci (v anglictine „blue straggler"). 21Ve stejnem míste H-R diagramu se nacházejí i magneticke hvezdy typu Ap, z nichž u nekterych byly pozorovany neradialní pulzace. Jejich spektrum i amplituda se mení s periodou rotace. Kurtz (1982) v nich odhalil tzv. magneticke pulzatory, hvezdy, u nichž je urcující osou symetrie osa jejich mohutneho dipíolovíeho magnetickíeho pole. 188 Kápitolá 6. Přomennost peřiodicky přomennych hvezd Obřázek 6.39: Svetelne krivky hvezd typu SX Phe v barve V v poli kulove hvezdokupy M 55. Prevzato z Pych et al. (2001). 6.4.5 Hvezdy typu 7 Doradus Obřízek 6.40: Vlevo: Hvezdy typu 7 Dor v HR diagramu. Popis a zdroj viz obr. 6.24. Vpravo: Symetricke a multimodálni (pravá sloupec) svetelne krivky hvezd typu 7 Dor z pozorovaná druzice Kepler. Prevzato z Balona et al. (2011). Hvezdy typu 7 Dořádus tvoří pomeřne homogenní skupinu třpáslicích pulzujících přomennych hvezd spektřálního typu F0 áz F2. Lezí tesne u ceřveneho okřáje pásu nestá-bility s hvezdámi typu ó Scuti. Jáko sámostátní typ přomenních hvezd bylá skupiná definováná pomeřne nedávno (Káye et ál., 1999). Hvezdy kmitájí s jednou áz peti peři-odámi o delce 0,4 áz 3 dny, ámplitudy svetelních zmen dosáhují 0,1 mág (V). Jedná se 74688264 6.4. Typy pulzujících promenných hvezd 189 o neradialní pulzace v g-modu. V pozorovýních druzice Kepler byly objeveny i hybridy - hvezdy typu 7 Dor s pulzacemi ô Scuti. 6.4.6 Rychle oscilující pekuliární hvězdy Obrazek 6.41: Hvézdy typu roAp v HR diagramu. Popis a zdroj viz obr. 6.24. Rychle oscilující pekuliýrní hvezdy jsou oznacovany jako roAp hvezdy. Do teto skupiny patrí hvezdy spektralního typu B8 az F2 na hlavní posloupnosti nebo v její blízkosti. RoAp hvezdy jsou podtypem rotujících promenných hvezd typu a2 Canum Venaticorum. Perioda svetelných zmen s amplitudou radove milimagnitudy je od 5 do 15 minut. Pozorovaný svetelný krivka je výsledkem sklýdýní zmen zpusobených rotací hvezdy a pulzací. Z hlediska pulzací jde o neradialne pulzující magneticke hvezdy, u nichz osu pulzací neurcuje rotacní osa, ale osa magnet-ickeho dipýlu. Pulzace o periode rýdove 0,01 dne a amplitude rýdove 0,01 mag se prekladají pres rotacní zmeny jasnosti. Tomuto typu promennosti, který je kombinací rotace a pulzace rízene magnetickým polem, se ríký magnetický pulzator (viz obr. 6.44). Obrazek 6.42: Svételna krivka hvézdy typu roAp a Cir z druzice WIRE a africké observatore SAAO, kde byly roAp hvézdy objeveny. Spodní panel ukazuje trídenní simultínní pozorovíní z WIRE a SAAO. Prevzato z Bruntt et al. (2009). 190 Kapitola 6. Promennost periodicky proměnných hvezd 6.4.7 Hvezdy typu (3 Cephei Obrázek 6.43: Hvězdy typu // Cěp v HR diagramu. Popis a zdroj viz obr. 6.24. Někdy se hvězdy typu (3 Cephei oznaCují i jako hvězdy typu (3 Canis Majoris. V kazdem prípade jsou to jsou pulzující horke hvezdy horní Casti hlavní posloupnosti v uzkem rozmezí spektrálních typu B0 az B2, ktere vykazují svetelne zmeny o amplitude 0,01 az 0,3 mag a zmeny radialních rychlostí, vse s periodou 0,1 az 0,6 dne. Krivky svetelne a krivky radiílních rychlostí jsou proti sobe posunuty o ctvrt periody: maximílní jasnost odpovída minimalnímu polomeru a maximalní teplote. Vse je to dusledek pulzací, ktere bívají jak radiílní, tak neradialní. Nekdy mívají i více period. Pokud je prítomno více period, pak jedna zpravidla príslusí radialním pulzacím a jedna nebo více neradiílním. Periody jsou casto neprílis odlisne a jejich zazneje (v angl. „beat effect") vytvarejí charakteristicke vzedmutí a poklesy amplitud. Obrazek 6.44: Model magnetického pulzátoru. Převzato z Percy (2011). Mechanismus pulzací je podobní jako u cefeid, jen s tím rozdílem, ze zde k zadoucí akumulaci prostupující zarive energie dochízí v dusledku fotoionizace prvku skupiny zeleza. Ty jsou v podpovrchovích vrstvach techto horkích hvezd hlavní prícinou opacity hvezdneho materialu. 6.4.8 SPB SPB je zkratka z anglickeho „slowly pulsating B stars" a znamení pomalu pulzující B hvezdy. Jedna se hvezdy spektrálního typu B2 az B9 o hmotnostech 3 az 9 M0. Jako zvlastní skupinu promenních hvezd je popsal Waelkens (1991). Amplitudy zmen jsou jen velmi male, maximalne do 0,1 mag. Bívají interpretovíny jako vísledek neradialních pulzací g-modu vysokích rádu. Period pulzací je zpravidla více v rozmezí od nekolika hodin do nekolika dní. 6.4. Typy pulzujících promenních hvezd 191 Obrazek 6.45: Svetelne krivky trí hvezd typu (3 Cephei z prehlídky ASAS a krivka BW Vul sestavena pozorovaní v rámci kampane v r. 1982. Prevzato z Pigulski & Pojmaíski (2008). Obrízek 6.46: Vlevo: Poloha hvezd typu SPB v HR diagramu. Popis a zdroj viz obr. 6.24. Vpravo: Svetelne krivky hvezdy typu SPB HD 123515. Prevzato z Waelkens (1991). 6.4.9 Pulzující bílí trpaslíci Nadpis teto kraticke kapitolky odhalil, o jake hvezdy se jední. Nekdy jsou podle sveho hlavního predstavitele oznacovany jako promenne hvezdy typu ZZ Ceti. Jak je videt z HR diagramu na obrázku 6.47 nachazejí se v prodlouzení pasu nestability v dolní casti HR diagramu v oblasti spektrálního typu A. Pozorovane zmeny jasnosti o amplitudach od mmag do 0,2 mag a periodach od desítek po tisíce sekund jsou dusledkem neradialních pulzací. Vetsinou jich probíhú hned nekolik najednou s pomerne blízkími periodami. Obvykle pulzují soucasne v nekolika blízkích periodach. I kdyz první prípad je zním uz více nez ctvrt století (Landolt, 1968), je celkove znamo jen nekolik prípadu. 192 Kapitola 6. Proměnnost periodicky proměnných hvězd , 1 , I ^ , 1 , , , I 1 I , 1 , 1 , , \ f 1 li /S CePvfl|\ CepíTl ^PNNV ^ H k EC14026 ft «i; \ S5532 S5535 V V v v wVv v W vV^ S 55 36 v v v y v '* v S5539 32 0.38 0 .44 0.50 0.56 Obrýzek 6.47: Vlevo: Poloha hvezd typu ZZ Ceti v HR diagramu. Popis a zdroj viz obr. 6.24. Vpravo: Pozorovaní hvezdy EC23487-2424 behem 6 nocí. Převzato z Stobie et al. (1993). 6.4.10 Dlouhoperiodickě pulzující proměnné hvězdy Významnou skupinu proměnných hvězd tvorí dlouhoperiodicke proměnně hvězdy, znamě těZ jako hvězdy typu Mira, rěspěktivě miridy22. Jsou to chladně hvězdy asymptotické větvě obru o hmotnostěch Sluncě. Tyto hvězdy na sěbě vělicě upozornují zějměna vělkou amplitudou svých světělných změn (i pres 10 mag), alě i relativně vysokým zýrivým výkoněm - jsou to jědny z nějzarivějsích hvězd v Galaxii, viditělně i na vělkou vzdalěnost. Kolěm těchto hvězd sě casto pozorují ruzně vyvinutě okolohvězdně plynoprachově obalky (viz napríklad okolí samotně Miry na obr. 6.50). Amplitudy světělných změn v optickěm oboru jsou vělikě zpravidla mězi 2,5 az 11 mag, v modrě a ultrafialově oblasti bývají' jěstě větsí, v infracěrvěněm oboru vsak něprěvysují 2,5 mag. Rěkordmankou mězi miridami a vlastně mězi vsěmi pěriodicky proměnnýcmi hvězdami jě x Cygni, ktěrý sě vě vizuýlním oboru mění v rozsahu 14 mag. Bolomětricky ciní alě amplituda změn jěn 3,3 mag. Těnto rozdíl jě dan tím, zě v pruběhu cyklu dochýzí k vělmi drastickým změnam v rozlozění ěněrgiě vě spěktru. Světělně krivky mirid jsou poněkud asymětrickě, pozorujěmě zdě rychlějsí vzěstup do maxima a pomalějsí poklěs. Světělně krivky jsou poměrně stabilný, změny probíhají dosti pěriodicky. Pozorovaně pěriody v rozsahu 80 az 1100 dní dobrě souhlasí s vělmi nízkou strední hustotou těchto cěrvěných obru. Pulzacě těchto rozměrných chladných 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \ ; i 1' (3 Cep^||L Cephl n ^PNNV ^ || '■■ spb%I? ~wL k EC14026 W\K fffH Irr - >RR Lyr SolarVVľ like ^? i DB^ ■ 1.........1"-.. i 1 , , Obrazěk 6.48: Miridy v HR diagramu. Popis a zdroj viz obr. 6.24. 22Pripomeňme, ze prototyp techto hvezd o Ceti byla take první známá periodická promenna hvezda. Její zmeny jasnosti si povšiml David Fabricius uz roku 1596. 6.4. Typy pulzujících proměnných hvězd 193 hvezd jsou radialní, spory se vsak vedou o tom, zda kmitají v základním modu nebo v 1. harmonicke. Pulzace mirid cerpají svou energii ze stejneho zdroje jako ostatní typy pulzujících promennych, tedy ze zíriveho toku vycházejícího z centrálních castí hvezdy. Rozdíl je v tom, ze k akumulaci zírive energie a k jejímu prevodu na energii kinetickou dochízí zrejme ve vrstve ionizovaneho vodíku. Pulzace, jez se hvezdou ssírrí, brzy nabude povahu rázove vlny, ktera se pak prodírí hvezdou z nitra na povrch. Pozorovane svetelne zmeny jsou pak predevsím vísledkem interakce horke razove vlny, kterí prochazí rozmernou atmosferou o nízke efektivní teplote. Latka zde, navzdory sve rídkosti, je opticky velmi mílo pruhledna, a to hlavne v dusledku absorpce vyvolane molekulami oxidu titanu TiO. Pri stredu razove vlny dochazí k disociaci techto molekul, coz vede k prudkemu poklesu opacity. V maximu jasnosti spektrální pasy TiO mizí, objevují se emisní círy vodíku a ionizovaneho vapníku, zcela neodpovídající pozdnímu Obrázek 6.49: Světelná křivka Miry. Zdroj AAVSO. 194 Kapitola 6. Promennost periodický proměnnách hvezd spektralnímu týpu. Změný ve vzhledu a charakteru spektra jsou velmi prudke. Pulzace hvezd jsou az sekundarním efektem a na změný jasnosti hvezd mají jen okrajová vliv. Obrazek 6.50: Nahore: Snímek okolí hvezdy Mira Ceti v ultrafialove oblasti spektra jasne ukazuje materiíl, kterí za sebe hvezda zanechava. Dole: Stejna oblast v okolí o Ceti nic zvlastního neukazuje. Zdroj: Galex team, Caltech. 6.4.10.1 Polopravidelne promenne hvezdy S klasickámi miridami jsou spříznený tzv. polopravidelne promenne hvezdy (týp SR z an-glickeho semi-regular) s mensí amplitudou svetelnách zmen a s mene přísnou periodicitou. U nich nejsou efektý tak várazne, hlavne tu nema pruchod razove vlný atmosferou tak devastující ucinek. Pasý TiO ve spektru pozorujeme stale, coz se pak projeví pozorovanou mensí amplitudou svetelnách zmen. Hvezdý týpu SR jsou obři a veleobři pozdních spektralních tříd s jistou periodou pulzací. Periodicita deju je zde obcas narusovana urcitými nepravidelnostmi. Periodý svetelnách zmen o amplitudach 1-2 mag bávají od 20 do 2000 dní. Přestoze jsou zde spolecne znaký s miridami, celkove je svetelne chovaní teto rozmanite skupiný hvezd velice ruzne. Mužeme je dale rozdelit do ctyr podtypu: SRa - jejich svetelne zmeny jsou takrka presne periodicke, periody v rozmezí 100 až 400 dnu, amplitudy až 2 mag. Jedna se o obry a veleobry pozdních spektralních tríd s emisemi vodíku. Jsou zrejme velice podobne miridam. SRb - svetelne zmeny nejsou již tak pnísne periodicke, perioda vetsinou 80 až 120 dní. U rady z nich se objevuje i dalsí, o rad delsí perioda. Amplitudy zmen jsou vesmes pod 1 mag. Jední se o obry a veleobry spektralních typu M, C a S. 6.4. Týpý pulzujících promennách hvezd 195 SRc - svetelne zmeny urcuje více period jedna byva radove stovky, druha tisíce dní dlouhí. Amplitudy kolem 1 mag. Vesmes jde o hmotne cervene veleobry trídy M se silnou koncentrací ke galakticke rovine. SRd - svetelne zmeny jsou pomerne prísne periodicke, pricemž pro každou hvezdu lze vytipovat soubor period, v nichž se strídave mení, v období zmeny periody se muže jasnost hvezdy menit dosti chaoticky. Amplitudy jsou v rozmezí 0,1 až 4 mag. Hvezdy tohoto typu jsou teplejsí obri a veleobri typu G, K a M, vetsinou s emisemi ve spektru. 6.4.10.2 Hvezdy typu RV Tauri Hvěezdý týpu RV Tauri jsou radiíalněe pulzující veleoběri, jejichěz spektra se v cýklu pro-měennosti výírazněe měení. Zatímco v maximu jde o hvěezdý spektríalní těrídý F-G, v minimu K-M. Periodý svěetelníých změen ěciní 30 aěz 150 dní s amplitudami 3 aěz 4 mag. Ve svěetelnýích kěrivkíach vedle hlavních minim jasnosti pozorujeme i minima sekundíarní, pěriěceměz poměerý jejich hloubek se s ěcasem měení, mohou se i pěrevríatit. Hvěezdý silněe zíaěrí v infraěcerveníem oboru, kde se projevuje zíaěrení prachovíe obaílký výmeteníe z hvěezdý pulzacemi. Emisní ěcíarý svěeděcí o pěrítomnosti rozsíahlíe atmosfíerý. 6.4.10.3 Hvezdy typu R Coronae Borealis Hvěezdý týpu R CrB jsou staríe veleoběrí hvěezdý spektraílní těrídý F aěz K s nízkýím zastoupením vodíku v atmosfíeěre, ale s hojností uhlíku. Pulzují s periodou 30 aěz 100 dní s amplitudou pozorovanýích změen 0,1 aěz 1 mag. Pěres pulzace se pěreklaídají aperiodickía zeslabení v rozmezí od 1 do 9 (!) magnitud. Tato minima jasnosti mohou trvat i cele roký (viz obr. 6.51). Enormní pokles jasnosti se výkladá silnou absorpcí svetla grafitovými zrníěcký, ktería zde zkondenzovala z líatký vývrězeníe hvěezdou. Obrázek 6.51: Svetelna krivka R CrB v letech 1910-2010. Zdroj AAVSO. 196 Kapitola 7. Fýzika aperiodických promenných hvezd 7 Fyzika aperiodickách promennách hvezd Aperiodicke zmený jasnosti ů promenných hvezd zpravidla prímo soůvisejí se zmenoů samotne hvezdý nebo jejího okolí. V teto kapitole tedý půjde zejmena o fýzicke promenne hvezdý (v anglický psane literatůre „intrinsic variable stars"). Zmený charakteristik objektů pritom mohoů probíhat: • v okolí hvezdý. Mlůvíme o nejrůznejsích projevech akrece, prítomnosti akrecního disků, o vlivů hvezdneho vetrů apod. • v povrchových vrstvach, kde jsoů to nejcasteji projevý hvezdne aktivitý. Ale samozrejme sem můzeme zaradit i vzplanůtí nov. • v podpovrchových vrstvach, ktere mohoů být zdrojem hvezdných půlzací. Tý sice patrí mezi striktne periodicke jevý, ale jde o fýzicke zmený hvezdý, proto je zde ůvadíme pro ůplnost take, • v samotnem jadrů hvezdý, ke kterým dochýzí pri zrodů hvezdý ve fazi rýchleho smrst'ovaní i na konci vývoje velmi hmotných hvezd pri výbůchů sůpernov a hý-pernov. Jednotlivým mechanismům promennosti se nýní bůdeme venovat podrobneji. 7.1 Promennost hvezdy v dusledku zmen jejího okolí Kolem hvezd se casto nachazí mnozství optický aktivního materialů různeho původů. Mohoů to být treba zbýtký zírodecneho materialů, který nebýl spotrebovýn na stavbů hvezd. Tak je tomů i v prípade velmi mladých hvezd týpů T Taůri, FU Orionis tesne pred jejich vstůpem na hlavní posloůpnost. Do okolního prostorů, ale naopak mohoů material dodavat samotne hvezdý. Hvezdý ztracejí svoů hmotů nejcasteji hvezdným vetrem, který můze být ů nekterých týpů hvezd i pomerne intenzivní. Ke ztrate hmotý do okolí hvezdý dochazí tez v důsledků půlzací hmotných hvezd a hvezd v pozdních stadiích jejich vývoje. Nesmíme zapomenoůt ani na výbůchý sůpernov nebo hýpernov, pri nichz je do prostorů odvrzena cela vnejsí císt hvezdý, ne-li hvezda celý. Výskýt okolohvezdneho materialů je take důlezitý napríklad ů zablesků zarení gama. Tý jsoů zrejme způsobený razovými vlnami ve výtrýsků lýtký, ale jeho interakce s mezihvezdnoů latkoů stojí za tzv. optickým dosvitem (v anglicke literatůre „afterglow"). Znacne procento hvezd se navíc výskýtůje ve vesmírů v parech a tadý vstůpůjí do hrý i dalsí mechanismý, ktere vedoů k ýniků latký do okolí jedne slozký dvojhvezdý nebo i cele dvojhvezdý. 7.1.1 Hvezdy typu T Tauri Prestoze samotnoů promennost T Taůri objevil J. R. Hind ůz roků 1852 (viz obr. 7.3), jako specifickí typ promenních hvezd byly oznaceny az o temer sto let pozdeji (Joy, 1945). Ned-loůho pote Ambarcůmjan vyslovil hypotezů, ze jde o hvezdy podobne Slůnci ale v ranem stadiů vyívoje. 7.1. Proměnnost hvězdy v důsledku změn jejího okolí 197 Gravitační Akreující Smršťující se Hvězda hlavní kolaps protohvězda hvězda před HP posloupnosti Vlastnosti YSO hu im ľfcJti] Mi.riSli«-1 1 . WfjL-IM TToríMír Fáze adiabatická (A,B,C) akrece (D) hoření deuteria začátek konvekce konve ktivní zářivá začátek jaderného hoření konvektivní zářivá; plné jaderné hoření Toky látky většinou dopad disk & odtoky částečně dopad většinou akrece odtoky, výtrysky malá akrece 9 Obálka/velikost disku < 10000 AU < 1000 AU < 400 AU - 100 AU Dopad/ rychlost akrece io 4 10 "5 io"6- io"7 9 Věk [roky] 4 5 10 - 10 10 6 7 10 — 10 6 7 10 — 10 Obor záření (kromě IR) tepelné rádiové rtg.? rádiové rtg. rádiové optické silné rtg. netepelné rádiové optické silné rtg. netepelné rádiové optické rtg. Třídy Třída 0 Třída I Třída II Třída III ZAMS Obrázek 7.1: Infračervená klasifikace YSO vzhledem vývojové fázi a přetoku hmoty. Převzato z Schulz (2005). Hvězdy typu T Tauri jsou mladě, většinou rychle rotující, a tudíZ aktivní hvězdy ve stadiu gravitačního smršťování, jěZ prědchází jějich vstupu na hlavní posloupnost. Jsou jědnou zě skupin tzv. mladých hvězdných objěktu (YSO, z angl. Young Stěl-lar Objěct) (viz tabulka 7.1). Obvyklě proto v jějich sousědství nachazímě zbytky zaroděcně mlhoviny. Vyskytují sě ponějvícě v tzv. T-asociacích a v mladích otěvrěních hvězdokupach. Jějich hmotnost jě strědní, lězí v intěrvalu 0,3 MQ az 3 MQ. Spěktralní cary (obcas i silně ěmisě) profilu P Cygni jasně svědcí o rychlych pohyběch v atmosfěrě, o silně chromosfěrickě aktivitě. Vě spěktrěch nalězamě nějěn ěmisě vodíku, vapníku Ca II (H a K cary), alě takě ěmisní cary zělěza (406,3 a 413,2 nm), zakazaně cary [O i] a [S II] (406,8 a 407,6 nm) a silnou caru lithia (670,7 nm), svědcící o tom, zě těplota v jějich nitru jěstě něprěsahla zípalnou těplotu tohoto prvku. Fotomětricka pozorovaní províděna v ruznych oblastěch spěktra ukazují na ruzně zdrojě proměnnosti těchto hvězd. Proměnnost v infracěrvěněm oboru pravděpodobně vznika v chladněm matěrialu akrěcního disku, zatímco ultrafialoví proměnnost byva duslědkěm horkích skvrn vznikajících v místěch dopadu matěrialu z vnějsku. Cast in-fracěrvěně a optickě proměnnosti jě dalě duslědkěm hvězdně aktivity vyvolaně dispipací lokalních magnětickích polí vznikajících v konvěktivním obalu poměrně rychlě rotujících 198 Kapitola 7. Fyzika aperiodických proměnných hvězd Obrázek 7.2: Světelná křivka T Tauri určená z 275 archivních desek na Harvard College Observatory (prevzato z Tracy L. Beck & M. Simon, AJ 122, 413, 2001). hvezd. Hvezdna aktivita se projevuje vískytem chladních i horkích skvrn na povrchu, erupcemi a chromosfíerickou aktivitou. Pozorovane svetelne zmeny bívají povetsinou nepravidelne, chaoticke, s amplitudami od 1 mag do 4 mag na casove skale od minut po desítky let. Byly ale detektovany i pe-riodicke zmeny v radu dní spojene s rotací hvezdy. Materiíl v okolí hvezd T Tauri je jednak pozustatek zarodecne latky, z níz hvezda vznikla a ktera se koncentruje zejmena v akrecním disku a jednak je dodavan hvezdou prostrednictvím bipolírních vítrysku a hvezdneho vetru. Strední rychlost akrece se 7.1. Přomennost hvězdy v důsledku změn jejího okolí 199 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . 1 1 1 FU Ori V1515Cyg -18 V1057 Cyg . ...mJ ^ 1................ 3000 3500 4000 4500 5000 JD 2400000 + Obrázek 7.4: Světelné křivky tří nejlépe studovaných fuorů. (Převzato z Vittone & Errico, 2006, ChJAS Vol. 6, Suppl. 1, 132.) udává přibliZně 10 8 M0. Zářivý výkon, který objekt získá ákrecí, je přitom j _ ^ -^hvezda ^^akrece (1 ~\\ Lakrece — G R • V7.1J Zářivý výkon sámotneho ákreCního disku je poloviCní, ták ják to plyne z viriáloveho teorému. Podle nej poloviná energie získáná ákrecí je tedy vyzářená á druhá spotřebováná ná zvýsení vnitřní energie disku. ZnáCná Cást T Táuri hvezd se vyskytuje ve dvojitých nebo vícenásobných soustávách, kde se mohou krome výse uvedených uplátňovát i dálsí specificke deje. 7.1.2 Hvezdy typu FU Ořionis S pocátecními stádii hvezdneho vývoje jsou spojovány i hvezdy typu typu FU Oři, oznácováne tez jáko fuořy. Jsou to vubec nejmládsí pozořováne přomenne hvezdy. Jsou nesmíme vzácne. Vzdyt' křome hlávní předstávitelky známe dosud mene nez tucet dálsích podobných hvezd. Chářákteřistickým přojevem hvezd typu FU Ořionis je ne-předvídátelný nářust hvezdne velikosti hvezdy áz o 6 mág (viz obř. 7.4). Ve stávu zvýsene jásnosti muze hvezdá setřvát i nekolik desetiletí á pák se opet návřátit do puvodního stávu. Mechánismus přomennosti zátím není uspokojive nálezen. Uvázuje se o přocesech souvisejících s dosázením řotácní stábility hvezdy (Heřbig et ál., 2003), o výbusích ákřeujícího máteřiýlu v disku (Vořobyov & Básu, 2010), vlivu mágnetickeho pole á podobne. Podle jedne z teořií je pozořováne zjásnení dusledkem přechodu hřoutící se hvezdy z fáze řychleho smřstování, kdy hvezdá příjímý áz 10-4 M0/řok á zjevne není v hydřostáticke řovnovíze, do stádiá pomáleho smřst'ování, kdy nitřo jiz v řovnovíze je. V poslední dobe je nejvíce ákceptovín model výbuchu FU Oři v dusledku nestábility v ákřecním disku. Přoces je podobný výbuchu třpáslicí novy, ále ná delsí cásove skále, přotoze se jedná o disk kolem hvezdy hlávní posloupnosti á nikoli bíleho třpáslíká jáko u zmmováných třpáslicích nov. Behem fáze výbuchu přezáří disk hvezdu 100 áz 1000křát. Je tu řovnez silný vítř s řychlostí dosáhující áz 300 km/s. Ná HR diágřámu táto situáce odpovídá mo- 200 Kápitolá 7. Fyziká ápeřiodickych přomennych hvezd mentu, kdy vyvojová stopá hvezdy přáve zpřává přotne Háyáshiho cířu, řesp. Háyáshiho mez. 7.1.3 Herbigovy-Harovy objekty V okolí velmi mládích hvezd se vytváří plynopřáchovy disk. Máteřiál z disku postupne klesá ná hvezdu á obohácuje hvezdu, zvysuje její hmotnost. Cást máteřiálu je ále vyvřhovíná kolmo k řovine disku v polářních smeřech nádzvukovou řychlostí. Přotilehle vítřysky se setkávájí s okolní mlhovinou mezihvezdne látky (viz obř. 7.5). Vznikájí řízove vlny, kteře látku ohřívájí á nutí ji ták zářit. Přáve táto zířivá oblást se názíví Heřbiguv - Háräv (HH) objekt ná pocest ástronomm Geořge Heřbigá á Guilleřmá Hářá, kteří pocátkem pádesátích let minuleho století publikováli přvní studie techto objektu (viz obř. 7.5). Tyto objekty nejsou sice hvezdámi (viz obř. 7.5), ále jsou u nich pozorovány zmeny jásnosti v řozsáhu áz o nekolik mágnitud ná cásovích skílích 10 áz 20 let. Jejich přícinou je přávdepodobne inteřákce mlhoviny HH objektu s řázovou vlnou, kteřá jimi obcás přochází. Obřízek 7.5: Vlevo: Obrazek Herbigova - Harova objektu HH30 ukazuje disk a vátrysk nove hvezdy. Podobne mohlo na pocatku sveho vávoje vypadat i nase Slunce. Zdroj: A. Watson (UNAM Mexico) a NASA. Vpravo: Model hvezdy typu T Tauri s akrecnám diskem a Her-bigováymi - Harovyámi objekty. 7.1.4 Latka ve dvojhvězdách S mnozstvím okolohvezdneho máteřiílu se setkáváme i v okolí tesních dvojhvezd, kde dochízí k intenzivnímu přetoku látky mezi jejími slozkámi. Nejvíce látky bívá ulozeno v akrecním disku kolem slozky přijímájící látku. Disk zde vzniká proto, ze přetekájící 7.2. Aktivitá hvňezd á jejíí přojevy 201 líátká si s sebou nese jistyí moment hybnosti á ten jíí nedovolíí dopádnout pňříímo ná hvňezdu-příjemkyni. Akřecní disk muze ábsořbovát á řozptylovát svetlo slozek, mívá vsák i vlástní zdřoj eneřgie. Tuřbulentní tňření dokáíňze záhňříát máteřiíál disku áňz ná teplotu nňekoliká tisíc kelvinu á zájist'uje v řýmci disku tok momentu hybnosti z vnitřních cástí disku do vnňejňsích. Bňehem tohoto přocesu klesíá máteřiíál z vnitňřních pářtií ná hvňezdu, uvolnňuje se potenciáílní eneřgie, kteřáí se z vňetňsí ňcíásti mňení v eneřgii neuspoňřáídáníeho pohybu mikřocístic.1 Zmínňenyí přoces s ohledem ná tuřbulentní pováhu tňření zpřávidlá není spojityí, v nňe-kteřyích pňřípádech se zápne" nářáíz á dojde k přudkíemu uvolnňení eneřgie, kteřáí pák vyvolá přímo explozi, vzplánutí. Tákto si vysvetlujeme tez vzplánutí trpaslicích nov, tňesnyích dvojhvňezd sestíávájících ze zhřouceníe sloňzky - bílíeho třpáslíká - á nořmáílní hvezdy. Vetsí slozká vyplnuje svuj Rocheuv lálok á neustále dodává látku do ákřecního disku kolem bílíeho třpáslíká. Pokud ále hustotá disku pňřevíyňsí jistou křitickou mez, řozvine se náhle tuřbulence, kteří je s to zpusobit, ze cást disku spádne do gřávitácního jícnu bílíeho třpáslíká. Rychlyím sestupem ňcáísti láítky dovnitňř se uvolní znáňcníe mnoňzství eneřgie, coňz se přojeví i optickyím zjásnňením o nňekolik mágnitud. Svňetelníá kňřivká je jistou miniátuřou vzplánutí novy - pozořujeme zde níáhlíe zjásnňení, třvájící desítky hodin. Po nňem náísleduje pomálejňsí, dny třvájící pokles. Potíe soustává pňřejde do klidovíeho stávu á pňřenos líátky z dřuhíe sloňzky pokřáňcuje. Vzplánutí třpásliňcích nov se opákují s cásovou přodlevou nekoliká mesícu. Zdřojem nestábility bíyvíá i plynníy přoud pňřináíňsející hmotu do ákřeňcního disku. Pňřetok nebyíváí obecnňe stácioníářní, líátká se ke dřuhíe sloňzce dostíávíá po jistíych díávkáích. Ná styku plynníeho přoudu, vystupujícího z Lágřángeová bodu, s ákřeňcním diskem vznikíá tzv. horka skvrna, jez muze byt i nejvydátnejsím zdřojem svetlá v soustáve třpáslicích hvňezd. Její momentíální teplotá i řozsáh pák v řozhodující míňře ovlivnňuje pozořovánou jásnost soustávy. Nestácionářnost přenosu se přojevuje i tzv. mihoténém (flickeřingem) svňetlá hořkíe skvřny. 7.2 Aktivitá hvezd á její přojevy Přojevy hvňezdníe áktivity byly objeveny i u dálňsích hvňezd, zejmíená u chládníych hvňezd hlávní posloupnosti třídy M, cili u tzv. červenéjch trpaslíků. Spektřální typ řády z nich obsáhuje přídomek e - nápříklád M5Ve, kteřý znácí, ze ve spektřu jsou pozořovýny emisní ňcáířy, nejňcástňeji vodíku á víápníku (ňcíářy H á K). Vzhledem k tomu, ňze teploty techto ceřvenych třpáslíku jsou nizsí nez 3 500K, nemel by zde být k záření vybuzen áni ionizoványí víápník, nátoňz pák vodík. Víyskyt tňechto ňcář ták jásnňe dokázuje existenci řelátivnňe mohutníe chřomosfíeřy. Hvňezdy tohoto typu jsou nezňřídká fyzicky přomňennyími hvezdárni, přicemz nejcásteji se zde setkýváme z tzv. eruptivnémi trpaslíky - hvezdárni, kteříe vykázují nňekolik minut třvájící zjásnňení, pňři nichňz se ve vyíjimeňcnyích pňřípádech muze výkon hvezdy zvýsit áz o dvá řýdy. Vse se vysvetluje cástými bílými eřupcemi, kteříe jsou nejmíenňe o ňříád mohutnňejňsí á mnohem ňcástňejňsí neňz sluneňcní bílíe eřupce. Je treba dodat, ze mince prerozdelovaní momentů v rýmci disku nm i svou druhou stranu, jíz je ýnik latky do prostorů. Ze k tomuto deji vskutku dochazí, potvrzují i nedavne trirozmerne hydrodynamicke vypocty skupiny D. V. Bisikala (Boyarchuk et al., 2002). 202 Kapitola 7. Fýzika aperiodickách promennách hvezd 5 G 15 G 50 G 150 G 12 [cm] 10 [cm] 8 [cm] 7.0 8.0 log T [K] Obrazek 7.6: Diagram zavislosti emisivity na teplote pro slunecní a hvezdne rentgenove erupce. Prevzato z Schulz (2005). Silnou hvezdnou aktivitu jeví i hvezdý týpu T Tauri, hvezdý, ktere jsou v poslední fázi sveho gravitacního smrstovaní, ktere předchazí okamziku, kdý se hvezda stane hvezdou hlavní posloupnosti. U hvezd tohoto týpu pozorujeme hned nekolik projevu mimořadne mohutne hvezdne aktivitý: prudke zmeny jasnosti dane castými erupcemi, promenne emise v carách vodíku a ionizovaneho vapníku (H a K cařý), ktere dokazují existenci chromosferý. Z hvezd vane hvezdná vítr o nekolik řádu mohutnejsí nez slunecní.2 U obrů á veleobrU býla rovnez potvrzena existence mohutných chromosfír, jakoz i ocekavaná váron látký pusobený hvezdnám vetrem. Ten obcas báva natolik mohutná, ze ovlivěuje i prubeh vávoje hvezdý. Zvlastním případem jsou promenne hvezdý týpu RS Canum Venáticorum. Jedna se o slozký tesnách dvojhvezd. U nich lze výsledovat nekolik projevu hvezdne aktivitý: 1. fotosfáricke skvrny, ktere mohou opanovat az 50% pozorovaneho povrchu hvezdý; 2. chromosferickou aktivitu; 3. mohutníe erupce. Z optickách pozorování hvezd pozdního spektrálního týpu výplývá, ze u techto hvezd chromosferý bezne existují. Aktivita mnohách hvezd je várazne výssí nez aktivita slunecní, coz přímo souvisí s jejich řýchlejsí rotací. Záverý potvrzují i pozorovaní mimo optickou oblast. Hvezdne koroný, horke milioný kelvinu, zaří nejvíce v rentgenove oblasti, fotosfířý i chromosferý jsou přílis chladne na to, abý se v tomto oboru vubec nejak projevilý. Chromosferý se pak projevují spíse v oboru ultrafialoveho záření a nekterách intenzivních spektralních carách. Vzhledem k tomu, ze veskere kratkovlnne zaření přichazející z kosmu je při svem pruchodu hustejsími cástmi zemske atmosferý spolehlive pohlceno, je nutno toto záření pozorovat nad nimi - z druzic nebo stratosferickách balonu3. 2Slunecním vetrem ztratí Slunce 4 • 10-13 M0. 3Nejvetsí pokrok v tomto smeru predstavovala pozorovaní družice Einstein, ktera se specializovala na průzkum mekkeho rentgenoveho zarení jednotlivích hvezd, a dale družice IUE, ktera zkoumala hvezdy v ultrafialove oblasti. 7.2. Aktivita hvezd a její projevý 203 Pozorovaní z palůbý drůzic jasne ůkazala, ze valna vetsina hvezd (i kdýz ne vsechný) spektralních týpů F az M jeví silne emise v ůltrafialovem oborů spektra, coz svedcí o existenci atmosferických vrstev s teplotami kolem 200 000 K. Týto hvezdý prodůkůjí rentgenove zarení, ktere svedcí o tom, ze ve svrchních castech atmosferý techto hvezd je prítomen rídký plýn o teplote 106 az 108 K. Výkon hvezd v rentgenove oblasti bývý zpravidla vetsí nez rentgenový výkon Slůnce, ve výjimecných prípadech se setkavame az se 100 000nasobkem tohoto slůnecního výkonů. Z toho ovsem plýne, ze vetsina hvezd strední a dolní casti hlavní posloůpnosti nm horke koroný. Hvezdam spektralního týpů ranejsího nez F, ve shode s nasím ocekývaním, rozsahle horke koroný chýbejí. U techto hvezd totiz není rozvinůta podpovrchova konvektivní vrstva. Horke hvezdý spektralního týpů O a B naproti tomů rozmerne chromosferý mají, coz zrejme soůvisí se silným odtokem latký do prostorů, působeným mohůtným, zarením pohaneným hvezdným vetrem. U obrů a veleobrů spektralního týpů ranejsího nez K2 pozorůjeme silne emise v ůl-trafialove oblasti, dokladající existenci chromosfer, i rentgenove zarení, svedcící o prítomnosti koroný. U chladnejsích hvezd tohoto týpů vsak pozorůjeme ůz jen chromosferý spolů s masivním odtokem lýtký do prostorů. Podobne chovaní pozorůjeme i ů mladých hvezd týpů T Taůri. Zda se, ze vseobecne platí pravidlo: Hvezdý se silným hvezdným vetrem nemívají koroný. 7.2.1 Príciny hvezdne aktivity Prícinoů vsech projevů hvezdne aktivitý je rozpad mohůtných lokalních magnetických polí, ktera v podpovrchových vrstvach chladnejsích hvezd vzlínají na povrch hvezd. Pri výsvetlovýní aktivitý hvezd je tak treba výsvetlit, jak takova magnetický pole ve hvezdach vznikají. Zakladním mechanismem generace magnetických polí je tzv. dynamový mechanismus, v důsledků nehoz dochýzí k zesilovaní slabých (nahodných) magnetických polí. Ve hvezdach tento mechanismůs fůngůje v soůcinnosti jiz zmiňovaných 204 Kapitola 7. Fýzika aperiodických promenných hvezd vertikýlních konvektivních pohýbů a rotace!4 Magneticke pole vznikle v nitrů zamrzava do elektrický dobre vodiveho plazmatů a vzestůpnými proůdý je výnaseno k povrchů hvňezdý. Zde tato lýtka chladne a staví se hůre vodivoů. Elektricke proůdý se zde tlůmí a mení se v ohmicke teplo - pole slabne, disipůje. Pritom se výtvýrejí mohůtne mag-netohydrodynamicke vlny, ktere se sírí vodivým prostredím fotosferý i výssích vrstev hvezdý. Podobne, jako akůsticke vlný, dokaze nezbýtnoů energii nad fotosferů trans-portovat i samotne magneticke pole. Rozpadem magnetohýdrodýnamických vln dochazí k ohrevů plazmatů, a tím i k neůstalemů výtvarení dýnamický nestale chromosferý a koroný. Důkazem ramcove platnosti naznaceneho mechanismů je zajímavý fakt, který objevil Robert Kraft (1967). Ten zjistil, ze cím rýchleji zkoůmana hvezda rotůje, tím silnejsí ma ve spektrů chromosfericke emise v carach H a K. Velmi podobna soůvislost býla odhalena i v ůrovni rentgenove emise výjadrající velikost a mohůtnost hvezdne koroný. Tam se navíc ůkazalo, ze rentgenový výkon hvezdý je ůmerný ctverci rovníkove rotacní rýchlosti hvňezdý. Ukazůje se tedý, ze mohůtnost hvezdne aktivitý silne zavisí na rýchlosti rotace. Je to ve shode s nasí predstavoů, ze lokalní magnetický pole jsoů generovana dýnamovým mechanismem, jehoz ůcinnost je prímo ůmerna ctverci rotacní rýchlosti. Rýchle rotůjící hvezdý tedý vseobecne výkazůjí výssí aktivitů, nez hvezdý pomerne líne rotůjící (takovoů je i nase Slůnce). Jake mohoů být důvodý rýchle rotace hvezdý? a) Jedna se o mlade hvezdý, jez, jak znamo, rotůjí rýchle. Jejich otacký se vsak pozvolna snizůjí v důsledků interakce hvezdý s okolím. Mlade hvezdý jsoů tak casto velmi aktivní. Tento fakt ůmozňůje i ůrcit starí hvezdý nebo hvezdne soůstavý, jíz je hvezda soůcastí. b) Jde o slozký tesne dvojhvezdý s vazanoů rotací (rotacní perioda je shodna s obez-noů). Príkladem jsoů promenne týpů RS Canům Venaticorům. Slůnce rotůje pomalů, proto je jeho aktivita relativne nízký. Naznaceným mechanismem lze dobre výsvetlit vlastnosti aktivitý chladnejsích hvezd. U horkých hvezd chýbí rozsýhla konvektivní zona, takze výsvetlení je treba hledat jinde. Pozorovaní zde zcela jasne naznacůjí, ze ůroven aktivitý horkých hvezd roste s rostoůcí teplotoů. U hvezd týpů O a B jsoů chromosferý, prípadne i koroný výtvarený rýchlým odtokem latký do prostorů v důsledků tlaků ůltrafialoveho zírení. Hvezdný vítr neůstale obrůsůje vnejsí vrstvý hvezdý, atmosferý techto hvezd jsoů znacne nepokojne. Naproti tomů svrchní vrstvý hvezd trídý A jsoů mimoradne klidne a stabilní. Nedevastůjí je ani ýcinký konvektivních vrstev ani hvezdný vítr. 7.2.2 Vzplanutí nov Nejcastejsí vnejsí prícinoů nestacionarních procesů ve fotosferických vrstvach hvezd je dopad latký zvnejsků. Zdrojem tů býva zpravidla prenos latký v tesných dvojhvezdích. Príkladem mohoů být treba klasické novy, coz jsoů tesne dvojhvezdý sestavající z bíleho 4Uplatňůje se tedy zejmena ů hvezd pozdních spektrálních typů, kde je konvektivní proůdení dostatecne rozvinůto. 7.3. Komplexní přestávby, zhřoucení á víbuchy 205 třpáslíká á nořmílní třpáslicí slozky, jez vyplnuje svuj Rocheuv lálok. Látká bohátá ná vodík, jez vyteká z teto slozky, se přes zásobník v ákřecním disku kolem bíleho třpáslíká postupne ukládí ná jeho povřchu. Tíhá přenesene látky stlácuje degeneřovánou hvezdu, kteří se postupne mířne smřs-t'uje. Uvolnená gřávitácní eneřgie se zcásti třánsfořmuje ná vnitřní eneřgii, coz vede k postupnemu zvysování teploty hvezdneho nitřá. Neohřívá se ovsem jen nitřo, ále i vřstvá s přeneseným máteřiálem bohátym ná vodík. Vzřoste-li v ní teplotá nád uřcitou, tzv. zípálnou teplotu, dojde k zázehnutí překotných termonuklearních reakcí (CNO cyklus), jejichz prostřednictvím se ve velmi křátke dobe uvolní znácne mnozství eneřgie. Tá zpusobí explozi vnejsku hvezdy, kteří se do prostora řozletí řychlostí nekoliká tisíc km/s. Pozořujeme pák vzplánutí klásicke novy, při nemz se soustává níhle (řádove behem dní!) zjásní o 7 áz 19 mágnitud. Pák nísleduje pomálejsí, řádu mesícu třvájící pokles, přicemz v máximu zářiví víkon hvezdy dosáhuje áz 105 LQ. Pote nástupuje znovu klidne mezidobí o delce řídove 105 let, při nemz se ná bílem třpáslíku, jenz předchozím vzplánutím niják neutřpel, znovu ulozí křiticke mnozství jádeřne třáskáviny á k explozi dojde znovu. 7.3 Komplexní prestavby, zhroucení a vábuchy Zvlástní kátegořií přomenních hvezd, jejichz promennost je spojená s deji probíhájícími uvnitř hvezdy jsou tzv. supernový. Jsou to premenne hvezdy víjimecne tím, ze jejich přomennost je jednořízová. Jáko supernová hvezdá muze vybuchnout jen jedenkřát ve svem zivote. Víbuch supernovy je nátolik dřástickou událostí, ze se se po nem hvezdá kválitátivne zcelá zmení - bud' přestáne jáko gřávitáme vázány ítvář existovát - řoz-plyne se, nebo se zmení v neutřonove degeneřovánou hvezdu, přípádne v ceřnou dířu. 206 Kapitola 7. Fyzika aperiodickích promennych hvezd Pro vzplanutí supernov napsala príroda hned nekolik scením5, setkívame se s neko-lika typy supernov, jez mají raznou prícinu destrukce a ruzní dalsí osud. Z logiky veci budeme o nich pojednaívat v opaňcníem poňradí, neňz by se dalo podle jejich oznaňcení oňcekíavat. 7.3.1 Supernovy typu II, Ib a Ic Supernovy typu II jsou víysledkem vyívoje mimoňraídnňe hmotnyích hvňezd, v nichňz se bňehem jaderníe evoluce vytvoňrilo dostateňcnňe hmotníe jaídro sloňzeníe pňredevňsím ze ňzeleza a dalňsích prvku skupiny zeleza (nikl, chrom), jejichz jídra jsou velmi silne vazana a jsou tak jadernňe nehoňrlavía. Dňení v centríalních oblastech hmotníe hvňezdy tňesnňe pňred explozí je znaňcnňe dynamickíe, ve hvňezdňe existuje ňrada vrstviňcek, nňekteríe z nich jsou aktivní -probíhají v nich termonukleíarní reakce, jiníe jsou neaktivní, ňzíadníe energeticky vydatníe reakce v nich nehoňrí. V centru roste teplota i hustota, stíale rychleji se zapalují novíe a nove termonuklearní zdroje, vse v casove skale stovek let, pozdeji i dnu. Navenek se hvezda jeví jako veleobr a nedaví na sobe nic znít.6 Po pňrekroňceníí kritickíe hmotnosti elektronovňe degenerovaníeho ňzelezníeho jíadra dojde k prudkíemu kolapsu, kdy se zaňcnou volníe elektrony houfnňe spojovat s protony v jíadrech. Vznikajíí tak neutrony a jíadra se rozpadajíí. Zhrouceníí se aňz do okamňziku vzniku neu-tronovíe hvňezdy dňeje prakticky volníym paídem, líatka padía dovnitňr rychlostíí desíítek tisííc km/s. Uvolnuje se mnozství potencialní energie, kterí z jadra unika prostrednictvím neutrin. V okamňziku kolapsu pňrevíyňsí vyíkon hvňezdy v oblasti neutrin její zíaňrivíy vyíkon az o 7 radu. Naprostía vňetňsina vzniklyích neutrin bez odporu projde tňelesem hvňezdy, nicmíenňe nňektería se v níí zachytíí. Svou kinetickou energii pňredajíí hvňezdníe líatce, ktería se tíím silnňe zahreje na velmi vysokou teplotu. V dusledku toho v nitru vznikne mohutní razova vlna, kteraí se nadzvukovou rychlostíí ňsííňríí hvňezdou smňerem na povrch. Mía dostatek energie k tomu, aby celou hvňezdu rozmetala do prostoru. Na vodíík bohatíy obal hvňezdy je pak v podobňe rychle se rozpíínajíícíí mlhoviny navríacen do okolníího prostoru. V maximu svíeho lesku dosahujíí supernovy typu II asi -18. absolutníí bolometrickíe velikosti. Vrchol je níasledovían postupníym poklesem vyíkonu, a to zhruba o 6 aňz 8 magnitud za rok. Pri kolapsu a níslednem pruchodu razove vlny hvezdou vznikí mnozství prvku nejruznejsích atomovych císel, vznikají i radioaktivní izotopy, z nichz dulezití je izotop Ni56 s polocasem rozpadu 6,1 dne, Co57 (270 dnu) a Na22 (2,6 roku). Pozvolní radioaktivní rozpad techto prvku je totiz dodatecním zdrojem energie supernovy v dobe poklesu její jasnosti. Po vzplanutí supernov typu II bychom na místňe hvňezdy mňeli najít její zhroucenyí zbytek - rychle rotující neutronovou hvňezdu projevující se jako pulzar. Typickyím pňríkla-dem je SN 1054, v jejímz pozustatku, Krabí mlhovine, takoví pulzar pozorujeme. V mnoha jiníych pňrípadech se to vňsak nepovedlo a níazory na to, proňc, se liňsí. 5V poslední dobe se hovorí jeste o dalsím typu supernov - o tzv. hypernovach, ktere by mely byt dusledkem prímeho zhroucení velmi hmotne hvezdy na černou díru. Pri tomto kolapsu by se mela ve zlomku sekundy uvolnit jeste mnohem vetsí energie nez v prípade vzplanutí standardních supernov v podobe ničiveho zablesku zírení gama. Takto se totiz tyto stale tajemne jevy tez vysvetlují. 6Viz prípad supernovy SN1987 A ve Velkem Magellanove oblaku. 7.3. Komplexní pěrestavbý, zhroucení a výíbuchý 207 Vedle supernov týpu II, ktere jsou teckou za vývojem hmotnách hvezd s pocatecní hmotností od 11 do 50 Sluncí, pozorujeme jeste jasnejsí supernový týpu I. Pro supernový tohoto týpu je charakteristickíe, ěze se v jejich spektru nevýskýtují ěcíarý vodíku. Podle spektrálních příznaku se tento týp delí na tři podtýpý: Ia, u nejz nachazíme velmi intenzivní caru Si II na 615 nm, u týpu Ib a Ic nikoli. Ve spektru supernov týpu Ib nachíazííme silníe ěcíarý híelia, kteríe ověsem u podtýpu Ic nenajdeme. Supernový týpu Ib a Ic jsou věseobecněe o 1,5 aěz 2 magnitudý slaběsíí neěz supernový týpu Ia, takěze se podobajíí spííěse supernovíam týpu II. Navííc se zdía, ěze i pěrííěciný jejich vzplanutíí jsou v mnohíem shodníe s pěrííěcinami explozíí supernov týpu II. Podobněe jako týto supernový nachaízííme supernový týpu Ib a Ic výíhradněe ve spiraílníích ěci nepravidelníých galaxiíích, pěrednostněe poblííěz mííst, kde v souěcasnosti vznikajíí novíe hvěezdý. Jde tedý o hmotníe hvěezdý, kteríe ve svíem jaderníem víývoji dojdou aěz do ězelezníeho konce, po něeměz níasleduje gravitaěcníí kolaps jaídra. Soudíí se, ěze vzplanutíí supernový týpu Ib, a zěrejměe i týpu Ic, je výísledkem sloězitíeho výívoje těesnýích dvojhvěezd s hmotníými sloězkami. 7.3.2 Supernovy typu Ia Týto velice jasníe supernový se kroměe mohutněejěsíího zaíěrivíeho výíkonu (v maximu svíeho lesku dosahuje jejich absolutníí vizuaílníí hvěezdnaí velikost -19,6 mag) význaěcujíí i tíím, ěze jejich svetelne křivký jsou praktický identicke. To je povýsuje do role tzv. standardních svíček, objektu, pomocí nichz lze pomeřovat vzdalenosti vzdalenách hvezdnách soustav. Vzhledem k tomu, ze je nachazíme ve vsech týpech galaxií (tj. i v takovách, kde tvorba hmotnejsích hvezd jiz dávno ustala), je zřejmá, ze předchudci tohoto týpu super- 208 Kapitola 7. Fyzika aperiodickích promennych hvezd J_i_I_I_l_I_L 0 50 100 150 200 250 300 350 400 DNY PO MAXIMU JASNOSTI Obrazek 7.10: Schematicke svetelne křivky rUznách typU supernov a supernovy SN1987A. Převzato z http://ned.ipac.caltech.edu/. nov musejí bít mene hmotne hvezdy. Vseobecne se proto soudí, ze supernovy typu Ia vznikají v dusledku jaderne detonace vznikle zapalením termonuklearních reakcí v elek-tronove degenerovanem uhlíko-kyslíkovem bílem trpaslíku. Bezprostrední príccinou vzplanutí je pozvolný nariíst hmotnosti uhlíkokyslíkoveho bíleho trpaslíka, k nemuz dochízí v dusledku prenosu latky z druhe slozky tesne dvoj-hvezdy. Zvysovaní hmotnosti vede k tomu, ze se rozmery trpaslíka neustale zmensují, címz se v jeho nitru uvolňuje potencialní energie, kterí lítku hvezdy stříle více nahríví. Prekrocí-li hmotnost degenerovane hvezdy jistou kritickou mez (asi 1,3 M0), zvísí se centralní teplota hvezdy natolik, ze se zde zazehnou termonuklearní reakce, ktere brzy rozhorí v cele hvezde.7 V dusledku toho se v nitru hvezdy zacne dale prudce zvysovat teplota, ktera nakonec preroste i teplotu degenerace. Sevrení kruníre elektronove degenerace povolí, latka hvezdy se zmení v plyn, ktery divoce expanduje do prostoru. Naslední vybuch jaderne reakce uhasí a rozhodí veskery material hvezdy do prostoru rychlostí az 104 km/s. Nicmene jeste dríve nez se tak stane, se stací více nez polovina uhlíku a kyslíku z bíleho trpaslíka zmenit na zelezo. Tento pohled na vec dobre souhlasí se spektralními vlastnostmi supernov typu Ia, kde prevladají tezsí prvky. Odhaduje se, ze jsou to prave supernovy typu Ia, ktere více nez supernovy jiních typu obohacují mezihvezdní materiíl o prvky skupiny zeleza i o uhlík a kyslík. Podobne jako u supernov jiních typu je svetelny víkon supernov typu Ia po maximu lesku urcen tempem radioaktivního rozpadu nestabilních izotopu niklu, kobaltu a dalsích radioaktivních prvku. 7Tato skutecnost je zrejme prícinou, proc se svetelne krivky supernov typu Ia tak podobají - vybuchují nam tu objekty s navlas stejnou hmotností a vnitrkem. LITERATURA 209 Literatura Alfonso-Garzón, J., Domingo, A., Mas-Hesse,J.M., Gimenez, A. 2012, A&A, 548, A79 Appourchaux, T., Belkacem, K., Broomhall, A.-M., et al. 2010, Astronomy and Astrophysics Review, 18, 197 Argelander, F. W. A. 1844, Aufforderung an Freunde der Astronomie, Jahrbuch für 1844, vyd. H. Ch. Schumacher, Stuttgart a Tübingen Andersen, J., 1991, Astronomy and Astrophysics Review 3, 91 Babcock, H. W. 1947, ApJ, 105, 105 Benedict, G. F., McArthur, B. E., Feast, M. W., et al. 2007, AJ, 133, 1810 Balona, L. A., Guzik, J. A., Uytterhoeven, K., et al. 2011, MNRAS, 415, 3531 Berdnikov, L. N., & Turner, D. G. 2010, Astronomy Reports, 54, 392 Bessell, M. S., Brett, J. M. 1988, PASP 100, 1134 Bessell, M. S. 1990, PASP 102, 1181 Bessell, M. S. 2005, ARA&A, 43, 293 Boyarchuk, A. A., Bisikalo, D. V., Kuznetsov, O. A., & Chechetkin, V. M. 2002, Mass transfer in close binary stars, by A.A. Boyarchuk, D.V. Bisikalo, O.A. Kuznetsov, and V.M. Chechetkin. Advances in astronomy and astrophysics, Vol. 6. London: Taylor & Francis, 2002, ISBN 0415273536., Breger, M., Rodler, F., Pretorius, M. L., et al. 2004, A&A, 419, 695 Bruntt, H., Kurtz, D. W., Cunha, M. S., et al. 2009, MNRAS, 396, 1189 Burd, A., Cwiok, M., Czyrkowski, H., et al. 2004, Astronomische Nachrichten, 325, 674 Busso, G., De Angeli, F., & Montegriffo, P. 2012, Proceedings of the SPIE, Vol. 8442 Carroll, B. W. & Ostlie, D. A. 2007, An Introduction to Modern Astrophysics, 2. vydaní. Benjamin Cummings, 2007. ISBN 0-321-11284-9. Catalano, S., Frisina, A., & Rodono, M. 1980, v Close binary stars: Observations and interpretation; Proceedings of the Symposium, Toronto, Canada, August 7-10, 1979. (A80-53742 24-89) Dordrecht, D. Reidel Publishing Co., 1980, p. 405-412 Cohen, M., Wheaton, W. A., & Megeath, S. T. 2003, AJ, 126, 1090 Cousins, A.W.J., 1976, MNRAS 81, 25 Cramer, N., Mander, J. 1979 A&A 78 305 Deeming T.J. 1975 Astrophys. & Space Sci. 36, 137 Deutsch, A. J. 1958, Electromagnetic Phenomena in Cosmical Physics, Proceedings from IAU Symposium no. 6, ed. Bo Lehnert, Cambridge University Press, 209 Domiciano de Souza, A., Kervella, P., Jankov, S., et al. 2003, A&A, 407, L47 Drake, A. J., Djorgovski, S. G., Mahabal, A., et al. 2009, ApJ, 696, 870 Durlevich, O. V., Kazarovets, E. V., Kholopov, P. N., Kireeva, N. N., Samus, N. N., Tsvetkova, T.M., 2006, General Catalogue of Variable Stars V1.4, Vol. IV (verze z 17. 10. 2006), ed. N.N. Samus, Astronomical Council of the USSR Academy of Sciences and Sternberg, Astronomical Institute of the Moscow State University, http://www.sai.msu.su/groups/cluster/gcvs/gcvs/ Eastman, J. 2012, Astrophysics Source Code Library, 6012 Eastman, J., Siverd, R., & Gaudi, B. S. 2010, PASP, 122, 935 Eberhard, G., & Schwarzschild, K. 1913, ApJ, 38, 292 Eddington, A. S. 1926, The Internal Constitution of the Stars, Cambridge: Cambridge 210 LITERATURA University Press, 1926. ISBN 9780521337083. Eggleton, P. P. 1983, ApJ, 268, 368 ESA 1997, VizieR Online Data Catalog, 1239, 0 Flower, P. J. 1996, ApJ, 469 355 Folsom, C. P., Kochukhov, O., Wade, G. A., Silvester, J., & Bagnulo, S. 2010, MNRAS, 407, 2383 Freedman, W. L. et al. 2001, ApJ, 553, 47 Fukugita, M.,Ichikawa, T., Gunn, J. E., et al. 1996, AJ 111, 1748 Gimenez, A., Clausen, J. V., Guinan, E. F., Maloney F. P., Bradstreet, D. H., Storm, J. a Tobin, W., 1995, Experimental Astron. 5, 181-183 Golay, M., 1962, Pub. Obs. Geneve No 15 (serie A), 29 Hall, J. S. 1949, Science, 109, 166 Hall, D. S. 1976, IAU Colloq. 29: Multiple Periodic Variable Stars, 60, 287 Harmanec, P., Grygar, J., Horn, J., Koubský, P., Kriz, S., Zd'arsky, F., Mayer, P.; Ivanovic, Z., Pavlovski, K., 1977, Astronomical Institutes of Czechoslovakia, Bulletin, vol. 28, no. 3, p. 133-143 Harmanec, P., Broz, M., 2011, Stavba a vyvoj hvezd, Matfyzpress, Praha 2011 Harmanec, P., Mayer, P., 2008, Dvojhvezdy, učební text, Astron. ustav MFF UK Praha Harmanec P., Horn J., Juza K. 1994, Astron. Astrophys. Suppl. 104, 121 Herbig, G. H., Petrov, P. P., & Duemmler, R. 2003, Apj, 595, 384 Hertzsprung, E. 1928, BAN 4, 178 Hewish, A., Bell, S. J., Pilkington, J. D. H., Scott, P. F., & Collins, R. A. 1968, Nature, 217, 709 Hilditch, R. W., 1996, Binary Stars in Local Group, v The origins, evolution, and destinies of binary stars in clusters, Astron. Soc. of Pacific Conference Series 90, An internat. symposium, Univ of Calgary, 18-23 June 1995, San Francisco, ed. E. F. Milone, J.-C. Mermilliod, str. 207 Hiltner, W. A. 1949, Nature, 163, 283 Hodapp, K. W., Kaiser, N., Aussel, H., et al. 2004, Astronom. Nachrichten, 325, 636 Christensen-Dalsgaard, J. 2003, Lecture Notes on Stellar Oscillations, University Aarhus, 5. vydianií Iben, I., Jr. 1971, PASP, 83, 697 Inno, L., Matsunaga, N., Bono, G., et al. 2013, ApJ, 764, 84 Ivezic, Z., Axelrod, T., Brandt, W. N., et al. 2008, Serbian Astronom. Journal, 176, 1 Johnson, H. L., Morgan, W.W., 1953, ApJ 117, 313 Johnson, H. L., 1965, ApJ 141, 923 Joy, A. H., 1945, ApJ 102, 168 Jurkevich, I., 1971, Astrophysics and Space Science, Vol. 13, 154-167 Kaye, A. B., Handler, G., Krisciunas, K., et al. 1999, PASP, 111, 840 Keller, S. C., Murphy, S., Prior, S., Da Costa, G., & Schmidt, B. 2008, ApJ, 678, 851 Kleczek, J., 2002, Velkia encyklopedie vesmiíru. Academia, 584 str. Komarova, V. N., Beskin, G. M., Neustroev, V. V., & Plokhotnichenko, V. L. 1996, Journal of Korean Astronomical Society Supplement, 29, 217 Kopal, Z., 1955, Annales d'Astrophysique, 18, 379 Korhonen, H., Berdyugina, S. V., Ilyin, I. V., Strassmeier, K. G., & Hackman, T. 2009, LITERATURA 211 Revista Mexičana de Astronomia y Astrofisica Conference Series, 36, 323 Krtička, J., Mikulašek, Z., Zverko, J., et al. 2010, IAU Symposium, 264, 270 Kríž, S., Harmanec, P., 1975, Astronomical Institutes of Czechoslovakia, Bulletin, vol. 26, no. 2, p. 65-81. Kuiper, G. P. 1941, ApJ, 93, 133 Kurtz, D. W. 1982, MNRAS, 200, 807 Kurtz, D. W. 2006, Astrophysics of Variable Stars, 349, 101 Kwee, K. K., & van Woerden, H. 1956, BAN 12, 327 Landolt, A. U. 1983, AJ, 88, 439 Landolt, A. U. 1968, ApJ, 153, 151 Leavitt, H. S. 1908, Annals of Harvard College Observatory, 60, 87 Leibacher, J. W., & Stein, R. F. 1971, Astrophysical Letters, 7, 191 Leighton, R. B., Noyes, R. W., & Simon, G. W. 1962, ApJ, 135, 474 Lockwood, G. W., Skiff, B. A., Henry, G. W., et al. 2007, ApJS, 171, 260 Messina, S., & Guinan, E. F. 2002, A&A, 393, 225 Messina, S., & Guinan, E. F. 2003, A&A, 409, 1017 (erratum 2004, A&A 428, 983) Metcalfe, T. S., Monteiro, M. J. P. F. G., Thompson, M. J., et al. 2010, ApJ, 723, 1583 Michaud, G. 1970, ApJ, 160, 641 Mikolajewska, J. 2001, IAU Colloq. 183: Small Telescope Astronomy on Global Scales, 246, 167 Mikulasek, Z., Zejda, M., Zhu, L., Qian, S.-B., Liska, J., de Villiers, S. N., 2013, Cent. Eur. Astrophys. Bull. 37, 1, v pnprave (jinak arXiv:1212.5519) Mikulasek, Z., Zejda, M., Qian, S.-B., Zhu, L. , Proceedings of 9th Pacific Rim Conference on Stellar Astrophysics, (11.-26. dubna 2011, Lijiang, Cina), 2011, Astronomical Society of the Pacific, 451, 111 Mikulasek, Z., Krticka, J., Henry, G. W. et al. 2008, Astron. and Astrophysics, 485, 585 Mikulasek Z., Wolf M., Zejda M., Pecharova P. 2006, Astrophys. Space Sci. 304, 363 Morbey, C. L., Publications of the Dominion Astrophysical Observatory, Vol. 14, p. 185 Moro, D., Munari, U., 2000, A&A Suppl. 147, 361 Opiela, R., Malek, K., Mankiewicz, L., et al. 2012, Proceedings of the SPIE, Vol. 8454, Percy, J. R. 2011, Understanding Variable Stars, by John R. Percy, Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2011, Perryman, M. A. C., & ESA 1997, ESA Special Publication, 1200, Pettersen, B. R., Olah, K., & Sandmann, W. H. 1992, Astronomy and Astrophysics Supplement Series, 96, 497 Pickering, E. C. 1882, The Sidereal Messenger Pickering, E. C. 1883, The Observatory, 6, 79 Pickering, E. C. 1890, Annals of Harvard College Observatory, 18, 285, Appendix Pigulski, A., & Pojmanski, G. 2008, A&A, 477, 917 Plavec, M., & Kratochviíl, P. 1964, Bull. of the Astron. Inst. of Czechoslovakia, 15, 165 Pojmanski, G. 2002, Acta Astronomica 52, 397 Pollacco, D. L., Skillen, I., Collier Cameron, A., et al. 2006, PASP, 118, 1407 Pourbaix, D., Tokovinin, A. A., Batten, A. H., et al. 2009, VizieR Online Data Catalog, 1, 2020 Press, W. H., Rybicki, G. B. 1989, ApJ, 338, 277 212 LITERATURA Pych, W., Kaluzny, J., Krzeminski, W., Schwarzenberg-Czerny, A., & Thompson, I. B. 2001, A&A, 367, 148 Rucinski, S. 1999, Turkish Journal of Physics, 23, 271 Schmid, H.M. 2012, ucební texty Astronom. Observations, http://www.astro.ethz.ch Schulz, N. S. 2005, From Dust To Stars Studies of the Formation and Early Evolution of Stars, by N.S. Schulz. Springer-Praxis books in astrophysics and astronomy. Praxis Publishing Ltd, 2005. ISBN 3-540-23711-9, Skarka, M. 2013, A&A, 549, A101 Skrutskie, M. F., Cutri, R. M., Stiening, R., et al. 2006, AJ, 131, 1163 Soszynski, I., Poleski, R., Udalski, A., et al. 2008, Acta Astron., 58, 163 Soszynski, I., Poleski, R., Udalski, A., et al. 2010, Acta Astron., 60, 17 Stellingwerf, R. F., 1978, Astrophysical Journal, vol. 224, 953-960 Sterken, C., & Jaschek, C. 1996, Light Curves of Variable Stars. A Pictorial Atlas, ISBN 0521390168, Cambridge University Press Stibbs, D. W. N. 1950, MNRAS, 110, 395 Stobie, R. S., Chen, A., O'Donoghue, D., & Kilkenny, D. 1993, MNRAS, 263, L13 Strassmeier, K. G., Bartus, J., Fekel, F. C., & Henry, G. W. 2008, A&A, 485, 233 Stromgren, B. 1956, Vistas in Astronomy 2, 1337 Svechnikov, M. A., Istomin, L. F., 1979, Astronomiceskij cirkuljar No.1083 Szymanski, M. K. 2005, Acta Astronomica 55, 43 Ulrich, R. K. 1970, ApJ, 162, 993 van den Bergh, S. 1968, J.R.Astron.Soc.Can., 62, 145 van den Bergh, S. 1975, Galaxies and the Universe. Eds. A. Sandage, M. Sandage, J. Kristian. University of Chicago Press (Stars and Stellar Systems. Volume 9), Chicago, USA, p.509 van Leeuwen, F. 2007, A&A 474, 653 van Leeuwen, F. 2008, VizieR Online Data Catalog, 1311, 0 van Leeuwen, F. 2009, A&A 500, 505 van Leeuwen, F. 2010, Space Science Reviews 151, 209 Vaughan, A. H., Preston, G. W., & Wilson, O. C. 1978, PASP, 90, 267 Vaughan, A. H., & Preston, G. W. 1980, PASP, 92, 385 Vorobyov, E. I., & Basu, S. 2010, Apj, 719, 1896 Waelkens, C. 1991, A&A, 246, 453 Walraven, Th., Walraven J. H. 1960, BAN 15, 67 Wilson, O. C. 1978, ApJ, 226, 379 Wilson, R.E., 1979, ApJ 234, 1054 Wilson, R.E., 1994, PASP 106, 921 Woízniak, P. R., Vestrand, W. T., Akerlof, C. W., et al. 2004, AJ, 127, 2436 Zejda, M., Borovicka, J., Hajek, P., et al. 1994, Contributions of the Public Observatory and Planetarium in Brno, 30 Zejda, M., & Domingo, A. 2011, Information Bulletin on Variable Stars, 5996, 1 Zhevakin, S. A., 1953, Astronomicskij zurnal 30 161-179 Zhu, L.-Z., Zejda, M., Mikulasek, Z., Qian, S.-B. & de Villiers, S.N., 2012, Astronomical Journal 144, 37 Úvod do studia proměnných hvězd Prof. RNDr. Zděněk MikulaSěk, CSc., RNDr. Miloslav Zějda, Ph.D. Výdala Masarykova univěrzita v rocě 2013 Výdaní první Naklad 200 ks Tisk Tiskárna Knopp, CěrnCicě 24, 549 01 Nově Město nad Mětují ISBN 978-80-210-6241-2