Výpočet parametrů plazmatu z spektrálních čar Profily vodíkových čar A. Brablec karedra fyzikální elektroniky PřF MU v Brně Kotlářská 2, 61137 Brno Česká republika Obsah • Formulace problému • Typy rozšíření spektrálních čar • Odpočet vlivu přístrojové funkce: Voigtova funkce, aproximace pomocí B - spline, MNČ • Šířka spektrálních čar • Rozšíření vodíkových čar HaiH^ • Závěr - výpočet ne z profilu spektrálních čar vodíku Formulace problému • vliv přístrojové funkce - Fredholmova integrální rovnice 1. druhu) • vliv detektoru (Volterrova integrální rovnice 1. druhu) • oscilace plazmatu, Ábelova transformace • hyperjemá a multipletní struktura komponent • vliv rozšiřujících faktorů na profil komponent Inverzní problém: Ktp = / Hadamardovy podmínky: 1. řešení existuje pro libovolnou funkci / 2. v daném prostoru existuje jen jediné řešení 3. závisí na / £ G2 spojitě 4. spočtené řešení je stabilní Vliv šumu, dodání netriviální informace Typy rozšíření spektrálních čar přístrojové vlivem plazmatu - Dopplerovo - tlakové - Stárkovo - van der Waals - rezonanční Odpočet vlivu přístrojové funkce oo Ki) = / f(x)g(i - x)dx. —oo Voigtova funkce oo a -ť V{x\ a) = — 7t j (x — ť)2 + a2 oo ., 7-70 OtL at, x —-, a — — /D(A) = /D(A0)exp-(— )2 , AAD = 2aDVIn2 = 2 A0 /2/cTnln2 c M Srážková aproximace - Lorentzův profil tvar s šířkou 2a^ ^l(7o) /l(7) (7-7o-d)2 + ^' srážková aproximace - rozšíření elektrony statická aproximace - těžké ionty V případě, že nemůžeme určit parametry plazmatu (neznáme model), lze pouze spočítat vlastní profil čáry (spektrum). Další metody pro řešení inverzní úlohy byly navrženy i jiné metody - FFT, regularizační metody, metoda maximální entropie, a další. http://www.provencher.de/contin.html Odpočet přístrojové funkce a pomocí B - splinů ^(7) = / ^2^iBi(x)g(j - x)6x = 5ľaM Bi(x)d{l ~ x)dx a 1=1 1=1 a NÍ n h \2 ^ = Yl [hj-Ylaí Bi(x)g(ij-x)dx = min- b a ji = J Bi(x)g(/jj — x)dx. a (5) (6) (7) lA. Brablec, D. Trunec, F. Šťastný, J. Phys. D: Appl. Phys.. 32 (1999)1870 - 1875 n ^2Bí(x)oí ±tN-n+4(p)y s2bTCub, bT = (Bi(x),.. .,Bn{x)) ín-u+aÍP) je /5-kvantil Studentova rozdělení siV-n + 4 stupni volnosti Odhad optimálni hodnoty n - kritérium "cross validation" C(n) = N b n Ľ (hj - /(E aiBi(x))g(lj ~ x)6x)2 j=l a i=l l-n/N n — 5,6, (9) di byly již určeny drive 9 -6 -4 -3-2-10 1 2 wavelength [a.u.] 3 4 6 Testovací příklad č.1: a) 1 - "exp." profil čáry, cr=0.01, 2 - teoretický Dopplerův profil, 3 - výsledek, 4 -Lorentzův profil jako přístrojová funkce. n=11, N = 201. b) pás spolehlivosti, p = 99.7 % . Srovnání skutečné optimální hodnoty nopt a hodnoty ne spočtené podle kritéria pro jeden běh úlohy, p je pravděpodobnostní obsah pásu spolehlivosti pro nopt, teoretický pravděpodobnostní obsah je 68.3 %. a ne ^opt P [%] 5xlCT2 19 11 71 ixicr2 13 11 38 5xicr3 19 11 49 ixicr3 15 11 8 5xlCT4 15 17 97 ixicr4 19 17 51 1xlCT5 19 19 20 wavelength [a.u.] Testovací příklad č.2: a) 1 - "experimentální" profil čáry zatížený šumem s normálním rozdělením cr=0.01, 2 - přístrojová funkce - dělená 2. b) 1 - teoretický profil čáry, 2 - výsledek výpočtu, uzly jsou rozděleny rovnoměrně, 3 - výsledek výpočtu, nerovnoměrné rozdělení uzlů. Dimenze prostoru splinů je n=32, počet "experimentálních" bodů \e N = 200. Voigtův profil - výpočet oo dv(x, y) z = x + \.y , w(z) = v (z) + i.n(z), w(z) = — 7T / \ du(x v) f \ qx = 2 (jM^ ž/) - ž/) J > —Qjj— = 2 (^0, y) + y) - l/VŤrj . (11) d (10) ■oo rn g{1) = ReYJ k=l 7 + xk + ii/fe (12) kde 7 je nezávisle proměnná, ak, f3k, xk, y k jsou reálné koeficienty (které známe nebo je musíme určit jinak, např. MNČ), můžeme přímo získat pro měřený profil rn h(>y) = Re^2(f3k - \ak)w(zfk), (13) k=l kde k-tý člen je roven /_/,./ / _ 7 ~ 7o + %k , _ otiu + y k Zk — Xk + LVk 5 Xk — iVk — ' Vhťž (14) OíB OíB Srovnání odečtení přístrojové funkce pomocí B-splinů a metody nejmenších čtverců i—1—i—■—i—1—i—'—i—■—i—■—i—r HD 486.13 nm (shifted) Cd 479.9 nm _ -0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 AX [nm] 0.02 0.03 0.04 Experiment - vf výboj v parách vody za sníženého tlaku, FPI RC150 Burleigh: Vlastní profil čáry Hp - Voigtova funkce: 1 - aproximace měřených dat kubickými B-spliny (n=7), 2 - spočtený vlastní profil čáry pomocí B-splinů, 3 - metody nejmenších čtverců, vlastní profil čáry - Voigtova funkce. Přístrojová funkce (Cd 479.9 nm) - 2 členy racionálně lomené funkce. 1200 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 n log (N/p) [irť3/Pa] Citlivost QiDiQLL (15) kde So je součet čtverců odchylek, N je počet použitých dvojic bodů, p je počet určovaných parametrů, Djj je diagonální prvek kovarianční matice, která se vypočte jako inverzní matice k hessianu ~[ °i dQj dqi kde Ip(\i) se spočte jako konvoluce Voigtovy funkce a racionálně lomené funkce (aproximace přístrojové funkce racionálně lomenou funkcí). 100 b- o Q CO CC 10 b Závislost relativní standardní odchylky (RSD) Dopplerova a Lorentzova rozšíření na Lorentzově rozšíření ckl pro konstantní pološířku přístrojové funkce (0.01) pro různé hodnoty Dopplerova rozšíření (od hodnoty 0.06 s krokem 0.05 - z levého dolní rohu obrázku nahoru). Šířka izolovaných spektrálních čar H/3 4861 A°, T = 104 K, T = 4x104 K, ne = 1014 cm"3, ne = 1017 cm"3 wsA° 0.42 48 0.42 50 wDA° 0.35 0.35 0.70 0.7 Ol 7254 A°, T = 104 K, T = 4x104 K, ne = 1014 cm"3, ne = 1017 cm"3 wsA° 0.015 16 0.021 23.4 wDA° 0.13 0.13 0.26 0.26 ArII 4806 A°, T = 104 K, T = 4x 104 K, ne = 1015 cm"3, ne = 1018 cm"3 wsA° 0.0014 1.4 0.002 2.1 wDA° 0.08 0.08 0.15 0.15 log N [m3] celková šířka H^: aproximace VCS, převzato a aC. R. Vidal, J. Cooper, E. W. Smith, Astrophys. J. Suppl. 214 (1973) 37 Ha, H p - započtení dynamiky iontů, převzato a aJ. M. Luque, M. D. Calzada, M. Saez, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 36 (2003) 1573 - 1584 40 ▼ ▼ .-''Ať % 10 ne (1018cm~3) 10 Ha\ pro 0.5 x 1018 cm-3