L
n1
n2
kx
k
Grupová rychlost v rovinných světlovodech
Z podmínky stojatého vlnění ve směru osy x jsme dostali rovnici
2L n1
2π
λ0
sin ϑ − 2ϕe = m 2π (1)
n1
2π
λ0
sin ϑ = kx,
L n1
ω
c
2
− β2 − ϕe = m π (2)
kde pro změnu fáze při totálním odrazu ϕe platí (pro TE polarizaci)
tg
ϕe
2
=
sin2
ϑc
sin2
ϑ
− 1 (3)
sin2
ϑc = 1 − sin2
αc = 1 −
n2
n1
2
sin2
ϑ =
n1
ω
c
2
− β2
n1
ω
c
2
tg
ϕe
2
=
β2 − n2
ω
c
2
n1
ω
c
2
− β2
(4)
Po dosazení (4) do (2) dostáváme disperzní relaci
tg2 L
2
n1
ω
c
2
− β2 − m
π
2
=
β2 − n2
ω
c
2
n1
ω
c
2
− β2
(5)
1
Grupovou rychlost jednotlivých módů můžeme získat z disperzní relace jako
vg =
dω
dβ
. (6)
Jistý půvab ale má vrátit se k rovnici (2) a získat z ní grupovou rychlost derivováním celé rovnice podle
vlnového čísla (d/dβ):
L
n2
1
ω
c2
vg − β
n1
ω
c
2
− β2
=
∂ϕe
∂β
+
∂ϕe
∂ω
vg
Po úpravě tg ϑ = n1
ω
c
2
− β2 / β a sin ϑ = n1
ω
c
2
− β2 / n1
ω
c dostáváme
vg =
L
tg ϑ
+
∂ϕe
∂β
n1L
c sin ϑ
−
∂ϕe
∂ω
(7)
L
n1
L
tgϑ
∂ϕe
∂β
−
∂ϕe
∂ω
n1L
csinϑ
2
ω
β
c β
c β
m=3
2
1
0
1n
nB
Obrázek 1: Náčrtek disperzní relace v symetrickém
světlovodu.
3.45
3.46
3.47
3.48
3.49
3.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
β/k0
ω [(fs)
-1
]
m=0
1
2
3
Obrázek 2: Disperzní relace několika módů
v 10 µm širokém rovinném světlovodu s n1 =3,5
a nB =3.45 (AlxGa1−xAs).
3.45
3.46
3.47
0 0.05 0.1
β/k0
ω [(fs)-1
]
TE
TM
Obrázek 3: Disperzní relace TE a TM módů pro
m = 0 ve světlovodu z obr. 2.
8.5
8.55
8.6
8.65
8.7
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
vg[10
7
m/s]
ω [(fs)-1
]
Obrázek 4: Grupová rychlost několika módů pro
světlovod z obr. 2. Vodorovné čáry označují rychlosti
c/n1 a c/nB.
3