Lineární algebra
M1030 Matematika pro bio 19. a 26.10.2021
Základní pojmy
Motivace Matice a vektory „Klasifikace" matic Operace s maticemi
Řešení soustav rovnic - Gaussova eliminace
Determinanty_
Řešení soustav rovnic - Cramerovo pravidlo
Regulární matice_
Aplikace - maticové populační modely_
Základní pojmy
Motivace
Eulerův model růstu populace: x(t + 1) = rx(t) x(t) ... velikost populace v čase t
r     ... růstový koeficient (r = 1 + b — d, b porodnost, d úmrtnost) Caswellův model růstu populace strukturované podle plodnosti:
z(*+l)=<7i(l-7)a;(*)+ fy(t) y(t + l)= ai7 x(ť) + a2
... množství juvenilních jedinců
y(t) . .. množství plodných jedinců
/    ... očekávané (průměrné) množství potomků plodného jedince za jednotku času
7    ... P(juvenilní jedinec během časové jednotky dospěje)
(Ti   ... P(juvenilní jedinec přežije časovou jednotku)
(Ti   ... P(plodný jedinec přežije časovou jednotku)
Motivace
Eulerův model růstu populace: x(t + 1) = rx(t)
Caswellův model růstu populace strukturované podle plodnosti
z(*+l)=<7i(l-7)a;(*)+ fy(t) y(t + l)= í7i7 x(ť) + a2
Označení: a;(í)=(XSYR=f<Jl{1"7) ;
Motivace
Eulerův model růstu populace: x(t + 1) = rx(t)
Caswellův model růstu populace strukturované podle plodnosti: x(t + 1) = Rx(ť)
a:(í+l)=(7i(l-7)a:(í)+ + 1) =        ai7 x (ť) + a2
Označení: a;(í)=(XSYR=f<Jl{1"7) ;
Matice a vektory
Matice typu (m,n) ... tabulka čísel o m řádcích a n sloupcích
A =
/ «11	«12	«13	«l,n-l	«l,n \
«21	«22	«23	«2,n-l	«2,n
«31	«32	«33	«3,n-l	«3,n
«m—1,1	«m-l,2	«m —1,3     • •	«m—l,n—1	«m—l,n
\ «ml	«m2	«m3       • •	«m,n—1	«m,n /
Matice a vektory
Matice typu (m, n) ... tabulka čísel o m řádcích a n sloupcích
A =
/ au	«12	«13	«l,n-l	«l,n \
«21	«22	«23	«2,n-l	«2,n
«31	«32	«33	«3,n-l	«3,n
«m—1,1	«m-l,2	«m —1,3     • •	«m—l,n—1	«m—l,n
V «ml	«m2	«m3       • •	«m,n—1	«m,n /
Příklady:
A=(-2 3,1415927 ±) ' B = (-4 2)' R = (^^7 ^ i)' C = (7) A je matice typu (2, 3), B a R jsou matice typu (2, 2), C je matice typu (1,1).
Matice a vektory
Matice typu (m, n) ... tabulka čísel o m řádcích a n sloupcích
Příklady:
A
/ au	«12	«13	«l,n-l	«l,n \
«21	«22	«23	«2,n-l	«2,n
«31	«32	«33	«3,n-l	«3,n
«m—1,1	«m-l,2	«m —1,3     • •	«m—l,n—1	«m—l,n
\ «ml
«m2
«m3
A=í  1 2 3
-2   3,1415927   ± 1 '
B =
8 0 -4 2
a
m,n— 1
R =
a
m
,n /
'*i(l-7) /
cti 7
02
C = (7)
A je matice typu (2, 3), B a R jsou matice typu (2, 2), C je matice typu (1,1). Číslo lze považovat za speciální případ matice, matice jsou zobecněním čísel.
4/27
Matice a vektory
Matice typu (m, n) ... tabulka čísel o m řádcích a n sloupcích
A
/ «11	«12	«13	«l,n-l	«l,n
«21	«22	«23	«2,n-l	«2,n
«31	«32	«33	«3,n-l	«3,n
«m—1,1 «m—1,2 «m —1,3 \   «ml «m2 «m3
m-rozměmý sloupcový vektor je matice typu (m, 1), v
«ra—l,n—1     «m—l,n «m,n—1 «m,n y
/"A
^2 ^3
Matice a vektory
Matice typu (m, n) ... tabulka čísel		o m řádcích	a n sloupcích	
	/ au ai2	«13	«l,n-l	«l,n \
	«21 «22	«23	«2,n-l	«2,n
A =	«31 «32	«33	«3,n-l	«3,n
	«ra-l,l «m-l,2	«m —1,3     • • •	«ra —l,n—1	«ra—l,n
	\   «ml «m2	«m3       • • •	«m,n—1	«m,n /
m-rozměrný sloupcový vektor je matice typu (m, 1), v =
/M
^2 ^3
n-rozměrný řádkový vektor je matice typu (l,n),
ií; = (l^i    1^2 ^3
k;
n
) = (Wl, w2lw3.
„Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m, n je
„Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m, n je • čtvercová řádu n, pokud m = n
„Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m, n je • čtvercová řádu n, pokud m = n
„Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m, n je
• čtvercová řádu n, pokud m = n
• horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j ^ clíj = 0
„Klasifikace" matic
v
Řekneme, že matice A typu m,n je
• čtvercová řádu n, pokud m = n
• horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j =>
8 -4 0 2
1 2
0 3,1415927
0 0
„Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m, n je
• čruercouá řádu n, pokud m = n
• horní trojúhelníková, pokud (Vi,j)i > j
• dolní trojúhelníková, pokud (Vi,j)i < j
a* j = 0
CLij = 0
5/27
„Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m, n je
• čtvercová řádu n, pokud m = n
• horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j' = 0
• dolní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i < j => cííj = 0
/8   0\      / 1 0 0\
VO   OJ'    V~2   3,1415927 OJ
Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m, n je
• čtvercová řádu n, pokud m = n
• horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j = 0
• dolní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i < j = 0
• diagonální, pokud (Vi, j)i ^ j = 0 (je současně horní i dolní trojúhelníková)
Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m, n je
• čtvercová řádu n, pokud m = n
• horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j = 0
• dolní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i < j = 0
• diagonální, pokud (Vi, j)i ^ j = 0 (je současně horní i dolní trojúhelníková)
fS   0\      (0   0\      fl 0 0\
\0   2J '    V°   2/      \°   3,1415927 OJ
Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m, n je
• čtvercová řádu n, pokud m = n
• horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j = 0
• dolní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i < j = 0
• diagonální, pokud (Vi, j)i ^ j = 0 (je současně horní i dolní trojúhelníková)
• symetrická, pokud je čtvercová a (Vi, j)clíj = cljí
Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m, n je
• čtvercová řádu n, pokud m = n
• horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j = 0
• dolní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i < j = 0
• diagonální, pokud (Vi, j)i ^ j = 0 (je současně horní i dolní trojúhelníková)
• symetrická, pokud je čtvercová a (Vi, j)a^ = cíjí
(o    (!    (i 3'14if27
II
Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m, n je
• čtvercová řádu n, pokud m = n
• horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j = 0
• dolní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i < j = 0
• diagonální, pokud (Vi, j)i ^ j = 0 (je současně horní i dolní trojúhelníková)
• symetrická, pokud je čtvercová a (Vi, j)clíj = cljí
• nulová, pokud (\H1j)aij =0,    O = \     ®   ^ )
II
Klasifikace" matic
Řekneme, že matice A typu m, n je
• čtvercová řádu n, pokud m = n
• horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j = 0
• dolní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i < j = 0
• diagonální, pokud (Vi, j)i ^ j = 0 (je současně horní i dolní trojúhelníková)
• symetrická, pokud je čtvercová a (Vi, j)clíj = a3i
• nulová, pokud (\H1j)aij =0,    O = \     ®   ^ )
• jednotková, pokud a^7
0
1
* — j
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
1. unární operace (matice h> matice; A h>
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
1. unární operace (matice h> matice; A h>
• Transpozice matice: AT = A' = B
Matice B je typu (n, m),     = a ji
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
1. unární operace (matice h> matice; A h> B)
• Transpozice matice: AT = A' = B
Matice B je typu (n, m),     = a ji Příklady:
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
1. unární operace (matice h> matice; A h>
• Transpozice matice: AT = A' = B
Matice B je typu (n, m),     = a ji
Platí: čtvercová matice A je symetrická <^> A
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
1. unární operace (matice h> matice; A h>
• Transpozice matice: AT = A' = B
Matice B je typu (n, m),     = a ji
Platí: čtvercová matice A je symetrická <^> A
• Opačná matice. — A = B
Matice B je téhož typu (m, n),     = —clíj
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
1. unární operace (matice h> matice; A h> B)
• Transpozice matice: AT = A' = B
Matice B je typu (n, m),     = a ji
Platí: čtvercová matice A je symetrická <^> A = AT
• Opačná matice. — A = B
Matice B je téhož typu (m, n),     = —clíj
Príklad:
2
3,14
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
1. unární operace (matice h> matice; A h>
• Transpozice matice: AT = A' = B
Matice B je typu (n, m),     = a ji
Platí: čtvercová matice A je symetrická <^> A
• Opačná matice: — A = B
Matice B je téhož typu (m, n),     = —clíj
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
2. vnější operace (číslo, matice \-> matice; c, A \-> B)
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
2. vnější operace (číslo, matice \-> matice; c, A \-> B) • Násobení matice číslem (skalárem): cA = B Matice B je téhož typu (m, n),     = ca^
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
2. vnější operace (číslo, matice \-> matice; c, A \-> B) • Násobení matice číslem (skalárem): cA = B Matice B je téhož typu (m, n),     = ca^ Príklad:
_ifl      2     3\ = M     -1 "I 2 V-2   3,14   \)        i    -157 -\
4
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
2. vnější operace (číslo, matice \-> matice; c, A \-> • Násobení matice číslem (skalárem): cA = B Matice B je téhož typu (m, n),     = ca^ Platí
-A = (-l)A
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C)
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součet matic. A + B = C
Obě matice B a C jsou téhož typu (ra, n), c^- =     + 6^
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součet matic. A + B = C
Obě matice B a C jsou téhož typu (m,n)p Cíj =     + 6^-Příklady:
1
2
2 3,14
3
' 3     -1 -2\ _
-i 0,86 |; -
1 + 3 2 + (-l)     3 + (-2)\ = /4    1 l\
2 + (-l) 3,14 + 0,86    -\ + \)     V"3   4 °7
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-t C) • Součet matic. A + B = C
Obě matice B a C jsou téhož typu (m,n), Cíj =     + 6^-Příklady:
f 1      2      3 \     / 3     -1    -2\ _
V-2   3,14   -ij + V"1   °>86    ! J "
/ 1 + 3 2 + (-l) 3 + (-2)\ = /4 1 l\ V-2 + (-1)   3,14 + 0,86 + V'3   4 07
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součet matic. A + B = C
Obě matice B a C jsou téhož typu (m, n), Cíj = + Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součet matic. A + B = C
Obě matice B a C jsou téhož typu (m, n), Cíj = +
Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická Vlastnosti sčítání matic:
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součet matic. A + B = C
Obě matice B a C jsou téhož typu (m, n), Cíj = +
Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická
Vlastnosti sčítání matic:
(A + B) + C = A + (B + C) asociativita
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součet matic. A + B = C
Obě matice B a C jsou téhož typu (m, n), Cíj = +
Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická
Vlastnosti sčítání matic:
(A + B) + C = A + (B + C) asociativita A + B = B + A komutativita
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součet matic. A + B = C
Obě matice B a C jsou téhož typu (m, n), Cíj = +
Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická
Vlastnosti sčítání matic:
(A + B) + C = A + (B + C) asociativita A + B = B + A komutativita A + 0 = 0 + A = A        existuje neutrální prvek
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součet matic. A + B = C
Obě matice B a C jsou téhož typu (m, n), Cíj = +
Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická
Vlastnosti sčítání matic:
(A + B) + C = A + (B + C) asociativita
A + B = B + A komutativita
A + 0 = 0 + A = A existuje neutrální prvek
A + (—A) = 0 ke každé matici existuje opačný prvek
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součet matic. A + B = C
Obě matice B a C jsou téhož typu (m, n), Cíj =     + b
Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická
Vlastnosti sčítání matic:
(A + B) + C = A + (B + C) A + B = B + A A+0=0+A=A A + (-A) = 0
asociativita
komutativita
existuje neutrální prvek
ke každé matici existuje opačný prvek
Matice spolu s operací sčítání tvoří Abelovskou grupu.
6/27
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součet matic. A + B = C
Obě matice B a C jsou téhož typu (ra, n), c^- =     + 6^
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-t matice; A, B \-> C)
• Součin matic: A B = C
Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p)
n
Cij = Uilblj + «i2^2j + ai3^3j + * * * + ainbnj = ^ik^kj
k=l
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C)
• Součin matic. A B = C
Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p)
n k=l
Příklady:
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
3. binární operace (matice, matice i-+ matice; A, B i-+ C) • Součin matic. A B = C
Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p)
n k=l
Příklady:
2    °\ /l 2
A = I -3   1 ,B=M
6 2
-3 5
2    0\   ,         x      / 2 - 1 + 0 • (-3)      2 - 2 + 0 • 5 \ / 2 4
AB=|-3   1    (          )=   -3-1 + 1-(-3)   -3-2 + 1-5 =   -6 -1
6    2/ ^          '     \ 6- 1 + 2 -(-3)      6-2 + 2-5/ \0 22
BA ... nelze vynásobit
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součin matic. A B = C
Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p)
n k=l
Příklady:
6/27
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součin matic. A B = C
Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p)
Příklady:
n
cij — ďilblj + CLi2^2j + ^isbsj + * * * + CLin^nj ~ ^ik^kj
k=l
'0 -1 1
A = | 0 2    -2 | , B =
0 1 -1
s.
'0-1 1 \  / 2 0
AB = | 0    2 -2-10
0    1 -1/ V-l 0
2    0 2 -1   0 -1 -1   0 -1
2
-1 -1
'0  0 oN
0 0 0 0   0 0
6/27
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součin matic. A B = C
Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p) Příklady:
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C)
• Součin matic. A B = C
Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p)
n
cij — 0>ilblj + CLi2^2j + «i3^3j + ' ' ' + Uinbnj = ^ik^kj
k=l
Vlastnosti násobení matic:
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součin matic. A B = C
Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p)
Vlastnosti násobení matic:
(AB)C = A(BC) asociativita
n
Operace s maticemi
A ... matice typu (m, n)
3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součin matic. A B = C
Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p)
Vlastnosti násobení matic:
(AB)C = A(BC) asociativita m = n =^> AE = EA = A    k čtvercové matici existuje neutrální prvek
n
Základní pojmy
Řešení soustav rovnic - Gaussova eliminace
Příklad
Soustava lineárních rovnic Gaussova eliminační metoda Řešitelnost soustavy lineárních rovnic Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku Závěrečná poznámka
Determinanty
Řešení soustav rovnic - Cramerovo pravidlo
Regulární matice _
Aplikace - maticové populační modely
Řešení soustav rovnic Gaussova eliminace
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = 4
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = 4
x+2y = 4 2x+3y = 7
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = 4
x+2y = 4 | • (-2) 2x + 3y = 7
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = 4
x+2y = 4 2x+3y = 7
(-2)
-2x-4y = -S 2x+3y = 7
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = 4
x+2y = 4 2x+3y = 7
(-2)
-2x- 4y = -8 2x+3y = 7 +
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = 4
x+2y = 4 2x+3y = 7
(-2)
-2x- 4y = -8 2x+3y = 7 +
x + 2y = 4 -2/ = -l
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = 4
x+2y = 4 2x+3y = 7
(-2)
-2x- 4y = -8 2x+3y = 7 +
x + 2y = 4
-2/ = -l 2/=l, x = 4 - 2 • 1 = 2
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = 4
x+2y = 4 2x+3y = 7
(-2)
-2x- 4y = -8 2x+3y = 7 +
x + 2y = 4
-2/ = -l 2/=l, x = 4 - 2 • 1 = 2
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = 4
x+2y = 4 2x+3y = 7
(-2)
-2x-4y = -S 2x+3y = 7 +
x + 2y = 4
-y = -i
y = 1, x = 4 - 2 • 1
Označení: A =[ ^   )M - x = LJ - b = (l
Soustava rovnic: Ax = b
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = 4
x+2y = 4 2x+3y = 7
(-2)
-2x-4y = -S 2x+3y = 7 +
x + 2y = 4 -2/ = -l
2/ = 1, x = 4 - 2 • 1 = 2
Označení: A =[ ^   2) ' ^ = UJ ' 6 = (I
Soustava rovnic: Ax = 6
Ještě stručnější zápis: / 2 3
1 2
7
4
8/27
Příklad
2x + 3y = 7 x+2y = 4
x+2y = 4 2x+3y = 7
(-2)
1 2
2 3
4 7
2x- 4j/= —8 2x + 3y = 7 +
x+2y = 4 -y = ~l
y = 1, x = 4 - 2 • 1 = 2
-2 -4 2 3
1 2 O -1
-8 7
4
Označení: A =[ ^   f), x = TJ , 6 = Q
Ještě stručnější zápis: / 2 3
1 2
Soustava rovnic: Aíc = b
7
4
8/27
Soustava lineárních rovnic
Soustava (systém) m lineárních rovnic o n neznámých:
a\\X\ + CL12X2 + • • • + CLlnXn — b\ OL2\X\ + CL22X2 +      ' ' '      + CL2nXn =62
CLmlXl + CLm2X2 + +(lmnXn=b
m
Soustava lineárních rovnic
Soustava (systém) m lineárních rovnic o n neznámých:
CLllXi + ai2#2 + «21^1 + +
+ CLlnXn — &1 + CL2nXn — &2
CLmlXi + am2X2 +
Maticový zápis: Ax = b
A =
CL21 CL22
\CLml
CLm2
a ln \
CLmn /
rn
matice soustavy   b =
x
íbl\
b2
\bm/
íXl\
X2
\XnJ
vektor pravých stran
vektor neznámých
Soustava lineárních rovnic
Soustava (systém) m lineárních rovnic o n neznámých:
a\\X\ + CL12X2 + • • • + CLlnXn — b\ OL2\X\ + CL22X2 +      ' ' '      + CL2nXn =62
CLmlXl + CLm2X2 + +(lmnXn=b
Maticový zápis: Ax = b
m
Všechny informace o systému jsou obsaženy v rozšířené matici soustavy
(A|6)
/ «11
«21
«12 «22
«ln «2n
b2
\ «ml «m2
a
mn
Gaussova eliminační metoda
Elementární řádkové transformace matice:
• výměna (přehození) řádků
• vynásobení řádku nenulovým číslem
• přičtení jednoho řádku jinému
Gaussova eliminační metoda
Elementární řádkové transformace matice:
• výměna (přehození) řádků
• vynásobení řádku nenulovým číslem
• přičtení jednoho řádku jinému
Označení: A ~ B ... „matice B vznikla z matice A pomocí elementárních transformací."
Gaussova eliminační metoda
Elementární řádkové transformace matice:
• výměna (přehození) řádků
• vynásobení řádku nenulovým číslem
• přičtení jednoho řádku jinému
Označení: A ~ B ... „matice B vznikla z matice A pomocí elementárních transformací."
Algoritmus metody:
1. Užitím elementárních řádkových transformací převedeme rozšířenou matici soustavy na vhodnou horní trojúhelníkovou.
2. Výslednou matici přepíšeme do tvaru soustavy rovnic a vypočítáme jednotlivé složky řešení.
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3íc + y        = 0 x -2y + 4z = l 2x-\- y — z = — 1
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x+ y        = 0 x — 2y + 4z = 1 2x + y — z = — 1
přehození 1. a 2. řádku
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3íc + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = — 1
vynásobení 1. řádku číslem —3
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3íc + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = — 1
přičtení 1. řádku ke 2.
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x -2y + 4z = 1 2x + y — z = — 1
vynásobení 1. řádku číslem ~
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x+ y        = 0 x — 2y + 4z = 1 2x + y — z = — 1
přičtení 1. řádku k 3.
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x+ y        = 0 x — 2y + 4z = 1 2x + y — z = — 1
vynásobení 1. řádku číslem — ^
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y =0 x-2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
vynásobení 2. řádku číslem 5
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
vynásobení 3. řádku číslem —7
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
přičtení 2. řádku k 3.
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y =0 x -2y + 4z = l 2x-\- y — z = — 1
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y =0 x -2y + 4z = l 2x-\- y — z = — 1
vynásobení 3. řádku číslem »
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
x - 2y + 4z = 1 7y- 12 z = -3 z = 2
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
x - 2y + 4z = 1 7y- 12 z = -3 z = 2
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
x - 2y + 4z = 1 7y- 12 z = -3 z = 2
z = 2, 2/= ±(-3 + 12-2) =3
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
3x + y        = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1
x - 2y + 4z = 1 7y- 12 z = -3 z = 2
2 = 2, y = i(-3 + 12-2)=3,x = l- 4- 2 + 2- 3 = -l
10 / 27
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
2x + ?>y- z = -12
x + 2y + z = 9 5x + 8y + 2z = 15
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
2x + ?>y- z = -12
x + 2y + z = 9 5x + 8y + 2z = 15
	2	3	-1	-12 \		1	2	1	9
	1	2	1	9 ~		0	1	3	30
v	5	8	2	i5;	v	0	-2	-3	-30
/ 1
o
V 0
2 1 1 3 0 3
9
30 30
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
2.x- + 3?y - z = -12
x + 2y + z = 9 5x + 8y + 2z = 15
2	3	-1	-12
1	2	1	9
5	8	2	15
1	2	1	9
0	1	3	30
0	-2	-3	-30
( 1 2
0 1
\ o o
1
0
1
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
2.x- + 3?y - z = -12
x + 2y + z = 9 5x + 8y + 2z = 15
2	3	-1	-12
1	2	1	9
5	8	2	15
1	2	1	9
0	1	3	30
0	-2	-3	-30
( 1 2
0 1
\ o o
1
0
1
	9 >	i	
	30		
	30 J	f	
1	0	0	-1
0	1	0	0
0	0	1	10
z = 10, y = 0, x =
-1
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
x\ + 2x2 + 3^3 2xi —   x2 + X3 X1+2X2+ X3 Xl + 3X2 + 3X3
= 5 + x4 = 4 + 2x4 = -1
—   X4 = 5
Gaussova eliminační metoda
Příklady:
xi+2x2 + 3x3 =5
2^1 —   x2 +   xs +   X4 = 4 Xl + 2X2 +   #3 + 2X4 = —1 Xl + 3X2 + 3X3 —   X4 = 5
	1	2	3	0	5	\	/	1	2 3	0	5 \	/	1	2	3 0	5 \
	2	-1	1	1	4			0	-5 -5	1	-6		0	1	0 -1	0
	1	2	1	2	-1			0	0 -2	2	-6		0	0	-5 -4	-6
v	1	3	3	-1	5	/	v	0	1 0	-1	0 /	V	0	0	-2 2	-6 /
	1	2	3	0	5	\	/	1	2	3	0	5					1	2		3	0		5 \
	0	1	0	-1	0			0	1	0	-1	0					0	1		0	-1		0
	0	0	1	-1	3			0	0	1	-1	3					0	0		1	0		2
V	0	0	0	-9	9	/	V	0	0	0	1	-1	)				0	0		0	1		-1 /
										/ 1	2	0	0		—	1	\		(	1	0	0	0
										0	1	0	0		—	1				0	1	0	0
										0	0	1	0		2					0	0	1	0
										^ 0	0	0	1		—	1	)		\	0	0	0	1
Xl = 1, X2 = —1, X3 = 2, X4 = —1
10 / 27
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Príklad:
x + 2y = 4 2x + 3y = 7
x + 2y = 4 2/ = 1
í/ = 1, » = 2
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Príklad:
x + 2y 2x + 3y
4 7
x + 2y
y
4 1
y = i, x = 2
x+ 2?/ 2x + 4?/
4 7
x + 2^/ 0
4 1
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Príklad:
x + 2y = 4 2x + 3y = 7
x + 2y = 4
y = i
y = i, ^ = 2
x + 2i/ = 4 2x + 42/ = 7
x + 22/ 0
4 1
úloha je neřešitelná
11 / 27
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Príklad:
x + 2y 2x + 3y
4 7
1 2
2 3
4 7
1 2 0 1
4 1
x + 2?/ = 4 í/ = 1
x+ 2?/ 2x + 4?/
4 7
1 2
2 4
4 7
1 2 0 0
4 1
x + 2y 0
4 1
úloha je neřešitelná
x + 2y = 4 2x + 4y = 8
1 2
2 4
4 8
1 2 0 0
4 0
x + 2?/ = 4 0 = 0
11 / 27
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Príklad:
x + 2y 2x + 3y
4 7
1 2
2 3
4 7
1 2 0 1
4 1
x + 2?/ = 4 í/ = 1
2/ = 1, a? = 2
x+ 2?/ 2x + 4?/
4 7
1 2
2 4
4 7
1 2 0 0
4 1
x + 2y 0
4 1
úloha je neřešitelná
x + 2y = 4 2x + 4y = 8
1 2
2 4
4
8
1 2 0 0
4 0
x + 2?/ = 4 0 = 0
úloha je řešitelná, řešení není jednoznačné; druhou neznámou volíme jako parametr: x = 4 — 2y
11 / 27
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Hodnost matice A, h(A):
počet nenulových řádků v matici, která vznikne z matice A Gaussovou eliminací.
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Hodnost matice A, h(A):
počet nenulových řádků v matici, která vznikne z matice A Gaussovou eliminac
Kronckerova-Capelliho věta:
Soustava m lineárních rovnic o n neznámých
Ax = b.
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Hodnost matice A, h(A):
počet nenulových řádků v matici, která vznikne z matice A Gaussovou eliminací.
Kronckerova-Capelliho věta:
Soustava m lineárních rovnic o n neznámých
Ax = b.
h(A) < h(A\b) úloha nemá řešení
h(A) = h(A\b) < n   ^>   úloha má řešení, řešení není jednoznačné h(A) = h(A\b) = n úloha má jednoznačné řešení
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Hodnost matice A, h(A):
počet nenulových řádků v matici, která vznikne z matice A Gaussovou eliminací.
Kronckerova-Capelliho věta:
Soustava m lineárních rovnic o n neznámých
Ax = b.
h(A) < h(A\b) úloha nemá řešení
h(A) = h(A\b) < n   ^>   úloha má řešení, řešení není jednoznačné h(A) = h(A\b) = n úloha má jednoznačné řešení
Ve druhém případě lze řešení vyjádřit pomocí n — h(A) parametrů.
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Příklad:
2x + 3y + 2 = 1 x + 4y-2z = 3 x -\-3y — z = 2
Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Příklad:
2x + 3y + 2 = 1 x + 4y-2z = 3 x -\-3y — z = 2
/ 2 3 1 4
V1 3
1
-2 -1
	/	1	3	-1
		0	1	-1
	\	0	-3	3
2 1
-3
	í	1	3	-1	2
		0	1	-1	1
	\	0	0	0	0
/ 1
o
V 0
1	2	0	1
0	1	-1	1
0	0	0	0
Řešení není jednoznačné, y = 1 -\- z, x =1 — 2y = 1 — 2(1 + z) = --1 - - 2z
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Předpokládáme, že matice soustavy je typu m, n, tj. jedná se o soustavu m rovnic o n neznámých.
Pro zjednodušení zápisu budeme v rozšířené matici soustavy prvky v posledním sloupci značit symboly «í,j+i.
Algoritmus úpravy rozšířené matice soustavy:
1. j := 1 (indexu j přiřaď hodnotu 1)
2. mezi prvky     ;, a^+ijaj+2,j... ,am,j najdi ak,j takový, že
(Vi = j, j + 1, j+ 2,..., m)\ak,j;| > (v j-tém sloupci najdi prvek s největší absolutní hodnotou, příslušný řádek považuj za k-tý)
3. pokud \dk,j \ = 0, jdi na krok 7.
4. přehoď j-tý a /c-tý řádek
5. j-tý řádek vynásob číslem
a3,3
6. dělej pro každé i ^ j: k ž-tému řádku přičti j-tý řádek násobený číslem —clíj 7-   j := j + 1 (index j zvětši o 1)
8.   pokud j < m, jdi zpět na krok 2., jinak konec
12 / 27
Úplná eliminace s výběrem hlavn prvku
Príklad:
3x - 2y + 4z = 5 -hx + 7y - 8z = 2 bx — 6y + 7 z = —3
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Príklad:
3x - 2y + 4z = 5 -hx + 7y - 8z = 2 bx — 6y + 7 z = —3
/   3     -2 4	5 ^
-5     7 -8	2
V   5     -6 7	-3 /
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Príklad:
3x - 2y + 4z = 5 -hx + 7y - 8z = 2 bx — 6y + 7 z = —3
/   3     -2 4	5 ^
-5     7 -8	2
V   5     -6 7	-3 /
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Príklad:
3x - 2y + 4z = h -hx + 7y - 8z = 2 hx — 6y + 7 z = —3
	3	-2	4	5 ^		í	-5	7	-8	2 \
	-5	7	-8	2			3	-2	4	5
v	5	-6	7	-3 j		\	5	-6	7	-3 /
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Príklad:
3x - 2y + 4z = h -hx + 7y - 8z = 2 hx — 6y + 7 z = —3
	3	-2	4	5 ^		í	-5	7	-8	2 \		í	1	7 5	8 5	2 5
	-5	7	-8	2			3	-2	4	5			3	-2	4	5
v	5	-6	7	-3 j		\	5	-6	7	-3 )		\	5	-6	7	-3
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Príklad:
3x - 2y + 4z = h -hx + 7y - 8z = 2 hx — 6y + 7 z = —3
	3	-2	4	5 ^		í	-5	7	-8	2 \		í	1	7 5	8 5	2 5	\
	-5	7	-8	2			3	-2	4	5			3	-2	4	5	
v	5	-6	7	-3 j		\	5	-6	7	-3 )		\	5	-6	7	-3	/
/ 1
o \ o
7	8	2
5	5	5
11	4	31
5	5	5
1	-1	-1
1 /
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Príklad:
3x - 2y + 4z = 5 -hx + 7y - 8z = 2 bx — 6y + 7 z = —3
	3	-2	4		5 \		í	-5	7	-8			2 \		/	1	7 5	8 5	2 5	\
	-5	7	-8		2			3	-2	4			5			3	-2	4	5	
v	5	-6	7		-3 )		v	5	-6	7			-3 J		V	5	-6	7	-3	/
	/ 1	7 5	8 5		2 5	\		/ 1	7 5	8 5			2 5	" \						
	0	11	4		31			0	1	4			31							
		5	5		5					11			11							
	\ o	1	-1		-1	S		\ o	1	-1			-1	/						
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Příklad:
3x - 2y + 4z = 5 -hx + 7y - Sz = 2 5x — 6y + 7 z = —3
/	3	-2	4	5 ^		f	-5	7	-8	2 \		f	1	7 5	8 5	2 5	\	
	-5	7	-8	2			3	-2	4	5			3	-2	4	5		
v	5	-6	7	-3 J		\	5	-6	7	-3 )		\	5	-6	7	-3	)	
í 1
o V o
7	8
5	5
11	4
5	5
1	-1
/ 1	0
0	1
\0	0
1 \
5 \
31
5
-1 /
/ 1
0
V o
12 11
11 _ j_ 11
39 \ 11 X 31 11
11 /
7
5
1 1
8 5
11 -1
5 \
31 11
-i /
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Príklad
3x - 2y + 4z = h -hx + 7y - 8z = 2 hx — 6y + 7 z = —3
/	3	-2	4	5 ^			f		5	7	-8	1	2 >			f
	-5	7	-8	2				3		-2	4	(	5			
\	5	-6	7	-3 /				5		-6	7		-3 J			
	/ 1	7 5	8 5	2 5	\			/	1	7 5	8 5		-- \ 5 )			
	0	11 5	4 5	31 5					0	1	4 11		31 11			
	\ o	1	-1	-1	)			\	0	1	-1		-1 /			
		f 1	0	12 11		39 11		\		f 1	0	12 11		39 11		\
		0	1	4 11		31 11				0	1	—	4 11	31 11		
		l0	0	7 11		42 11		J		^ o	0		1	6		/
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Příklad
3x - 2y + 4z = h -hx + 7y -8z = 2 hx — 6y + 7z = —3
/	3	-2	4	5 ^		/	-5	7	-8	2 ^		/	1	7 5	8 5	2 5		
	-5	7	-8	2			3	-2	4	5			3	-2	4	5		
\	5	-6	7	-3 J		\	5	-6	7	-3 y		\	5	-6	7	-3	J	
/ 1
o
V o
_ 7 5 11
5
1
V
8 5
4
5
/ i o
0 1
5 \
31 5
O    O --h
12 11 _4_ " 11 7_ 11
1 /
31 11 _ 42 11
/ 1
0
V o
39 \ 11 X
/
_ 7 5
1
1
/ 1
O
V o
8 5
11 -1
0
1 o
5 \
31 11
1 /
12 11 _±_ 11
1
39 \ 11 \
31 11
6 /
	í	1	0	0	-3
		0	1	0	5
	\	0	0	1	6
Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku
Príklad:
3x - 2y + 4z = 5 -hx + 7y - 8z = 2 bx — 6y + 7 z = —3
	3	-2	4	5 ^			/		■5	7	-8		2 ^			/	1	—	7 5	8 5	—	2 5	\	
	-5 7		-8	2				3		-2	4		5				3		2	4	5			
v	5	-6	7	-3 /			\	5		-6	7		-3 J			\	5		6	7		3	/	
	/ 1	7 5	8 5	2 5	\			/	1	7 5	8 5		5 ^											
	0	11 5	4 5	31 5					0	1	4 11		31 11											
	\ o	1	-1	-1	J				0	1	-1		-i I											
		/ 1	0	12 11		39 11		\		/ 1	0	12 11		39 11		\		/	1	0	0		-3 \	
		0 l0	1 0	4 11 7 11		31 11 42 11		/		0 V o	1 0	-	4 11 1	31 11 6		/		\	0 0	1 0	0 1		5 6	)
x = —3, y = 5, z = 6
12 / 27
Závěrečná poznámka
Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva.
13 /
Závěrečná poznámka
Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva.
• Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R,
{1, i^J^P c, i = j= p 0, jinak
13 / 27
Závěrečná poznámka
Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva.
• Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R,
vynásobení 2. řádku číslem — 2 :
(1 0 0 -5 \0 0
/1
3
V-1
-2	4
0	-2
1	2
/1
-6 W
0
1
4^ 4
Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva.
• Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R,
1, i = 3 ŕ P c,   i — j — p
0, jinak
• Přičtení p-tého řádku ke g-tému: matice S,
1? i — j, nebo i = p a j = q 0, jinak
Závěrečná poznámka
Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva.
• Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R,
1,   1 = 3^ P
c,   i — j — p
0, jinak
• Přičtení p-tého řádku ke g-tému: matice S,
J 1,   i = j, nebo i — p a j — q /J     1 0, jinak
	fl	0	°\	/ i	-2     4 \	fl    -2 4
přičtení 2. řádku ke 3.:	0	1	0	3	0     -2 ] =	3 0-2
	^0	1	V	{-1	1       2 J	^2 10
Závěrečná poznámka
Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva.
• Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R,
1, í = 3ť^P c,   i = j = p
0, jinak
• Přičtení p-tého řádku ke g-tému: matice S,
1? i — j, nebo i — p a j — q 0, jinak
• Přehození p-tého a g-tého řádku: matice T,
í 1,   p    i — j    q, nebo i — p a j — q, nebo i = q a j = p %3     1 0, jinak
Závěrečná poznámka
Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva.
• Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R,
Vij = \ c, i=j=p 0, jinak
Přičtení p-tého řádku ke g-tému: matice S,
Si j —
1, i — j, nebo i — p a j — q 0, jinak
Přehození p-tého a g-tého řádku: matice T,
tij —
1, p i — j q, nebo i — p a j — q, nebo i — q a j — p 0, jinak
	(1	0	°\ /
přehození 2. a 3. řádku:	0	0	
	\®	1	
/ 1 -2 3 0
4\	/ 1     -2 4
-2 =	-112
2/	^3 0-2
13 /
Závěrečná poznámka
Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva.
• Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R,
1, í = 3ť^P c,   i = j = p
0, jinak
• Přičtení p-tého řádku ke g-tému: matice S,
1? i — j, nebo i — p a j — q 0, jinak
• Přehození p-tého a g-tého řádku: matice T,
í 1,   p    i — j    q, nebo i — p a j — q, nebo i = q a j = p %3     1 0, jinak
Základní pojmy_
Řešení soustav rovnic -
Gaussova eliminace
Determinanty
Determinant čtvercové matice řádu 2 Determinant čtvercové matice řádu 3 Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých Determinant čtvercové matice řádu n
Řešení soustav rovnic - Cramerovo pravidlo
Regulární matice_
Aplikace - maticové populační modely_
Determinanty
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou
15 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou
ax + by = e cx + dy   = /
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou
ax + by = e cx + dy   = /
y =
d
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou
ax + by = e cx + dy   = /
f -cx
y = ^r
b
ax + — (/ — cx)   = e a
(ad — 6c)x   =   ed — bf
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou
ax + by = e cx + dy   = /
f -cx
y = ^r
b
ax + — (/ — cx)   = e a
(ad — 6c)x   =   ed — bf      předpokládejme, že ad — bc ^ 0
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou
ax + by = e cx + dy   = /
f -cx
y = ^r
b
ax + — (/ — cx)   = e a
(ad — 6c)x   =   ed — bf      předpokládejme, že ad — bc ^ 0
ed — b f ad — be
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou
ax + by = e cx + dy   = /
f -cx
y = ^r
b
ax + — (/ — cx)   = e a
(ad — 6c)x   =   ed — bf      předpokládejme, že ad — bc 0
ed — b f ad — be
1 (j    c(ed — &/) \       1 adf — ced       a f
d V        ad — bc   J       dad — bc ad
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou
ax + by = e      . ed-bf af - ce
,       »      je-h aa — 6c 7^ 0   pak   x = —-——, v = —-——
cx + dy = f r ad-bc ad-bc
15 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodo
ax + by = e      . , ed-bf
,       »      je-li aa — 6c    0   pak   x = —-——, v =
cx + dy = f     J ^      K ad-bc y
Matice soustavy A = ŕ^   ^ Y vektor pravých stran b = ŕ^
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou
ax + by = e      . ed-bf af - ce
,       »      je-h aa — 6c    0   pak   x = —-——, v = —-——
cx + dy = f r ad-bc ad-bc
Matice soustavy A = ^   ^, vektor pravých stran 6 = ^ Determinant matice A:
det A = A = det
a b c d
\ _	a b
)-	c d
= ad — bc
Determinant čtvercové matice řádu 2
Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou
ax + by = e      . ed-bf af
,       »      je-li da — oč t= 0   pak   x = —-——, v = —-cx + dy = f r ad-bc ad
CL     b\ (6
Matice soustavy A = ( ^   ^ 1, vektor pravých stran 6 = í
Determinant matice A:
det A = A = det
a 6
	a 6
)-	
= ad — be
Pokud det A ^ 0, pak jediné řešení dané soustavy rovnic je:
x
( b f d
a b c d
ed — b f ad — bc
y
(t e
c f
a f ~
ce
a b c d
ad — bc
Determinant čtvercové matice řádu
Príklad:
2x + 3y = 7 x + 2y = 4
Determinant čtvercové matice řádu 2
Príklad:
2x + 3y = 7 x + 2y = 4
2 3 1 2
= 2- 2- 3-1 = 1^0.
Determinant čtvercové matice řádu 2
Príklad:
2x + 3y = 7 x + 2y = 4
2 3 1 2
= 2- 2- 3-1 = 1^0.
7 3
14 2
x =
= 7-2-3-4 = 2,   2/ =
2 7 1 4
= 2-4-7-1 = 1
Determinant čtvercové matice řádu 3
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých dosazovací metodou
ax + by + cz   = k dx + ey + /z   = Z gx + hy + jz   = m
Determinant čtvercové matice řádu 3
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých dosazovací metodou:
ax + by + cz   = k dx + ey + /z   = Z gx + hy + jz   = m
1
z = - (m — gx — hy)
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých dosazovací metodou
ax + by + cz dx + ey + /z gx + hy + j z
c
ax + by -\— (m — gx — hy) j
dx + ey + — (m — gx — hy) j
k l
m
k
z = - (m — gx — hy)
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých dosazovací metodou:
ax + by + cz = k
dx + ey + fz = /
gx -\-hy + = m
z = - (m — gx — hy)
c
ax -\-by H— (m — gx — hy) = /
<ix + 631/ H— (m — gx — hy) = Z
(aj - c#)x + (bj - ch)y = {dj - fg)x + (ej - fh)y =
k j — cm l j - f m
Determinant čtvercové matice řádu 3
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých dosazovací metodou
ax + by + cz dx + ey + /z gx + hy + j z
k
= l
m
z = - (m — gx — hy)
/c j — cm
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých dosazovací metodou:
ax + by + cz   = k dx-\-ey-\-fz   = l gx + hy + j z   = m
1
z = - (m — gx — hy)
(a j — cg)x + (6j — c/i)y   =   &j — cm
-     + (eJ - fh)y = lJ - fm
0 jednoznačné řešitelnosti dané soustavy rovnic tedy rozhoduje
aj — cg   bj — ch
det
dj ~ f g   ej - f h
-- aej2 - aj f h - cgej + cgfh - (bf d - bjfg - chdj + ch f g) =
— J(aeJ +      + cdh — ceg — aj h
Determinant čtvercové matice řádu 3
/ a	b		a	b	c	
det d	e	n =	d	e	f	= aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
\9	h	3	9	h	j	
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
/ a	b		a	b	c	
det d	e	n =	d	e	f	= aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
\9	h	3	9	h	j	
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
/ a	b		a	b	c	
det d	e	n =	d	e	f	= aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
\9	h	3	9	h	j	
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
/ a	b		a	b	c	
det d	e	n =	d	e	f	= aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
\9	h	3	9	h	j	
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
/ a	b		a	b	c	
det d	e	n =	d	e	f	= aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
\9	h	3	9	h	j	
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
/ a	b		a	b	c	
det d	e	n =	d	e	f	= aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
\9	h	3	9	h	j	
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
/ a	b		a	b	c	
det d	e	n =	d	e	f	= aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
\9	h	3	9	h	j	
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
/ a	b		a	b	c	
det d	e	n =	d	e	f	= aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
\9	h	3	9	h	j	
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
/ a	b		a	b	c	
det d	e	n =	d	e	f	= aej + bfg + cdh — ceg — afh
\9	h	3	9	h	j	
Sarrusovo pravidlo:
e \	e \	e \		
a	b	c	a	b
d	e	/	d	e
9	h	3	9	h
/ e	/ e	/ e		
aej + bfg + cdh — gec — hfa — jdb
Determinant čtvercové matice řádu 3
/ a	b		a	b	c	
det d	e	n =	d	e	f	= aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
\9	h	3	9	h	j	
Sarrusovo pravidlo:
e \	e \	e \		
a	b	c	a	b
d	e	/	d	e
9	h	3	9	h
/ e	/ e	/ e		
aej + bfg + cdh — gec — hja — jdb
Laplaceův rozvoj determinantu podle 1. řádku:
la   b c
d e f = aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj 9   h j
= a(ej - f h) - b(dj - f g) + c(dh - eg)
16 / 27
Determinant čtvercové matice řádu 3
/ a	b		a	b	c	
det d	e	n =	d	e	f	= aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj
\9	h	3	9	h	j	
Sarrusovo pravidlo:
e \	e \	e \		
a	b	c	a	b
d	e	/	d	e
9	h	3	9	h
/ e	/ e	/ e		
aej + bfg + cdh — gec — hfa — jdb
Laplaceův rozvoj determinantu podle 1. řádku:
la   b c
d e f = aej + bfg + cdh — ceg — afh — bdj 9   h j
= a(ej - f h) - b(dj - f g) + c(dh - eg) = a
e h
f j
d f 9 3
+ c
d e 9 h
16 / 27
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých
Pokud D =
a b c d e f 9   h j
ax + by + cz = k dx -\- ey -\- fz = l gx + hy + j z = m
7^ 0 pak má daná soustava rovnic jednoznačné řešení
složky řešení jsou dány výrazy
1
X=Ď
k    b c l    e f m   h j
y
1
Ď
a k c d l f g   m j
z
1
Ď
a b k d e l g   h m
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých
2x + 3y + z =1 x + 2?/ + z = — 1 x + y — z = 4
17 / 27
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých
2x + 3y + z =1 x -\-2y -\- z = — 1 x + y — z = 4
3 1 2 1 1 -1
= -4 + 3 + 1- (2 + 2- 3) = -1^0
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých
2x + 3y + z =1 x -\-2y -\- z = — 1 x + y — z = 4
2 3 1 1 2 1 1   1 -1
= -4 + 3 + 1- (2 + 2- 3) = -1^0
1    3 1 -1   2 1 4     1 -1
= -2+12-l-(8+l+3) = -3,
2 1 1 -1 1 4
1 1
-1
= 2+l+4-(-l+8-l) = 1,
2   3 1 1   2 -1 1   1 4
= 16 - 3 + 1 - (2 - 2 + 12) = 2.
Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých
2x + 3y + z =1 x -\-2y -\- z = — 1 x + y — z = 4
|2 3 1 1 2 1 1   1 -1
= -4 + 3 + 1- (2 + 2- 3) = -1^0
1    3 1 -1   2 1 4     1 -1
= -2+12-l-(8+l+3) = -3,
2 1 1 -1 1 4
1 1
-1
= 2+l+4-(-l+8-l) = 1,
2   3 1 1   2 -1 1   1 4
= 16 - 3 + 1 - (2 - 2 + 12) = 2.
x = 3, i/ = —1, z =
-2
Determinant čtvercové matice řádu n
Výpočet pomocí Laplaceova rozvoje podle 1. řádku:
au a 12 a13 tX2l a22 «23 «31       a32 a33
anl       an2 an3
aln a2n a3n
a,
Determinant čtvercové matice řádu
Výpočet pomocí Laplaceova rozvoje podle 1. řádku:
«11 «12 «13 ■ ■ ■ aln
«21 «22 «23 ••• «2n
«31 «32 «33 ••• «3n
anl an2 an3 ■ ■ ■ ann
«22 «23 • • • «2n
«32 «33 • • • «3n
= «11
«7x2 an3 • • • ann
Determinant čtvercové matice řádu
Výpočet pomocí Laplaceova rozvoje podle 1. řádku:
«11 «12 «13 • • • aln a21 «22 «23 «2n a31       «32       «33       ••• «3n
\anl       an2       an3        • • • ai
= «11
«22 «32
an2
«23 «33
an3
a2n a3n
a*
- «12
«21 «31
anl
«23 «33
an3
a2n a3n
a,
Determinant čtvercové matice řádu n
Výpočet pomocí Laplaceova rozvoje podle 1. řádku:
«11 «12 «13 • • • aln a21 «22 «23 ••• «2n a31       «32       «33       ••• «3n
\anl       an2       an3        • • • ai
= «11
«22 «32
an2
«23 «33
an3
a2n a3n
a*
- «12
«21 «31
anl
«23 «33
an3
a2n a3n
a,
+ «13
«21 «31
anl
«22 «32
an2
a2n a3n
a,
Determinant čtvercové matice řádu n
Výpočet pomocí Laplaceova rozvoje podle 1. řádku:
«11 «12 «13 • • • aln a21 «22 «23 ••• a2n a31       «32       «33       ••• a3n
\anl       an2       an3        • • • ai
= «11
«22 «32
«23 «33
an2 an3
a2n a3n
a*
- «12
«21 «31
«23 «33
anl an3
a2n a3n
a,
+ «13
«21 «31
«22 «32
anl an2
a2n a3n
a,
i   r    i N n-\-l + (-1) aln
«21 «31
«22 «32
a2,n-a3,n-
anl an2
Determinant čtvercové matice řádu n
Výpočet pomocí Laplaceova rozvoje podle 1. řádku:
«11 «12 «13 • • • aln «21 «22 «23 • • • a2n «31       «32       «33       • • • a3n
\anl       an2       an3       • • • ai
= «11
«22 «32
«23 «33
an2 an3
«2n a3n
a*
- «12
«21 «31
«23 «33
anl an3
«2n a3n
a,
+ «13
«21 «31
«22 «32
anl an2
«2n a3n
a,
i   r    i N n-\-l + (-1) «ln
«21 «31
«22 «32
a2,n-a3,n-
anl an2
Determinant čtvercové matice řádu n
Determinant čtvercové matice A řádu 1 je číslo |A| = au Determinant čtvercové matice A řádu n je číslo
A| = aii|An| - ai2|Ai2| + ai3|Ai3| H-----h (-1)
,n+l
A
ln
kde Aij označuje matici, která vznikne z matice A vynecháním prvního řádku a j tého sloupce.
Determinant čtvercové matice řádu n
Determinant čtvercové matice A řádu 1 je číslo |A| = au Determinant čtvercové matice A řádu n je číslo
A
au
A
li
ai2|Ai2| + ai3|Ai3| H-----h (-1)
,n+l
A
ln
kde Aij označuje matici, která vznikne z matice A vynecháním prvního řádku a j tého sloupce.
Obecněji: Determinant čtvercové matice A řádu n je číslo
n
n
kde Ajj označuje matici, která vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a j tého sloupce.
Determinant čtvercové matice řádu n
Príklad:
12 3 0 2-11 1
12 12
13 3-1
Determinant čtvercové matice řádu n
Príklad:
12 3 0 2-11 1
12 12
13 3-1
Determinant čtvercové matice řádu n
Príklad:
12 3 0 2-11 1
12 12
13 3-1
-111
2 12
3 3-1
2 11 112 13-1
Determinant čtvercové matice řádu n
Príklad:
12 3 0 2-11 1
12 12
13 3-1
-1 1	1		2	1	1		2	-1	1
2 1	2	- 2	1	1	2	+ 3	1	2	2
3 3	-1		1	3	-1		1	3	-1
Determinant čtvercové matice řádu n
Príklad:
12 3 0 2-11 1
12 12
13 3-1
-1 1	1		2	1	1		2	-1	1
2 1	2	- 2	1	1	2	+ 3	1	2	2
3 3	-1		1	3	-1		1	3	-1
= 1 + 6 + 6- (3 - 6- 2)- 2[-2 + 2 + 3 - (1 + 12 - 1)] + 3[-4 - 2 + 3 - (2 + 12 + 1)] = -18
Základní pojmy
Řešení soustav rovnic -	Gaussova eliminace	
Determinanty		
		
Řešení soustav rovnic -	Cramerovo pravidlo	
Soustava n rovnic o n	neznámých	
Regulární matice		
Aplikace - maticové populační modely
Řešení soustav rovnic Cramerovo pravidlo
Soustava n rovnic o n neznámých
Ax = b
Pokud |A| 7^ 0, pak soustava rovnic má jediné řešení, jehož složky jsou dány rovnostmi
Xj —
A
au ai2
Q>21 a22
U2,i-1     t>2 0>2,i+l
din &2n
&nl     ^n2     • • •     Q>n,i— 1 &n,i+l
a
nn
% — 1.2..... irt
Soustava n rovnic o n neznámých
Příklad: Najděte čtvrtou složku řešení soustavy rovnic
x\ + 2^2 + 3^3 = 5
2x\ — X2+ X3+ X4 = 4
X\ + 2X2 +   ^3 + 2^4 = — 1
x\ + 3^2 + 3x3 — X4 = 5
Soustava n rovnic o n neznámých
Příklad: Najděte čtvrtou složku řešení soustavy rovnic
1
2 1 1
2 -1
2
3
3 1 1 3
0
1
2
18 # 0
X\ + 2X2 + 3^3
2a; i — X2 + ^3 + ^4
Xi + 2^2 + X3 + 2^4 X\ + 3^2 + 3^3 — X4
= 5 = 4 = -1 = 5
Soustava n rovnic o n neznámých
Příklad: Najděte čtvrtou složku řešení soustavy rovnic
X\ + 2^2 + 3X3 2xi —   X2 +   X3 + X4
x\ + 2x2 + x3 + 2x4
X\ + 3X2 + 3X3 — %4
5 4
2
-1
2
3
2
-1
2
3
3
1 1
3
3 1 1
3
0
1
2
5 4
18 7^ 0
-1	1	4		2	1 4		2	-1	4		2	-1	1
2	1	-1	- 2	1	1 -1	+ 3	1	2	-1	- 5	1	2	1
3	3	5		1	3 5		1	3	5		1	3	3
= -5 - 3 + 24 - (12 + 3 + 10) - 2(10 - 1 + 12 - (4 - 6 + 5)) + 3(20 + 1 + 12 - (8 - 6 - 5))-
-5(12 - 1 + 3 - (2 + 6 - 3)) = 18
Soustava n rovnic o n neznámých
Příklad: Najděte čtvrtou složku řešení soustavy rovnic
X\ + 2X2 + 3^3 2X\ —   X2+   X3 + X4
x\ + 2x2 + x3 + 2x4
X\ + 3^2 + 3^3 — X4
5 4
2
-1
2
3
2
-1
2
3
3 1 1
3
3 1 1
3
0
1
2
5 4
18 ^ 0
-1	1	4		2	1 4		2	-1	4		2	-1	1
2	1	-1	- 2	1	1 -1	+ 3	1	2	-1	- 5	1	2	1
3	3	5		1	3 5		1	3	5		1	3	3
= -5 - 3 + 24 - (12 + 3 + 10) - 2(10 - 1 + 12 - (4 - 6 + 5)) + 3(20 + 1 + 12 - (8
-5(12 -1 + 3
6 - 5))-(2 + 6 - 3))
- 18
X4
18
^T8
= -1
Základní pojmy_
Řešení soustav rovnic - Gaussova eliminace
Determinanty_
Řešení soustav rovnic - Cramerovo pravidlo
Regulární matice
Inverzní matice Definice a vlastnosti
Aplikace - maticové populační modely
Regulární matice
Inverzní matice
Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n:
AA-1 = A_1A = E
Inverzní matice
Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n
AA-1 = A_1A =
Užití: Ax   = b
Inverzní matice
Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n
AA-1 = A_1A =
Užití:
Ax
b   násobení maticí A
Inverzní matice
Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n
AA-1 = A~XA =
-i
Užití:
Ax x
b | násobení maticí A A_16
Inverzní matice
Inverzní matice Ak čtvercové matici A řádu n
AA-1 = A_1A =
Výpočet: X   = A-1
Inverzní matice
Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n:
AA-1 = A_1A = E
Výpočet:
X   =   A 1   násobení maticí A zleva
Inverzní matice
Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n:
AA-1 = A~XA = E
-i
Výpočet:
X = A 1 | násobení maticí A zleva AX   = E
Inverzní matice
Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n:
AA-1 = A~XA = E
-i
Výpočet:
X = A-1 AX   = E
j-tý sloupec matic:
f X±3 \
x2j
a
X3 — l,3
X33 X 3 + 1,3
\   Xnj J
0
0
1 0
Inverzní matice
Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n:
AA-1 = A_1A = E
Výpočet:
X = A-1 AX   = E
j-tý sloupec matic:
f X^3 \
x2j
a
X33 X3 + 1J
\   Xnj J
0
0
1 0
To je soustava n rovnic o n neznámých. Je jednoznačně řešitelná, pokud h (A) = n.
22 / 27
Inverzní matice
Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n:
Výpočet:
AA-1 = A~XA = E
-i
X = A-1 AX   = E
j-tý sloupec matic:
f X±3 \
X2j
a
X3 — l,3
X33 X3 + 1J
\   Xnj /
0
0
1 o
To je soustava n rovnic o n neznámých. Je jednoznačně řešitelná, pokud h(A) Inverzní matici najdeme řešením n soustav n lineárních rovnic o n neznámých.
Inverzní matice
Příklady:
Inverzní matice
Příklady:
A
Inverzní matice
Příklady:
A
-3 1
0,3 0,4
Inverzní matice
Příklady:
A
-3 1
0,3 0,4
A =
0,1 0,3 -0,2 0,4
10
Inverzní matice
Příklady:
A
-3 1
A =
0,1 0,3 -0,2 0,4
10
Obecně platí:
' _1 =     1     f d -b' ad - bc \ —c a
Inverzní matice
Příklady:
Inverzní matice
Příklady:
/	-3	3	4	1	0	0
	4	1	-6	0	1	0
\	6	5	-9	0	0	1
/	3	-3	-4
	0	15	-2
\	0	0	7
/	1	-11	0
	0	21	0
\	0	0	7
-1
4 -14
-3 O -14
	-9	-6	0
	0	-45	30
	-14	-33	15 ,
	-3	-2	0 "\
	0	-3	2
	-14	-33	15 J
0	0	-21	-47
7	0	0	-3
0	7	-14	-33
22 2
15
Definice a vlastnosti
Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h (A)
Definice a vlastnosti
Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0.
Definice a vlastnosti
Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = n Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0.
Je-li matice A regulární, pak k ní existuje matice inverzní
Definice a vlastnosti
Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = n Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0.
Je-li matice A regulární, pak k ní existuje matice inverzní
Vlastnosti násobení regulárních matic:
Definice a vlastnosti
Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = n Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0.
Je-li matice A regulární, pak k ní existuje matice inverzní
Vlastnosti násobení regulárních matic: (AB)C = A(BC) asociativita
Definice a vlastnosti
Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = n Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0.
Je-li matice A regulární, pak k ní existuje matice inverzní
Vlastnosti násobení regulárních matic:
(AB)C = A(BC) asociativita AE = EA = A     existuje neutrální prvek
Definice a vlastnosti
Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = n. Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0.
Je-li matice A regulární, pak k ní existuje matice inverzní.
Vlastnosti násobení regulárních matic:
(AB)C = A(BC) asociativita AE = EA = A     existuje neutrální prvek AA_1 = E       ke každé regulární matici existuje inverzní prvek
Definice a vlastnosti
Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = n. Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0.
Je-li matice A regulární, pak k ní existuje matice inverzní.
Vlastnosti násobení regulárních matic:
(AB)C = A(BC) asociativita AE = EA = A     existuje neutrální prvek AA_1 = E       ke každé regulární matici existuje inverzní prvek
Regulární matice spolu s operací násobení tvoří grupu.
Základní pojmy
Řešení soustav rovnic - Gaussova eliminace
Determinanty
Řešení soustav rovnic - Cramerovo pravidlo Regulární matice_
Aplikace - maticové populační modely
Leslieho populace
Populace strukturovaná podle stádií Obecná strukturovaná populace
Aplikace - maticové populační
modely
Leslieho populace
Patrick Holt Leslie (1900-1972)
Leslieho populace
Xi(t) - počet samic věku i měsíců; přesněji věku z intervalu (i — měsíců Pí - podíl samic věku i, které přežijí do dalšího měsíce
25 / 27
Leslieho populace
Xi(t) - počet samic věku i měsíců; přesněji věku z intervalu (i — l,i) měsíců Pí - podíl samic věku i, které přežijí do dalšího měsíce
Xi+i(t+l)=PiXi(t),
i = 1,2,
k- 1
25 / 27
Leslieho populace
Xi(t) - počet samic věku i měsíců; přesněji věku z intervalu (i — měsíců
Pí - podíl samic věku i, které přežijí do dalšího měsíce
fi - očekávaný počet dcer, které během měsíce porodí samice věku i měsíců
Xi+i(t+l)=PiXi(t),
2> — l,2,...,/i' 1
Leslieho populace
Xi(t) - počet samic věku i měsíců; přesněji věku z intervalu (i — měsíců
Pí - podíl samic věku i, které přežijí do dalšího měsíce
fi - očekávaný počet dcer, které během měsíce porodí samice věku i měsíců
Xl(t + 1) = flXl(t) + f2x2(t) + • • • + fkxk(t) Xi+i(t + 1) =Pí^í(í), i = 1, 2,..., /c - 1
Leslieho populace
- počet samic věku i měsíců; přesněji věku z intervalu (i — měsíců podíl samic věku i, které přežijí do dalšího měsíce očekávaný počet dcer, které během měsíce porodí samice věku i měsíců
Xl(t + 1) = flXl(t) + f2x2(t) + • • • + fkxk(t) Xi+i(t + 1) =PiXi(ť), i = 1, 2,..., k - 1
/     +   \    //i  h h
x2(t + l)			0	0
ar3(* + l)	—	0	P2	0
+ 1)		0	0	0
V xk{t + l) )
\ 0    0 0
0 0 x2(t) 0      0 x3(í)
0      0 I \xk^(t) Pk-i    0 /   \ /
Leslieho populace
- počet samic věku i měsíců; přesněji věku z intervalu (i — měsíců podíl samic věku i, které přežijí do dalšího měsíce očekávaný počet dcer, které během měsíce porodí samice věku i měsíců
Xl(t + 1) = flXl(t) + f2x2(t) + • • • + fkxk(t)
fi(ř + 1)=Píx					i -	= 1	j 2 j • • • j Jv
( Si(í + 1) \			h	h •	fk-1 fk\		( *i(t) \
x2(í + l)			0	0 .	0 0		x2(t)
ar3(í + l)	—	0		0 .	0 0		x*{t)
Xfe_i(í + 1)		0	0	0 .	0 0		Xk-l(ť)
V xk(t + l) )			0	0 .	•   Pk-i   o /		
x(t+ 1) = Ax(t)
Populace strukturovaná podle stádií
Leonard Lefkowitch (1929-2010)
Populace strukturovaná podle stádií
Obojživelníci: vajíčko - pulec - dospělý jedinec
26 / 27
Populace strukturovaná podle stádií
Obojživelníci: vajíčko - pulec - dospělý jedinec Hmyz: vajíčko - larva - kukla - imago
26 / 27
Populace strukturovaná podle stádií
k - počet stádií
Xi(ť) - počet jedinců stadia i v čase t (i = 1 - „novorozenci")
qi - podíl jedinců stadia i, kteří přežijí období a nepromění se; 0 < qi < 1
Pí - podíl jedinců stadia i, kteří se během období přemění na stadium i + 1;
0 <Pi < 1,
Pí +    < 1,   i = 1,2, ...,fc fi - očekávaný počet „novorozenců", které vyprodukuje jedinec stadia i > 1; fi > 0
26 / 27
Populace strukturovaná podle stádií
k - počet stádií
Xi(ť) - počet jedinců stadia i v čase t (i = 1 - „novorozenci")
qi - podíl jedinců stadia i, kteří přežijí období a nepromění se; 0 < qi < 1
Pí - podíl jedinců stadia i, kteří se během období přemění na stadium i + 1;
0 <Pi < 1,
Pí + & < 1,   i = 1,2, fi - očekávaný počet „novorozenců", které vyprodukuje jedinec stadia i > 1; fi > 0
+ 1) = ^2fjXj(t),       Xi(t + 1) = i = 2,3,..., fc
J=2
Populace strukturovaná podle stádií
k - počet stádií
Xi(ť) - počet jedinců stadia i v čase t (i = 1 - „novorozenci")
qi - podíl jedinců stadia i, kteří přežijí období a nepromění se; 0 < qi < 1
Pí - podíl jedinců stadia i, kteří se během období přemění na stadium i + 1;
0 <Pi < 1,
Pí + & < 1,   i = 1,2, fi - očekávaný počet „novorozenců", které vyprodukuje jedinec stadia i > 1; fi > 0
*i(* + l) = E^W
/xi(í+l)\ x2(í + 1) x3(í + 1)
\xk(t + l)J
Xi(t+ 1) = ^(ť) +PiXi-i(t), i = 2,3,
/<?1 /2 0 P2
\0 o
fk-1
0
o
M o
o
£3(t)
Pfc-1      9fc/ \Xk(t)J
26 / 27
Populace strukturovaná podle stádií
k - počet stádií
Xi(ť) - počet jedinců stadia i v čase t (i = 1 - „novorozenci")
qi - podíl jedinců stadia i, kteří přežijí období a nepromění se; 0 < qi < 1
Pí - podíl jedinců stadia i, kteří se během období přemění na stadium i + 1;
0 <Pi < 1,
Pí + & < 1,   i = 1,2, fi - očekávaný počet „novorozenců", které vyprodukuje jedinec stadia i > 1; fi > 0
x2(í + 1) x3(í + 1)
\xk(t + l)J
Xi(t+ 1) = o^(ť) +PiXi-i(t), i = 2,3,
/<?1 /2 0 P2
\0 o
fk-1
0
o
M o
o
032 (í) £3(t)
Pfc-1      9fc/ \Xk(t)J
x(t+ 1) = Aíc(ť)
26 / 27
Obecná strukturovaná populace
Příklad: Populace Dipsacus sylvestris
Obecná strukturovaná populace
Příklad: Populace Dipsacus sylvestris Časová jednotka: rok
Trideni:	třída	popis	
	1,2	semena	dormantní l.rok, dormantní 2. rok
	3,4,5	růžice	malá, střední, velká
	6	kvetoucí rostlina	
Obecná strukturovaná populace
Příklad: Populace Dipsacus sylvestris Časová jednotka: rok
Trideni:	třída	popis	
	1,2	semena	dormantní l.rok, dormantní 2. rok
	3,4,5	růžice	malá, střední, velká
	6	kvetoucí rostlina	
+ 1)\		^ 0	0	0	0	0	322,38\		/Xl(t)\
x2(t + 1)		0,966	0	0	0	0	0		x2{t)
x3(t + 1)		0,013	0,010	0,125	0	0	3,448		x3(t)
x4(í + 1)		0,007	0	0,125	0,238	0	30,170		X4(t)
x5(í + 1)		0,001	0	0,036	0,245	0,167	0,863		X5(t)
\x6(í + 1)/		\ o	0	0	0,023	0,750	0 )		\x6(t)J