\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

%\newcommand{\vysledek}[1]{{\it {\color{violet} Řešení: #1}}
%\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
%\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  1. cvičení z M1035, podzim 2021}
\end{center}
\bigskip


%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ }
Pomocí množinového zápisu zapište následující množiny definované slovně:
\begin{enumerate}
\item Množinu všech přirozených čísel, která jsou dělitelná třemi.
\item Množinu všech celých čísel, která dávají po dělení osmi zbytek 5.
\item Množinu všech  reálných čísel, jejichž druhá mocnina je větší než 3.
\item Množinu všech  reálných čísel, jejichž druhá mocnina je menší než jejich trojnásobek.
\item Množinu všech dvojic reálných čísel, kde první je trojnásobkem druhého.
\item  Množinu všech dvojic kladných reálných čísel, kde první je 
větší než trojnásobek druhého.
\item Množinu všech trojic přirozených čísel, která mohou být délkami stran pravoúhlého trojúhelníka. Je tato množina prázdná?
\end{enumerate}
\end{zad}



\medskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
Uvažujme lineární funkci $f:\R\to\R$ zadanou předpisem
$$f(x)=-3x+7.$$
\begin{enumerate}
\item Nakreslete její graf.
\item Zjistěte pro které argumenty $x$  je hodnota $f(x)$ menší než $11$ a větší než $-7$.
\item Existuje k $f$ inverzní funkce? Pokud ano, najděte ji.
\end{enumerate} 
\end{zad}


\medskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ } 
Nakreslete postupně grafy funkcí s absolutní hodnotou:
$$y=|x|,\quad y=|-3x|,\quad y=|x-2|, \quad y=|-3(x+7)|, \quad y=3-|7-4x|.$$
Na kterých intervalech jsou rostoucí a na kterých klesající.  Jsou tyto funkce ohraničené zdola nebo shora?
\end{zad}

\medskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
Nakreslete graf funkce
$$f(x)=|x+1|-|x|+2|x-2|$$
a zjistěte, 
\begin{enumerate}
\item na kterých intervalech je $f$ prostá,
\item jaký je její obor hodnot,
\item pro která $x$ nabývá hodnoty $2$.
\end{enumerate}
 \end{zad}

\medskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ } 
Nechť $f$ je nějaká funkce s definičním oborem $D(f)=\R-\{2021\}$. Nechť $g(x)=x-3$ a $h(x)=x+5$. 
\begin{enumerate}
\item Jaký je definiční obor složených funkcí $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ a $(f\circ h)(x)=f(h(x))$. 
\item Máme-li graf funkce $f$, jak dostaneme grafy funkcí $f\circ g$ a $f\circ h$?
\item Je-li $f$ rostoucí na $(-\infty, 2021)$ a klesající na $(2021,\infty)$, kde jsou rostoucí a klesající funkce složené? 
\end{enumerate}
\end{zad}

\medskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ } 
Uvažujme funkce
$$f(x)=\frac{2}{x-1}, \quad g(x)=\frac{5}{3-x}.$$
\begin{enumerate}
\item Zjistěte jejich definiční obory, obory hodnot a nakreslete jejich grafy.
\item Zjistěte, zda jsou tyto funkce prosté. Pokud ano, najděte inverzní funkce. 
\item Spočítejte složenou funkci $f\circ g$, najděte její definiční obor, obor hodnot a graf. 
\end{enumerate}
\end{zad}

\medskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ } 
Uvažujme kvadratickou funkci
$$f(x)=-2x^2+7x-4.$$
\begin{enumerate}
\item Načrtněte, jak přibližně vypadá její graf.
\item Zjistěte, na kterých intervalech je rostoucí a na kterých klesající.
\item Najděte její obor hodnot.
\item Na intervalu, kde je klesající, k ní najděte inverzní funkci. 
\end{enumerate}
\end{zad}

\medskip
%příklad 8
\begin{zad}{\bf 8.\ } 
Řešte v $\R$ kvadratickou rovnici s parametrem $a\in\R$:
$$ax^2+2x+1=0.$$
\end{zad}


\medskip
%příklad 9
\begin{zad}{\bf 9.\ } 
Nakreslete grafy složených funkcí $h\circ f$ a $f\circ h$, jestliže
$$f(x)=x^2+x-1, \quad h(x)=|x|.$$ 
\end{zad}

\medskip
%příklad 10
\begin{zad}{\bf 10.\ } 
Řešte v $\R$ nerovnici
$$|x^2-2x-3|\le 3(x-1).$$
\end{zad}

\end{document}

