1. cvičení z M1035, podzim 2021
Příklad. 1. Pomocí množinového zápisu zapište následující množiny definované slovně:
(1) Množinu všech přirozených čísel, která jsou dělitelná třemi.
(2) Množinu všech celých čísel, která dávají po dělení osmi zbytek 5.
(3) Množinu všech reálných čísel, jejichž druhá mocnina je větší než 3.
(4) Množinu všech reálných čísel, jejichž druhá mocnina je menší než jejich trojnásobek.
(5) Množinu všech dvojic reálných čísel, kde první je trojnásobkem druhého.
(6) Množinu všech dvojic kladných reálných čísel, kde první je větší než trojnásobek druhého.
(7) Množinu všech trojic přirozených čísel, která mohou být délkami stran pravoúhlého trojúhelníka. Je tato množina prázdná?
Příklad. 2. Uvažujme lineární funkci / : IR —> IR zadanou předpisem
f(x) = —3x + 7.
(1) Nakre slete j ej í graf.
(2) Zjistěte pro které argumenty x je hodnota f{x) menší než 11a větší než —7.
(3) Existuje k / inverzní funkce? Pokud ano, najděte ji.
Příklad. 3. Nakreslete postupně grafy funkcí s absolutní hodnotou:
y = \x\,   y = | — 3x\,   y = \x — 2|,   y = | — 3(x + 7)|,   y = 3 — |7 — Ax\.
Na kterých intervalech jsou rostoucí a na kterých klesající. Jsou tyto funkce ohraničené zdola nebo shora?
Příklad. 4. Nakreslete graf funkce
f(x) = \x + 1| - \x\ + 2\x - 2|
a zjistěte,
(1) na kterých intervalech je / prostá,
(2) jaký je její obor hodnot,
(3) pro která x nabývá hodnoty 2.
Příklad. 5. Nechť / je nějaká funkce s definičním oborem £>(/) = R - {2021}. Nechť
g{x) = x — 3 a h(x) = x + 5.
(1) Jaký jedefiniční obor složených funkcí (fog)(x) = f(g(x))a(foh)(x) = f(h(x)).
(2) Máme-li graf funkce /, jak dostaneme grafy funkcí / o g a / o hl
(3) Je-li / rostoucí na (—oo, 2021) a klesající na (2021, oo), kde jsou rostoucí a klesající funkce složené?
Příklad. 6. Uvažujme funkce
(1) Zjistěte jejich definiční obory, obory hodnot a nakreslete jejich grafy.
(2) Zjistěte, zda jsou tyto funkce prosté. Pokud ano, najděte inverzní funkce.
i
(3) Spočítejte složenou funkci f o g, najděte její definiční obor, obor hodnot a graf.
Příklad. 7. Uvažujme kvadratickou funkci
f(x) = -2x2 + 7x - 4.
(1) Načrtněte, jak přibližně vypadá její graf.
(2) Zjistěte, na kterých intervalech je rostoucí a na kterých klesající.
(3) Najděte její obor hodnot.
(4) Na intervalu, kde je klesající, k ní najděte inverzní funkci.
Příklad. 8. Řešte v IR kvadratickou rovnici s parametrem a G IR:
ax2 + 2x + 1 = 0.
Příklad. 9. Nakreslete grafy složených funkcí h o / a / o h, jestliže
f{x) = x2 + x — 1,    h(x) = \x\.
Příklad. 10. Řešte v IR nerovnici
\x2 - 2x - 3| < 3(x - 1).