\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

%\newcommand{\vysledek}[1]{{\it {\color{violet} Řešení: #1}}
%\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
%\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  4. cvičení z M1035, podzim 2021}
\end{center}
\bigskip

\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ }  Vydělte se zbytkem  polynom $x^3+2x$ polynomem $x^2+2x+1$ a zapište racionální lomenou funkci
$$f(x)=\frac{x^3+2x}{x^2+2x+1}$$
jako součet částečného podílu a racionální lomené funkce, jejíž čitatel  je zbytkem dělení. Jaký je definiční obor funkce $f$?
\end{zad}
\begin{res}
$$f(x)=x-2+\frac{3x+2}{x^2+2x+1}.$$
\end{res}
\bigskip



%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
Určete definiční obor a rozložte racionální lomenou funkci
$$g(x)=\frac{2x+11}{(x-2)(x+3)}$$
na parciální zlomky, tj. na součet
$$g(x)=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+3}.$$ 
\end{zad}
\begin{res}
$a=3,b=-1.$
\end{res}
\bigskip


%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ } 
Určete definiční obor a rozložte racionální lomenou funkci
$$h(x)=\frac{5x+3}{(x+2)^2}$$
na parciální zlomky, tj. na součet
$$h(x)=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{(x+1)^2}.$$ 
\end{zad}
\begin{res}
$a=5,b=-2.$
\end{res}


\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ } 
Určete definiční obor a rozložte racionální lomenou funkci
$$F(x)=\frac{3x^2+4x+1}{(x-3)(x^2+x+5)}$$
na parciální zlomky, tj. na součet
$$F(x)=\frac{a}{x-3}+\frac{bx+c}{x^2+2x+5}.$$ 
\end{zad}
\begin{res}
$a=2,b=1,c=3.$
\end{res}


\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ } 
Určete, na kterých intervalech je funkce $F$ z příkladu 4 kladná a na kterých záporná.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ } 
Pomocí pravidel pro počítání s mocninami řešte rovnice
\begin{enumerate}
\item[a)] vyjádřete $9^x+3^{x+3}-24$ jako funkci s argumentem $3^x$,
\item[b)] vyjádřete $2^x+(0,5)^{2x-3}-6(0,5)^x-1$ jako funkci s argumentem $2^x$ ,
\item[c)]  vyjádřete 
$\displaystyle\frac{5^x+5^{x+1}+5^{x+2}}{3^x+3^{x+1}+3^{x+2}}$ 
jako funkci s argumentem $\displaystyle \left(\frac53\right)^x$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ }
Načrtněte grafy funkcí $x$, $x^2$, $x^3$, $\displaystyle\frac1x$,  $2^x$, $\displaystyle\left(\frac12\right)^x$,
$3^x$, $\displaystyle\left(\frac13\right)^x$ a pokuste se porovnat, jak rychle rostou nebo klesají.
\end{zad}

\end{document}

