8. cvičení z M1035, podzim 2021
V pondělní skupině jsme z příkladu 1 udělali a), b), f) a j) a z příkladu 2 části a) až e).
Příklad. 1. Pomocí vhodné úpravy převeďte na známou limitu
x       \ogz(x + 1)
a) lim —^--.
x^O X ď - 1
b) lim-.
x^O X
c) lim
o 4 - 4 ex' 1 — sinrr
d) lim
x^tt/2 1 + COS 2x
e) lim rrlnrr,
1 — cos X
f) lim---,
x^O Xz
g) lim-,
x^O X
h) lim (ex +x)x,
x^0+
i) lim
x^o V sinrr tanrr
V x
j) lim    1 + -
x^oo y x
Návod, a) Vyjádřete logz pomocí ln a použijte lim^o ln(*+1) = 1.
b) Vyjádřete ax = exlna a použijte linx^o       = 1.
c) Napište    = [ex — 1) + 1 a použijte lim^o       = 1-
d) Použijte vzorec pro cos 2x.
e) Udělejte záměnu x = ^ pro y —> oo a použijte, že lim^oo ^J£ = 0.
f) Vyjádřete cos x pomocí polovičního úhlu a funkce sin.
g) Je jiná zprava a zleva.
h) Počítejte limitu \n(ex +x)~.
i) Použijte f) a lim^o      = 1.
j) Počítejte limitu ln (l + i)*. □
Příklad. 2. Derivujte následující funkce:
a) f(x) = \fx , derivace mocniny,
b) f{x) = ex cos x, zopakovat derivaci součinu funkcí, derivaci ex a derivaci cos a sin,
c) f{x) = x2 ex — arctanrr, zopakovat derivaci součtu a rozdílu funkcí, derivaci podílu funkcí a spočítat derivaci tan x, zopakovat derivaci inverzní funkce a spočítat derivaci arctan x a arcsin x,
l
( x2 + l\
d) /(x) = ln ( - , spočítat derivaci ln jako derivaci inverzní funkce, zopakovat
\   x )
derivaci složené funkce,
e) j{x) = sin3 x2, napsat explicitně jako složení tří funkcí,
x
f) f(x) = arctan '
x2
g) f(x)
V9
x
2
Příklad. 3. Některé z limit v příkladu 1 spočítejte podle 1'Hospitalova pravidla. To na přednášce ještě nebylo. Je potřeba vysvětlit.
Příklad. 4. Spočítejte limity podle l'Hospitalova pravidla:
1 1'
a) lim
x^o \smx x x(cosx — 1
b) lim
x^o    SIM — x
c) lim \nx ■ ln(l — x)
Příklad. 5. Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce / v bodě x0: (Je potřeba říci jak, na přednášce to ještě nebylo.) 1
a) f(X) =    o   ,   n . ^0 = 1-
xz + 1
b) f(x) = x2 — x + 1, xq = 3.