9. cvičení z M1035, podzim 2021
Na pondělním cvičení jsme udělali z příkladu 1 a 2 úlohy označené velkými písmeny. Ty další z těchto dvou by si měli studenti spočítat sami. Příklady 3 a 4 jsme nestihli.
Příklad. 1. Spočítejte limity podle 1'Hospitalova pravidla:
A) lim -,
x^oo X
B) lim x\nx,
x^0+
C) lim
x^o 4 — 4 ex'
1 1
d) lim
x^o \smx x x(cosx — 1
e) lim
x^O    SIM — X
f) lim \nx ■ ln(l — x)
g) lim (ex +x)x,
x—5-0+
Příklad. 2. Derivujte následující funkce, vyšetřete jejich průběh (tj. spočítejte limity v krajních bodech definičních intervalů, zjistěte, kde je funkce rostoucí a kde klesající, v kterých bodech má lokální extrémy a které z nich jsou globální) a načrtněte graf:
A)	/(*)	= ar etan ( — \x2	x \
B)	/(*)	X V9-x2	
C)	/(*)	= x2 Inx,	
D)	/(*)	= x5 — 10x3 -	h 40x,
e)	/(*)	y/X	
f)	/(*)	= aretan (^x -\	
g)	/(*)	2x x2 + ľ	
h)	/(*)	X 1-x2'	
i)	/(*)	= ln2 x,	
Příklad. 3. V čisté vodě platí vztah pro iontový součin vody Kw (je konstantní pro dané podmínky)
Kw = [H+] ■ [OH-],
kde [H+] je koncentrace vodílových kationtů a [OH~] je koncentrace hydroxydových ani-ontů. Určete funkci [H+] + [OH~] v závislosti na [H+] a stanovte minimum této funkce.
i
2
Příklad. 4. Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce / v bodě x0: (Je potřeba říci jak, na přednášce to ještě nebylo.) 1
a) f(x) = x0 = 1.
xz + 1
b) f(x) = x2 — x + 1, x0 = 3.