10. cvičení z M1035, podzim 2021
V pondělním cvičení jsme udělali příklady 1 až 4. Příklad. 1. Vyšetřete průběh funkce
1 — x
f(x) = arccos
,1 - 2x a načrtněte její graf:
Řešení. Definiční obor je (—oo, 0] U [2/3, oo). □
Příklad. 2. V čisté vodě platí vztah pro iontový součin vody Kw (je konstantní pro dané podmínky)
Kw = [H+]-[OH-],
kde [H+] je koncentrace vodílových kationtů a [OH~] je koncentrace hydroxydových ani-ontů. Určete funkci [H+] + [OH~] v závislosti na \H+] a stanovte minimum této funkce.
Příklad. 3. Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce / v bodě x0:
1
a) f(x) = ,x0 = 1.
x + 1
b) f(x) = x2 — x + 1, xq = 3.
Příklad. 4. Pomocí diferenciálu (derivace) ve vhodném bodě spočtěte přibližnou hodnotu následujících výrazů
a) sin 29°,
b) arctan 1, 05.
Příklad. 5. Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím
a) ./i.ri =
b) fU) = y2.
1
c) f(x) = — pro x E (0, oo) a pro x G (—oo, 0).
d) f (x) = Vi + ^ + 2,
e) m - ^r5,
f) f (x) =tanx = sni,
'  J \   I cos x
g) f (x) = tan2x,
h) f(x) 1
x2 + 9'
i) f (x) =
4
:r2 + 9' j) f (x 1
\/9"
x
2
2
Příklad. 6. Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím pomocí integrace per partes
a) f(x) = xcosx,
b) f(x) = arctanrr,
c) f(x) = x ex,
d) f{x) = x2 ex, (integraci per partes je potřeba použít dvakrát), d) f{x) = ex sin x, (integraci per partes je potřeba použít dvakrát).