\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

%\newcommand{\vysledek}[1]{{\it {\color{violet} Řešení: #1}}
%\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
%\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\e{\operatorname{e}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  11. cvičení z M1035, podzim 2021}
\end{center}
\bigskip
Na pondělním cvičení jsme udělali příklady označené velkými písmeny.

\bigskip
\begin{zad}{\bf 1.} Zopakujte si primitivní funkce k následujícím funkcím
\begin{enumerate}
\item[A)] $x^\alpha$ pro $\alpha\ne 1$, $\frac{1}{x}$, $\cos x$, $\sin x$, $\frac{1}{\cos^2 x}$, $\frac{1}{1+x^2}$, $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$,
$\sqrt{1+x^2}$.  
\smallskip
Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím
\item[B)] $f(x)=\displaystyle\frac{1}{5x^2}$,
\smallskip
\item[C)] $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x+3}$ pro $x\in (-3,\infty)$ a pro $x\in (-\infty,-3)$.
\smallskip
\item[D)] $f(x)=\displaystyle\frac{1}{2x-5}$,
\smallskip
\item[E)] $f(x)=\tan^2x$, (upravte pomocí $\cos^2 x$),
\smallskip
\item[F)] $f(x)=\displaystyle\frac{1}{5x^2+1}$,
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.} Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím pomocí integrace per partes
\begin{enumerate}
\item[A)] $f(x)=x\sin x$,
\smallskip
\item[B)] $f(x)=\arcsin x$,
\smallskip
\item[C)] $f(x)=x\arctan x$,
\smallskip
\item[d)] $f(x)=x^n\e^x$ pomocí primitivní funkce k funkci $x^{n-1}\e^x$,
\smallskip
\item[e)] $f(x)=\e^x\cos x$, (integraci per partes je potřeba použít dvakrát),
\smallskip
\item[f)] $f(x)=\sqrt x\ln^2 x$, (integraci per partes je potřeba použít dvakrát),
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.} Pomocí vhodné substituce $t=\varphi(x)$ spočítejte
\begin{enumerate}
\item[A)] $\displaystyle\int\frac{x\ dx}{\sqrt{1-x^2}}$,
\smallskip
\item[B)] $\displaystyle\int\frac{x^2\ dx}{(8x^3+27)^{\frac23}}$,
\smallskip
\item[C)] $\displaystyle\int x^2\sqrt[3]{1+x^3}\ dx$,
\smallskip
\item[D)] $\displaystyle\int\frac{x}{3-2x^2}\ dx$, 
\smallskip
\item[e)] $\displaystyle\int\frac{x\ dx}{\sqrt{1-x^2}}$, 
\smallskip
\item[f)] $\displaystyle\int\frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}}$,\quad  ($t=\sqrt x$),
\smallskip
\item[g)] $\displaystyle\int\frac{dx}{\e^x+e^{-x}}$,
\smallskip
\item[h)] $\displaystyle\int\frac{\ln^2x}{x}\ dx$,
\smallskip
\item[i)] $\displaystyle\int\sin^5 x\cos x\ dx$,
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.} Pomocí rozkladu na parciální zlomky spočítejte
\begin{enumerate}
\item[a)] $\displaystyle\int\frac{2x+3}{(x-2)(x+5)}\ dx$,
\smallskip
\item[b)] $\displaystyle\int\frac{x^4\ dx}{x^4+5x+4}$,
\smallskip
\item[d)] $\displaystyle\int\frac{x \ dx}{x^3-3x+2}$, 
\smallskip
\item[e)] $\displaystyle\int\frac{dx}{x^4-1}$. 
\end{enumerate}
\end{zad}
\end{document}




