6. cvičení z M1035, podzim 2021
Příklad. 1. Nakreslete grafy funkcí a určete periodu těchto funkcí.
a) f(x) = sin(3x) — 4,
b) f(x) =2cos(|) + l,
c) f(x) = sm(2x- f), (3$f(x) =tan(x + f),
e) /(rr)=cot(f).
Příklad. 2. Určete definiční obor, obor hodnot a nakreslete grafy funkcí
a) f(x) = arcsinrr.
b) f{x) = arcsin x + 2n. Co je inverzní funkce?
c) f{x) = 7T — arcsin x. Co je inverzní funkce? (ďP f(x) = arccos x + Air. Co je inverzní funkce?
d) /(rr) = 7T — arccos x. Co je inverzní funkce?
e) f(x) = arcsin x + arccos x.
f) /(rr) = arctanx + 37r. Co je inverzní funkce?
g) /(rr) = | — arctanrr. Co je inverzní funkce?
Příklad - 3. Pro komplexní číslo z = a + i b definujeme hodnotu expenenciály expz takto:
ez = ea+ib = ea -(cos b + i sin b). Pomocí součtových vzorců dokažte, že všechna komplexní čísla z\, z2 platí
Příklad. 4. Řešte v IR následující rovnice:
a) sin2x = sinx,
b) cos 3x + sin 3x = 0,
c) cosx + y/Šsinx = 1,
d) cos 3x + sin 2x — sin Ax = 0,
e) 2 sin2 x + 7 cos x — 5 = 0,
f) sin 5x cos 3x = sin 6x cos 2rr.
Řešení, (a) Použijte vzorec pro dvojnásobný úhel.
(b) Vzpomeňte si na tangens.
(c) Vydělte dvěma a vzpomeňte si na součtové vzorce.
(d) Použijte vzorec pro rozdíl sinů.
(e) Převeďte na kvadratickou rovnici.
(f) Použijte vhodný vzorec. (Součet sinů.)
i
7. cvičení z M1035, podzim 2021
Příklad. 1. Vypočtěte následující limity, případně limity zleva a zprava v hraničních bodech definičních oborů:
(jp> lim
x2 - 7x + 10
, a = 5,6, oo. — oo.
x^>a X2 + X — 30
3<£ _|_ 5
b5) lim —--, a = —2, oo. — oo.
x^>a X3 + 8 '
Vx + 6-2
c)J lim-, a
x^a       X + 2
x3 + x2 + 8
d) lim---, a
z^a    6xd + 12
-2, oo, —oo.
■ \/2, oo, —oo.
(et) lim
X
a = 1,-1, oo, —oo.
Příklad. 2. Pomocí vhodné úpravy převeďte na známou limitu
.V
áj) lim
ď — 1 b) lim-.
£->o sin x
c) lim
>o 4 - 4 e*' 1 — sin a;
d) lim
1 + COS 2x
3
1 — cos X
e) lim x\nx,
f) lim
x^O Xz
g) lim-,
h) lim (ex +x)*,
i->0+
i) lim
1
z^o V sin x    tan x
j) lim    1 + -
x
1