B. Písemka v semestru z M1035, podzim 2021
Příklad. 1. [ 3 body] Uvažujme funkci h(x) = \x + 4| — \3x — 2| + 1.
a) Rozdělte reálná čísla na několik intervalů a na nich napište funkci h jako lineární funkci. [2 body]
b) Načrtněte graf funkce h na intervalu [—6, 6]. [1 bod]
Řešení. Na (—oo, — 4] je h(x) = 2x—5, na [—4, 2/3] je h(x) = Ax+3, na [2/3, oo) je h(x) = —2x+7. Graf funkce na intervalu [—6, 6] dostanete, zadáte-li na https://www.wolframalpha.com
plot Ix+4I-I3x-2I+1 from -6 to 6
□
Příklad. 2. [3 body] Racionální lomenou funkci
^. ,    Qx4 - 13x3 + 9x2 - 2x - 10 Q(ar) = ■
2x3 - 5x2 + 3x - 2
napište jakou součet polynomu (který je částečným podílem) a parciálních zlomků. Řešení.
ní \    o   i i ■    2     ■      ^ + 5
= 3x +1
x - 2    2x2 - x + 1
□
Příklad. 3. [3 body] Uvažujme funkci
h(x) = \og3(x + 5).
a) Napište její definiční obor, obor hodnot a její hodnotu ve třech bodech a načrtněte její graf na vhodně velkém intervalu . [1 bod]
b) Najděte k funkci h(x) inverzní funkci g(y), napište její předpis, definiční obor, obor hodnot a spočítejte h(g(y)). [2 body]
Řešení, a) D(f) = (-5,oo), H(f) = (-00,00), f {-A) = 0, f (-2) = 1, f (A) = 2. Její graf na intervalu [—6, 8] najdete na https://www.wolframalpha.com, zadáte-li
plot log3(x + 5) from -6 to 8 b) Inverzní funkce je x = g (y) s definičním oborem D (g) = (—00, 00) a oborem hodnot H (g) = (—5, 00) spočítáme takto: pro y E (—00, 00) řešíme rovnici
log3(x + 5) =y
gloggO+Ô) _
x + 5 = 3y x = 3y - 5.
Tedy g (y) = 3y — 5. Dále platí
h(g(y)) = log3((3» - 5) + 5) = logg^) = y.
□
1
2
Příklad. 4. [3 body] Uvažujme funkci
G (x) = 3 arcsin —
2
a) Napište její definiční obor a obor hodnot. [1 bod]
b) Načrtněte její graf. [1 bod]
c) Vyřešte rovnici
x + 1       3       1 , ,
3 arcsin-= —n.   fl bod]
2 4      L J
Řešení, a) Definiční obor získáme řešením nerovnic
x + 1
-1 < - < 1.
~    2 ~
Dostaneme D(G) = [-3,1]. Obor hodnot je H(G) = [—|tt, |tt].
b) Její graf na intervalu [—3,1] najdete na https://www.wolframalpha.com, zadáte-li
plot 3 ArcSin[Divide[x+l,2]]
c) Řešíme rovnici
.  x + 1 3 3 arcsin- = —7r,
2 4 '
x + 1 1
arccos- = —n,
2 4 '
X + 1 ( 7t
Slil
2 V 4
2 2 '
x+l = -y/2,
x = -l-y/2.
□