Posloupnosti
M1030 Matematika pro biochemiky 15.10.2020
Pojem posloupnosti Příklady posloupností Diference a její význam Limita
Vlastnosti limity Příklady Nevlastní limita Vlastnosti nevlastní limity Příklady - nevlastní limity
Pojem posloupnosti
Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo N U {0}, nebo Z.
Pojem posloupnosti
Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo NU {0}, nebo Z. Označení: a posloupnost, n G D(a). a(n) = an - n-tý člen posloupnosti.
Pojem posloupnosti
Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo NU {0}, nebo Z.
Označení: a posloupnost, n G D(a). a(n) = an - n-tý člen posloupnosti. Alternativní zápis posloupnosti s definičním oborem NU {0}: {an}^L0
Pojem posloupnosti
Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo N U {0}, nebo Z.
Označení: a posloupnost, n G D (a), a (n) = an - n-tý člen posloupnosti. Alternativní zápis posloupnosti s definičním oborem N U {0}: {an}^L0
Vlastnosti: • ohraničenost
• monotónnost
• periodicita (s přirozenou periodou)
Pojem posloupnosti
Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo N U {0}, nebo Z.
Označení: a posloupnost, n G D (a), a (n) = an - n-tý člen posloupnosti. Alternativní zápis posloupnosti s definičním oborem N U {0}: {an}^L0
Vlastnosti: • ohraničenost
• monotónnost
• periodicita (s přirozenou periodou) Operace: aritmetické
Pojem posloupnosti
Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo N U {0}, nebo Z.
Označení: a posloupnost, n G D (a), a (n) = an - n-tý člen posloupnosti. Alternativní zápis posloupnosti s definičním oborem N U {0}: {an}^L0
Vlastnosti: • ohraničenost
• monotónnost
• periodicita (s přirozenou periodou) Operace: aritmetické
Zadávání posloupnosti: • obecným předpisem
• rekurentně
Pojem posloupnosti
Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo NU {0}, nebo Z.
Označení: a posloupnost, n G D(a). a(n) = an - n-tý člen posloupnosti. Alternativní zápis posloupnosti s definičním oborem NU {0}: {an}^L0
Vlastnosti: • ohraničenost
• monotónnost
• periodicita (s přirozenou periodou) Operace: aritmetické
Zadávání posloupnosti: • obecným předpisem
• rekurentně
Rekurentní zápis posloupnosti: předpis pro výpočet n-tého členu posloupnosti pomocí jednoho (nebo několika předchozích) současně se zadáním počátečního členu (nebo několika počátečních členů)
Príklady posloupností
Název
rekurentní vztah
obecný člen a
poznámka
Príklady posloupností
Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka
aritmetická an_i_i — an + d ag + nd d — diference,
an — ^{an-l + an+l)
Príklady posloupností
Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka
aritmetická an_i_i — an + d ag + nd d — diference,
an —  2 (an-l + an+l)
d > 0 neohraničená rostoucí d < 0 neohraničená klesající,
d = 0 ohraničená stacionární
Príklady posloupností
Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka
aritmetická an_i_i — an + d ag + nd d — diference,
an —  2 (an-l + an+l)
geometrická an^r\ — qan Qna0 Q ~ kvocient,
an — y/an_1anjt_1
Príklady posloupností
Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka
aritmetická an_i_i — an + d ag + nd d — diference,
an —  2 (an-l + an+l)
geometrická an^r\ — qan qn ag q — kvocient,
an — y/an_1anjt_1
q > 1, ao / 0 neohraničená, ao > 0 rostoucí, ao < 0 klesající
q = 1 ohraničená (stacionární)
0 < g < 1, ao / 0 ohraničená, ao > 0 klesající, ao < 0 rostoucí
g = 0, ao / 0 ohraničená, ao > 0 nerostoucí, ao < 0 neklesající
— 1 < g < 0, ao / 0 ohraničená, „tlumené oscilace"
g = —1, ao / 0 ohraničená, periodická s periodou 2
g < —1, ao / 0 neohraničená, „netlumené oscilace"
Príklady posloupností
Název
rekurentní vztah
obecný člen a1
poznámka
aritmetická
an+l — an + d
ag + nd
d - diference,
an — ^{an-l + an+l)
geometrická
an + l —Qan
qna0
q — kvocient,
an — y/an_1anjt_1
Fibonacciho
an + 2 — an + l + an, a0 = 1, ax = 1
(1 + V5)n+1 - (1 - V5)n + 1
2n+1VE
Příklady posloupností
Název
rekurentní vztah
obecný člen a1
poznámka
aritmetická
an+l — an + d
ag + nd
d - diference,
an — ^{an-l + an+l)
geometrická
an + l —Qan
qna0
q — kvocient,
an — y/an_1anjt_1
Fibonacciho
an + 2 — an + l + an, a0 = 1, ax = 1
(1 + VE)n+1 - (1 - VE)n + 1
2n+1VE
pro „velká" n „se chová" jako geometrická s kvocientem ^(i + VE) a počátečním členem ^(5 + VE)
Príklady posloupností
Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka
aritmetická an_i_i — an + d ag + nd d — diference,
an —  2 (an-l + an+l)
geometrická an^r\ — qan Qna0 Q ~ kvocient,
an — y/an_1anjt_1
Fibonacciho an+2 = o-n + l +%. (i _|_ v^)n+1 - (1 - ^)n + 1
«0 = 1, al = 1 -——■=-
(       r — 1 an \
logistická anjri — ran í 1 —--J r - růstový koeficient,
r K
K - kapacita (úživnost)
Príklady posloupností
Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka
aritmetická an_i_i — an + d ag + nd d — diference,
an —  2 (an-l + an+l)
geometrická an^r\ — qan Qna0 Q ~ kvocient,
an — y/an_1anjt_1
Fibonacciho «n,+2 = o-n + l +%. (1 + v^5)n+1 - (1 - V5)n + 1
«0 = 1, al = 1 -——■=-
(       r — 1 an \
logistická anjri — ran í 1 —--J r - růstový koeficient,
r K
K - kapacita (úživnost)
r = 2, K = \, cin = 2(1 - an): an = \ (l - (1 - 2ao)2") r = 4, K = |, an = 4(1 - an): an = [sin (2n arcsin yäô)]2
Diference a její význam
První diference vpřeď. Aan = an+i — an
Diference a její význam
První diference vpřeď. Aan = an+i — an
(Vn)Aan > O posloupnost je rostoucí,
(Vn)Aan < 0 posloupnost je klesající
(Vn)Aan > 0 posloupnost je neklesající
(Vn)Aan < 0 posloupnost je nerostoucí
Diference a její význam
První diference vpřeď. Aan = an+i — an
(Vn)Aan > O posloupnost je rostoucí,
(Vn)Aan < 0 posloupnost je klesající
(Vn)Aan > 0 posloupnost je neklesající
(Vn)Aan < 0 posloupnost je nerostoucí
Aan lze chápat jako n-tý člen nějaké posloupnosti; diferenci lze chápat jako posloupnost.
ian}n=0   =>" iAan}n=0
Diference a její význam
První diference vpřeď. Aan = an+i — an
(Vn)Aan > O posloupnost je rostoucí,
(Vn)Aan < 0 posloupnost je klesající
(Vn)Aan > 0 posloupnost je neklesající
(Vn)Aan < 0 posloupnost je nerostoucí
Aan lze chápat jako n-tý člen nějaké posloupnosti; diferenci lze chápat jako posloupnost.
ian}n=0   =>" iAan}n=0
Rekurentní formuli lze přepsat pomocí diference:
Príklad:
a
2
(r-l)
n
CLn+l — CLn = T Cl
n
K
Limita
lim an = a
n—)-oo
Limita
lim a
n—)-oo
Členy posloupnosti se přibližují k číslu a
Limita
lim a
n—)-oo
Členy posloupnosti se přibližují k číslu a Vzdálenost mezi čísly an a a\ \an — a
Limita
lim an = a
n—)-oo
Členy posloupnosti se přibližují k číslu a
an — a
Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a\ je menší než „měřítko malosti", a;
an — a
< e.
Limita
lim an = a
n—)-oo
Členy posloupnosti se přibližují k číslu a
an — a
Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a\ je menší než „měřítko malosti", a;
an — a
< e.
Proces: zvětšování indexu n
Limita
lim an = a
n—)-oo
Členy posloupnosti se přibližují k číslu a
an — a
Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a\ je menší než „měřítko malosti", a;
an — a
< e.
Proces: zvětšování indexu n
Když zvětšujeme index n tak dojde k tomu, že členy posloupnosti jsou blízko k číslu a
Limita
lim an = a
n—)-oo
Členy posloupnosti se přibližují k číslu a
an — a
Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a\ je menší než „měřítko malosti", a;
Proces: zvětšování indexu n
an — a
< e.
Když zvětšujeme index n tak dojde k tomu, že členy posloupnosti jsou blízko k číslu a
Ať zvolíme „měřítko malosti" £ jakkoliv, tak po dostatečném zvětšení indexu n budou členy posloupnosti „blízko" čísla a.
Limita
lim an = a
n—)-oo
Členy posloupnosti se přibližují k číslu a
an — a
Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a\ je menší než „měřítko malosti", a;
Proces: zvětšování indexu n
an — a
< e.
Když zvětšujeme index n tak dojde k tomu, že členy posloupnosti jsou blízko k číslu a
Ať zvolíme „měřítko malosti" £ jakkoliv, tak po dostatečném zvětšení indexu n budou členy posloupnosti „blízko" čísla a.
(Ve > 0)(3n0 G N) \an - a\ < e
Limita
lim an = a
n—)-oo
Členy posloupnosti se přibližují k číslu a
an — a
Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a\ je menší než „měřítko malosti", a;
Proces: zvětšování indexu n
an — a
< e.
Když zvětšujeme index n tak dojde k tomu, že členy posloupnosti jsou blízko k číslu a
Ať zvolíme „měřítko malosti" £ jakkoliv, tak po dostatečném zvětšení indexu n budou členy posloupnosti „blízko" čísla a a při dalším zvětšení indexu n se již od a nevzdálí.
(Ve > 0)(3n0 G N) \an - a\ < e
Limita
lim an = a
n—)-oo
Členy posloupnosti se přibližují k číslu a
an — a
Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a\ je menší než „měřítko malosti", a;
Proces: zvětšování indexu n
an — a
< e.
Když zvětšujeme index n tak dojde k tomu, že členy posloupnosti jsou blízko k číslu a
Ať zvolíme „měřítko malosti" £ jakkoliv, tak po dostatečném zvětšení indexu n budou členy posloupnosti „blízko" čísla a a při dalším zvětšení indexu n se již od a nevzdálí.
(Ve > 0)(3n0 G N)(Vn > n0)
an — a
< e
Limita
lim an = a
n—)-oo
Členy posloupnosti se přibližují k číslu a
an — a
Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a\ je menší než „měřítko malosti", a;
Proces: zvětšování indexu n
an — a
< e.
Když zvětšujeme index n tak dojde k tomu, že členy posloupnosti jsou blízko k číslu a
Ať zvolíme „měřítko malosti" £ jakkoliv, tak po dostatečném zvětšení indexu n budou členy posloupnosti „blízko" čísla a a při dalším zvětšení indexu n se již od a nevzdálí.
(Ve > 0)(3n0 G N)(Vn > n0)
an — a
< e
Vlastnosti limity
7/1
Vlastnosti limity
• Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
Vlastnosti limity
• Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
Pokud existuje lim an, posloupnost {an}^n se nazývá konvergentn
n—)-oo
Vlastnosti limity
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
oo
n=0
Konvergentní posloupnost je ohraničená
Pokud existuje lim an, posloupnost {an}^L0 se nazývá konvergentn
n—T-oo
Vlastnosti limity
• Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
Pokud existuje lim an, posloupnost {an}^n se nazývá konvergentní.
n—)-oo
• Konvergentní posloupnost je ohraničená
• (Vn)an = c (posloupnost je stacionárni) =^> lim an = c
n—)-oo
Vlastnosti limity
• Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
Pokud existuje lim an, posloupnost {an}^n se nazývá konvergentní.
n—)-oo
• Konvergentní posloupnost je ohraničená
• (Vn)an = c (posloupnost je stacionárni) =^> lim an = c
n—)-oo
• (Vn)an < bn =^> lim an < lim bn
n—)-oo n—)-oo
Vlastnosti limity
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
oo
n=0
Konvergentní posloupnost je ohraničená
Pokud existuje lim an, posloupnost {an}^L0 se nazývá konvergentn
n—T-oo
(Vn)an = c (posloupnost je stacionární) =^> lim an = c
n—)-oo
(Vn)an < bn =^> lim an < lim bn
n—)-oo n—)-oo
(Vn)an < bn < cn,   lim an = lim cn = a => lim bn = a
n—)-oo n—)-oo n—)-oo
Vlastnosti limity
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
oo
n=0
Konvergentní posloupnost je ohraničená
Pokud existuje lim an, posloupnost {an}^L0 se nazývá konvergentn
n—T-oo
(Vn)an = c (posloupnost je stacionární) =^> lim an = c
n—)-oo
(Vn)an < bn =^> lim an < lim bn
n—)-oo n—)-oo
(Vn)an < bn < cn,   lim an = lim cn = a => lim bn = a
n—)-oo n—)-oo n—)-oo
lim an = 0, {6n}^Lo Je ohraničená      lim an6n = 0
n—)-oo n—)-oo
Vlastnosti limity
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
oo
n=0
Konvergentní posloupnost je ohraničená
Pokud existuje lim an, posloupnost {an}^L0 se nazývá konvergentn
n—T-oo
(Vn)an = c (posloupnost je stacionární) =^> lim an = c
n—)-oo
(Vn)an < bn =^> lim an < lim bn
n—)-oo n—)-oo
(Vn)an < bn < cn,   lim an = lim cn = a => lim bn = a
n—)-oo n—)-oo n—)-oo
lim an = 0, {6n}^Lo Je ohraničená      lim an6n = 0
t—)-oo n—)-oo
lim (an db 6n) = lim an db lim 6?
n—)-oo ' ' n—)-oo n—)-oo
Vlastnosti limity
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
oo
n=0
Konvergentní posloupnost je ohraničená
Pokud existuje lim an, posloupnost {an}^L0 se nazývá konvergentní.
n—T-oo
(Vn)an = c (posloupnost je stacionární) =^> lim an = c
n—)-oo
(Vn)an < bn =^> lim an < lim bn
n—)-oo n—)-oo
(Vn)an < bn < cn,   lim an = lim cn = a => lim bn = a
n—)-oo n—)-oo n—)-oo
lim an = 0, {6n}^Lo Je ohraničená      lim an6n = 0
t—)-oo n—)-oo
lim (an db 6n) = lim an db lim 6?
n—)-oo ' ' n—)-oo n—)-oo
lim anbn = lim an • lim bn
n—)-oo n—)-oo n—)-oo
Vlastnosti limity
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
oo
n=0
Konvergentní posloupnost je ohraničená
Pokud existuje lim an, posloupnost {an}^L0 se nazývá konvergentní.
n—T-oo
(Vn)an = c (posloupnost je stacionární) =^> lim an = c
n—)-oo
(Vn)an < bn =^> lim an < lim bn
n—)-oo n—)-oo
(Vn)an < bn < cn,   lim an = lim cn = a => lim bn = a
n—)-oo n—)-oo n—)-oo
lim an = 0, {6n}^Lo Je ohraničená      lim an6n = 0
t—)-oo n—)-oo
lim (an db 6n) = lim an db lim 6?
n—)-oo ' ' n—)-oo n—)-oo
lim anbn = lim an • lim bn
n—)-oo n—)-oo n—)-oo
lim —^ = n  00 —, pokud lim bn 7^ 0
n^oo 6n lim Dn n^oo
n—)-oo
Příklady
lim
n—)-oo Ti
k
O, k e N,
lim q
n—)-oo
n
O pro \q\ < 1
Příklady
lim
n—)-oo Ti
k
O, k e N,
lim q
n—)-oo
n
O pro \q\ < 1
r n + 1 lim -
n—)-oo 71
Příklady
lim —- = O, ke N,        lim qn
n—)-oo TI n—)-oo
n 4- 1 /      1 \ 1
lim = lim    1 + -   = 1 + lim - = 1 + 0
n—)-oo     fi n—)-oo V TI J n—)-oo TI
Příklady
lim
n—)-oo Ti
k
O, k e N,
lim q
n—)-oo
n
O pro \q\ < 1
lim
2n + 1
Příklady
lim —- = O, k G N,        lim qn = O pro \q <
n—)-oo TI n—)-oo
n2 — 2n + l                (n — l)2                n —1 lim--- = lim--—-- = lim - = lim
n^oo      n2 — 1 n^oo (n + l)(n — 1)      n^oo n + 1 n^oo
Příklady
l
lim —- = O, ke N,        lim qn = O pro q <
n—)-oo Ti n—)-oo
r    n2-2n + l (n-1)2 n-1
lim--- = lim--—7-— = lim-- = lim
n^oo      TI   — 1 n^oo (n + 1) (Ti — 1)      n^oo n + 1 n^oc
= lim -"  : "   = 1
nÁ
Příklady
lim
n—)-oo Ti
k
O, k e N,
lim q
n—)-oo
n
O pro \q\ < 1
n
_g
lim ——-—
n^oo 2n+1 - 3n+1
Příklady
lim —- = O, k e N,        lim qn = O pro \q\ < 1
n—)-oo TI n—)-oo
2^_2n
lim ——-— = lim
n—)-oo 2n+1 — 3n+ n—)-oo
2^+1 — 3n+l
= lim
2n+l 1
n^o V2-3(f)n 2(|)n-3
2 \n
= 0-
0-3 3
8/11
Příklady
lim
n—)-oo Ti
k
O, k e N,
lim q
n—)-oo
n
O pro \q\ < 1
lim
n—)-oo 2
n
Příklady
lim
n—)-oo Ti
k
O, k e N,
lim q
n—)-oo
n
O pro \q\ < 1
lim
n—)-oo 2
n
n2 n2
0 < — = ---
2n     (1 + 1)
n
1 + n +
+ 1
8/11
Příklady
lim -r = O, ke N,
n—)-oo TI n—)-oo
lim gn = 0 pro \q\ < 1
lim
n—)-oo 2
n
n2 n2
0 < — =---
2n     (1 + 1)
n
ň"- < -
1+n+l2   +   3 + 1     1+n+   2   + 3
Ti'
6?r
i   .       .   n(n— 1)   .   n(n— l)(n—2)
l + n+^-^ + ^-^-±
6 + 6n + 3n(n — 1) + n(n — l)(n — 2)
6rr
6
6 + 5n + n3     -4- + - + n
Příklady
lim
n—)-oo 2
n
lim —- = O, fcGN,        lim gn = O pro \q\ < 1
n—)-oo 72 n—)-oo
0 < — =
(i + i)
n
ň"- < -
1+n+l2   +   3 + 1     1+n+   2   + 3
TV
6?r
i   .       .   n(n— 1)   .   n(n— l)(n—2)
6 + 6n + 3n(n — 1) + n(n — l)(n — 2)
6rr
6
6 + 5n + n3     -4- + - + n
lim -7:-^-
n^oo —i- —|— — —|— 77/
= 0
8/11
Příklady
lim —- = O, k e N,        lim qn = O pro \q\ < 1
n—)-oo TI n—)-oo
lim — = 0
n—)-oo 2n
0 < — =
(i + i)
n
ň"- < -
1+n+l2   +   3 + 1     1+n+   2   + 3
TV
6?r
i   .       .   n(n— 1)   .   n(n— l)(n—2)
6 + 6n + 3n(n — 1) + n(n — l)(n — 2)
6rr
6
6 + 5n + n3     -4- + - + n
lim -7:-^-
n^oo —i- —|— — —|— TI
w n
= 0
8/11
Nevlastní limita
lim an = oo
n—)-oo
Nevlastní limita
lim an = oo
n—)-oo
Cleny posloupnosti neomezeně rostou.
Nevlastní limita
lim an = oo
n—)-oo
Cleny posloupnosti neomezeně rostou.
Když zvětšujeme index n tak členy posloupnosti rostou nade všechny meze
Nevlastní limita
lim an = oo
n—)-oo
Cleny posloupnosti neomezeně rostou.
Když zvětšujeme index n tak členy posloupnosti rostou nade všechny meze
Ať zvolíme „hranici velikosti" H jakkoliv, tak po dostatečném zvětšení indexu n budou členy posloupnosti větší než hranice H a při dalším zvětšování indexu již tuto hranici neklesnou.
(W e R)(3n0 e N)(Vn > n0) an > H
Nevlastní limita
lim an = oo
n—)-oo
Cleny posloupnosti neomezeně rostou.
Když zvětšujeme index n tak členy posloupnosti rostou nade všechny meze
Ať zvolíme „hranici velikosti" H jakkoliv, tak po dostatečném zvětšení indexu n budou členy posloupnosti větší než hranice H a při dalším zvětšování indexu již tuto hranici neklesnou.
(W G R)(3n0 e N)(Vn > n0) an> H Posloupnost {an}^L0 diverguje do nekonečna.
Nevlastní limita
lim an = oo
n—)-oo
(yH e R)(3n0 e N)(Vn > n0) an> H Posloupnost {an}^=0 diverguje do nekonečna.
Nevlastní limita
lim an = oo
n—)-oo
(yH e R)(3n0 e N)(Vn > n0) an> H Posloupnost {an}^=0 diverguje do nekonečna.
lim an = —oo
n—)-oo
Nevlastní limita
lim an = oo
n—)-oo
(yH e R)(3n0 e N)(Vn > n0) an> H Posloupnost {an}^=0 diverguje do nekonečna.
lim an = —oo
n—)-oo
(yH e R)(3n0 e N)(Vn > n0) an < H Posloupnost {an}^=0 diverguje do minus nekonečna.
Vlastnosti nevlastní limity
Nevlastní limita není limita
Vlastnosti nevlastní limity
Nevlastní limita není limita
• Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti.
Vlastnosti nevlastní limity
Nevlastní limita není limita
• Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti.
• Divergentní posloupnost je neohraničená.
Vlastnosti nevlastní limity
evlastní limita není limita
Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. Divergentní posloupnost je neohraničená.
lim an = oo,   {bn}^=0 je ohraničená lim (an ± bn)
n—>oo n—>-oo
lim an = — oo, {bn}^=0 je ohraničená lim (an ± 6n)
n—?-oo n—>oo
Vlastnosti nevlastní limity
Nevlastní limita není limita
• Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti.
• Divergentní posloupnost je neohraničená.
• lim an = oo,   {bn}^=0 je ohraničená => lim (an ± bn) = oo
n—>oo n—>-oo
lim an = —oo, {bn}^=0 je ohraničená      lim (an ± 6n) = —oo
n—T-oo n—>oo
• lim an = ±00, 6n > S > O =^> lim anbn = ±00
n—?-oo n—?-oo
lim an = ±00, bn < S < O => lim an6n = =poo
n—?-oo n—>-oo
Vlastnosti nevlastní limity
Nevlastní limita není limita
• Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti.
• Divergentní posloupnost je neohraničená.
• lim an = oo,   {bn}^=0 je ohraničená => lim (an ± bn) = oo
n—T-oo n—>oo
lim an = —oo, {6n}^Lo Je ohraničená      lim (an ± bn) = —oo
n—?-oo n—>oo
• lim an = ±00, bn > S > O =^> lim an6n = ±00
n—T-oo n—?-oo
lim an = ±00, bn < S < O => lim an6n = =poo
n—?-oo n—>-oo
an — n,   lim an — 00,    bn — lim anbn — 1
n—>oo 71 n—>-oo
2 1
an = n ,   lim an — 00,    bn — —,        lim an6n — lim n — 00
n—>-oo 71 n—>-oo n—>-oo
1 .1
an = n,   lim an — 00,    6n = —,        lim anfrn — lim — = O
n—>-oo 71 n—>-oo n—>-oo 77
Vlastnosti nevlastní limity
Nevlastní limita není limita
• Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti.
• Divergentní posloupnost je neohraničená.
• lim an = co,   {bn}^=0 je ohraničená      lim (an ± bn) = oo
n—T-oo n—?-oo
lim an = —oo, {bn}^=0 je ohraničená      lim (an ± bn) = —oo
n—T-oo n—?-oo
• lim an = zboo, 6n > ô > 0      lim anbn = ±00
lim a
n
±00, 6n < č < 0 ^> lim an6
^00
• lim an = ±00, {bn}^=0 je ohraničená lim
n
= 0
n
Vlastnosti nevlastní limity
Nevlastní limita není limita
• Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti.
• Divergentní posloupnost je neohraničená.
• lim an = oo,   {bn}^={) je ohraničená => lim (an =b bn) = oo
n—>oo n—>oo
lim an = —oo, {6n}^L0 je ohraničená      lim (an ± bn) = —oo
lim an = ±00, 6n > ô > 0 =^> lim anbn = ±00
n—?-oo n—?-oo
lim an = ±00, 6n < ô < 0 =^> lim anbn = ^oo
n—>-oo n—>oo
bn
lim an = ±00, {bn}^=0 je ohraničená      lim — = 0
1
lim an = 0, an > 0 =>   lim — = 00
n—)-oo n—)-oo Q,n
1
lim an = 0, an < 0 =>   lim — = —00
n—>-oo n—)-oo Q,n
Vlastnosti nevlastní limity
Operace na M* = RU {—00,00} (rozšířené množině reálných čísel)
Vlastnosti nevlastní limity
Operace na M* = M U {—00,00} (rozšírené množině reálných čísel)
• c + 00 = 00, c — 00 = — 00
• c > 0 =^> c00 = 00, c(—00) = —00
c < 0 =^> c00 = —00, c(—00) = 00
c c
• — = -= 0
00 —00
1
• - = 00
0
• 00 + 00 = 00
• 00 • 00 = 00, 00 • (—00) = (—00) • 00 = —00, (—00) • (—00) =
Vlastnosti nevlastní limity
Operace na R* = M U {—oo, 00} (rozšířené množině reálných čísel)
• c + 00 = 00, c — 00 = — OO
• c > 0 ^> c 00 = 00, c(—00) = —00
c < 0 ^> c00 = —00, c(—00) =
00
= 0
—00 00
00 1
Ô
00 + 00 = 00
00 • 00 = 00, 00 • (—00) = (—00) • 00 = —00, (—00) • (—00) = 00
m -        0   00 n
Neurčite výrazy: -, —, U • oo, 00 — 00
0 00
Vlastnosti nevlastní limity
Operace na M* = M U {—00,00} (rozšířené množině reálných čísel)
c + 00 = 00, c — 00
•00
c > 0 => c00 = 00, c(—00) = -c < 0 => c00 = —00, c(—00) =
•00 00
c
c
= 0
—00 00
00 1
Ô
00 + 00 = 00
00 • 00 = 00, 00 • (—00) = (—00) • 00 = —00, (—00) • (—00) = 00
Neurčite výrazy: -
_o_
0 Voo   " I
o „      „10 11   0-0 o
= -, 0.00=0.- = -, 00-00=--- = — = -
Příklady - nevlastní limity
lim nk = oo, k G N,
n—)-oo
lim gn <
n—>oo
-- O
= 1
= oo k neexistuje
pro \q\ < 1 pro q = 1 pro g > 1 pro q < —1
11 / 11
Příklady - nevlastní limity
lim nk = oo, k G N,
n—)-oo
lim gn <
n—>oo
-- O
= 1
= oo k neexistuje
pro \q\ < 1 pro q = 1 pro g > 1 pro q < —1
lim (4 - 3n + 2n2 - n3)
11 / 11
Příklady - nevlastní limity
lim n
n—)-co
k
oo, /c G N,
lim q {
n—too
= i
= oo
k neexistuje
pro \q\ < 1 pro q = 1 pro q > 1 pro g < — 1
lim (4 - 3n + 2n2 - n3) = lim (4, - £ + £ - l)
n
3 _
oo
n—>-oo
n—>-co
Příklady - nevlastní limity
lim nk
n—)-oo
oo, k e N,
lim qn <
n—>oo
-- 0
= 1
= oo k neexistuje
pro \q\ < 1 pro q = 1 pro q > 1 pro q < —1
lim
n2 + 2n + 1 1 — n2
11 / 11
Příklady - nevlastní limity
lim nk = oo, k G N,
n—)-oo
lim gn ^
n—)-oo
= 0
= 1
= oo ^ neexistuje
pro \q\ < 1 pro q = 1 pro g > 1 pro q < — 1
..    n2 + 2n + l
lim--— = lim
1 — n2
(n + 1)2                n + 1 um--—-- = lim - = lim
n^oo (1 + n)(l — n)      n^oo 1 — n n^oo
1 — n
- 1
Príklady - nevlastní limity
lim nk = oo, k e N,
n—>-oo
lim q \
n—>-oo
= i
= oo
k neexistuje
pro \q\ < 1 pro q = 1 pro q > 1 pro g < — 1
n2 + 2n + l                (n + 1)2                n +1 hm--— = hm —-—-r = lim-- = lim
n^oo       1 — n1 n^oo (1 -+- ľl)[l — TI)      n^oo 1 — n      n^oo y 1 — n
= Bm i+Í±Í = 1±£±0 =-1
n^oo      -4y — 1 0 — 1
Příklady - nevlastní limity
lim nk = oo, k G N,
n—)-oo
lim gn <
n—>oo
-- O
= 1
= oo k neexistuje
pro \q\ < 1 pro q = 1 pro g > 1 pro q < —1
lim
2n4 - 3ns + 5
n->>oo 3n5 + 4n + 1
11 / 11
Příklady - nevlastní limity
lim nk = oo, k G N,
n—>-oo
lim gn <
n—)-oo
= 0
= 1
= oo k neexistuje
pro \q\ < 1 pro q = 1 pro g > 1 pro g < — 1
lim
2n4 - 3n3 + 5
= lim
1-^ + ^ _ o-o + o
n-Ti 3n5 + 4n + 1     n^+So 3+4.+ 1      3 + o + 0
= o
Příklady - nevlastní limity
lim nk = oo, k G N,
n—)-oo
lim gn <
n—>oo
-- O
= 1
= oo k neexistuje
pro \q\ < 1 pro q = 1 pro g > 1 pro q < —1
lim
2n4 - 3ns + 5
n->>oo 3n3 + 4n + 1
11 / 11
Příklady - nevlastní limity
lim nk = oo, k G N,
n—)-oo
lim gn <
n—>oo
-- O
= 1
= oo k neexistuje
pro \q\ < 1 pro q = 1 pro g > 1 pro q < —1
2n4-3n3 + 5 2n - 3 + ^
= lim
3n3 + 4n + 1     n^oo 3+4+1
= OO
11 / 11
Příklady - nevlastní limity
lim nk = oo, k G N,
n—)-oo
lim gn <
n—)-oo
= 0
= 1
= oo ^ neexistuje
pro \q\ < 1 pro q = 1 pro g > 1 pro q < — 1
afcnfc + ak-inh 1 +
'sgn(^)oo.
I™      7 7 17
n^oo bmnm + 6m_inm 1 H-----h 60
= <
6,
0.
k > m k = m k < m
11/1