Spojitost a limita funkce M1030 Matematika pro biochemiky 22.10.2020 Spojité funkce Spojitost Spojitost v bodě Exkurs: výroky s kvantifikátory Operace se spojitými funkcemi Spojitost na intervalu Funkce spojité na uzavřeném intervalu Limita funkce Spojité funkce Spojitost Funkce je spojitá, pokud Spojitost Funkce je spojitá, pokud • její graf lze nakreslit bez přerušení kontaktu psacího nástroje s podložkou, 3/14 Spojitost Funkce je spojitá, pokud • její graf lze nakreslit bez přerušení kontaktu psacího nástroje s podložkou, tj. její graf je souvislá křivka; 3/14 Spojitost Funkce je spojitá, pokud • její graf lze nakreslit bez přerušení kontaktu psacího nástroje s podložkou, tj. její graf je souvislá křivka; • malá změna nezávisle proměnné vyvolá malou změnu závisle proměnné. 4/14 4/14 4/14 Spojitost v bodě Spojitost v bodě Spojitost v bodě Funkce spojitá v bodě xq Funkce nespojité v bodě xq 4/14 Spojitost v bodě Funkce f je spojitá v bodě xq\ Spojitost v bodě Funkce f je spojitá v bodě xq\ • Funkce / je v bodě xq definována, xq g D(f). Spojitost v bodě Funkce f je spojitá v bodě xq\ • Funkce / je v bodě xq definována, xq g D(f) • Je-li x „blízko" xq pak je f{x) „blízko" f(xo) Spojitost v bodě Funkce f je spojitá v bodě xq\ • Funkce / je v bodě xq definována, xq g D(f). • Je-li x „blízko" xq pak je f{x) „blízko" f(xo). • Zvolíme-li „měřítko blízkosti" e závisle proměnné e, lze k němu najít „měřítko blízkosti" ô nezávisle proměnné takové, že když je x „blízko" k xq „podle měřítka" 6, tak je f(x) „blízko" f(x0) „podle měřítka" e. Spojitost v bodě 2f. ô \ ô Xq \ X Funkce f je spojitá v bodě xq\ • Funkce / je v bodě xq definována, xq g D(f). • Je-li x „blízko" xq pak je f{x) „blízko" f(xo). • Zvolíme-li „měřítko blízkosti" e závisle proměnné e, lze k němu najít „měřítko blízkosti" ô nezávisle proměnné takové, že když je x „blízko" k xq „podle měřítka" 6, tak je f(x) „blízko" f(x0) „podle měřítka" e. x g D(f) \x-x0\ 0) x g D(f) \x-x0\ 0)(3S > 0) xeD(f) \x - x0\ < ô \f(x)-f(x0)\ 0)(3Ô > 0)(Vz g D(f)) \x - x0\ < ô \f(x) - f(x0)\ < e Spojitost v bodě 2f. ô \ ô Xq \ X Funkce f je spojitá v bodě xq\ • Funkce / je v bodě xq definována, xq g D(f). • Je-li x „blízko" xq pak je f{x) „blízko" f(xo). • Zvolíme-li „měřítko blízkosti" e závisle proměnné e, lze k němu najít „měřítko blízkosti" ô nezávisle proměnné takové, že když je x „blízko" k xq „podle měřítka" 6, tak je f(x) „blízko" f(x0) „podle měřítka" e. • Ke každému kladnému číslu e existuje kladné číslo ô, že pro jakékoliv x g D(f) z č-blízkosti x k xq nutně vyplyne ^-blízkost f{x) k f(xo). (Ve > 0)(3Ô > 0)(Vz g D(f)) \x - x0\ < ô \f(x) - f(x0)\ < e Spojitost v bodě Funkce f je spojitá v bodě xq\ f(xo)' 2f. 5 \ 5 Xq \ X (Ve > 0)(3S > 0)(Vz g D(f)) \x - x0\ < 5 \f(x) - f(x0)\ < e 4/14 Spojitost v bodě Funkce f je nespojitá v bodě xq\ Spojitost v bodě Funkce f je nespojitá v bodě xq\ * Funkce není v x0 definována; x0 0 D(f). Spojitost v bodě Funkce f je nespojitá v bodě xq\ * Funkce není v x0 definována; x0 0 D(f). * Pokud xq e D(f), pak • Přestože x „je blízko" k xq, tak f(x) je od f(x0) * Funkce není v x0 definována; x0 0 D(f). * Pokud xq g D(f), pak • Přestože x „je blízko" k xq, tak f(x) je od f(x0) „daleko". • Při nějakém „měřítku dalekosti" jsou funkční hodnoty nějakých nezávisle proměnných libovolně „blízkých" k x0 „daleko" od funkční hodnoty f(x0). Spojitost v bodě y ....Y-.............i Funkce f je nespojitá v bodě xq\ * Funkce není v x0 definována; x0 0 D(f). * Pokud xq g D(f), pak • Přestože x „je blízko" k xq, tak f(x) je od f(x0) „daleko". • Při nějakém „měřítku dalekosti" jsou funkční hodnoty nějakých nezávisle proměnných libovolně „blízkých" k x0 „daleko" od funkční hodnoty f(x0) x - x0\ < ô |/0) - f(x0)\ > e Spojitost v bodě y Funkce f je nespojitá v bodě xq\ / \ * Funkce není v x0 definována; x0 0 D(f). * Pokud Xq g D(f), pak • Přestože x „je blízko" k x0, tak f(x) je od f(x0) „daleko". • Při nějakém „měřítku dalekosti" jsou funkční hodnoty nějakých nezávisle proměnných libovolně „blízkých" k xq „daleko" od funkční hodnoty f(xo). • Existuje takové „měřítko dalekosti" s (3s > 0) x - x0\ < ô \f(x) - f(x0)\ > e Spojitost v bodě Funkce f je nespojitá v bodě xq\ * Funkce není v x0 definována; x0 0 D(f). * Pokud xq g D(f), pak • Přestože x „je blízko" k x0, tak f(x) je od f(x0) „daleko". • Při nějakém „měřítku dalekosti" jsou funkční hodnoty nějakých nezávisle proměnných libovolně „blízkých" k xq „daleko" od funkční hodnoty f(xo). • Existuje takové „měřítko dalekosti" e, že pro libovolné „měřítko blízkosti" ô (3£>0)(VČ>0) X — Xq 5 Spojitost v bodě Funkce f je nespojitá v bodě xq\ * Funkce není v x0 definována; x0 0 D(f). * Pokud xq g D(f), pak • Přestože x „je blízko" k x0, tak f(x) je od f(x0) „daleko". • Při nějakém „měřítku dalekosti" jsou funkční hodnoty nějakých nezávisle proměnných libovolně „blízkých" k xq „daleko" od funkční hodnoty f(xo). • Existuje takové „měřítko dalekosti" e, že pro libovolné „měřítko blízkosti" ô lze najít hodnoty x nezávisle proměnné (3e > 0)(V5 > 0)(3x g D(f)) \x - x0\ < ô \f(x) - f(x0)\ > e Spojitost v bodě y-f M e / _____.............á xq \ x Funkce f je nespojitá v bodě xq\ * Funkce není v x0 definována; x0 0 D {f). * Pokud xq g D(f), pak • Přestože x „je blízko" k x0, tak f (x) je od f (x o) „daleko". • Při nějakém „měřítku dalekosti" jsou funkční hodnoty nějakých nezávisle proměnných libovolně „blízkých" k xq „daleko" od funkční hodnoty f(xo). • Existuje takové „měřítko dalekosti" e, že pro libovolné „měřítko blízkosti" ô lze najít hodnoty x nezávisle proměnné „č-blízké k #0"» jejichž příslušné funkční hodnoty jsou „e-vzdálené" od funkční hodnoty f(xo). (3e > 0)(V5 > 0)(3x e D(f)) \x - x0\ < ô k \f(x) - f(x0)\ > e Spojitost v bodě Funkce f je nespojitá v bodě xq g D(f) V' £ / _____.............á xq \ x (3e > 0)(V5 > 0)(3x g D(f)) \x - x0\ < 5 & \f(x) - f(x0)\ > e 4/14 Exkurs: výroky s kvantifikátory (ye > 0)(3S > 0)(Vz G D(f)) \x-x0\ 0)(V5 > 0)(3x G D(f)) \x - x0\ < S & \f(x) - f(x0)\ > e Funkce / je nespojitá v xq G D(f). Exkurs: výroky s kvantifikátory (Ve > 0)(3S > 0)(Vz G D(f)) \x - x0\ < 5 \f(x) - f(x0)\ < e Funkce / je spojitá v x0 G D(f). (3e > 0)(V5 > 0)(3x G D(f)) \x - x0\ < S & \f(x) - f(x0)\ > 5 Funkce / je nespojitá v xq G D(f). (Funkce / není spojitá v xq G D(f).) Exkurs: výroky s kvantifikátory (Ve > 0)(3S > 0)(Vz g D(f)) \x - x0\ < 5 \f(x) - f(x0)\ < e Funkce / je spojitá v x0 g D(f). (3e > 0)(V5 > 0)(3x g D(f)) \x - x0\ < 5 & \f(x) - f(x0)\ > e Funkce / je nespojitá v xq g D(f). (Funkce / není spojitá v xq g D(f). Není pravda, že funkce / je spojitá v xq g D(f).) Exkurs: výroky s kvantifikátory (Ve > 0)(3S > 0)(Vz g £>(/)) |x - x0| < S \f(x) - f(x0)\ < e Funkce / je spojitá v x0 g D(f). (3e > 0)(V5 > 0)(3x g £>(/)) |x - x0| < S & \f(x) - f(x0)\ > s Funkce / je nespojitá v xq g D(f). (Funkce / není spojitá v xq g D(f). Není pravda, že funkce / je spojitá v xq g D(f).) (3e > 0)(V5 > 0)(Vz g £>(/)) |x - x0| > 5 & - /(x0)| < e Exkurs: výroky s kvantifikátory (Ve > 0)(3S > 0)(Vz g D(f)) \x - x0\ < 5 \f(x) - f(x0)\ < e Funkce / je spojitá v x0 g D(f). (3e > 0)(V5 > 0)(3x g D(f)) \x - x0\ < S & \f(x) - f(x0)\ > e Funkce / je nespojitá v xq g D(f). (Funkce / není spojitá v xq g D(f). Není pravda, že funkce / je spojitá v xq g D(f).) (3e > 0)(V5 > 0)(Vz g £>(/)) |x - x0| > S & \f(x) - f(x0)\ < 5 Funkce / je ohraničená. Exkurs: výroky s kvantifikátory (Ve > 0)(3S > 0)(Vz g £>(/)) |x - x0| < 5 \f(x) - f(x0)\ < e Funkce / je spojitá v x0 g D(f). (3e > 0)(V5 > 0)(3x g £>(/)) |x - x0| < S & \f(x) - f(x0)\ > s Funkce / je nespojitá v xq g D(f). (Funkce / není spojitá v xq g D(f). Není pravda, že funkce / je spojitá v xq g D(f).) (3e > 0)(V5 > 0)(Vz g £>(/)) |x - x0| > (5 & |/(x) - f(x0)\ < 5 Funkce / je ohraničená. (Ve > 0)(V5 > 0)(Vz g £>(/)) |x - x0\ > S & \f(x) - f(x0)\ < 5 Exkurs: výroky s kvantifikátory (ye > 0)(3S > 0)(Vz g D(f)) \x - x0\ < ô \f(x) - f(x0)\ < e Funkce / je spojitá v x0 g D {f). (3e > 0)(V5 > 0)(3x g D(f)) \x - x0\ < ô k \f(x) - f(x0)\ > s Funkce / je nespojitá v xq g D(f). (Funkce / není spojitá v xq g D {f). Není pravda, že funkce / je spojitá v xq g D {f).) (3e > 0)(V5 > 0)(Vz g £>(/)) |x - x0| > ô k \f(x) - f(x0)\ < 5 Funkce / je ohraničená. (Ve > 0)(V5 > 0)(Vz g £>(/)) |x - x0\ > ô & \f(x) - f(x0)\ < 5 Funkce / je konstantní. Operace se spojitými funkcemi Nechť funkce / a g jsou spojité v bodě xq g D(f) n D(g). Pak také funkce f + 9, f-9, Í9 jsou spojité v bodě x0. Pokud navíc g(x0) ^ 0, pak je také funkce 9 spojitá v bodě xq. Operace se spojitými funkcemi Nechť funkce / a g jsou spojité v bodě xq G D(f) n D(g). Pak také funkce f + 9, f-9, Í9 jsou spojité v bodě x0. Pokud navíc g(x0) ^ 0, pak je také funkce 9 spojitá v bodě xq. Nechť funkce g je spojitá v bodě xq a g(xo) G D(f). Je-li funkce / spojitá v bodě g(xo), pak je složená funkce / o g spojitá v bodě xq. Operace se spojitými funkcemi Nechť funkce / a g jsou spojité v bodě xq g D(f) d Pak také funkce f + 9, f-9, Í9 jsou spojité v bodě xq. Pokud navíc g(xo) / 0, pak je také funkce g spojitá v bodě xq. Nechť funkce g je spojitá v bodě xo a g(xo) g D(f). Je-li funkce / spojitá v bodě #(#0). Pak je složená funkce / o g spojitá v bodě xq. Nechť funkce / je spojitá v bodě xq. Pokud existuje inverzní funkce pak je tato funkce spojitá v bodě f(xo). Spojitost na intervalu Funkce / je spojitá na intervalu J C D(f), pokud je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. (Vx0 e J)(Ve > 0)(3S > 0)(Vz G J) |x - x0| < ^ |/(z) - /(x0)| < e Spojitost na intervalu Funkce / je spojitá na intervalu J C D(f), pokud je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. (Vx0 e J)(Ve > 0)(3S > 0)(Vz G J) |x - x0| < ^ |/(z) - /(x0)| < e Každá elementární funkce je spojitá na každém intervalu, který je částí jejího definičního oboru. Funkce spojité na uzavřeném intervalu Nechť funkce / je spojitá na intervalu (a, b) C D(f). Pak platí: Funkce spojité na uzavřeném intervalu Nechť funkce / je spojitá na intervalu (a, b) C D(f). Pak platí: • Funkce / je ohraničená na intervalu (a, 6). (3fc GM)(Vx G (a, 6)) |/(x)| < k Funkce spojité na uzavřeném intervalu Nechť funkce / je spojitá na intervalu (a, b) C D(f). Pak platí: • Funkce / je ohraničená na intervalu (a, b). (3k gm)(Vx g (a,6)) |/0)| < k • Funkce / nabývá na intervalu (a, 6) své nejmenší a největší hodnoty. (3c,dG(a,b))(Vx G (a,6)) /(c) < f(x) < f(d) Funkce spojité na uzavřeném intervalu Nechť funkce / je spojitá na intervalu (a, b) C D(f). Pak platí: • Funkce / je ohraničená na intervalu (a, b). (3k gm)(Vx g (a,6)) |/0)| < k Funkce / nabývá na intervalu (a, b) své nejmenší a největší hodnoty. (3c,d € (a,b))(Vx G (a,b)) /(c) < f(x) < f(d) Karl Theodor Wilhelm Weierstraß 1815-1897 Funkce spojité na uzavřeném intervalu Nechť funkce / je spojitá na intervalu (a, b) C D(f). Pak platí: • Pokud mají funkční hodnoty v krajních bodech intervalu (a, b) opačná znaménka, pak uvnitř tohoto intervalu existuje kořen rovnice f{x) = 0. /(<*)/(&)< 0 (3c € (a, b)) f(c) = 0 Funkce spojité na uzavřeném intervalu Nechť funkce / je spojitá na intervalu (a, b) C D(f). Pak platí: • Pokud mají funkční hodnoty v krajních bodech intervalu (a, b) opačná znaménka, pak uvnitř tohoto intervalu existuje kořen rovnice f{x) = 0. /(<*)/(&)< 0 (3c G (a, b)) f(c) = 0 • Funkce / nabývá na intervalu (a, b) všech hodnot mezi svou nej větší a nejmenší hodnotou. (3c, d G (a, b))(Vx G (a, 6» /(c) < /(x) < f(d) k (Vy G (/(c),/(d)»(3£ G (a, 6)) /(O = 2/ 8/ Funkce spojité na uzavřeném intervalu Nechť funkce / je spojitá na intervalu (a, b) C D(f). Pak platí: • Pokud mají funkční hodnoty v krajních bodech intervalu (a, b) opačná znaménka, pak uvnitř tohoto intervalu existuje kořen rovnice f{x) = 0. /(<*)/(&)< 0 (3c G (a, b)) f(c) = 0 • Funkce / nabývá na intervalu (a, b) všech hodnot mezi svou nej větší a nejmenší hodnotou. (3c, d G (a, b))(Vx G (a, 6» /(c) < /(x) < f(d) k (Vy G (/(c),/(d)»(3£ G (a, 6)) /(O = 2/ Bernard Bolzano 1781-1848 8/ Spojité funkce Limita funkce Představa a pojem limity Nevlastní limita Limita v nevlastním bodě Výpočet limit Příklady Limita funkce Představa a pojem limity lim f{x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq limitu a: Představa a pojem limity lim f{x) = a X^řXQ Funkce / má ve vlastním bodě xq vlastní limitu a Představa a pojem limity lim f{x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq g M. limitu a g M: Představa a pojem limity lim f{x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq g M. limitu a g M: Představa a pojem limity lim f{x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq g M. limitu a g M: Když se s hodnotami nezávisle proměnné se přibližujeme k xq tak se funkční hodnoty VI I ■ v ■ f I přibližuji k a. Představa a pojem limity lim f{x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq g M. limitu a g M: a' w » \ Xq \ X Když se s hodnotami nezávisle proměnné se přibližujeme k xq tak se funkční hodnoty VI I ■ v ■ f I přibližuji k a. Představa a pojem limity lim f(x) = a Funkce / má v bodě xq G M. limitu a G M: Když se s hodnotami nezávisle proměnné se přibližujeme k x0 tak se funkční hodnoty VI I ■ v ■ f I přibližuji k a. Při jakémkoliv přibližování se nezávisle proměnné k hodnotě xq se příslušné hodnoty nutně přiblíží k hodnotě a. 10 / 14 Představa a pojem limity lim f(x) X^řXQ a Funkce / má v bodě xq G M. limitu a G M: a w Xq \ X a w Xq \ X a w » \ Xq \ X Když se s hodnotami nezávisle proměnné se přibližujeme k xq tak se funkční hodnoty VI I ■ v ■ f I přibližuji k a. Při jakémkoliv přibližování se nezávisle proměnné k hodnotě xq se příslušné hodnoty nutně přiblíží k hodnotě a. (V{a:„}~ o C £>(/)) lim n—)-oo lim f(xn) = a n—)-oo Představa a pojem limity lim f{x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq g M. limitu a g M: Pokud je funkce / spojitá v x0, tak a se rovná funkční hodnotě f(x0). 10 / 14 Představa a pojem limity lim f{x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq G M. limitu a G M: Pokud je funkce / spojitá v x0, tak a se rovná funkční hodnotě f(x0). Pokud funkce / není spojitá v xq, tak a je taková hodnota, že dodefinování nebo změna funkční hodnoty v xq splňující rovnost f(xo) = a, změní funkci / na funkci spojitou V Xq. Představa a pojem limity lim f(x) X^řXQ a Funkce / má v bodě xq G M. limitu a G M: a w Xq \ X a w Xq \ X a \y » \ Xq \ X Pokud je funkce / spojitá v x0, tak a se rovná funkční hodnotě f(x0). Pokud funkce / není spojitá v xq, tak a je taková hodnota, že dodefinování nebo změna funkční hodnoty v xq splňující rovnost f(xo) = a, změní funkci / na funkci spojitou V Xq. (Ve > 0)(3S > 0)(Vz G D(f)) 0 < \x - x0\ < S => \f(x) - a\ < e Představa a pojem limity lim f(x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq G M. limitu a G M: (Ve > 0)(3S > 0)(Vz G D(f)) 0 < |x - x0\ < S => \f(x) - a\ < e (V{xn}™=o Q D(f)) lim xn xo n—)-oo lim f(xn) = a n—)-oo 10 / 14 Představa a pojem limity lim f(x) = a X^řXo Funkce / má v bodě xq G M limitu a G M: (Ve > 0)(35 > 0)(Vz G £>(/)) 0 < |x - x0| < (5 => \f(x) - a\ < e (V{xn}n=o ^ D(f)) lim xn = x0 lim /(an) = a n—)-oo n—)-oo Předpokládáme, že definiční obor funkce / je takový, že posloupnost iXn}n=0 ^ D(f)> lim Xn = x0 n—>oo existuje, tj. že v každém ryzím okolí bodu xq jsou hodnoty z definičního oboru funkce /. Představa a pojem limity lim f(x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq G M. limitu a G M: (Ve > 0)(3S > 0)(Vz G D(f)) 0 < |x - x0\ < S => \f(x) - a\ < e (V{xn}™=o Q D(f)) lim xn x0 n—)-oo lim f(xn) = a n—)-oo Předpokládáme, že definiční obor funkce / je takový, že posloupnost ixn}™=o C D(f), lim xn = x0 n—)-oo existuje, tj. že v každém ryzím okolí bodu xq jsou hodnoty z definičního oboru funkce /. xq je hromadný bod definičního oboru. 10 / 14 Představa a pojem limity lim f(x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq G M. limitu a G M: (Ve > 0)(3S > 0)(Vz G D(f)) 0 < |x - x0\ < S => \f(x) - a\ < e {V{xn}™=o Q D(f)) lim xn Xq lim f(xn) = a Xq je hromadný bod definičního oboru. 10 / 14 Nevlastní limita xq g R lim f (x) = oo: (Vii g R)(3S > 0)(Vz g D(f)) 0 < \x - x0\ < ô f (x) > H (V{^n}£°=0 S D(f)) lim xn = x0 Hm f(xn) = OO n—)-oo n—)-oo lim /(x) = -oo: (Vi?" g M)(35 > 0)(Vz g £>(/)) 0 < \x - x0\ < ô f (x) < H X^-Xq (y{Xn}n=0 ^ D(f)) lim = ^0 => Hm /(#n) = -OO n—)-oo n—)-oo --► x y • 11 / 14 Limita v nevlastním bodě Vlastní limita v nevlastním bodě: lim f(x) = a: (Ve > 0)(3h G R)(Vx G D(f)) x > h \f(x) - a\ < e (v{^n}^°=0 S D(f)) lim %n = oo => lim f(xn) = a X—)-00 n—)-oo n—)-oo lim f(x) = a: (Ve > 0)(3h G M)(Vx G £>(/)) x < h => \f(x) - a\ < e (V{Xn}n=0 ^ ^(/)) lim Xn = ~OQ Hm f(xn) = a n—)-oo n—)-oo Limita v nevlastním bodě Nevlastní limita v nevlastním bodě: lim f (x) = oo: (Vi?" G R)(3h G R) (V x G D(f)) x>h (V{^n}^°=0 C £>(/)) lim xn = oo x—)-oo n—)-oo /(x) > H lim /(xn) n—)-oo lim /(x) = -oo: (Vi?" G R)(3h G M)(Vx G £>(/)) x>h^ f (x) < H (V{Xn}n=0 ^ ^(/)) lim = OO lim /(tfn) X—)-00 n—)-oo n—)-oo lim /(x) = oo: (Vi? G M)(3/i G R) (V x G £>(/)) x H (V{Xn}n=0 ^ ^(/)) lim = -OO lim /(zn) x—)- — oo n—)-oo n—)-oo lim /(x) x—)- — oo •oo: (Vi? G M) (3/i G M)(Vx G D(f)) x(/)) lim = -OO lim /(tfn) n—)-oo n—)-oo Výpočet limit lim f (x), Xq g M Výpočet limit lim f (x), Xq g M • / spojitá v x0 g R 4 lim f (x) = f (x o) X^-Xq Výpočet limit lim f (x), Xo G M • / spojitá v x0 G R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ • / nespojitá v xq G M Výpočet limit lim f (x), Xq e M* x—VXq • / spojitá v xq e R —lim f (x) = f (x o) X^-Xq • f nespojitá v xq g M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^-Xq Výpočet limit lim f (x), x0 g M* f spojitá v x0 g R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ f nespojitá v xq g M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) n D (g)) (O < \x - x0\ < r] f (x) = g(x))&(g spojitá v x0) => lim f (x) g(x0) 13 / Výpočet limit lim f (x), x0 g M* • / spojitá v x0 g R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ • / nespojitá v xq g M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) n D (g)) (O < \x - x0\ < r] /(x) = g(x))&(g spojitá v x0) => lim f (x) g(x0) Příklad: lim ——^X íc-)>1 #2 — 1 13 / Výpočet limit lim f (x), x0 g M* • / spojitá v x0 g R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ • / nespojitá v xq g M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) n D (g)) (O < \x - x0\ < r] /(x) = g(x))&(g spojitá v x0) => lim f (x) g(x0) Příklad: lim ——^X íc-)>1 #2 — 1 x2 — 2x + 1 (x — l)2 x — 1 x2 — 1 (x — 1)(# + 1) x-\-1 13 / Výpočet limit lim f (x), x0 g M* f spojitá v x0 g R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ f nespojitá v xq g M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) n D (g)) (O < \x - x0\ < r] f (x) = g(x))&(g spojitá v x0) lim f (x) g(x0) Příklad: lim ——^X íc-)>i ar — 1 . x2 — 2x + 1 (x — l)2 x —1 / N x —1 . x / 1 :--- =--—-- = -, q (x) = - je spojitá v x n = 1 ^ x2-l (x -l)(x + l) x + 1 y ' x + lJ KJ 13 / Výpočet limit lim f (x), x0 g M* f spojitá v x0 g R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ f nespojitá v xq g M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x g D(f) n D (g)) (O < \x - x0\ < r] f (x) = g(x))&(g spojitá v x0) lim f (x) g(x0) Příklad: lim ——^X = 0 íc-)>1 #2 — 1 . x2 — 2x + 1 (x — l)2 x —1 / N x —1 . x / 1 :--- =--—-- = -, q (x) = - je spojitá v x n = 1 ^ x2-l (x -l)(x + l) x + 1 y ' x + lJ KJ 13 / Výpočet limit lim f (x), x0 g M* f spojitá v x0 g R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ f nespojitá v xq g M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x g D(f) n D (g)) (O < \x - x0\ < r] f (x) = g(x))&(g spojitá v x0) => lim f (x) g(x0) Využití ekvivalence limity funkce a limity posloupnosti 13 / Výpočet limit lim f (x), x0 g M* • / spojitá v x0 g R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ • / nespojitá v xq g M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) n D (g)) (O < \x - x0\ < r] /(x) = g(x))&(g spojitá v x0) => lim f (x) g(x0) • Využití ekvivalence limity funkce a limity posloupnosti Příklad: lim sin — x^q x 13 / Výpočet limit lim f (x), x0 g M* • / spojitá v x0 g R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ • / nespojitá v xq g M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) n D (g)) (O < \x - x0\ < r] /(x) = g(x))&(g spojitá v x0) => lim f (x) g(x0) • Využití ekvivalence limity funkce a limity posloupnosti Příklad: lim sin — x^q x lim — = 0, lim sin rm = 0 13 / Výpočet limit lim f (x), x0 g M* f spojitá v x0 g R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ f nespojitá v xq g M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) n D (g)) (O < \x - x0\ < r] f (x) = g(x))&(g spojitá v x0) lim f (x) g(x0) • Využití ekvivalence limity funkce a limity posloupnosti Příklad: lim sin — x^q x lim — = 0, lim sin rm = 0 2 lim --— = 0, sin\(2n + 1)tt = (-1) n^oo (2n+ 1)tt ' 2 v 7 v j n 13 / Výpočet limit lim f (x), x0 g M* f spojitá v x0 g R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ f nespojitá v xq g M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) n D (g)) (O < \x - x0\ < r] f (x) = g(x))&(g spojitá v x0) lim f (x) g(x0) • Využití ekvivalence limity funkce a limity posloupnosti Příklad: lim sin — neexistuje x^q x lim — = 0, lim sin rm = 0 2 lim --— = 0, sin\(2n + 1)tt = (-1) n^oo (2n+ 1)tt ' 2 v 7 v ; n 13 / Výpočet limit lim f (x), Xo g M „Standardní limity:" Výpočet limit lim f (x), x0 e M* „Standardní limity:" • lim (anxn — an-\xn~x + • • • + a\x + ao) = sgn(an)oo x^-oo lim (anxn — an-\xn~x + • • • + a\x + ao) = sgn(an)(—1) X^r — OO Výpočet limit lim f (x), Xq g m. Standardní limity:" 1 lim (anxn — an-\xn~x + X^rOO lim (( X—)- — OO Qjfi x n - an-\xn 1+ + a\x + ao) • + aix + ao) anxn-an_ixn XH-----haix + a0 lim -—- x^oo brnxrn — bm-ixrn 1 + • • • + &ix + 6q lim anxn — an_ixn 1 + • • • + a\x + ao x^-oo brnxrn 'm- lXm-l _|-----h 6lX + 60 sgn(an)oo = sgn(an)(-l)noo '0, a n < "m sgn a n 'm OO. m > n m = n m < n 0. a n = < 'm sgn a n 'm (-i) n+m OO. m > n m = n m < n 13 / 14 Výpočet limit ^Standardní limity: lim ax = < X^-OO lim f (x), Xq g m. 00, a > 1 1, a = 1 0, 0 < a < 1, 0 lim ax = < x—)- — oo OO a > 1 a = 1 0 < a < 1 Výpočet limit lim f (x), Xq g m. ^Standardní limity: lim ax = < x^-oo 00, a > 1 1, a = 1 0, 0 < a < 1, 0 lim ax = < x—)- — oo OO a > 1 a = 1 0 < a < 1 , oo, a>l hm log x x—)-oo —oo, 0 < a < 1 Výpočet limit lim f (x), Xq g m. ^Standardní limity: lim ax = < x^-oo 00, a > 1 1, a = 1 0, 0 < a < 1, 0 lim ax = < x—)- — oo OO a > 1 a = 1 0 < a < 1 , oo, a>l hm log x x—)-oo —oo, 0 < a < 1 lim xa x—)-oo OO. 0. a > 0 a = 0 a < 0 Výpočet limit lim f (x), Xo g M „Standardní limity:" ex — 1 • lim- = 1 x^O X Výpočet limit .Standardní limity: ex — 1 lim x^O X = 1 . smx hm- = 1 x^O X lim f (x), Xq g m. X^-Xq V ■ y = ex — 1 . x /y = x 13 / 14 Příklady lim 6 — 2.x — 2x' 3x2 + 4x - 3 Příklady 6 — 2x — 2x lim um —-- 3x2 + 4x - 3 Funkce je spojitá v bodě xq Příklady 6 - 2x - 2x2 6 + 4 lim —-- = - 3x2 + Ax - 3 12-8 Funkce je spojitá v bodě xq = Příklady 6 - 2x - 2x2 6 + 4 lim —-- = - 3x2 + 4x - 3 12-8 Funkce je spojitá v bodě xq = 3x2 + 2x - 1 lim —-- x^-i 2x2 + 3x + 1 Příklady 6-2x-2x2 6 + 4-8 lim —-- = -= 2 3x2 + 4x - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě xq = —2 3x2 + 2x-l (3x-l)(x + l) 3a:-1 -4 lim - = lim -= lim - = — x^-i 2x2 + 3x + 1 x-*-i (2x + l)(x + 1) ^-i2x + l -1 Příklady 6-2x-2x2 6 + 4-8 lim —-- = -= 2 3x2 + 4x - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě xq = —2 3x2 + 2x-l (3x-l)(x + l) 3x-l -4 , lim —--= lim--—-- = lim--- = —- = 4 -i2x2 + 3x + l x^-i (2x +1)0 +1) x^-i2x + l -1 x lim--— x^l (x — I)' Příklady x 6-2x-2x2 6 + 4-8 hm —-- = -= 2 -2 3x2 + 4x - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě xq = —2 3x2 + 2x-l (3x- 1)0 + 1) 3a:-1 -4 A lim —-- = lim--—-- = lim - = —- = 4 x^-i 2x2 + 3x + 1 x->-i (2x + 1)0 + 1) ^-i2x + l -1 lim -—]-— = oo o — \y Příklady 6-2x-2x2 6 + 4-8 lim —--=-= 2 3x2 + 4x - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě xq = —2 3x2 + 2x-l (3x-1)0 + 1) 3x -1 -4 , lim —-- = lim--—-— = lim--- = —- = 4 s->-i 2x2 + 3x + 1 x^-i (2x + 1)0 + 1) ^-i2x + l -1 X-^l - I)2 lim 1 £c—>1 XZ — 1 Příklady 6 - 2x - 2x2 6 + 4-8 lim —-- = -= 2 3x2 + Ax - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě xq = —2 3x2 + 2x-l (3x-1)0 + 1) 3a:-1 -4 A lim - = lim - = lim - = — = 4 2x2 + 3x + 1 (2x + 1)0 + 1) ^-i2x + l -1 lim -—]-— = oo lim —- neexistuje x^l xá — 1 Příklady 6 - 2x - 2x2 6 + 4-8 lim 3x2 + Ax - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě xq = —2 3x2 + 2x-l (3x-l)(x + l) 3a:-1 lim - = lim - = lim - x^-i 2x2 + 3x + 1 (2x + í)(x + 1) 2x + 1 -4 = 4 lim--—- x^i (x — \y = oo lim —-- x^l xz — 1 neexistuje lim 2x3 - 3x + 2 x^oo 7 — 4x3 14 / 14 Příklady 6 - 2x - 2x2 6 + 4-8 lim 3x2 + Ax - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě xq = —2 3x2 + 2x-l (3x- l)(x + l) 3a:-1 lim - = lim - = lim - x^-i 2x2 + 3x + 1 x^-i (2x + 1)0 + 1) 2x + 1 -4 = 4 lim--—- x^i (x — \y = oo lim —-- x^l xz — 1 neexistuje lim x^-oc 2x3 - 3x + 2 7 - 4x3 lim ÍE—)-00 2__9- + A. rv* 2 I ^y* 3 4-4 2-0 + 0 0-4 1 2 14 / 14 Příklady 3^2 2x lim x^oo lxA + 4 Příklady lim 3^2 2x lim x^-oc 2x2 + 4 Příklady .. 3^2 - 2x lim--- = lim cc—)-oo 2x -\- 4 )-oo 2^—2_3íC_i_i lim ——-— x^oo 2X -\- 3X Příklady 3x2 2x ^ x lim--- = lim —--7— x^oo 2x2 + 4 x^oo 2 + -%■ X"2 2,-2_3a;+l (|) lim —-— = lim x—)-oo 2X -\- 3X x—)-oo ^2^ x- X Příklady 3x2 2x ^ x lim--- = lim —--7— x^oo 2x2 + 4 x^oo 2 + -%■ X"2 lim---- = lim x- j--l-l-l-l -l-l-l-l-l x—)-oo 2X H- 3X~ x—)-oo ^2^ x av» _ ryt lim x—oo qx -\- e ^ Příklady 3^2 2x ^ x lim--- = lim —--7— = (J x^oo 2xl + 4 x^oo 2 + -%■ 2*-2 _ 3.+1 (I)""2 - 33 lim---- = lim —-= —9 x^oo 2x~l + 3X x^oo (^)x +3 ex _ e-x e2x _ y (exÝ — 1 lim -— = lim —- = lim -~-= — 1 x^—00 qx -\- e x x^t—oo e -\- 1 x—00 (ex) H- 1 Příklady 3x2 2x ^ x lim--- = lim —--7— = (J x^oo 2xl + 4 x^oo 2 + -%■ 2*-2 _ 3.+1 (I)""2 - 33 lim---- = lim —-= —9 X-tOO 2X~2 + 3^ X^OO +3 ex — e_x e2x — 1 (exÝ — 1 lim -— = lim —- = lim -~-= — 1 x^—00 qx -\- e x x^t—oo e -\- 1 x—00 (ex) -|- 1 .. \/x2 + x lim - x^-00 ^ Příklady lim 3^2 2x lim 2 x x^oo 2x2 + 4 x^oo 2 + -4- xz o >x-2 - 3*+1 lim ——-— = lim x—)-oo 2X -\- 3X x—)-oo (!) x-2 (!) x-2 = -9 + 3 vx X ,2x lim - X——OO qx -\- q X = lim 2x + 1 = lim x——oo (ex) + 1 = -1 .. y/x2 + X lim - = lim v^2 (i + = lim x ^~ ~^ x X—)• — OO X X——OO X x—)• — oo X = lim sgn(x) X—)• — OO = -1 Příklady lim 3^2 2x lim 2 x x^toc 2x2 + 4 x^oo 2 + -4- xz o >x-2 - 3*+1 lim ——-— = lim x—)-oo 2X -\- 3X x—)-oo (!) x-2 (I)X"2 + 3 = -9 VX X lim - X——OO qx -\- q X ,2x = lim x^t—oo e 0 - = lim -9 zx -|- 1 x^ř—oc (ex) + 1 = -1 .. y/x2 + x lim - = lim x—^ — oc X yl*2 (i +1) = lim ^ X x——oo X x——oo X = lim sgn(x) x—)• — oo = -1 lim x cos - x—)•() x 14 / 14 Příklady 3^2 2x ^ x lim--- = lim —--7— = (J x^oo 2xl + 4 x^oo 2 + -%■ 2*-2 _ 3.+1 (I)""2 - 33 lim---- = lim —-= —9 X^OO 2X~2 + 3^ X^OO +3 ex _ e-x e2x _ ^ (ex)2 — 1 lim -— = lim —- = lim -~-= — 1 x^—00 qx -\- e x x^t—oo e -\- 1 x—00 (ex) H- 1 .. Vx2 + x lim - = lim V^2 (1 + s) ÍE——OO = lim ÍE——OO = lim sgn(x) X—)• — OO = "I lim x cos - = 0 x—)•() x 14 / 14 Příklady lim X Příklady * 3 cc lim X lim 3 x^-q 3x 3 lim- x^o 3x Příklady lim- = lim 3- = 3 lim- x^O x x^o 3x x^o 3x . cosx lim —- Příklady lim- = lim 3- = 3 lim- x^O x x^o 3x x^o 3x cosx 1 sin(f - x) lim —- = lim ——--= 1 rf,_V 2l — _ t rf,_v — _ t Příklady lim- = lim 3- = 3 lim- x^O x x^o 3x x^o 3x cosx n. sin(| - x) lim - = lim —^-= 1 7T J£ 2 2 r_v 2L — _ rV o-_V — — _ T* lim- x->o tg 5x Příklady e3x _ X lim x—»-0 X g3x _ lim 3- x^o 3x ,3x = 3 lim x- •o 3x cosx lim —- lim sin(:| — x) = 1 x bxcosbx hx cos5x lim- = lim- = lim-- x^o tg bx x^o 5 sin 5x x-^o sin 5x 5 1 5 Příklady q3x _ lim- x^O X q3x _ ^ lim 3- x^o 3x e3x _ ^ 3 lim- x->o 3x = 3 cosx lim oo y 2 ^ 7T lim sin^ — x) 3y ^ ^ ^ = 1 x bxcosbx bx cosbx - = lim- = lim-- ^otg5x x^o 5sin5x sinox o lim x 1 5 lim (v^č + 1 — y/x) x^-oc 14 / 14 Příklady q3x _ ^ lim- x^O X e3x _ ^ lim 3- x->o 3x Q3x _ 2 3 lim- x^o 3x lim cosx = lim sin(:| — x) x bxcosbx 5x cosbx 1 lim- = lim- = lim ——----— = ^ x^o tg hx x^o 5 sin bx x^o sin ox 5 lim (y/x + 1 — = lim x—>-oo x—>-o< X + 1 — X lim + 1 + \[x X^-OO -y/J + 1 + yjx 0