Integrální počet
M1030 Matematika pro biochemiky 12. a 18.11.2020
Úvod
Základní úloha integrálního počtu Neurčitý integrál
Určitý integrál a jeho užití_
Nevlastní integrál
Úvod
Základní úloha integrálního počtu
3/
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
3/17
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
3/17
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b) Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x
3/17
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /* (x, Ax) = min {/(s) : x < s < x + Ax}
3/17
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /* (x, Ax) = min {/(s) : x < s < x + Ax}
Platí:  lim f*(x,Ax)= lim f*(x,Ax) = f(x)
3/17
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /* (x, Ax) = min {/(s) : x < s < x + Ax}
Platí:  lim f*(x,Ax)= lim f*(x,Ax) = f(x)
Dále:   i^) + /^(^ Ax)Ax <       + Ax) < F (x) + Ax)Ax
,f*(x, Ax)
x x + Ax 6 x
3/17
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /* (x, Ax) = min {/(s) : x < s < x + Ax}
Platí:  lim f*(x,Ax)= lim f*(x,Ax) = f(x)
Dále:   i^) + /^(^ Ax)Ax <       + Ax) < F (x) + Ax)Ax
,/    .   s     F(x + Ax)-F(x) . U    Ax) < -±--^ <ľ(x, Ax)
Ax
f*(x,Ax) f*(x,Ax)
x x + Ax b x
3/17
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /* (x, Ax) = min {/(s) : x < s < x + Ax}
Platí:  lim f*(x,Ax)= lim f*(x,Ax) = f(x)
Dále:   i^) + /^(^ Ax)Ax <       + Ax) < F (x) + Ax)Ax
^   a \ ^ F {x + Ax) — -F(x) .
fJx.Ax) < —--1-— < f*(x,Ax) hm
Ax Ax-^O
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /* (x, Ax) = min {/(s) : x < s < x + Ax}
Platí:  lim f*(x,Ax)= lim f*(x,Ax) = f(x)
Dále:   i^) + /^(^ Ax)Ax <       + Ax) < F (x) + Ax)Ax
^   a \ ^ F {x + Ax) — -F(x) .
fJx.Ax) < —--1-— < f*(x,Ax) hm
Ax Ax-^O
/(x) < F'(x) < f (x)
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /* (x, Ax) = min {/(s) : x < s < x + Ax}
Platí:  lim /*(x,Ax) = lim f*(x,Ax) = f(x)
Dále:   i^) + /^(^ Ax)Ax < F(x + Ax) < F (x) + /*(x, Ax)Ax
,/    .   s     F(x + Ax)-F(x) .
/*    Ax < --l-K-L < /* x, Ax
Ax
f (x) < F'(x) < f (x)
lim
Ax^O
Odtud: F'{x) = f (x)
3/17
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /* (x, Ax) = min {/(s) : x < s < x + Ax}
Platí:  lim /*(x,Ax) = lim f*(x,Ax) = f(x)
Dále:   i^) + /^(^ Ax)Ax < F(x + Ax) < F (x) + /*(x, Ax)Ax
,/    .   s     F(x + Ax)-F(x) .
/*    Ax < --l-K-L < /* x, Ax
Ax
f (x) < F'(x) < f (x)
lim
Ax^O
Odtud: F'{x) = f (x) Přitom: F (a) = 0, S = F (b)
3/17
Úvod
tý integrál
Primitivní funkce a její vlastnosti „Tabulkové integrály" Substituční metoda Integrace „per partes" Příklady
Určitý integrál a jeho užití
Nevlastní integrál
Neurčitý integrál
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivník funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, 6) platí
ř» = f(x).
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
F'(x) = f(x).
Označení:
F = f f(x)dx.
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
F'Or) = /(x).
Označení:
F = J f(x)dx.
Alternativní názvy: Funkce F je neurčitý integrál z funkce f.
Funkce F je antiderivace k funkci f.
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
Vlastnosti primitivní funkce:
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá pro každé x G (a, b) platí
F'(x) = f(x).
Vlastnosti primitivní funkce:
•   Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní.
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
F'Or) = /(x).
Vlastnosti primitivní funkce:
• Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní.
• Primitivní funkce k dané funkci, pokud existuje, není určena jednoznačně.
Je-li F primitivní k /, pak také F + c je primitivní k / pro libovolnou konstantu c.
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
F'Or) = /(x).
Vlastnosti primitivní funkce:
• Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní.
• Primitivní funkce k dané funkci, pokud existuje, není určena jednoznačně.
Je-li F primitivní k /, pak také F + c je primitivní k / pro libovolnou konstantu c.
• Primitivní funkce je aditivní.
J (f(x)-\-g(x))dx = J f(x)dx-\- J g(x)dx.
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
F'Or) = /(x).
Vlastnosti primitivní funkce:
• Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní.
• Primitivní funkce k dané funkci, pokud existuje, není určena jednoznačně.
Je-li F primitivní k /, pak také F + c je primitivní k / pro libovolnou konstantu c.
• Primitivní funkce je homogenní:
(cf(x))dx = c I f(x)dx.
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
F'Or) = /(x).
Vlastnosti primitivní funkce:
• Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní.
• Primitivní funkce k dané funkci, pokud existuje, není určena jednoznačně.
Je-li F primitivní k /, pak také F + c je primitivní k / pro libovolnou konstantu c.
Primitivní funkce je lineární.
(af{x)Jrbg{x))áx = a J f(x)dx-\-b J g(x)dx.
„Tabulkové integrály"
6/
„Tabulkové integrály"
Tabulkové integrály
x
a+1
a+ 1
pro a / -1
— dx — ln Ixl
6/1
Tabulkové integrály
x
a+1
a+ 1
pro a / -1
— dx — ln Ixl
e dx = e
CC
6/1
Tabulkové integrály
X
a+1
x áx — - pro a / -1
a+1
— áx — ln Ixl
x
e áx = e
CC
x 1
a áx —
a
X
lna
6/1
Tabulkové integrály
X
a+1
x áx — - pro a / -1
a+1
— áx — ln Ixl
x
e áx = e
CC
x 1
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
6/1
„Tabulkové integrály"
X
a+1
x áx — - pro a / -1
a+1
— áx — ln Ixl
x
e áx = e
CC
x 1
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
sin xdx — — cos x
6/1
„Tabulkové integrály"
X
a+1
x áx — - pro a / -1
a+1
— áx — ln Ixl
x
e áx = e
CC
x 1
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
sin xdx — — cos x
cos xdx = sin x
6/1
„Tabulkové integrály"
X
a+1
x áx — - pro a / -1
a+1
(cosx):
áx — tg x
— áx — ln Ixl
x
e áx = e
CC
x 1
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
sin xdx — — cos x
cos xdx = sin x
„Tabulkové integrály"
X
a+1
x áx — - pro a / -1
a+1
— áx — ln Ixl
x
e áx = e
CC
x 1
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
sin xdx — — cos x
cos xdx = sin x
(cos x)2
1
(sin x)2
dx = tg x
áx — — cotg x
„Tabulkové integrály"
x
a+1
x áx — - pro a / -1
a+1
— dx — ln Ixl
x
e dx = e
X
Jb 1
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
sin xdx — — cos x
cos xdx = sin x
(cos x)2
1
(sin x)2 1
dx = tg x
dx = — cotg x
1 + X'
dx — arctg x — — arccotg x
„Tabulkové integrály"
X
a+1
x áx — - pro a / -1
a+1
— áx — ln \x
x
e áx — e
.r
a áx =
a
X
lna
lnxdx = x(lnx — 1)
sin xdx = — cos x
cos xdx = sin x
/
(cos x)2
1
(sin x)2 1
dx = tg x
dx = — cotg x
1 + X'
dx — arctg x — — arccotg x
: dx — arcsin x — — arccos x
6/1
„Tabulkové integrály"
x° áx —
x i
e áx = e
x
a+1
a + 1
pro a ^ — 1
— dx — ln \x\
x
x
X 1
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
sin xáx — — cos x
(cos x)2
1
(sin x)2 1
dx = tg x
áx — — cotg x
1 + x:
y/l — x2
dx — arctg x — — arccotg x
dx — arcsin x — — arccos x
1 + x 1 — x
cos xdx = sin x
„Tabulkové integrály"
X
a+1
x áx = - pro a / -1
a + 1
— áx — ln Ixl
x
e áx = e
X
X 1
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(\nx — 1)
sin xáx — — cos x
(cos x)2
1
(sin x)2 1
áx — tg x
áx — — cotg x
1 + x2
Vl — x2
áx — arctg x — — arccotg x
áx — arcsin x — — arccos x
1 + x 1 — X
Vx2 ± 1
áx — ln
x
+ Vx2 ± 1
= - ln
x
- Vx2 ± 1
cos xdx = sin x
Tabulkové integrály
xadx — —-       pro a / -1
a+1
a' dx —
a+1
— dx — ln Ixl
x
e dx = e
X
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
sin xdx — — cos x
cos xdx = sin x
(cos x)2
1
(sin x)2 1
dx = tg x
dx = — cotg x
1 + X'
Vl-x2
dx — arctg x — — arccotg x
dx — arcsin x — — arccos x
dx — ~ ln
1 — x
Vx2 ± 1
1 +x 1 — x
dx — ln
x
+ \Jx2 ± 1
= - ln
x
- \/x2 ± 1
VT^dx = i (,v^- arccos,)
„Tabulkové integrály"
Příklady:
„Tabulkové integrály"
Příklady:
J (3x5 - 2x3 + x2 - 2) áx
Tabulkové integrály
Příklady:
/x0 (3x5 - 2x3 + x2 - 2) áx = 3— - 2
6 XA
4
Tabulkové integrály
Příklady:
/x0 (3x5 - 2x3 + x2 - 2) áx = 3— - 2
6 XA
4
2xz — x + 2xJx — Jx
-=-c1.t
x + l
Tabulkové integrály
Příklady:
CC CC CC
V 7 6 4 3 2 2 3
2x2 — x + 2x\/x
x + 1
dx
1X\/~X (y/x + 1) —        (v^ + 1)
x + 1
dx
5
3 1\ X2
2x2 — x 2   dx = 2
5 2
3
X2
2
(i
3X
Tabulkové integrály
Příklady:
Tabulkové integrály
Příklady:
Substituční metoda
F' = f,    F = ff
Substituční metoda
F' = f,    F = Jf
d
Derivace složené funkce: [F(cp(t))]' = —F(cp(t)) = f(cp(t))cp'(t)
Substituční metoda
F' = f,    F = Jf
d
Derivace složené funkce: [F(cp(t))]' = —F(cp(t)) = f(cp(t))cp'(t)
Odtud:    f(<p(t))<f/(t)át = F(<p(t))
Substituční metoda
F' = f,    F = Jf
d
Derivace složené funkce: [F(cp(t))]' = —F(cp(t)) = f(cp(t))cp'(t)
KÁ L
Odtud:    f(<p(t))<f/(t)át = F(<p(t))
Použití vzorce:
Substituční metoda
F' = f,    F = ff d
Derivace složené funkce: [F(<p(t))]' = —F(ip(t)) = f((p(t))cp'(t)
KÁ L
Odtud: ff(<p(t))<S(t)ät = F(<p(t))
Použití vzorce:     1.   Výpočet integrálu f f((p(x))(p'(x)dx
Substituční metoda
F' = f,    F = Jf
d
Derivace složené funkce: [F(<p(t))]' = —F(<p(t)) = f(<p(t))cp'(t)
(A. v
Odtud:    f(<p(t))(f/(t)át = F(<p(t))
Použití vzorce:     1.   Výpočet integrálu J f((p(x))(pf(x)dx
substituce: tp(x) = s, dcp(x) = ip'(x)dx = ds
Substituční metoda
F' = f,    F = ff d
Derivace složené funkce: [F(<p(t))]' = —F(cp(t)) = f(ip(t))ip'(t)
Odtud:    f(<p(t))<p'(t)dt = F(<p(t))
Použití vzorce:     1.   Výpočet integrálu f f((p(x))(p'(x)dx
substituce: cp(x) = s, d(p(x) = (p,(x)dx = ds
f(<p(x))<f/(x)áx = í f(s)ds = F(s) = F(<p(x))
Substituční metoda
F' = f,    F = ff
d
Derivace složené funkce: [F(cp(t))]' = —F(cp(t)) = f(ip(t))ip'(t)
Odtud:    f(<p(t))<p'(t)dt = F(<p(t))
Použití vzorce:     1.   Výpočet integrálu f f((p(x))(p'(x)dx
substituce: ip(x) = s, dcp(x) = (p'(x)dx = ds
í f(<p(x))<p'(x)áx = j f(s)ás = F(s) = F(<p(x))
2.   Výpočet integrálu J f(x)dx
Substituční metoda
F' = f>    F = Jf
d
Derivace složené funkce: [F(<p(t))]' = —F((p(t)) = f((p(t))<p'(t)
Odtud:    f(<p(t))<p'(t)dt = F(<p(t))
Použití vzorce:     1.   Výpočet integrálu f f((p(x))(p'(x)dx
substituce: cp(x) = s, d(p(x) = (p,(x)dx = ds
f(ip(x))p'(x)dx = J f(s)ds = F(s)=F(<p(x))
2.   Výpočet integrálu J f(x)dx
substituce: x = ip(s), dx = d(p(s) = ip'(s)ds
7/17
Substituční metoda
Fř = f,    F = Jf
d
Derivace složené funkce: [F(cp(t))]' = —F(cp(t)) = f(cp(t))cp'(t)
Odtud:    f(<p(t))<p'(t)dt = F(<p(t))
Použití vzorce:     1.   Výpočet integrálu J f((p(x))(pf(x)dx
substituce: cp(x) = s, dcp(x) = cp'(x)dx = ds
f(<p(x))(p'(x)áx = í f(s)ds = F(s) = F(tp(x))
2.   Výpočet integrálu J f(x)dx
substituce: x = cp(s), dx = dcp(s) = cp'(s)ds
f(x)dx = f f(<p(s))<p'(s)ás = F((p(s)) = F(x)
7/17
Substituční metoda
Příklady:
Substituční metoda
Příklady:
(Inx)2
dx
x
Substituční metoda
Příklady:
(Inx)2
áx
x
substituce: hix = s, — áx = ás
x
Substituční metoda
Příklady:
^-^—dx = J s2ds = |s3 = |(lnx)3
substituce: lnx = s, — dx = ds
x
Substituční metoda
Příklady:
^nx) áx = Js2ás = |s3 = |(lnx)3
substituce: lnx = s, — áx = ás
x
Substituční metoda
Příklady:
^nx) áx = Js2ds = |s3 = |(lnx)3
substituce: lnx = s, — áx = ás
x
xex áx = \ I 2xex áx
Substituční metoda
Příklady:
^——^-dx = J s2ds = |s3 = |(lnx)3
substituce: lnx = s, — dx = ds
x
xex dx = \ I 2xex dx
substituce: x2 = s, 2xdx = ds
Substituční metoda
Příklady:
^—-—^-dx = J s2ds = |s3 = |(lnx)3
substituce: lnx = s, — dx = ds
x
xex dx = \ I 2xex dx = \ I esds = \
substituce: x2 = 8, 2xdx = ds
Substituční metoda
Příklady:
^nx) dx = Js2ds = |s3 = |(lnx)3
substituce: lnx = s, — dx = ds
x
xex dx = \ I 2xex dx = \ I esds = \
substituce: x2 = s, 2xcLr = ds
X3 + X
—-dx
x4 + 1
Substituční metoda
Příklady:
^——^-dx = J s2ds = |s3 = |(lnx)3
substituce: lnx = s, — dx = ds
x
xex dx = \ I 2xex dx = \ I esds = -|es
substituce: x2 = 8, 2xdx = ds x3+x        x f 4x3 1 f 2x
Substituční metoda
Příklady:
^nx) áx = Js2ás = \s3 = |(lnx)3
substituce: lnx = s, — áx = ás
x
xex áx = \ I 2xex áx = \ I esás = \
substituce: x2 = s, 2xdx = ás
x3 -\- x        x [ 4x3
XA + 1 4 / X4 + 1
substituce 1: x4 + 1 = s, 4x3dx = ds
Substituční metoda
Příklady:
^——^-dx = J s2ds = |s3 = |(lnx)3
substituce: lnx = s, — dx = ds
x
xex dx = \ I 2xex dx = \ I esds = -|es
substituce: x2 = s, 2xdx = ds
x3 + x        x í 4x3
X4 + 1 4 / X4 + 1
i ln
substituce 1: x4 + 1 = 8, 4x3dx = ds
Substituční metoda
Příklady:
^—-—^-dx = J s2ds = |s3 = |(lnx)3
substituce: lnx = s, — dx = ds
x
xex dx = \ I 2xex dx = \ I esds = -|es
substituce: x2 = 8, 2xdx = ds
x3+x        x í 4x3 1 í 2x
iln
substituce 1: x4 + 1 = s, 4x3dx = ds substituce 2: x2 =    2xdx = dí
Substituční metoda
Příklady:
^nx) áx = Js2ds = |s3 = |(lnx)3
substituce: lnx = s, — áx = ás
x
xex áx = \ I 2xex áx = \ I esás = -|es
substituce: x2 = s, 2xcLr = ds
x3+x        1 í 4x3 1 í 2x
i In
substituce 1: x4 + 1 = 8, 4x3dx = ds substituce 2: x2 =    2xdx = dt
Substituční metoda
Příklady:
^—-—^-dx = J s2ds = |s3 = |(lnx)3
substituce: lnx = s, — dx = ds
x
^d, = l/2^d,= l/eMS=K=^ substituce: x2 = 8, 2xdx = ds
x3 + x n       , í 4x3   l      , f   2x    1      , fl 1      i /*   1 n
—:-dx = t / —:-dx + £ / —:-dx = 4 / -ds + £ / —-dt =
x4 + l 4j i4 + l        27x4 + l        4i 5        2J t2 + l
= | ln |s| + \ arctgt = \ ln(x4 + 1) + \ arctgx2
substituce 1: x4 + 1 = s, 4x3dx = ds substituce 2: x2 =    2xdx = dt
7/
Substituční metoda
Příklady:
f 1 — hx \ -dx
J 3 — bx
Substituční metoda
Příklady:
fl-bx,       f 3 - bx - 2 l       /\ l     n f    1     l            J   -5 1 / -dx = / -dx = / ldx — 21 -dx = x + f / -dx
J 3 — bx        J     3 — 5x J J 3 — 5x 0 J 3 — bx
Substituční metoda
Příklady:
f 1-bx 1       f 3 - bx - 2 l       /\ l     n f    1     l            J   -5 1 / -dx = / -dx = / ldx — 21 -dx = x + f / -dx
J 3 — bx        J     3 — bx J J 3 — bx 0 J 3 — bx
substituce: 3 — bx = s, —5dx = ds
Substituční metoda
Příklady:
1 — bx 3 — bx
dx
3 - bx - 2 3 — bx
dx
ldx - 2
1 f —5
-dx = x + | / -dx=
3 — 5x 0 / 3 — 5x
= x + | / -ds = x+ |ln s = x + |ln 3 - - 5x
substituce: 3 — bx = 8, —5dx = ds
Substituční metoda
Příklady:
1 — bx 3 — bx
áx
3 - hx - 2 3 — bx
áx
láx - 2
1 f —5
-áx = x + | / -dx=
3 — 5x 0 / 3 — 5x
= x + | / -ds = x+ |ln 8 = x + |ln 3--5x
8
substituce: 3 — hx = s, —5dx = ds
(sinx)2dx
Substituční metoda
Příklady:
1 — bx 3 — bx
dx
3 - bx - 2 3 — bx
dx
ldx - 2
1 f —5
-dx = x + I / -dx=
3 — 5x 0 / 3 — 5x
= x + | / -ds = x + | ln s = x + | ln 3 - - 5x
substituce: 3 — bx = 8, —5dx = ds
(sinx)2dx
1 — cos 2x
dx
-dx 2
I, / cos2xdx
2 X      2 / COS 2iXd.X
Substituční metoda
Příklady:
1 — bx 3 — bx
dx
3-bx-2 3 — bx
dx =    ldx — 2
1 f —5
-dx = x + \ / -dx-
3 — bx 0 / 3 — bx
= x + | / - cis = x + | ln s = x + | ln 3 - - 5x
substituce: 3 — bx = 8, — 5cLr = ds
(smx)2dx
1 — cos 2x
dx
-dx — \ l cos2xdx = ^x — ^ / cos2xdx
substituce: 2x = s, 2dx = ds, dx = |ds
Substituční metoda
Příklady:
l-bx 1       f 3 - bx - 2 l       /\ l     n f    1     l 2 f   -5 1
-dx = / -dx = / ldx — 2 / -dx = x + f / -dx=
3 — 5x        /     3 — 5x / / 3 — 5x 0 / 3 — 5x
1
= x + 4 / -ds = x+ |ln 8 = x + # ln 3 — bx
5 I   s 5
2
5
substituce: 3 — bx = 8, —5dx = ds
Cl — cos 2x [1 f C
(sinx)2dx = /---dx = / —áx ~\\ cos2xdx = \x — \ \ cos2xdx=
— \x~\ J cos s<^s — \x~\ sin s = \x ~ \ sm 2x= \ (x — sin x cos x) substituce: 2x = s, 2dx = ds, dx = |ds
7/17
Substituční metoda
Příklady:
JVr2 — x2 áx
Substituční metoda
Příklady:
JVr2 — x2 dx
substituce: x = rcoss, dx = —rsinsds
yV2 — (r cos s)2 = ^jr2 (l — (cos s)2) = r sin 5
Substituční metoda
Příklady:
r2 — x2 dx
r2 J (sins)2ds = \r2 (sin s cos s — s)
substituce: x = rcoss, dx = —rsinsds
yV2 — (r cos s)2 = ^/r2 (l — (cos s)2) = r sin 8
Substituční metoda
Příklady:
r2 — x2 dx
r2 J (sins)2ds = 7jr2(sin,s cos s — s)
substituce: x = rcoss, dx = —rsinsds
yV2 — (r cos s)2 = ^/r2 (l — (cos s)2) = r sin s
x l      fx\2     \/r* — x
s = arccos —, sin s = \ 1 — —
r V       V r / r
Substituční metoda
Příklady:
JVr2 — x2 dx = — r2 J(sins)2ds = \r2(sin s cos s — s)
* / ry* 2 _ ry* 2   /-v* /-v* |
= ---arccos —    = %xyrÁ — xz — ±r arccos —
£ 1 ry* ry* T*    \ T*
substituce: x = rcoss, dx = —rsinsds
yV2 — (r cos s)2 = ^/r2 (l — (cos s)2) = r sin 8
x /      /x\2     \/r* — x
s = arccos —, sin 8 = \ 1 — —
r V       V r / r
7/17
Substituční metoda
Příklady:
l + xfx
áx
Substituční metoda
Příklady:
rx
l + xfx
dx
substituce: x = s2, dx = 2sds
Substituční metoda
Příklady:
1 + \[x
dx
1 + S
2sds
1 + s
■ds
1 + 1
s + 1
ds
28-2 + 2
s + 1
ds = s2 - 2s + 2 ln |s + 1| = x - - 2-^/5 + ln (1 + V^)'
substituce: x = s2, dx = 2sds
7/17
Substituční metoda
Lineární substituce:
//(ax + 6)dx
Substituční metoda
Lineární substituce:
f(ax + b)dx
1
substituce: ax -\-b = s, adx = ds, dx = —ds
a
Substituční metoda
Lineární substituce:
J f(ax + b)dx = - J f(s)ds
1
substituce: ax -\-b = s, adx = ds, dx = —ds
a
Substituční metoda
Lineární substituce:
/f(ax + b)dx = —F(ax + b) a
Substituční metoda
Lineární substituce:
/f(ax + b)dx = —F(ax + b) a
Logaritmická substituce:
Substituční metoda
Lineární substituce:
/f(ax + b)dx = —F(ax + b) a
Logaritmická substituce:
dx
substituce: ln|/(#)| = s,
f'{x)dx = ds
Substituční metoda
Lineární substituce:
/f(ax + b)dx = —F(ax + b) a
Logaritmická substituce:
/(*)
dx =
J ds = s = ln |/(#)
substituce: ln|/(#)| = s,
f'{x)dx = ds
Substituční metoda
Lineární substituce:
/f(ax + b)dx = —F(ax + b) a
Logaritmická substituce:
Integrace „per partes"
8/
Integrace „per partes"
Derivace součinu funkcí:
(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x),
Integrace „per partes
li
Derivace součinu funkcí:
odtud
(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) u{x)v'(x) = (u(x)v(x))' — u/(x)v(x)
Integrace „per partes
li
Derivace součinu funkcí:
odtud
tedy
(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). u(x)vf(x) = (u(x)v(x)y — uf (x)v(x)
u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) — / v!(x)v(x)dx
Integrace „per partes
li
u(x)v' (x)dx = u(x)v(x)
Příklady:
Integrace „per partes
li
u{x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx
Integrace „per partes"
Ju{X)Ax)áx = u{xHx)-Příklady:
J (2- 3x)e1~xdx
u = 2 — 3 x
Integrace „per partes"
Ju(xW(x)äx = u(xHx)-Příklady:
J (2- 3x)el~xdx
u = 2 — 3 x   u' = —3
Integrace „per partes
u{x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - S^e1"* - J3el~xdx = (3x - 2)e
u = 2 — 3x   v! = —3 i/ = e1_x     v = —e1_x
1_a; + 3e1"a; =
= (3x + l)e1-ÍE
Integrace „per partes
li
u{x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - S^e1"* - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + Se1"* =
= (3x + l)e1-ÍE
\nxdx
Integrace „per partes
u{x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - S^e1"* - J3el~xdx = (3x - 2)e
+ 3e1"a; = = (3x + l)e1-ÍE
lnxdx
1
u = lnx    u' = — ?/ = 1      ^ = x
Integrace „per partes
li
u{x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - S^e1"* - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + Ze1^ =
= (3x + l)e1-ÍE
ln xdx = x In x —
u = ln x u' = — ?/ = 1       v = X
/ldx = xln,-,= ,(ln,-l)
Integrace „per partes
li
u{x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - S^e1"* - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + Se1"* =
= (3x + l)e1-ÍE
/ln,dx = xln,-/ldx = xln,-,= ,(ln,-l)
x2 cos x dx
Integrace „per partes
li
u{x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - S^e1"* - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + Ze1^ =
= (3x + l)e1-ÍE
/ln,dx = xln,-/ldx = xln,-,= ,(ln,-l)
I
x2 cos x dx
u = x2        u' = 2x v' = cosx   v = sinx
8/17
Integrace „per partes
li
u{x)v'(x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + Se1"* =
= (3x + l)e1-ÍE
/ln,dx = xln,-/ldx = xln,-,= ,(ln,-l) x2 cos x dx = x2 sin x — 2 f x sin x dx
u = x2        u' = 2x v' = cosx   v = sinx
8/17
Integrace „per partes
li
u{x)v'(x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + Se1"* =
= (3x + l)e1-ÍE
/ln,dx = xln,-/ldx = xln,-,= ,(ln,-l) x2 cos x dx = x2 sin x — 2 f x sin x dx
2/ = x
v! = 1
ir = sin x   v = — cos x
8/17
Integrace „per partes
li
u{x)v'(x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + Se1"* =
= (3x + l)e1-ÍE
/ln,dx = xln,-/ldx = xln,-,= ,(ln,-l)
x2 cos x dx = x2 sin x — 2 f x sin x dx = x2 sin x — 2 ( —x cos x + / cos x dx
1£ = x
v! = 1
ir = sin x   v = — cos x
8/17
Integrace „per partes
li
u(x)v (x)dx = u(x)v(x) — / u (x)v(x)dx
Příklady:
J (2- 3x)e1~xdx = -(2 - S^e1"* - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + Ze1^ =
= (3x + l)e1-ÍE
/ln,dx = xln,-/ldx = xln,-,= ,(ln,-l)
x2 cos xdx = x2 sin x — 2 j x sin x dx = x2 sin x — 2 ^—x cos x + y cos x dx J =
= x2 sin x + 2x cos x — 2 sin x = (x2 — 2) sin x + 2x cos x
8/17
Příklady
9/
Příklady
Příklady
o
Jb   \ Ju
X'
áx =    x2+2 5dx = Ix 2áx
6
x
3 2
3~
2
3 Vx3
7ex - - 1 dx
x
Příklady
Příklady
Příklady
o
Jb   \ Ju
dx
6
x
2+^-5
dx
x 2dx
x
7ex--I dx = 7ex - 6 ln
x
x
7ex — ln x
3 2
3~
2
6
3 Vx3
(cotg x)2 dx =
/cosx\2 í 1 — sinx
- dx = / —;-——dx
V sin x J
(sinx):
(sinx):
— 1J dx = = — cotg x — x
Příklady
o
Jb   \ Ju
X'
dx
6
x
2+2 5dx = / x *dx
7ex--I dx = 7ex — 6 ln x = 7ex — \nx
_ 3 X 2
3 2
,6
3 \/x~š
(cotg x)2 dx =
/cosx\2 f 1 — sinx
- )   c1.t =   / -;-——dx
V sin x J
(sinx):
(sinx):
— 1J dx = = — cotg x — x
\/l — X2
dx
Příklady
o
Jb   \ Ju
X'
dx
6
x
2+^-5
dx
x 2dx
x
7ex--I dx = 7ex - 6 ln
x
(cotg x)2 dx =
\/l — x2
dx
x
7ex — ln x
3 2
3~
2
6
3 \/x3
V sin x J
1 — (sinx)' (sinx)2
dx =
(sinx):
— lj dx = = — cotg x — x
1 + x2 - 1 \/l — x2
dx
\/l — x2
dx
\/l — x2dx
arccosx — \x\f\
x2 + | arccos x
| (arccos x + x\A — x2)
Příklady
o
Jb   \ Ju
X'
dx
6
x
2+2 5dx =    x *dx
x
3 2
7ex--I dx = 7ex - 6 ln
x
x
3 2
6
3 \/x^
(cotg x)2 dx =
\/l — x2
dx
V sin x J
7ex — ln x
1 — (sinx)'
(sinx):
dx =
(sinx):
— lj dx = = — cotg x — x
1 + x2 - 1 \/\ — X2
dx
Vl — x2
dx —    \/l — x2dx
arccosx — \x\f\
x2 + | arccos x
| (arccos x + x\A — x2}
3e xdx
9/17
Příklady
o
Jb   \ Ju
X'
dx
6
x
2+2 5dx = / x *dx
3 2
7ex--I dx = 7ex - 6 ln
x
x
7ex — ln x
3 2
6
3 \/x~š
(cotg x)2 dx =
V sin x /
1 — (sinx)' (sinx)2
dx =
(sinx):
— 1J dx = = — cotg x — x
X'
\J\ — X2
dx
1 + x2 - 1 \/\ — X2
dx
Vi — ^2
dx —    \/l — x2dx
arccosx — \x\f\
x2 + | arccos x
| (arccos x + x\A — ^2)
3e   dx = —3e
-CE
9/17
Příklady
o
Jb   \ Ju
X'
dx
6
x
2+2 5dx = / x *dx
3 2
7ex--I dx = 7ex - 6 ln
x
x
7ex — ln x
3 2
6
3 \/x~š
(cotg x)2 dx =
V sin a: /
1 — (sinx)' (sinx)2
dx =
(sinx):
— 1J dx = = — cotg x — x
X'
\J\ — X2
dx
1 + x2 - 1 \/\ — X2
dx
Vi — ^2
dx —    \/l — x2dx
arccosx — \x\f\
x2 + | arccos x
| (arccos x + x\A — ^2)
3e   dx = —3e
-CE
(3x - 7)14dx
9/17
Příklady
o
Jb   \ Ju
X'
dx
6
x
2+2 5dx =    x *dx
x
3 2
7ex--I dx = 7ex — 6 ln x = 7ex — In x
3 2
,6
3
(cotg x)2 dx =
V sin x /
1 — (sinx)'
(sinx):
dx =
(sinx):
— 1J dx = = — cotg x — x
X'
\J\ — X2
dx
1 + x2 - 1 \/l — x2
dx
\/l — x2
dx — i \/l — x2dx
arccosx — \x\f\
x2 + | arccos x
| (arccos x + x\A — ^2)
3e   dx = —3e
X
(3x - 7)14dx
1 (3x-7)15 _ (3x- 7)15 3      15      ~ ~45~
9/17
Příklady
9/
Příklady
X
x2 — 1
dx
1
2
2x
x2 — 1
■dx
Příklady
x f 2x
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
Příklady
x f 2x
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx
Příklady
x f 2x
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx
tgxdx
Příklady
X 1 /*
x2 — 1 2 J x2 — 1
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx
. smx
tgxdx = / -dx
cosx
Příklady
x               f   2x f 1
dx = i / —-dx = i / —ds
x2 — 1 2 J x2 — 1 2Js
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
.        / smx
tgxdx = / -dx
J cosx
.   .       . - sin x 1
substituce: In cosx = s, -dx =
cosx
Příklady
x f   2x f 1
dx = i / —-dx = i / -ds = ^ ln
x2 — 1 2J x2 — 1        2j s 2
substituce: x2 — 1 = s, 2xcLr = ds
sinx l / tg .xd.x = / -dx = — / ds = — 8 = - In
J   COS X J
.   .       . - sin x
substituce: In cosx = s, -dx = ds
cosx
cosx
Příklady
x   ^ _ i
x2 — 1 2 / x2 — 1
'T   dx =    f -ds = | ln
ar
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
tgxdx
sin ./•
d.x = — / ds = —s = - - ln
cosx
cosx
substituce: ln
cosx
— srn x
= s, -dx = ds
cosx
smx
V2 +
dx
cosx
9/1
Příklady
x   ^ _ i
x2 — 1 2 / x2 — 1
'T   dx =    f -ds = | ln
ar
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
tgxdx
sin ./•
d.x = — / ds = —s = - - ln
cosx
cosx
substituce: ln
cosx
— srn x
= s, -dx = ds
cosx
smx
dx
cosx
substituce: 2 + cosx = s, — smxdx = ds
Příklady
X
x2 - 1áX 2
2x
X'
—dx = \ J -ds = | In |s| = ln
x2 — 1
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
tgxdx
smx
dx
cosx
substituce: ln
cosx
ds = —s= - ln
— sin x
s, -dx = ds
cosx
cosx
smx
dx = —
cosx
ds
s 2 ds
1
2
= -2y/s = -2V/2T
cos X
substituce: 2 + cosx = s, — sinxdx = ds
Příklady
x
1
x2-ldX~ 2
2x x2 — 1
■dx
-ds = I ln |s| = ln
ar
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
. smx tgxdx = / -dx
cosx
substituce: ln
cosx
= — J ds = — s = — ln
— sin x
= 8, -dx = ds
cosx
cosx
smx
dx
cosx
ds
s 2 ds
1
2
■2^ = -2V/2T
cosx
substituce: 2 + cosx = s, — sinxdx = ds
3x
dx
Příklady
x
1
x2-ldX~ 2
2x x2 — 1
■dx
—ds = -kin
ln/
X'
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
. smx tgxdx = / -dx
cos x
substituce: ln
cos x
= — J ds = — 8 = — ln
— sin x = 8, -dx = ds
cos x
cos x
smx
dx
cosx
ds
s 2ds
1
2
■2^ = -2V/2T
cosx
substituce: 2 + cosx = s, — sinxdx = ds
3x
ÁX
substituce: ex — 1 = s, exdx = ds
9/17
Příklady
x
x2 — 1
dx
1
2
0 —dx = h f -ds = ^ ln x2 — 1 s z
ln/
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
. smx tgxdx = / -dx
cos x
substituce: ln
cos x
= — J ds = —s = — ln
— sin x = 8, -dx = ds
cos x
cos x
smx
dx
cos x
ds
s 2 ds
1
2
■2^ = -2V/2T
cos x
substituce: 2 + cos x = s, — smxdx = ds
3x
dx =
3 + 1
ds =
i      _ i
S2 + 8 2
ds =
3
2
1
S2
+ -r- =
1
2
substituce: ex — 1 = s, exdx = ds
§S*(S + 3) = = l^e^Tíe* + 2)
9/17
Příklady
Příklady
u = x3 v! = 3x2 v' = ex    v = ex
Příklady
x 6 dx — x 6     3 / x 6 dx
,3 nx
2x
u = x3        = 3.x2
i/ = ex'
v = e
X
Příklady
x 6 dx — x 6     3 / x 6 dx
,3 „x
2 x
u = x2    u' = 2x
v' = ex'
v = e
x
Příklady
x3exdx = xúex - 3 / xÁexdx = xúex - 3 ( xÁex - 2 / xexdx
,3 nx
,2x
3 nx
,2x
= x3ex - 3xzex + 6 / xexdx
,2x
u
= x2    v! = 2x
v' = ex    v = ex
Příklady
x3exdx = xúex - 3 / xÁexdx = xúex - 3 ( xÁex - 2 / xexdx
,3 nx
,2x
3 nx
,2x
= x3ex - 3x2ex + 6 / xexdx
u = x
v! = 1
vf = ex    v = ex
Příklady
= x3ex - 3x2ex + 6 ^ xe^dx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
u = x
v! = 1
(x3 — 3x2 + 6x — 6)
i/ = ex'    v = ex
9/17
Příklady
= x3ex - 3x2ex + 6 ^ xe-Mx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
(x3 — 3x2 + 6x — 6)
x ln x dx
9/17
Příklady
= x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
= {x3 — 3x2 + 6x
,3 „x
,2 x
3 nx
,2x
x ln x dx
u = ln x    v! = —
/ 2 1 S
i;  = .X        V = ^.T
Příklady
= x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
= {x3 — 3x2 + 6x
,3 „x
,2 x
3 nx
,2x
x2 \nxdx = |x3lnx
| / x2dx = |x3 lnx — |x3 = ^x3 (\nx3 — l)
2/ = ln x    v! = —
/ 2
ir = X
x
1 3 V = 77.X
Příklady
= x3ex - 3x2ex + 6 ^ xe-Mx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
(x3 — 3x2 + 6x — 6)
x2 ln x dx = |x3 ln x — | Jx2dx = |x3 ln x — |x3 = |x3 (ln x3 — l)
I =    sin ln x dx
9/17
Příklady
= x3ex - 3x2ex + 6 ^ xe-Mx = x3ex - 3x2ex + 6 (xe^ - ex) =
= (x3 — 3x2 + 6x
x2 ln x dx = |x3 ln x — | Jx2dx = |x3 ln x — |x3 = |x3 (ln x3 — l)
I =    sin ln x dx
i£ = sin ln x    u' = — cos ln x
x
v7 = 1 V = X
Příklady
xúexdx = x*ex - 3 J xzexdx = x*ex - 3 \^xzex - 2 J xexdxj =
= x3ex - 3x2ex + 6 j xexdx = x3ex - 3xV + 6 (xex - ex) =
= (x3 — 3x2 + 6x
x2 lnxdx = |x3 \nx - \ Jx2dx = \x3 lnx - \x3 = \x3 (lnx3 - l)
1=1 sin ln x dx = x sin ln x — / cos ln x dx
i£ = sin ln x i/ = l
v! = — cos ln x
x
v = x
Příklady
= x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
= {x3 — 3x2 + 6x
x2 ln x dx = |x3 ln x — | Jx2dx = |x3 ln x — |x3 = |x3 (ln x3 — l)
I =    sin ln x dx = x sin ln x — / cos ln x dx
i£ = cos ln x    v! =--sin ln x
x
v7 = 1 V = X
Příklady
= x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
(x3 — 3x2 + 6x — 6)
x2 ln x dx = |x3 ln x — | Jx2dx = |x3 ln x — |x3 = |x3 (ln x3 — l)
I =    sin ln x dx = x sin ln x — / cos ln x dx
= x sin ln x — (x cos ln x + / sin ln x dx ) = x sin ln x — x cos ln x — I
u = cos ln x    v! =--sin ln x
x
v7 = 1 v = x
9/17
S1
CL
to
u i—i •
P
ET
o o
U
ET
O
Q_
r+
Q_
bO 11-
'u
I—1 •
p Er
o
u
5"
o o
I—1 •
p
Ul I—1 •
p p
O
O
Ul
P
u
h-1 •
P
ET
	
*	II
P	
P	U I—1 •
	p p
o o
u
p
to
p
colt-1 co P
ech
co
P
co
co
P
co
CD
CD
CD
co
CD
00
to
■o
Q.
Příklady
e^áx
9/
Příklady
e^áx
substituce: x = ť2, dx = 2tdt
Příklady
e^dx = 2 tédt
substituce: x = ť2, dx = 2tdt
Příklady
e^dx = 2 tédt
Příklady
e^dx = 2 1 tetdt= 2 (té - /édt) = 2(t - l)e*
u v'
w
v
1
Příklady
substituce: x = ť2, áx = 2tdt
Příklady
e^dx = 2 1 tetdt= 2 (té - / e*dt) = 2(t - l)eť = 2 (y/x - 1)
substituce: x = ť2, dx = 2Mí
u = t
v' = eř    v =
9/1
Úvod
Neurčitý integrál
Určitý integrál a jeho užití
Definice a základní vlastnosti
Obsah obrazce
Délka rovinné křivky
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Nevlastní integrál_
Určitý integrál a jeho užití
Definice a základní vlastnosti
Nechť / je spojitá funkce na (a, b) a F je funkce primitivní k /,
F'(x) = f(x) pro všechna x G (a, 6).
Definice a základní vlastnosti
Nechť / je spojitá funkce na (a, b) a F je funkce primitivní k /,
F'(x) = f (x) pro všechna x G (a, 6).
Newtonův určitý integrál z funkce f v mezích od a do b je definován jako
b
J f(x)dx = F (b) - F (a)
a
Definice a základní vlastnosti
Nechť / je spojitá funkce na (a, b) a F je funkce primitivní k /,
F'(x) = f(x) pro všechna x G (a, 6).
Newtonův určitý integrál z funkce f v mezích od a do b je definován jako
o
J f(x)dx = F(b) - F (a)
a
Označení: F(b) - F (a) = \F(x)
x=a
Definice a základní vlastnosti
Nechť / je spojitá funkce na (a, b) a F je funkce primitivní k /,
F'(x) = f(x) pro všechna x G (a, 6).
Newtonův určitý integrál z funkce f v mezích od a do b je definován jako
o
J f(x)dx = F(b) - F (a)
a
Označení: F(b) - F (a) = \F(x)
x=a
F(x)
a
Definice a základní vlastnosti
Nechť / je spojitá funkce na (a, b) a F je funkce primitivní k /,
F'(x) = f(x) pro všechna x G (a, 6).
Newtonův určitý integrál z funkce f v mezích od a do b je definován jako
f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
Označení: F(b) - F (a) = \F(x)
x=a
F(x)
a
Definice a základní vlastnosti
f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
Definice a základní vlastnosti
f(x)dx = F(b) - F (a) = F(x)ib
a
a
a b a
• I f(x)dx = 0, J f(x)dx = — J f(x)dx
a a b
Definice a základní vlastnosti
f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
a
a
J f(x)dx = 0, J f(x)dx = — J f(x)dx
b
a
a
Linearita vzhledem k integrované funkci:
Definice a základní vlastnosti
f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
a
a
J f{x)dx = 0, J f(x)dx = — J f(x)dx
b
a
a
Linearita vzhledem k integrované funkci:
b b b
aditivita: J (f (x) + g(x))dx = J f(x)dx + Jg(x)dx
a
a
a
Definice a základní vlastnosti
f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
a
a
J f(x)dx = 0, J f(x)dx = — J f(x)dx
b
a
a
Linearita vzhledem k integrované funkci:
b b b
aditivita: J (f (x) + g(x))dx = J f(x)dx + Jg{x)dx
a
a
a
b b
homogenita: J cf(x)dx = c J f(x)dx
a a
Definice a základní vlastnosti
f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
a
a
J f{x)dx = 0, J f(x)dx = — J f(x)dx
b
a
a
Linearita vzhledem k integrované funkci:
b b b
aditivita: J (f (x) + g(x))dx = J f(x)dx + Jg{x)dx
a
a
a
b b
homogenita: J cf(x)dx = c J f(x)dx
a a
Aditivita vzhledem k integračnímu oboru:
b c b
c G (a, b) =>- J f(x)dx = J f{x)dxJr J f(x)dx
a a c
Definice a základní vlastnosti
f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
Integrace „per partes" pro určité integrály:
b b
J u(x)v' (x)dx = u (x) v (x)    — J u' (x)v(x)dx
a
a
Definice a základní vlastnosti
f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
Integrace „per partes" pro určité integrály:
b b
J u(x)v' (x)dx = u (x) v (x)    — J u' (x)v(x)dx
a
a
Substituční metoda pro určité integrály:
b <p(b)
f f((p(x))(p'(x)dx = J f(s)ds
(p{a)
substituce: cp(x) = s, cp'(x)dx = ds
a
Definice a základní vlastnosti
f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
Integrace „per partes" pro určité integrály:
b b
J u(x)v' (x)dx = u (x) v (x)    — J u' (x)v(x)dx
a
a
Substituční metoda pro určité integrály:
b <p(b)
f f((p(x))(p'(x)dx = J f(s)ds
(p{a)
substituce: cp(x) = s, cp'(x)dx = ds
a
b f'1 {b)
Jf(x)dx=   J f(<p(s))<p'(s)ds
substituce: x = cp(s), tj. ip~1(x) = s, cp'(x)dx = ds
11 / 17
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
s
a
b x
12 / 17
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x — a, x — b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b — d
n G N, položíme Ax —- a X{ — a + iAx, i = 0,1, 2,..., n — 1.
I     |     |Aa;|     | | a   x\      ■■■     Xi ■■■ xn-i 5 x
12 / 17
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x — a, x — b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b — d
n G N, položíme Ax —- a x{ — a + iAx, i = 0,1, 2,..., n — 1. Pak je
n
n—l
S*YJ(xí)A
i=0
Xj ■
|     |     |Aa;|     | | a   x\      ■■■     Xi ■■■ xn-i 5 x
12 / 17
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b - Oj
n G N, položíme Ax =- a X{ — a + iAx, i = 0,1, 2,..., n — 1. Pak je
n
n-l n-1 br
S ~/  f(xi)Ax,    lim y  f(xi)Ax = / f(x)dx i=o i=o i
Xi  ■ ■ ■ Xn—i 5 x
12 / 17
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b - Oj
n G N, položíme Ax =- a X{ — a + iAx, i = 0,1, 2,..., n — 1. Pak je
n
n-1 n-1 br br
S ~/  f(xi)Ax,    lim y  f(xi)Ax = / f(x)dx,       S = / f(x)dx ?;=o ?;=o ^ ^
/(Si)									
						Ax			
a   x\      ■ ■ ■     Xi • • • xn—i i) x
12 / 17
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady:
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah parabolické úseče, která má výšku v a délku základny a.
12 /
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x — a, x — b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah parabolické úseče, která má výšku v a délku základny a.
f (x) = v (1 - \x
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x — a, x — b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah parabolické úseče, která má výšku v a délku základny a.
f (x) = v (1 - -\x
a-
2
S= vil
4x2 ) dx
(ľ
íl
2
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x — a, x — b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah parabolické úseče, která má výšku v a délku základny a.
f (x) = v (1 - -\x
a-
2
a 2
S = vil
4x2 I dx — v I dx--?
(ľ
íl
2
íl 2
2
2
x2dx = v [x] ^ a
4v
x
2
(a     a\     Av f a ď
2
-va
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b.
12 /
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b.
2 2
x y
7?       T77 — 1
b2
y ■ b	
	
	Ja x
	
12 / 17
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b.
2 2
x y
+ — = 1 —>•    y — — \J~cl* — x-
,2 rr-2
a2 b2
a
y ■ b	
	
	Ja x
	
12 / 17
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b.
2 2
x y
a* b2
a
+ £r = 1 y = -Va2-x2
a
S = 4 / — \Ja2 — x2 dx J a
o
y ■ b	
	
	Ja x
	
12 / 17
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b.
2       „.2 ^
a
x
a
y
2 ■ b2
a
+ fr = l   -»■   y= -V«2 -x2
7T
2
7T
2
S = 4 Í —\fa2 — x2 dx — — f a2 (cos s)2ds — 4ab í Ja aj J
1 + cos 2s
ds —
o
o
o
2ab
sin 2s
_ 7T
— 7ra6
J s = 0
substituce: x = a sin s, dx = a cos s ds,   a2 — x2 = a2 (l — (sin s)2) = a2 (cos s)'
12 / 17
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
y
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
, 6 — a
n G N, položíme Ax = -, x o = a, xt = a + ^Ax,
n
As/* = f(xi+1) - f(xi), i = 1,2,... ,n.
13 / 17
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
n G N, položíme Ax
b — a
n
, xq = a, Xi = a + iAx,
Ayi = f(xi+1) - f(xi), i = 1,2,... ,n. Pak je
lim ^ = /'(*,), tedy ^1 «/'(*ť)
As^O Ax
n— 1
Ax
n— 1
i=0 n —1
i=()
Ax
n — 1
Ax ~ S V1 + (/'(^i))2^
lim V Jl + (f'(Xi))2Ax
i —Vrvn  r V
n—)-oo
1 + (f'(x))2dx,
i=0
a
13 / 17
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
n G N, položíme Ax
b — a
n
, xq = a, Xi = a + iAx,
AíJí = f{xi+1) - f(xi), i = 1,2,... ,n. Pak je
lim ^ =/'to), tedy ^1 «/'(*ť)
Aa^O Ax
Ax
n—l n—l    / / *     \ 2 n —1 y-
^^v/(Ax)2 + (Ayi)2 = ^Wl+ MM Ax « £ ^1 + (f'(xi)ÝAx i=o i=o V       V     / i=0
i=0 n — l
lim ^ ^l + (f'(xi)fAx = í ^l + (f'(x))2dx, tedy
n—)-oo
i=0
a
ť = / y/l + (f'(x))2áx
a
13 / 17
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b). Její délka je dána integrálem
b
£ = I ^i + (f'(x)ýdx
a
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
b
a
Příklad:
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
b
a
Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r.
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
b
a
Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r.
f(x) = Vr2 — x2
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
1 =
a
Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r.
f(x) = V^^, f'(x) = -ř^L=, (f(x)f = X
\/r2 — x2
iy* 2 _ rjQ 2
13 / 17
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
b
*> = J y/l + (f'(x))2dx
a
Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r.
<
f(x) = V^^, f'(x) =     ~X      (/'(z))2 =
Vr — xz t —
r i---
£ = 4 / J1 +    X   9 dx J  V      rz — xA o
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
b
i = I ^l + (f'(x))2dx
a
Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r.
f(x) = V^^, f'(x) = -ř^L=, (f(x)f = ^
\Jr2 — x2 t
2
ry* ry*
x2 ľ r
^ = 4 y yl + —--        dx = 4 J „dx
o o
substituce: x = r sin s, dx = rcossds
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
1 =
a
Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r.
f(x) = V^^,  f'(x) = -ř^L=,   (f(x)f :
\/r2 — x2
r
r
e = 4   \ i +
x-
dx = 4
r
o
o
\/r2 — x2
substituce: x = r sin s, dx = rcossds
X'
ty* 2 _ r^> 2
7T
2
dx = 4 r
cos 5
o
r^/l — (sins)2
ds
7T
2
4ry ds = 4r:| o
27rr
13 / 17
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o Ax.
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o
Nechť roviny protínají osu x v bodech xq = a, #1, #2, • • • ? xn = b.
Přitom Xi+i — Xi = Ax, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou.
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o
Nechť roviny protínají osu x v bodech xq = a, #1, #2, • • • ? xn = b.
Přitom Xi+i — Xi = Ax, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou.
Obsah řezu (průniku) tělesa i-tou rovinou označíme S(xí).
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o
Nechť roviny protínají osu x v bodech xq = a, #1, #2, • • • ? xn = b.
Přitom Xi+i — Xi = Ax, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou.
Obsah řezu (průniku) tělesa i-tou rovinou označíme S(xí).
Objem (tenké) vrstvy tělesa mezi (i — l)-ní a i-tou rovinou je přibližně roven
S(xí)Ax.
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o
Nechť roviny protínají osu x v bodech xq = a, #1, #2, • • • ? xn = b.
Přitom Xi+i — Xi = Ax, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou.
Obsah řezu (průniku) tělesa i-tou rovinou označíme S(xí).
Objem (tenké) vrstvy tělesa mezi (i — l)-ní a i-tou rovinou je přibližně roven
S(xí)Ax.
n
Pro objem tělesa tedy platí: V
i=l
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o
Nechť roviny protínají osu x v bodech xq = a, #1, #2, • • • ? xn = b.
Přitom Xi+i — Xi = Ax, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou.
Obsah řezu (průniku) tělesa i-tou rovinou označíme S(xí).
Objem (tenké) vrstvy tělesa mezi (i — l)-ní a i-tou rovinou je přibližně roven
S(xí)Ax.
n
Pro objem tělesa tedy platí: V
i=l
Limitním přechodem n    00 dostaneme
b
V
a
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = J S(x)dx
a
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = J S(x)dx
a
Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a.
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = J S(x)dx
a
Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a, 6, c.
x2    y2     z2 ^
a2     b2     c2 ~
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
b
V = / S(x)dx
a
Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a, b
x2    y2    z2 ^
a2     62     c2 —
?/2 2^2
Obvodová křivka řezu rovinou kolmou k ose x\ — H—- = 1 —
bA cz
y2   +_zl_= i
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = J S(x)dx
a
Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a, b
x2    y2     z2 ^ ^
a2     b2     c2 ~
y2 z2
Obvodová křivka řezu rovinou kolmou k ose x\ — H—- = 1 —
o cl
y2   +_zl_= i
= 7T&C (1---
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = J S(x)dx
a
Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a,
x2    y2     z2 ^
a2     b2     c2 ~
y2 z2
Obvodová křivka řezu rovinou kolmou k ose x\ — H—- = 1 -
b2
+
(l-^)b2 (l-fí)c
= 1
S (x) = Tľbc ( 1 —
X'
Cľ
a
V = 2 / irbc   1 -
dx = 27t&C
x1
X —
3a2
= 2nbc í a —
o
Jo
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = J S(x)dx
a
Speciální případ: těleso vzniklé rotací „podgrafu" funkce y = f (x) definované na intervalu (a, b) kolem osy x.
S (x) = 7r(/0))2, tj.
V = 7T J (f(x))2dx
0
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = 7T J (f(x))2dx
0
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = 7T J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
14 / 17
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = 7T J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
a-\-h
v = 7T   /    (q2 — X"
:) dx
7T ^
X
a-\-h a
3^
a-\-h a
a
7T (g2h - \{3a2h + 3a/i2 + /r3))
14 / 17
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = 7T J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
a-\-h
■>2      ,v( 2
V = 7ľ   I — X"
) dx
7T ^
X
a
3^
a
a
7T (^2/i - \(3a2h + 3a/i2 + /r3))
a2 = £2 - i?2 (a + h)2 = Q2 -r2
14 / 17
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = 7T J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
a-\-h
■>2      ,v( 2
V = 7i I       — x:
) dx
7T
a
1_ ^y»3
3^
a
a
7T (^2/i - \{3a2h + 3a/i2 + /r3))
a2 = £2 - i?2 (a + h)2 = Q2 - r2
2ah + h2=R2-r2
14 / 17
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
v = 7T J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
a-\-h
v = 7ľ j  (q2 — x2) dx = 7T (g:
X
a-\-h a
3^
a-\-h a
a
a2 = g2 - R2 (a + h)2 = Q2 -r2
7T (g2h - \(3a2h + 3ah2 + h3)) R2 -r2 - h2
-+    2ah + h2=R2-r2    -+ {
a —
2h
.2 (R2~r2-h2)2
Q
4h2
+ R
14 / 1
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
v = 7T J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
a-\-h
v = 7ľ j  (q2 — x2) dx = 7T (g:
X
a-\-h a
3^
a-\-h a
a
7T (g2h - \{3a2h + 3ah2 + /r3))
a2 = £2 - R2 (a + h)2 = Q2 -r2
-+    2ah + h2=R2-r2    -+ {
a —
R — r — /ť 2h
.2     {R2-r2-h2)2
Q
4h2
+ R
Celkem: V = \>Kh(3(R2 + r2) + /r2)
14 / 1
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
v = 7T J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
a-\-h
v = 7ľ j  (q2 — x2) dx = 7T (g:
X
a-\-h a
3^
a-\-h a
a
7T (g2h - \(3a2h + 3ah2 + /r3)) R2 — r2 — h2
a2 = Q2 - R2 (a + h)2 = Q2 -r2
-+    2ah + h2=R2-r2    -+ {
a —
2h
.2 (R2~r2-h2)2
Q
4h2
+ R
Celkem: V = \ith(3(R2 + r2) + h2)
Specielně - Kulová úseč (r = 0): V = \iih(3R2 + h2) Polokoule (r = 0,    = R)\ V = §ttí?3
14 / 1
Úvod
Neurčitý integrál
Určitý integrál a jeho užití
Nevlastní integrál
Integrál na neomezeném intervalu Integrál z neohraničené funkce
Nevlastní integrál
15 / 17
Integrál na neomezeném intervalu
Funkce / spojitá na intervalu (a, oo):
Integrál na neomezeném intervalu
oo b
Funkce / spojitá na intervalu (a, oo): / f(x)dx= lim / f(x)dx,
J b^oo J
a a
pokud tato limita existuje a je vlastní.
Integrál na neomezeném intervalu
oo
Funkce / spojitá na intervalu (a, oo): / f(x)dx= lim / f(x)dx,
J b^oo J
pokud tato limita existuje a je vlastní.
a
a
o
Funkce / spojitá na intervalu (—00,6): J f(x)d
x = lim
a—)- — 00
f(x)dx
—00
a
pokud tato limita existuje a je vlastní.
Integrál na neomezeném intervalu
oo
Funkce / spojitá na intervalu (a, oo): / f(x)dx= lim / f(x)dx,
J b^oo J
pokud tato limita existuje a je vlastní.
a a
o o
Funkce / spojitá na intervalu (—00,6):   / f(x)dx=   lim   / f(x)dx
— oo a
pokud tato limita existuje a je vlastní.
Funkce / spojitá na intervalu (—00,00):
00 o
/f(x)dx =   lim   / f(x)dx + lim  / f(x)dx, —    J 6—)-oo J
— 00 a 0
pokud obě limity existují a jsou vlastní.
Integrál na neomezeném intervalu
oo
Funkce / spojitá na intervalu (a, oo): / f(x)dx= lim / f(x)dx,
J b^oo J
pokud tato limita existuje a je vlastní.
a
a
o
Funkce / spojitá na intervalu (—00,6): J f(x)d
x = lim
a—)- — 00
f(x)dx
—00
a
pokud tato limita existuje a je vlastní.
Funkce / spojitá na intervalu (—00,00):
00
o
/f(x)dx =   lim   / f(x)dx + lim  / f(x)dx, —    J 6—)-oo J
— 00
a
0
pokud obě limity existují a jsou vlastní. Říkáme, že nevlastní integrál konverguje.
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
o
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
e xdx = lim  / e xdx
6—)-oo
0
0
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
e xáx = lim  / e xáx = lim
6—)-oo J b^-oo 0 0
—e
— x
b 0
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
e xáx = lim  / e xáx = lim
6—)-oo J b^-oo 0 0
—e
— x
b 0
lim (
6—)-oo
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
e xáx = lim  / e xáx = lim
6—)-oo J b^-oo 0 0
—e
— x
b 0
lim (
6—)-oo
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
e xdx = lim  / e xáx = lim
6—)-oo J 6—)-oo 0 0
—e
— x
b 0
lim (-e"6 + l)
6^oo v ;
oc
X2 + 1
dx
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
e xdx = lim  / e xáx = lim
6—)-oo J 6—)-oo 0 0
—e
— x
= lim (-
e"6 + 1) = 1
oc
dx = lim
X2 + 1 6^oo J   X2 + 1
1 1
dx = lim [arctg x] x
6—)-oo
lim (arctg b — arctg 1)
6—)-oo
7T 7T
2 ~ 4
7ľ
4
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
e xdx = lim  / e xáx = lim
6—)-oo J 6—)-oo 0 0
—e
— x
= lim (-
e"6 + 1) = 1
oc
dx = lim
X2 + 1 6^oo J   X2 + 1
1 1
dx = lim [arctg x] x
6—)-oo
lim (arctg b — arctg 1)
6—)-oo
7T 7T
2 ~ 4
7ľ
4
OC
a > 1
a
dx
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
e xdx = lim  / e xáx = lim
6—)-oo J 6—)-oo 0 0
—e
— x
= lim (-
e"6 + 1) = 1
oc
dx = lim
X2 + 1 6^oo J   X2 + 1
1 1
dx = lim [arctg x] x
6—)-oo
lim (arctg b — arctg 1)
6—)-oo
7T 7T
2 ~ 4
7ľ
4
OO b
1 ( 1
a > 1,     / — dx = lim / — dx = lim
6—)-oo
X
a
1
6^oo J Xa 1
X
■a+1
n 6
J 1
-a + 1
lim (        - 1 ) =
1-a 6^oo V ba~l      J     a - 1
16 / 17
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
00
/— dx x
1
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
lim / —d.t
6^00 J x
1
lim [ln x
6—)-oo
= lim ln b
6—)-oo
Integrál na neomezeném intervalu
Příklady:
oc
— dx nekonverguje
x
lim / — dx
b^oc J X 1
lim [ln x
6—)-oo
= lim ln b
6—)-oo
Integrál z neohraničené funkce
Funkce / spojitá na intervalu (a, b) a neohraničená:
Integrál z neohraničené funkce
Funkce / spojitá na intervalu (a, b) a neohraničená:
b 13
/f(x)dx = lim / f(x)dx   pokud tato limita existuje a je vlastní. I3^bj
a
a
Integrál z neohraničené funkce
Funkce / spojitá na intervalu (a, b) a neohraničená:
b 13
/f(x)dx = lim / f(x)dx   pokud tato limita existuje a je vlastní. I3^bj
a
a
Funkce / spojitá na intervalu (a, b) a neohraničená:
b b
/f(x)dx = lim / f(x)dx   pokud tato limita existuje a je vlastní.
a
a
Integrál z neohraničené funkce
Funkce / spojitá na intervalu (a, b) a neohraničená:
b 13
/f(x)dx = lim / f(x)dx   pokud tato limita existuje a je vlastní. I3^bj
a
a
Bod b se nazývá singularita funkce f.
Funkce / spojitá na intervalu (a, b) a neohraničená:
b b
/f(x)dx = lim / f(x)dx   pokud tato limita existuje a je vlastní.
a a
Bod a se nazývá singularita funkce f.
Říkáme, že nevlastní integrál konverguje.
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
Vi
X'
lim
arcsm x
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
Vi
: (IX =
X'
lim
arcsm x
1/5
Jo
= arcsin 1 — arcsin 0
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
Vi
: (IX =
X'
lim
arcsm x
1/5
Jo
arcsin 1 — arcsin 0 = —
7ľ
2
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
o
Vi
X'
lim / —=
o
dx =
XÁ
lim
arcsm x
1/5
Jo
arcsin 1 — arcsin 0 = —
7ľ
2
i
/ln*d*
0
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
o
Vi
X'
lim / —=
o
dx =
XÁ
lim
arcsm x
1/5
Jo
arcsin 1 — arcsin 0 = —
7ľ
2
lnxdx = lim / \nxdx
a—tO
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
o
vT
: (1X =
X'
lim / —=
o
dx =
lim
(3^1
arcsm x
1/5
Jo
arcsin 1 — arcsin 0 = —
7ľ
2
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
o
Vi
: (IX =
X'
lim / —=
o
dx =
XÁ
lim
arcsm x
1/5
Jo
arcsin 1 — arcsin 0 = —
7ľ
2
\iixdx = lim / \nxdx
a—tO
lim ľxílnx — 1)
1 — lim a(lna — 1)
at—tO
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
o
Vi
:0\X =
X'
lim / —=
o
dx =
XÁ
lim
arcsm x
1/5
Jo
arcsin 1 — arcsin 0 = —
7ľ
2
ln xdx = lim / ln xdx
a—tO
lim ľxílnx — 1)
1 — lim a(lna — 1)
at—tO
= — 1 — lim x lnx
x^O
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
o
Vi
X'
lim / —=
o
dx =
XÁ
lim
arcsm x
1/5
Jo
arcsin 1 — arcsin 0 = —
7ľ
2
/lnxdx = lim / Inxdx = lim ľxílnx — 1)11 = —1 — lim afina — 1)
0
Q!
1 — lim x ln x
x^O
1 — lim
\nx
mu
x
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
o
Vi
: (IX =
X'
/5
lim / —=
o
dx =
XÁ
lim
arcsm x
1/5
Jo
arcsin 1 — arcsin 0
/\nxdx = lim / Inxdx = lim ľxílnx — 1)11 = —1 — lim a(lna — 1
0
1 — lim x ln x
x^O
1 — lim
\nx
mu
x^O ±
x
1 — lim
x
x^o —L
x
Integrál z neohraničené funkce
Příklady:
o
Vi
: (IX =
X'
/5
lim / —=
o
dx =
XÁ
lim
arcsm x
1/5
Jo
arcsin 1 — arcsin 0
/\nxdx = lim / Inxdx = lim ľxílnx — 1)11 = —1 — lim a(lna — 1
0
1 — lim x ln x
x^O
1 — lim
\nx
mu
x^O ±
x
1 — lim
x
x^o —L
x