Lineární algebra M1030 Matematika pro biochemiky 3. a 10.12.2020 Základní pojmy Motivace Matice a vektory „Klasifikace" matic Operace s maticemi Řešení soustav rovnic - Gaussova eliminace Determinanty_ Řešení soustav rovnic - Cramerovo pravidlo Regulární matice_ Základní pojmy Motivace Osová souměrnost kolem svislé osy: (x,y) h> (xi,yi) x\ = — x = — 1 • x + 0 • y (x\ y1=y=0-x + l-y V 2/i Otočení o úhel ip kolem počátku: (x,y) h> (xi,yi) Xi = (coscp)x — (smcp)y (x\ yi = (sin cp)x + (cos (/% Matice a vektory Matice typu (m,n) ... tabulka čísel o m řádcích a n sloupcích A = / «11 «12 «13 «l,n-l «l,n \ «21 «22 «23 «2,n-l «2,n «31 «32 «33 «3,n-l «3,n «m—1,1 «m-l,2 «m —1,3 • • «m—l,n—1 «m—l,n \ «ml «m2 «m3 • • «m,n—1 «m,n / Matice a vektory Matice typu (m, n) ... tabulka čísel o m řádcích a n sloupcích A = / au «12 «13 «l,n-l «l,n \ «21 «22 «23 «2,n-l «2,n «31 «32 «33 «3,n-l «3,n «m—1,1 «m-l,2 «m —1,3 • • «m—l,n—1 «m—l,n V «ml «m2 «m3 • • «m,n—1 «m,n / Příklady: A=(-2 3,1415927 ±) ' B = (-4 2)' R = (^^7 ^ i)' C = (7) A je matice typu (2, 3), B a R jsou matice typu (2, 2), C je matice typu (1,1). Matice a vektory Matice typu (m, n) ... tabulka čísel o m řádcích a n sloupcích Příklady: A / au «12 «13 «l,n-l «l,n \ «21 «22 «23 «2,n-l «2,n «31 «32 «33 «3,n-l «3,n «m—1,1 «m-l,2 «m —1,3 • • «m—l,n—1 «m—l,n \ «ml «m2 «m3 A=í 1 2 3 -2 3,1415927 ± 1 ' B = 8 0 -4 2 a m,n— 1 R = a m ,n / '*i(l-7) / cti 7 02 C = (7) A je matice typu (2, 3), B a R jsou matice typu (2, 2), C je matice typu (1,1). Číslo lze považovat za speciální případ matice, matice jsou zobecněním čísel. 4/23 Matice a vektory Matice typu (m, n) ... tabulka čísel o m řádcích a n sloupcích A / «11 «12 «13 «l,n-l «l,n «21 «22 «23 «2,n-l «2,n «31 «32 «33 «3,n-l «3,n «m—1,1 «m—1,2 «m —1,3 \ «ml «m2 «m3 m-rozměmý sloupcový vektor je matice typu (m, 1), v «ra—l,n—1 «m—l,n «m,n—1 «m,n y /"A ^2 ^3 Matice a vektory Matice typu (m, n) ... tabulka čísel o m řádcích a n sloupcích / au ai2 «13 «l,n-l «l,n \ «21 «22 «23 «2,n-l «2,n A = «31 «32 «33 «3,n-l «3,n «ra-l,l «m-l,2 «m —1,3 • • • «ra —l,n—1 «ra—l,n \ «ml «m2 «m3 • • • «m,n—1 «m,n / m-rozměrný sloupcový vektor je matice typu (m, 1), v = /M ^2 ^3 n-rozměrný řádkový vektor je matice typu (l,n), ií; = (l^i 1^2 ^3 k; n ) = (Wl, w2lw3. „Klasifikace" matic Řekneme, že matice A typu m, n je „Klasifikace" matic Řekneme, že matice A typu m, n je • čtvercová řádu n, pokud m = n „Klasifikace" matic Řekneme, že matice A typu m, n je • čtvercová řádu n, pokud m = n „Klasifikace" matic Řekneme, že matice A typu m, n je • čtvercová řádu n, pokud m = n • horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j ^ clíj = 0 „Klasifikace" matic v Řekneme, že matice A typu m,n je • čtvercová řádu n, pokud m = n • horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j => 8 -4 0 2 1 2 0 3,1415927 0 0 „Klasifikace" matic Řekneme, že matice A typu m, n je • čruercouá řádu n, pokud m = n • horní trojúhelníková, pokud (Vi,j)i > j • dolní trojúhelníková, pokud (Vi,j)i < j a* j = 0 CLij = 0 5/23 „Klasifikace" matic Řekneme, že matice A typu m, n je • čtvercová řádu n, pokud m = n • horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j' = 0 • dolní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i < j => cííj = 0 /8 0\ / 1 0 0\ VO OJ' V~2 3,1415927 OJ Klasifikace" matic Řekneme, že matice A typu m, n je • čtvercová řádu n, pokud m = n • horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j = 0 • dolní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i < j = 0 • diagonální, pokud (Vi, j)i ^ j = 0 (je současně horní i dolní trojúhelníková) Klasifikace" matic Řekneme, že matice A typu m, n je • čtvercová řádu n, pokud m = n • horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j = 0 • dolní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i < j = 0 • diagonální, pokud (Vi, j)i ^ j = 0 (je současně horní i dolní trojúhelníková) fS 0\ (0 0\ fl 0 0\ \0 2J ' V° 2/ \° 3,1415927 OJ Klasifikace" matic Řekneme, že matice A typu m, n je • čtvercová řádu n, pokud m = n • horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j = 0 • dolní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i < j = 0 • diagonální, pokud (Vi, j)i ^ j = 0 (je současně horní i dolní trojúhelníková) • symetrická, pokud je čtvercová a (Vi, j)a^ = cíjí Klasifikace" matic Řekneme, že matice A typu m, n je • čtvercová řádu n, pokud m = n • horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j = 0 • dolní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i < j = 0 • diagonální, pokud (Vi, j)i ^ j = 0 (je současně horní i dolní trojúhelníková) • symetrická, pokud je čtvercová a (Vi, j)clíj = cljí (o (! (i 3'14if27 II Klasifikace" matic Řekneme, že matice A typu m, n je • čtvercová řádu n, pokud m = n • horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j = 0 • dolní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i < j = 0 • diagonální, pokud (Vi, j)i ^ j = 0 (je současně horní i dolní trojúhelníková) • symetrická, pokud je čtvercová a (Vi, j)clíj = cljí • nulová, pokud (\H1j)aij =0, O = \ ® ^ ) II Klasifikace" matic Řekneme, že matice A typu m, n je • čtvercová řádu n, pokud m = n • horní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i > j = 0 • dolní trojúhelníková, pokud (Vi, j)i < j = 0 • diagonální, pokud (Vi, j)i ^ j = 0 (je současně horní i dolní trojúhelníková) • symetrická, pokud je čtvercová a (Vi, j)clíj = a3i • nulová, pokud (\H1j)aij =0, O = \ ® ^ ) • jednotková, pokud a^7 0 1 * — j Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 1. unární operace (matice h> matice; A h> Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 1. unární operace (matice h> matice; A h> • Transpozice matice: AT = A' = B Matice B je typu (n, m), = a ji Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 1. unární operace (matice h> matice; A h> B) • Transpozice matice: AT = A' = B Matice B je typu (n, m), = a ji Příklady: Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 1. unární operace (matice h> matice; A h> • Transpozice matice: AT = A' = B Matice B je typu (n, m), = a ji Platí: čtvercová matice A je symetrická <^> A Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 1. unární operace (matice h> matice; A h> • Transpozice matice: AT = A' = B Matice B je typu (n, m), = a ji Platí: čtvercová matice A je symetrická <^> A • Opačná matice. — A = B Matice B je téhož typu (m, n), = —clíj Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 1. unární operace (matice h> matice; A h> B) • Transpozice matice: AT = A' = B Matice B je typu (n, m), = a ji Platí: čtvercová matice A je symetrická <^> A = AT • Opačná matice. — A = B Matice B je téhož typu (m, n), = —clíj Príklad: 2 3,14 Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 1. unární operace (matice h> matice; A h> • Transpozice matice: AT = A' = B Matice B je typu (n, m), = a ji Platí: čtvercová matice A je symetrická <^> A • Opačná matice. — A = B Matice B je téhož typu (m, n), = —clíj Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 2. vnější operace (číslo, matice \-> matice; c, A \-> B) Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 2. vnější operace (číslo, matice \-> matice; c, A \-> B) • Násobení matice číslem (skalárem): cA = B Matice B je téhož typu (m, n), = ca^ Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 2. vnější operace (číslo, matice \-> matice; c, A \-> B) • Násobení matice číslem (skalárem): cA = B Matice B je téhož typu (m, n), = ca^ Príklad: _ifl 2 3\ = M -1 "I 2 V-2 3,14 \) i _i 57 i 4 Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 2. vnější operace (číslo, matice \-> matice; c, A \-> • Násobení matice číslem (skalárem): cA = B Matice B je téhož typu (m, n), = ca^ Platí -A = (-l)A Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (ra, n), c^- = + 6^ Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (m,n)p Cíj = + 6^-Příklady: 1 2 2 3,14 3 ' 3 -1 -2\ _ -i 0,86 |; - 1 + 3 2 + (-l) 3 + (-2)\ = /4 1 l\ 2 + (-l) 3,14 + 0,86 -\ + \) V"3 4 °7 Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-t C) • Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (m,n), Cíj = + 6^-Příklady: f 1 2 3 \ / 3 -1 -2\ _ V-2 3,14 -ij + V"1 °>86 ! J " / 1 + 3 2 + (-l) 3 + (-2)\ = /4 1 l\ V-2 + (-1) 3,14 + 0,86 + V'3 4 07 Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (m, n), Cíj = + Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (m, n), Cíj = + Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická Vlastnosti sčítání matic: Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (m, n), Cíj = + Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická Vlastnosti sčítání matic: (A + B) + C = A + (B + C) asociativita Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (m, n), Cíj = + Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická Vlastnosti sčítání matic: (A + B) + C = A + (B + C) asociativita A + B = B + A komutativita Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (m, n), Cíj = + Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická Vlastnosti sčítání matic: (A + B) + C = A + (B + C) asociativita A + B = B + A komutativita A + 0 = 0 + A = A existuje neutrální prvek Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (m, n), Cíj = + Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická Vlastnosti sčítání matic: (A + B) + C = A + (B + C) asociativita A + B = B + A komutativita A + 0 = 0 + A = A existuje neutrální prvek A + (—A) = 0 ke každé matici existuje opačný prvek Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (m, n), Cíj = + b Platí: A je čtvercová =^> A + AT je symetrická Vlastnosti sčítání matic: (A + B) + C = A + (B + C) A + B = B + A A+0=0+A=A A + (-A) = 0 asociativita komutativita existuje neutrální prvek ke každé matici existuje opačný prvek Matice spolu s operací sčítání tvoří Abelovskou grupu. 6/23 Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součet matic. A + B = C Obě matice B a C jsou téhož typu (ra, n), c^- = + 6^ Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-t matice; A, B \-> C) • Součin matic: A B = C Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p) n Cij = Uilblj + «i2^2j + ai3^3j + * * * + ainbnj = ^ik^kj k=l Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součin matic. A B = C Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p) n k=l Příklady: Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice i-+ matice; A, B i-+ C) • Součin matic. A B = C Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p) n k=l Příklady: 2 °\ /l 2 A = I -3 1 ,B=M 6 2 -3 5 2 0\ , x / 2 - 1 + 0 • (-3) 2 - 2 + 0 • 5 \ / 2 4 AB=|-3 1 ( )= -3-1 + 1-(-3) -3-2 + 1-5 = -6 -1 6 2/ ^ ' \ 6- 1 + 2 -(-3) 6-2 + 2-5/ \0 22 BA ... nelze vynásobit Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součin matic. A B = C Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p) n k=l Příklady: 6/23 Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součin matic. A B = C Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p) Příklady: n k=l '0 -1 1 A = | 0 2 -2 | , B = 0 1 -1 s. '0-1 1 \ / 2 0 AB = | 0 2 -2-10 0 1 -1/ V-l 0 2 0 2 -1 0 -1 -1 0 -1 2 -1 -1 '0 0 oN 0 0 0 0 0 0 6/23 Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součin matic. A B = C Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p) Příklady: Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součin matic. A B = C Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p) n cij — 0>ilblj + CLi2^2j + «i3^3j + ' ' ' + Uinbnj = ^ik^kj k=l Vlastnosti násobení matic: Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součin matic. A B = C Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p) Vlastnosti násobení matic: (AB)C = A(BC) asociativita n Operace s maticemi A ... matice typu (m, n) 3. binární operace (matice, matice \-> matice; A, B \-> C) • Součin matic. A B = C Matice B je typu (n,p) a matice C je typu (m,p) Vlastnosti násobení matic: (AB)C = A(BC) asociativita m = n =^> AE = EA = A k čtvercové matici existuje neutrální prvek n Základní pojmy Řešení soustav rovnic - Gaussova eliminace Příklad Soustava lineárních rovnic Gaussova eliminační metoda Řešitelnost soustavy lineárních rovnic Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku Závěrečná poznámka Determinanty_ Řešení soustav rovnic - Cramerovo pravidlo Regulární matice_ Řešení soustav rovnic Gaussova eliminace Příklad 2x + 3y = 7 x+2y = 4 Příklad 2x + 3y = 7 x+2y = 4 x+2y = 4 2x+3y = 7 Příklad 2x + 3y = 7 x+2y = 4 x+2y = 4 | • (-2) 2x + 3y = 7 Příklad 2x + 3y = 7 x+2y = 4 x+2y = 4 2x+3y = 7 (-2) -2x-4y = -S 2x+3y = 7 Příklad 2x + 3y = 7 x+2y = 4 x+2y = 4 2x+3y = 7 (-2) -2x- 4y = -8 2x+3y = 7 + Příklad 2x + 3y = 7 x+2y = 4 x+2y = 4 2x+3y = 7 (-2) -2x- 4y = -8 2x+3y = 7 + x + 2y = 4 -2/ = -l Příklad 2x + 3y = 7 x+2y = 4 x+2y = 4 2x+3y = 7 (-2) -2x- 4y = -8 2x+3y = 7 + x + 2y = 4 -2/ = -l 2/=l, x = 4 - 2 • 1 = 2 Příklad 2x + 3y = 7 x+2y = 4 x+2y = 4 2x+3y = 7 (-2) -2x- 4y = -8 2x+3y = 7 + x + 2y = 4 -2/ = -l 2/=l, x = 4 - 2 • 1 = 2 Příklad 2x + 3y = 7 x+2y = 4 x+2y = 4 2x+3y = 7 (-2) -2x-4y = -S 2x+3y = 7 + x + 2y = 4 -y = -i y = 1, x = 4 - 2 • 1 Označení: A =[ 2 )M - x = LJ - b = (l Soustava rovnic: Ax = b Příklad 2x + 3y = 7 x+2y = 4 x+2y = 4 2x+3y = 7 (-2) -2x-4y = -S 2x+3y = 7 + x + 2y = 4 -y = -i y = 1, x = 4 - 2 • 1 = 2 Označení: A =[ ^ )M - x = (j - b = (l Soustava rovnic: Ax = b Ještě stručnější zápis: f 2 3 1 2 7 4 8/23 Příklad 2x + 3y = 7 x+2y = 4 x+2y = 4 2x+3y = 7 (-2) 1 2 2 3 4 7 2x- 4j/= —8 2x + 3y = 7 + x+2y = 4 -y = ~l y = 1, x = 4 - 2 • 1 = 2 -2 -4 2 3 1 2 O -1 -8 7 4 Označení: A =[ ^ f), x = TJ , 6 = Q Ještě stručnější zápis: / 2 3 1 2 Soustava rovnic: Aíc = b 7 4 8/23 Soustava lineárních rovnic Soustava (systém) m lineárních rovnic o n neznámých: a\\X\ + CL12X2 + • • • + CLlnXn — b\ OL2\X\ + CL22X2 + ' ' ' + CL2nXn =62 CLmlXl + CLm2X2 + +(lmnXn=b m Soustava lineárních rovnic Soustava (systém) m lineárních rovnic o n neznámých: CLllXi + ai2#2 + «21^1 + + + CLlnXn — &1 + CL2nXn — &2 CLmlXi + am2X2 + Maticový zápis: Ax = b A = / au CL12 Q>21 CL22 \CLml CLm2 a ln \ &2n CLmn / ~~\~ CLmnXri — b rn matice soustavy b = x íbl\ b2 \bm/ íXl\ X2 \XnJ vektor pravých stran vektor neznámých Soustava lineárních rovnic Soustava (systém) m lineárních rovnic o n neznámých: a\\X\ + CL12X2 + • • • + CLlnXn — b\ OL2\X\ + CL22X2 + ' ' ' + CL2nXn =62 CLmlXl + CLm2X2 + +(lmnXn=b Maticový zápis: Ax = b m Všechny informace o systému jsou obsaženy v rozšířené matici soustavy (A|6) Q>21 Q>12 «22 «ln «2n b2 a mn Gaussova eliminační metoda Elementární řádkové transformace matice: • výměna (přehození) řádků • vynásobení řádku nenulovým číslem • přičtení jednoho řádku jinému Gaussova eliminační metoda Elementární řádkové transformace matice: • výměna (přehození) řádků • vynásobení řádku nenulovým číslem • přičtení jednoho řádku jinému Označení: A ~ B ... „matice B vznikla z matice A pomocí elementárních transformací." Gaussova eliminační metoda Elementární řádkové transformace matice: • výměna (přehození) řádků • vynásobení řádku nenulovým číslem • přičtení jednoho řádku jinému Označení: A ~ B ... „matice B vznikla z matice A pomocí elementárních transformací." Algoritmus metody: 1. Užitím elementárních řádkových transformací převedeme rozšířenou matici soustavy na vhodnou horní trojúhelníkovou. 2. Výslednou matici přepíšeme do tvaru soustavy rovnic a vypočítáme jednotlivé složky řešení. Gaussova eliminační metoda Příklady: 3x + y = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1 Gaussova eliminační metoda Příklady: 3íc + y = 0 x -2y + 4z = l 2x-\- y — z = — 1 Gaussova eliminační metoda Příklady: 3x+ y = 0 x — 2y + 4z = 1 2x + y — z = — 1 přehození 1. a 2. řádku Gaussova eliminační metoda Příklady: 3íc + y = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = — 1 vynásobení 1. řádku číslem —3 Gaussova eliminační metoda Příklady: 3íc + y = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = — 1 přičtení 1. řádku ke 2. Gaussova eliminační metoda Příklady: 3x + y = 0 x -2y + 4z = 1 2x + y — z = — 1 vynásobení 1. řádku číslem ~ Gaussova eliminační metoda Příklady: 3x+ y = 0 x — 2y + 4z = 1 2x + y — z = — 1 přičtení 1. řádku k 3. Gaussova eliminační metoda Příklady: 3x+ y = 0 x — 2y + 4z = 1 2x + y — z = — 1 vynásobení 1. řádku číslem — ^ Gaussova eliminační metoda Příklady: 3x + y =0 x-2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1 vynásobení 2. řádku číslem 5 Gaussova eliminační metoda Příklady: 3x + y = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1 vynásobení 3. řádku číslem —7 Gaussova eliminační metoda Příklady: 3x + y = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1 přičtení 2. řádku k 3. Gaussova eliminační metoda Příklady: 3x + y =0 x -2y + 4z = l 2x-\- y — z = — 1 Gaussova eliminační metoda Příklady: 3x + y =0 x -2y + 4z = l 2x-\- y — z = — 1 vynásobení 3. řádku číslem » Gaussova eliminační metoda Příklady: 3x + y = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1 x - 2y + 4z = 1 7y- 12 z = -3 z = 2 Gaussova eliminační metoda Příklady: 3x + y = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1 x - 2y + 4z = 1 7y- 12 z = -3 z = 2 Gaussova eliminační metoda Příklady: 3x + y = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1 x - 2y + 4z = 1 7y- 12 z = -3 z = 2 z = 2, 2/= ±(-3 + 12-2) =3 Gaussova eliminační metoda Příklady: 3x + y = 0 x - 2y + 4z = 1 2x-\- y — z = —1 x - 2y + 4z = 1 7y- 12 z = -3 z = 2 2 = 2, y = i(-3 + 12-2)=3,x = l- 4- 2 + 2- 3 = -l 10 / 23 Gaussova eliminační metoda Příklady: 2x + ?>y- z = -12 x + 2y + z = 9 5x + 8y + 2z = 15 Gaussova eliminační metoda Příklady: 2x + ?>y- z = -12 x + 2y + z = 9 5x + 8y + 2z = 15 2 3 -1 -12 \ 1 2 1 9 1 2 1 9 ~ 0 1 3 30 v 5 8 2 i5; v 0 -2 -3 -30 / 1 o V 0 2 1 1 3 0 3 9 30 30 Gaussova eliminační metoda Příklady: 2x + 3?y - z = -12 x + 2y + z = 9 5x + 8y + 2z = 15 2 3 -1 -12 1 2 1 9 5 8 2 15 1 2 1 9 0 1 3 30 0 -2 -3 -30 ( 1 2 0 1 \ o o 1 0 1 Gaussova eliminační metoda Příklady: 2.x- + 3?y - z = -12 x + 2y + z = 9 5x + 8y + 2z = 15 2 3 -1 -12 1 2 1 9 5 8 2 15 1 2 1 9 0 1 3 30 0 -2 -3 -30 ( 1 2 0 1 \ o o 1 0 1 9 > i 30 30 J f 1 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 1 10 z = 10, y = 0, x = -1 Gaussova eliminační metoda Příklady: X\ + 2X2 + 3^3 2x\ — X2+ X3 X\-\-2x2-\- X3 X\ + 3^2 + 3^3 = 5 + X4 = 4 + 2x4 = -1 — X4 = 5 Gaussova eliminační metoda Příklady: xi+2x2 + 3x3 =5 2^1 — X2 + Xs + X4 = 4 Xl + 2X2 + #3 + 2X4 = —1 Xl + 3X2 + 3X3 — X4 = 5 1 2 3 0 5 \ / 1 2 3 0 5 \ / 1 2 3 0 5 \ 2 -1 1 1 4 0 -5 -5 1 -6 0 1 0 -1 0 1 2 1 2 -1 r* 0 0 -2 2 r* -6 0 0 -5 -4 -6 v 1 3 3 -1 5 / v 0 1 0 -1 0 / v 0 0 -2 2 -6 / 1 2 3 0 5 \ / 1 2 3 0 5 1 2 3 0 5 \ 0 1 0 -1 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 -1 0 0 0 1 -1 3 r* 0 0 1 -1 3 0 0 1 0 2 V 0 0 0 -9 9 / v 0 0 0 1 -1 J 0 0 0 1 -1 / / 1 2 0 0 — 1 \ 1 0 0 0 0 1 0 0 — 1 0 1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 ^ 0 0 0 1 — 1 J 0 0 0 1 Xl = 1, X2 = —1, X3 = 2, X4 = —1 10 / 23 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic Príklad: x + 2y = 4 2x + 3y = 7 x + 2y = 4 2/ = 1 í/ = 1, » = 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic Príklad: x + 2y 2x + 3y 4 7 x + 2y y 4 1 y = i, x = 2 x+ 2?/ 2x + 4?/ 4 7 £ + 2?/ 0 4 1 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic Príklad: x + 2y = 4 2x + 3y = 7 x + 2y = 4 y = i x + 2y = 4 2x + 4y = 7 £ + 2?/ 0 4 1 úloha je neřešitelná 11 / 23 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic Príklad: x + 2y 2x + 3y 4 7 1 2 2 3 4 7 1 2 0 1 4 1 x + 2?/ = 4 í/ = 1 2/ = 1, a? = 2 x+ 2?/ 2x + 4?/ 4 7 1 2 2 4 4 7 1 2 0 0 4 1 x + 2y 0 4 1 úloha je neřešitelná x + 2y = 4 2x + 4y = 8 1 2 2 4 4 8 1 2 0 0 4 0 x + 2?/ = 4 0 = 0 11 / 23 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic Príklad: x + 2y 2x + 3y 4 7 1 2 2 3 4 7 1 2 0 1 4 1 x + 2?/ = 4 í/ = 1 2/ = 1, a? = 2 x+ 2?/ 2x + 4?/ 4 7 1 2 2 4 4 7 1 2 0 0 4 1 x + 2y 0 4 1 úloha je neřešitelná x + 2y = 4 2x + 4y = 8 1 2 2 4 4 8 1 2 0 0 4 0 x + 2?/ = 4 0 = 0 úloha je řešitelná, řešení není jednoznačné; druhou neznámou volíme jako parametr: x = 4 — 2y 11 / 23 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic Hodnost matice A, h(A): počet nenulových řádků v matici, která vznikne z matice A Gaussovou eliminací. Řešitelnost soustavy lineárních rovnic Hodnost matice A, h(A): počet nenulových řádků v matici, která vznikne z matice A Gaussovou eliminac Kronckerova-Capelliho věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých Ax = b. Řešitelnost soustavy lineárních rovnic Hodnost matice A, h(A): počet nenulových řádků v matici, která vznikne z matice A Gaussovou eliminací. Kronckerova-Capelliho věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých Ax = b. h(A) < h(A\b) úloha nemá řešení h(A) = h(A\b) < n ^> úloha má řešení, řešení není jednoznačné h(A) = h(A\b) = n úloha má jednoznačné řešení Řešitelnost soustavy lineárních rovnic Hodnost matice A, h(A): počet nenulových řádků v matici, která vznikne z matice A Gaussovou eliminací. Kronckerova-Capelliho věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých Ax = b. h(A) < h(A\b) úloha nemá řešení h(A) = h(A\b) < n ^> úloha má řešení, řešení není jednoznačné h(A) = h(A\b) = n úloha má jednoznačné řešení Ve druhém případě lze řešení vyjádřit pomocí n — h(A) parametrů. Řešitelnost soustavy lineárních rovnic Příklad: 2x + 3y + 2 = 1 x + 4y-2z = 3 x -\-3y — z = 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic Příklad: 2x + 3y + 2 = 1 x + 4y-2z = 3 x -\-3y — z = 2 / 2 3 1 4 V1 3 1 -2 -1 / 1 3 -1 0 1 -1 \ 0 -3 3 2 1 -3 í 1 3 -1 2 0 1 -1 1 \ 0 0 0 0 / 1 o V 0 1 2 0 1 0 1 -1 1 0 0 0 0 Řešení není jednoznačné, y = 1 -\- z, x =1 — 2y = 1 — 2(1 + z) = --1 - - 2z Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku Předpokládáme, že matice soustavy je typu m, n, tj. jedná se o soustavu m rovnic o n neznámých. Pro zjednodušení zápisu budeme v rozšířené matici soustavy prvky v posledním sloupci značit symboly a^j+i. Algoritmus úpravy rozšířené matice soustavy: 1. j := 1 (indexu j přiřaď hodnotu 1) 2. mezi prvky ;, a^+ijaj+2,j... ,am,j najdi ak,j takový, že (Vi = j, j + 1, j+ 2,..., m)\ak,j;| > (v j-tém sloupci najdi prvek s největší absolutní hodnotou, příslušný řádek považuj za k-tý) 3. pokud \dk,j \ = 0, jdi na krok 7. 4. přehoď j-tý a /c-tý řádek 5. j-tý řádek vynásob číslem a3,3 6. dělej pro každé i ^ j: k ž-tému řádku přičti j-tý řádek násobený číslem —clíj 7- j := j + 1 (index j zvětši o 1) 8. pokud j < m, jdi zpět na krok 2., jinak konec 12 / 23 Úplná eliminace s výběrem hlavn prvku Príklad: 3x - 2y + 4z = h -hx + 7y - 8z = 2 hx — 6y + 7 z = —3 Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku Príklad: 3x - 2y + 4z = 5 -hx + 7y - 8z = 2 bx — 6y + 7 z = —3 / 3 -2 4 5 ^ -5 7 -8 2 V 5 -6 7 -3 / Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku Príklad: 3x - 2y + 4z = 5 -hx + 7y - 8z = 2 bx — 6y + 7 z = —3 / 3 -2 4 5 ^ -5 7 -8 2 V 5 -6 7 -3 / Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku Príklad: 3x - 2y + 4z = 5 -hx + 7y - 8z = 2 bx — 6y + 7 z = —3 3 -2 4 5 ^ í -5 7 -8 2 \ -5 7 -8 2 3 -2 4 5 v 5 -6 7 -3 j \ 5 -6 7 -3 / Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku Príklad: 3x - 2y + 4z = 5 -hx + 7y - 8z = 2 bx — 6y + 7 z = —3 3 -2 4 5 ^ í -5 7 -8 2 \ í 1 7 5 8 5 2 5 -5 7 -8 2 3 -2 4 5 3 -2 4 5 v 5 -6 7 -3 j \ 5 -6 7 -3 ) \ 5 -6 7 -3 Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku Príklad: 3x - 2y + 4z = h -hx + 7y - 8z = 2 hx — 6y + 7 z = —3 3 -2 4 5 ^ í -5 7 -8 2 \ í 1 7 5 8 5 2 5 \ -5 7 -8 2 3 -2 4 5 3 -2 4 5 v 5 -6 7 -3 j \ 5 -6 7 -3 ) \ 5 -6 7 -3 / / 1 o \ o 7 8 2 5 5 5 11 4 31 5 5 5 1 -1 -1 1 / Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku Príklad: 3x - 2y + 4z = h -hx + 7y - 8z = 2 hx — 6y + 7 z = —3 3 -2 4 5 \ í -5 7 -8 2 \ / 1 7 5 8 5 2 5 \ -5 7 -8 2 3 -2 4 5 3 -2 4 5 v 5 -6 7 -3 ) v 5 -6 7 -3 J V 5 -6 7 -3 / / 1 7 5 8 5 2 5 \ / 1 7 5 8 5 2 5 " \ 0 11 4 31 0 1 4 31 5 5 5 11 11 \ o 1 -1 -1 S \ o 1 -1 -1 / Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku Příklad: 3x - 2y + 4z = 5 -5x + 7y - Sz = 2 bx — 6y + 7z = —3 / 3 -2 4 5 ^ f -5 7 -8 2 \ f 1 7 5 8 5 2 5 \ -5 7 -8 2 3 -2 4 5 3 -2 4 5 v 5 -6 7 -3 ) \ 5 -6 7 -3 ) \ 5 -6 7 -3 ) í 1 o V o 7 8 5 5 11 4 5 5 1 -1 / 1 0 0 1 \0 0 1 \ 5 \ 31 5 -1 / / 1 0 V o 12 11 11 _ J_ 11 39 \ 11 X 31 11 _42 11 / 7 5 1 1 8 5 11 -1 5 \ 31 11 -i / Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku Príklad 3x - 2y + 4z = 5 -hx + 7y - 8z = 2 bx — 6y + 7 z = —3 / 3 -2 4 5 ^ f 5 7 -8 1 2 > f -5 7 -8 2 3 -2 4 ( 5 \ 5 -6 7 -3 / 5 -6 7 -3 J / 1 7 5 8 5 2 5 \ / 1 7 5 8 5 -- \ 5 ) 0 11 5 4 5 31 5 0 1 4 11 31 11 \ o 1 -1 -1 ) \ 0 1 -1 -1 / f 1 0 12 11 39 11 \ f 1 0 12 11 39 11 \ 0 1 4 11 31 11 0 1 — 4 11 31 11 l0 0 7 11 42 11 J ^ o 0 1 6 / Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku Příklad 3x - 2y + 4z = 5 -5x + 7y -8z = 2 bx — 6y + 7 z = —3 / 3 -2 4 5 ^ / -5 7 -8 2 ^ í 1 7 5 8 5 2 5 -5 7 -8 2 3 -2 4 5 3 -2 4 5 \ 5 -6 7 -3 y \ 5 -6 7 -3 ) \ 5 -6 7 -3 J / 1 o V o _ 7 5 11 5 1 V 8 5 4 5 / i o 0 1 5 \ 31 5 0 0 --h 12 11 _4_ " 11 7_ 11 1 / 31 11 _ 42 11 / 1 0 V o 39 \ 11 x / _ 7 5 1 1 / 1 O V o 8 5 11 -1 0 1 o 5 \ 31 11 1 / 12 11 _±_ 11 1 39 \ 11 \ 31 11 6 / í 1 0 0 -3 0 1 0 5 \ 0 0 1 6 Úplná eliminace s výběrem hlavního prvku Príklad: 3x - 2y + 4z = 5 -hx + 7y - 8z = 2 bx — 6y + 7 z = —3 3 -2 4 5 ^ / ■5 7 -8 2 ^ / 1 — 7 5 8 5 — 2 5 \ -5 7 -8 2 3 -2 4 5 3 2 4 5 v 5 -6 7 -3 / \ 5 -6 7 -3 J \ 5 6 7 3 / / 1 7 5 8 5 2 5 \ / 1 7 5 8 5 5 ^ 0 11 5 4 5 31 5 0 1 4 11 31 11 \ o 1 -1 -1 J 0 1 -1 -i I / 1 0 12 11 39 11 \ / 1 0 12 11 39 11 \ / 1 0 0 -3 \ 0 l0 1 0 4 11 7 11 31 11 42 11 / 0 V o 1 0 - 4 11 1 31 11 6 / \ 0 0 1 0 0 1 5 6 ) x = —3, y = 5, z = 6 12 / 23 Závěrečná poznámka Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva. 13 / Závěrečná poznámka Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva. • Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R, {1, i^J^P c, i = j= p 0, jinak 13 / 23 Závěrečná poznámka Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva. • Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R, vynásobení 2. řádku číslem — 2 : (1 0 0 -5 \0 0 /1 3 V-1 -2 4 0 -2 1 2 /1 -6 W 0 1 4^ 4 Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva. • Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R, 1, i = 3 ŕ P c, i — j — p 0, jinak • Přičtení p-tého řádku ke g-tému: matice S, 1? i — j, nebo i = p a j = q 0, jinak Závěrečná poznámka Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva. • Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R, 1, 1 = 3^ P c, i — j — p 0, jinak • Přičtení p-tého řádku ke g-tému: matice S, J 1, i = j, nebo i — p a j — q /J 1 0, jinak fl 0 °\ / i -2 4 \ fl -2 4 přičtení 2. řádku ke 3.: 0 1 0 3 0 -2 ] = 3 0-2 ^0 1 V {-1 1 2 J ^2 10 Závěrečná poznámka Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva. • Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R, 1, í = 3ť^P c, i = j = p 0, jinak • Přičtení p-tého řádku ke g-tému: matice S, 1? i — j, nebo i — p a j — q 0, jinak • Přehození p-tého a g-tého řádku: matice T, í 1, p i — j q, nebo i — p a j — q, nebo i = q a j = p %3 1 0, jinak Závěrečná poznámka Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva. • Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R, Vij = \ c, i=j=p 0, jinak Přičtení p-tého řádku ke g-tému: matice S, Si j — 1, i — j, nebo i — p a j — q 0, jinak Přehození p-tého a g-tého řádku: matice T, tij — 1, p i — j q, nebo i — p a j — q, nebo i — q a j — p 0, jinak (1 0 °\ / přehození 2. a 3. řádku: 0 0 \® 1 / 1 -2 3 0 4\ / 1 -2 4 -2 = -112 2/ ^3 0-2 13 / Závěrečná poznámka Elementárním řádkovým transformacím matice A odpovídá násobení matice A jistou maticí zleva. • Vynásobení p-tého řádku číslem c: matice R, 1, í = 3ť^P c, i = j = p 0, jinak • Přičtení p-tého řádku ke g-tému: matice S, 1? i — j, nebo i — p a j — q 0, jinak • Přehození p-tého a g-tého řádku: matice T, í 1, p i — j q, nebo i — p a j — q, nebo i = q a j = p %3 1 0, jinak Základní pojmy_ Řešení soustav rovnic - Gaussova eliminace Determinanty Determinant čtvercové matice řádu 2 Determinant čtvercové matice řádu 3 Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých Determinant čtvercové matice řádu n Řešení soustav rovnic - Cramerovo pravidlo Regulární matice_ Determinanty Determinant čtvercové matice řádu 2 Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou 15 / 23 Determinant čtvercové matice řádu 2 Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou ax + by = e cx + dy = / Determinant čtvercové matice řádu 2 Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou ax + by = e cx + dy = / y = d Determinant čtvercové matice řádu 2 Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou ax + by = e cx + dy = / f -cx y = ^r b ax + — (/ — cx) = e a (ad — 6c)x = ed — bf Determinant čtvercové matice řádu 2 Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou ax + by = e cx + dy = / f -cx y = ^r b ax + — (/ — cx) = e a (ad — 6c)x = ed — bf předpokládejme, že ad — bc ^ 0 Determinant čtvercové matice řádu 2 Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou ax + by = e cx + dy = / f -cx y = ^r b ax + — (/ — cx) = e a (ad — 6c)x = ed — bf předpokládejme, že ad — bc ^ 0 ed — b f ad — be Determinant čtvercové matice řádu 2 Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou ax + by = e cx + dy = / f -cx y = ^r b ax + — (/ — cx) = e a (ad — 6c)x = ed — bf předpokládejme, že ad — bc ^ 0 ed — b f ad — be 1 (j c(ed — &/) \ 1 adf — ced a f d V ad — bc J dad — bc ad Determinant čtvercové matice řádu 2 Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou ax + by = e . ed-bf af - ce , » je-h aa — 6c 7^ 0 pak x = —-——, v = —-—— cx + dy = f r ad-bc ad-bc 15 / 23 Determinant čtvercové matice řádu 2 Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodo ax + by = e . , ed-bf , » je-li aa — 6c 0 pak x = —-——, v = cx + dy = f J ^ K ad-bc Matice soustavy A = ŕ^ ^ Y vektor pravých stran b = ŕ^ Determinant čtvercové matice řádu 2 Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou ax + by = e . ed-bf af - ce , » je-h aa — 6c 0 pak x = —-——, v = —-—— cx + dy = f r ad-bc ad-bc Matice soustavy A = ^ ^, vektor pravých stran 6 = ^ Determinant matice A: det A = A = det a b c d \ _ a b )- c d = ad — bc Determinant čtvercové matice řádu 2 Motivace: řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých dosazovací metodou ax + by = e . ed-bf af , » je-li da — oč t= 0 pak x = —-——, v = —-cx + dy = f r ad-bc ad a b\ (c Matice soustavy A = ( ^ ^ 1, vektor pravých stran 6 = í Determinant matice A: det A = A = det a 6 c d a b )- c d = ad — be Pokud det A ^ 0, pak jediné řešení dané soustavy rovnic je: x ( b f d a b c d ed — b f ad — bc y (t e c f a f ~ ce a b c d ad — bc Determinant čtvercové matice řádu Príklad: 2x + 3y = 7 x + 2y = 4 Determinant čtvercové matice řádu 2 Príklad: 2x + 3y = 7 x + 2y = 4 2 3 1 2 = 2- 2- 3-1 = 1^0. Determinant čtvercové matice řádu 2 Príklad: 2x + 3y = 7 x + 2y = 4 2 3 1 2 = 2- 2- 3-1 = 1^0. 7 3 14 2 x = = 7-2-3-4 = 2, 2/ = 2 7 1 4 = 2-4-7-1 = 1 Determinant čtvercové matice řádu 3 Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých dosazovací metodou ax + by + cz = k dx + ey + /z = Z gx + hy + jz = m Determinant čtvercové matice řádu 3 Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých dosazovací metodou: ax + by + cz = k dx + ey + /z = Z gx + hy + jz = m 1 z = - (m — gx — hy) 16 / 23 Determinant čtvercové matice řádu 3 Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých dosazovací metodou ax + by + cz dx + ey + /z gx + hy + j z c ax + by -\— (m — gx — hy) j dx + ey + — (m — gx — hy) j k l m k z = - (m — gx — hy) 16 / 23 Determinant čtvercové matice řádu 3 Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých dosazovací metodou: ax + by + cz = k dx + ey + fz = / gx -\-hy + = m z = — (m — gx — hy) c ax -\-by H— (m — gx — hy) = / 21 a22 din &2n &nl ^n2 • • • &n,i—1 &n,i+l a nn % — 1.2..... irt Soustava n rovnic o n neznámých Příklad: Najděte čtvrtou složku řešení soustavy rovnic x\ + 2^2 + 3^3 = 5 2x\ — X2+ X3+ X4 = 4 X\ + 2X2 + ^3 + 2^4 = — 1 x\ + 3^2 + 3x3 — x4 = 5 Soustava n rovnic o n neznámých Příklad: Najděte čtvrtou složku řešení soustavy rovnic 1 2 1 1 2 -1 2 3 3 1 1 3 0 1 2 18 # 0 X\ + 2X2 + 3^3 2X\ — X2+ X3+ X4 X\ + 2^2 + + 2^4 #1 + 3^2 + 3^3 — x4 = 5 = 4 = -1 = 5 Soustava n rovnic o n neznámých Příklad: Najděte čtvrtou složku řešení soustavy rovnic X\ + 2X2 + 3^3 2X\ — X2+ X3 + X4 x\ + 2x2 + x3 + 2^4 X\ + 3^2 + 3^3 — x4 5 4 2 -1 2 3 2 -1 2 3 3 1 1 3 3 1 1 3 0 1 2 5 4 18 ^ 0 -1 1 4 2 1 4 2 -1 4 2 -1 1 2 1 -1 - 2 1 1 -1 + 3 1 2 -1 - 5 1 2 1 3 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 3 = -5 - 3 + 24 - (12 + 3 + 10) - 2(10 - 1 + 12 - (4 - 6 + 5)) + 3(20 + 1 + 12 - (8 - 6 - 5))- -5(12 - 1 + 3 - (2 + 6 - 3)) = 18 Soustava n rovnic o n neznámých Příklad: Najděte čtvrtou složku řešení soustavy rovnic X\ + 2X2 + 3^3 2X\ — X2+ X3 + X4 x\ + 2x2 + x3 + 2x4 X\ + 3^2 + 3^3 — x4 5 4 2 -1 2 3 2 -1 2 3 3 1 1 3 3 1 1 3 0 1 2 5 4 18 ^ 0 -1 1 4 2 1 4 2 -1 4 2 -1 1 2 1 -1 - 2 1 1 -1 + 3 1 2 -1 - 5 1 2 1 3 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 3 = -5 - 3 + 24 - (12 + 3 + 10) - 2(10 - 1 + 12 - (4 - 6 + 5)) + 3(20 + 1 + 12 - (8 -5(12 -1 + 3 6 - 5))-(2 + 6 - 3)) - 18 X4 18 ^T8 = -1 Základní pojmy Řešení soustav rovnic - Gaussova eliminace Determinanty Řešení soustav rovnic - Cramerovo pravidlo 1 Regulární matice 1 Inverzní matice Definice a vlastnosti Regulární matice Inverzní matice Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n: AA-1 = A_1A = E Inverzní matice Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n AA-1 = A_1A = Užití: Ax = b Inverzní matice Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n AA-1 = A_1A = Užití: Ax b násobení maticí A Inverzní matice Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n AA-1 = A~XA = -i Užití: Ax x b | násobení maticí A A_16 Inverzní matice Inverzní matice Ak čtvercové matici A řádu n AA-1 = A_1A = Výpočet: X = A-1 Inverzní matice Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n: AA-1 = A_1A = E Výpočet: X = A 1 násobení maticí A zleva Inverzní matice Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n: AA-1 = A~XA = E -i Výpočet: X = A 1 | násobení maticí A zleva AX = E Inverzní matice Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n: AA-1 = A~XA = E -i Výpočet: X = A-1 AX = E j-tý sloupec matic: f X±3 \ x2j A X3 — l,3 X33 X3 + 1J \ Xnj J 0 0 1 0 Inverzní matice Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n: AA-1 = A_1A = E Výpočet: X = A-1 AX = E j-tý sloupec matic: f X^3 \ x2j A X33 X3 + l,3 \ Xnj J 0 0 1 0 To je soustava n rovnic o n neznámých. Je jednoznačně řešitelná, pokud h (A) = n. 22 / 23 Inverzní matice Inverzní matice A 1 k čtvercové matici A řádu n: Výpočet: AA-1 = A~XA = E -i X = A-1 AX = E j-tý sloupec matic: f X±3 \ X2j A X3 — l,3 X33 X3 + 1J \ Xnj / 0 0 1 o To je soustava n rovnic o n neznámých. Je jednoznačně řešitelná, pokud h(A) Inverzní matici najdeme řešením n soustav n lineárních rovnic o n neznámých. Inverzní matice Příklady: Inverzní matice Příklady: A Inverzní matice Příklady: A -3 1 0,3 0,4 Inverzní matice Příklady: A -3 1 0,3 0,4 A = 0,1 0,3 -0,2 0,4 10 Inverzní matice Příklady: A -3 1 A = 0,1 0,3 -0,2 0,4 10 Obecně platí: ' _1 = 1 f d -b' ad - bc \ —c a Inverzní matice Příklady: Inverzní matice Příklady: / -3 3 4 1 0 0 4 1 -6 0 1 0 \ 6 5 -9 0 0 1 / 3 -3 -4 0 15 -2 \ 0 0 7 / 1 -11 0 0 21 0 \ 0 0 7 -1 4 -14 -3 O -14 -9 -6 0 0 -45 30 -14 -33 15 , -3 -2 0 "\ 0 -3 2 -14 -33 15 J 0 0 -21 -47 7 0 0 -3 0 7 -14 -33 22 2 15 Definice a vlastnosti Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h (A) Definice a vlastnosti Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0. Definice a vlastnosti Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = n Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0. Je-li matice A regulární, pak k ní existuje matice inverzní Definice a vlastnosti Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = n Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0. Je-li matice A regulární, pak k ní existuje matice inverzní Vlastnosti násobení regulárních matic: Definice a vlastnosti Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = n Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0. Je-li matice A regulární, pak k ní existuje matice inverzní Vlastnosti násobení regulárních matic: (AB)C = A(BC) asociativita Definice a vlastnosti Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = n Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0. Je-li matice A regulární, pak k ní existuje matice inverzní Vlastnosti násobení regulárních matic: (AB)C = A(BC) asociativita AE = EA = A existuje neutrální prvek Definice a vlastnosti Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = n. Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0. Je-li matice A regulární, pak k ní existuje matice inverzní. Vlastnosti násobení regulárních matic: (AB)C = A(BC) asociativita AE = EA = A existuje neutrální prvek AA_1 = E ke každé regulární matici existuje inverzní prvek Definice a vlastnosti Čtvercová matice A řádu n je regulární, pokud h(A) = n. Ekvivalentně: pokud |A| ^ 0. Je-li matice A regulární, pak k ní existuje matice inverzní. Vlastnosti násobení regulárních matic: (AB)C = A(BC) asociativita AE = EA = A existuje neutrální prvek AA_1 = E ke každé regulární matici existuje inverzní prvek Regulární matice spolu s operací násobení tvoří grupu.