Cvičení 9-Integrál, parciální zlomky a speciální substituční metody
9. listopadu 2021
1   Definice a užitečné vztahy
Definice a základní pravidla
Funkce F se nazývá primitivní funkce k funkci /, jestliže platí F'(x) definovaný tak, že funkci / přiřadí její funkci primitivní.
(x), integrál je
(x)dx = F(x)
Pozor tato primitivní funkce není určtena jednoznačně, protože F(x) + C je také primitivní funkce k funkci f(x), protože (F(x) + C)' = F'(x) = f(x) Základní vzorce a metody
f(x) ± g(x)dx = / f(x)dx ± / g(x)dx,     / k ■ f(x)dx = k ■ f(x)dx
Metoda per partes: J f{x)g'{x)dx = f{x)g{x) — j f'{x)g{x)
g{x) = u
Substituční metoda: J f(g(x)) ■ g'(x)dx
g' (x)dx = du
Sf{u)du
2   Tabulkové integrály
Zde si budeme psát základní integrály na které přijdeme buď z definice, z vlastností derivací nebo výpočtem z výše uvedených příkladů. Jedná se tedy o celkový seznam a ne všechny integrály jsou "tabulkové".
/ xadx =        + C    pro a ^ 1
/ ^dx = ln \x\ + C
J sin xdx = — cos x + C
1
J cos xdx = sin x + C f . \ dx = — cot x + C f —K— dx = tan x + C
■J   cosz x
ľ -J-dx = hl + C
J  smx V l+cosx
f -J-dx = ln /i±síiľ£ + C
J  cos x Y 1-sini '
J tan xdx = — ln cos x + C
J cot xdx = ln sin .r + C
f ,} „dx = arcsinx + C = — arccosx + C
J  VI— a;
/       dx = arctanx + C
J —L=dx = sinli-1 x + C = ln(x + Vi + x2) + C
j ^d^ = tanh-i^ + c=iM±±|]+ c
j -jj^=dx = cosh-1 x + C = ln(x + Va;2 - 1) + C j exdx = ex + C faxdx = ^- + C
J ln a
J ln xdx = x ln .r — x + C J sinh xdx = cosh x + C J cosh xdx = sinh x + C f . ?;2 dx = - coth x + C
J  smn x
f —rr~ dx = tanh x + C
J  cosh x
3   Složitější příklady: náročnější substituce nebo kombinace substituce a per partes
Integrály z minulého cvičení budou složit jako motivační příklady.
1.
/    / dx
2.
/ —-^Idx
J (x2+a2)2
2
4.
6.
7.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
\J x(l — x)dx
dx
y/(x- a)(b - x)
cosx — =dx
V 1 + sin2 x
x + 3
\lx2 - 4 \l 1 — x2dx
y/l + x^dx e^dx
x arcsina^cLc
x2 + yjx + 1
-7=—x
x + \ x
xdx
Vl+x4
XA
(1
r2\2
dx
XA
„ da; 9 - x2
3
Chci abyste si odnesli následující poučení
Goniometrické a hyperbolické substituce
• Obsahuje-li integrál výraz \/a2 — x2, hodí se substituce x = a siní
• Obsahuje-li integrál výraz \/ x2 — a2, hodí se substituce x =
• Obsahuje-li integrál výraz \/a2 + x2, hodí se substituce x = a taní
Občas se tyto substituce dají použít i bez přítomnosti odmocnin, viz příklad 13. Častěji budou ale užitečnější hyperbolické substituce.
• Obsahuje-li integrál výraz V'a2 + x2, hodí se substituce x = asinhí
• Obsahuje-li integrál výraz \/x2 — a2, hodí se substituce x = acoshí
4
4   Integrál z racionálních lomených funkcí
Rozklad na parciálni zlomky
Doteď jsme byli schopni přijít na následující integrály.
J P(x) dx ,    kde P (x) je libovolný polynom
—-— = - ln\ax + b\ + C
ax + b a
1
(ax + b)1 1
ax2 + bx + c 1
ax2 + bx + c
dx dx dx
1
1
a(n - 1) (ax + b)71'1
C
2 arctan
D
1 ln(l - ^sgdi
D\n(l
2ax±b
D   ,    kde   D = y/Aac - b2,    pro   b2 - ac < 0 , ,    kde   D = \/b2 - Aac,    pro   b2 - Aac > 0
2ax—o \ ' v ' 1
D
Vlastně známe ještě obecnější viz. sbírka docenta Hasila. Můžeme, ale vytvořit metodu ke spočítam obecného integrálu podílu dvou polynomu. J -^j^ dx. Obecný postup
1. Rozložíme polynom Q(x) do jeho kořenů, tedy Q(x) = (x — xo)n°(x — xi)ni ■ ■ ■, ale jsou li kořeny komplexní napíšeme raději (x2 + bx + c)n, kde n, no,... určují násobnosti kořenů.
2. Kořeny dle násobnosti rozložíme.
1 A1
Ao
Ar
(x — a)n     x — a     (x — a)2 1 BlX + Ci        B2x + C2
(x — a)r
(x2 + bx + c)n     x2 + bx + c     (x2 + bx + c)2 3. Určíme neznáme koeficienty porovnáním výrazů.
B>nx + Cn (x2 + bx + c)r
dx
2x2 — bx + 7 x — 1
■ dx
3.
x2 — x — 1
X
(x - l)(x + l)2
1
dx
x2 — 1 5
da;
1
c3 — 2a;2
■ da;
x6 + 1 c (x — 1)'
■ da;
a;3 + x
(x2 - l)(x2 - 2)
da;
x2 + 3x + 2 x2 + x + 2
da;
a;3 + 1
a;3 — 5a;2 + 6x 5a;3 + 2
x
3 — 5a;2 + 4j
da;
da;
c8 - 1
da;
(a;2 - 4a; + 5) (x - 2)-
da;
(a;2 + 2a; + 2)(a;2 + 2a;-3)
a;3 + 2a;2 + x - 1 x2 — x — 1
da;
40
a;2 + x — 2
da;
6
5   Integrály s odmocninou
Speciální substituce
Integrály kde se vyskytují odmocniny z ^Jx různých řádů, r^fx1 r^/x, ■ ■ ■ , rjf/x řešíme substitucí tn = x, kde n je nejmenší společný násobek čísel r±,..., r^.
Integrály kde se vyskytuje \/ax + b, řešíme substitucí tr
ax
Integrály kde se vyskytují odmocniny v této podobě {/       , kde ad — bc 7^ 0, řešíme
substitucí tr
ax-\-b
cx+d
Eulerova substituce viz. skripta.
tímto integrál převedeme na racionální lomenou funkci.
1 +
: dx
3.
4.
IX
1 + Vx 1
: dx
dx
1 +
x + vr
dx
6.
7.
8.
9.
10.
V x + 1 + 1
y/x+T-1
dx
yär+T — \/x — 1
\/x + 1 + yjx - 1
da;
1 - V^TT 1 + ^F+T
dx
1   /x + 1
a; V x — 1
■ da;
3'^d, x — 1
1 +
da;
7
6   Binomický integrál
Speciální substituce
Binomický integrál je integrál typu
>(. + toTd*. ™.~.P€
1. Jestliže p £ Z, volíme substituci x = ts, kde s je společný jmenovatel man;
2. jestliže        S Z, volíme substituci (a + bx)n = ts, kde s je jmenovatel p;
3. jestliže        + p S Z, volíme substituci aa;-™ + 6 = ts, kde s je jmenovatel p.
\/x (7 + 5a;4)2 da;
2.
(2 + 5a;)3
da;
■ da;
4.
a;Vl +a;2
da;
da;
8
7   Goniometrické integrály
Speciální substituce
Integrály typu J R(s'mx, cos a;) dx řešíme pomocí substituce
1. jestliže R(sinx, — cos a;) = — R(sinx, cosa;) , volíme substituci t = sina;;
2. jestliže R(— sina;, cosa;) = —i?(sina;, cosa;), volíme substituci t = cosa;;
3. jestliže R(— sina;, — cosa;) = R(smx, cosa;), volíme substituci t = tana;;
4. jestliže nenastane ani jedna z předchozích možností, použijeme k řešení tzv.univerzální substituci:
x 2
t = tan--> x = 2 arctan t      da; = -^ dí
2 1 +t2
2t
srna;
1 +t2
cosa;
l-ťz
1.
sin™ x cos™ x dx,    pouze si rozmyslete jakou substituci použijete
■ da;
4.
5.
7.
8.
sin x
1+4 cos2 x + 3 sin2 .
cot3 x + cot4 x dx
■ dx
1
2 — cos x 1
■ da;
Vt,
dx
ani
srna;
sin x — cos a;
da;
cos x cos 2a; cos 3a; da;
cos 2a; 1 + cos x
dx
10.
11.
12.
sin x cos x
dx
sin x + cos x
sin a; cos x
9 • 2
cosz a; — sni a;
da;
1 + sin(2a;~
8   Určitý integrál a základní aplikace
■ da;
Definice			
Pro integrovatelnou funkci	f(x) je určitý integrál		
	b J f(x)dx = [F(x)]ha-a	= F(b)	-F(a)
Nevlastní integrál	oo p	b p	
	l fix) dx = lim J b—¥oc a	J f (x) a	dx
Na několika základních příkladech si ukážeme jak fungují nové aspekty oproti neurčitému integrálu. 1.
i o J x dx + J xdx 0 -1
lna; da;
J
1
3.
x(x2 - l)ádx
4. Dokažte substitucí, že J xdx = 0
9   Složité nebo zajímavé příklady
10