Cvičení 1-2 opakování středoškolské matematiky M1100F Podzim 2021 1 Informace o předmětu a cvičení • Účast na cvičení není povinná, prezenčka je pouze orientační. • V ISu a souborech MS teams budete mít k dispozici příklady dělané na cvičení (některé s řešením, některé bez), jiné sbírky příkladů a záznamy cvičení z minulého roku. • Během semestru se bude psát pět písemek, každá za dva body. Tyto písemky budou na následující témata (elementární funkce, limity, derivace, integrály, diferenciální rovnice). • K udělení zápočtu a přístupu ke zkoušce potřebujete celkově alespoň 5 bodů. • Ke zkoušce si berete 5 až 10 bodů, podle úspěšnosti v písemkách. Bližší vysvětlení najdete na doc. Hasil stránky • Pokud budete mít jakékoliv dotazy, nebo budete chtít konzultaci neváhajte se na mě obrátit. 2 Elementární funkce a jejich vlastnosti 2.1 Polynomy a mnohočleny Vzorce (a ± b)2 = a2± 2ab + b2 a2 -b2 = (a + b)(a-b) (a + b)n = ^ í ^ ) an~kbk, binomická věta fc=0 ^ ' 1. Úprava na čtverec. Jedná se o úpravu kvadratického polynomu ax2 + bx + c do tvaru A(x — xq)2 + B, se kterým se dá lépe pracovat. • Mějme výraz y = 2x2 — 12x — 14, proveďte: úpravu na čtverec, nalezněte minimum/maximum, náčrt grafu, vyřešení kvadratické rovnice y=0. • Najděte obecný vzorec pro úpravu na čtverec pro ax2 + bx + c • Upravte na čtverec následující výrazy: x2 + Ax + 7, —x2 + 3a; + 1, x2 — Ax + 4 2. Nerovnice • Vyřešte pro která x platí: x2 + 4x + 7 > 3 -x2 + 3x + 1 < 1 • Vyřešte (5x-3)(x + A) 0 2.2 Mocniny a absolutní hodnoty Vzorce 0i — r 1 1/r r/— a = 1, a = —, a ' = va ar aras = ar+s, (ar)s = ars 1. Rovnice s odmocninou Vyřešte následující rovnice Vx + 2 - 2Vx + 7 = -4, \Ac + 3 + -v/z + 1 = 1, Va;-l = 5-Va; + 4 Nezapomeňte provést zkoušku, u rovnic s odmocninou můžete dostat " falešné" řešení. 2. Rovnice s absolutní hodnotou |8 — 5x\ = 5x — 8, \x + 1| — |x — 3| = 2 3. Načrtněte grafy funkcí y = 3\/x — 1 + 2, y = 2\x — 3| + 1, y = + 3 a y = 2.3 Logaritmy a exponenciála 2 Vzorce !°ga x = y ^ log ah = b log a, log(afr) = log a + log b log - = log a - log b, \oga b ■■ b logg log b , \nx = loge x, e = 2.718. Prvně pořádně pochopme definici: loga x = y H i = a4', slovně to znamená, že loga x je takové číslo (označme ho y pro které platí x = av. Tedy se ptáme na co musím umocnit základ a abych dostal x. 1. Vypočítejte tyto základní hodnoty abyste pochopili definici. log24, log3^, log4l, log2VŠ, logi2 S použitím výsledků minulého cvičení a definice logaritmu zjistěte co je definiční obor a obor hodnot funkce y = loga x a načrtněte její graf. Jak se grafy mění pro různé hodnoty základu a? Najděte pro jaké x platí y = 0. 2. Použijte definici a odvoďte následující vztahy (v závorce je nápověda, kterou byste měli použít) log ah = b log a ([za)h = zah^j (1) log(afc) = log a + log b (zazh = za+b^j (2) log ^ = loga-logö lt- = za-b) (3) 1 U l0§a ÍA\ 7loga x x, loga ax = x (5) Kdekoliv kde není u logaritmu psán základ znamená, že příslušný vzorec platí pro libovolný základ. 3. Vyřešte rovnice 23x~1 ■ 4 = 8X+1 ■ (\)x a logi (2 - x) = -2 4. Vyřešte rovnice 4X + 6X = 2 ■ 9X a log2(a; + 7) — log2 x = 3 5. Vyřešte rovnice xloS7x2 = 49a;3 a loga;3 + 2 10 log X2 2.4 Goniometrické funkce 3 Vzorce tana; srna; 1 cos x cot x sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x sin2 a; + cos2 x = 1 2 • 2 cos x — sin a; 1. Grafy Vzpomeňte si co je perioda a frekvence a určete jak se změní když uděláme y = sin x —> y = sin 3a; nebo y = sin x —> y = sin x + ^ Nakreslete grafy funkcí . y = 3sin(2a;- f) + f, y = \ cos (f + f) + 1 • y = tan (2a; + §) + 1 2. Odečítání hodnot Pomocí jednotkové kružnice určete hodnoty následujících výrazů nebo vyřešte rovnice. 7T / 7T\ 7T sin—, cos--, tan—, sin a; = — 1, tana; = ±1 6' V 4/' 2' 3. Základní vzorce • Prvně si z definice dokažte vzorec sin2 a; + cos2 x = 1. Dále zjednodušte následující výrazy 1 cot a; / 1 sin(a;) 1 + cos(a;) tana; —sin a; 1+tana; 1+cota;' V l+tan2a;' 1 + cos(a;) sin(x) ' sin3 a; • S použitím vzorce cos 2a; = cos2 a; —sin2 x vyjádřete sin2 x a cos2 x pomocí pouze cos(2a;). Stejně také najděte vzorce pro sin | a cos | pomocí cos a;. • Vyřešte rovnice cos4 x — sin4 x = cos 2a; sin 2a; a 3 cos x + 3 = 4 cos3 x + 4 cos2 x 4. Součtové vzorce Další užitečné vzorce jsou sin (x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y, cos (x ± y) = cos x cos y q= sin x sin y Dokažte následující vzorce tana; + tan y tana; — tan y tan(x + y) = ------, tan (x - y) = ——--- 1— tan x tan y l+tana;tany sin(a; + y) + cos(a;-y) = (sina; + cos a;)(siny + cosy) x ± y sin x ± sin y = 2 sin-cos- y 2 2 x + y x — y x + y x — y cos x + cos y = 2 cos-cos-, cos x — cos y = —2 sin-sin- y 2 2 2 2 sin a; — sin y a; — y — tan- cos a; + cos y 4 Pohybující se rovinnou vlnu můžeme poslat jako funkci polohy x a času t. W = A cos(kx - iut + (f>) Jakou roli hrají parametry A, k, u, ), Tyto dvě vlny spolu mohou interferovat, matematicky se jedná o novou vlnu, která vznikne sečtením W = W\ + W při kterých je W maximální (konstruktivní interference) a naopak minimální (destruktivní interference). Vlny se také dají popisovat pomocí komplexních funkcí jako W _ ^gi(fcx-wí) Najděte reálnou část výše uvedeného výrazu a porovnejte s reálnou cosinovou vlnou. 2.5 Cyklometrické funkce Definice arcsina; = sin-1 x, arccosa; = cos-1 x arctana; = tan-1 x, arccota; = cot-1 x Prvně najděme definiční obory a obory hodnot těchto funkcí a pak načtrněme jejich grafy. Dále můžeme dokázat obdobu součtových vzorců x + y arctana; + arctany = arctan- 1 — xy Co se později ukáže být velmi užitečné je přijít na to jak vypočítat kombinace goniometrických a cyklometrických funkcí. Spočtěte tyto výrazy sin (arccos x) , sin (arctan x) , tan (arccosa;) ... dalsi kombinace Dokažte, že arccos a; = f — arcsina;, který vzorec pro normální goniometrické funkce by vám s tímto příkladem pomohl? 2.6 Hyperbolické funkce 5 Definice sinha; ,cosh x Tyto funkce byli definovány tak aby platilo cosh2 x — sinh2 x = 1 ověřte si, že toto opravdu platí. Upravte výraz e^x~_] s použitím hyperbolických funkcí. 3 Definiční obory a parita funkcí Najděte definiční obory těchto funkcí r-— 1 2 x + 4 y=Vsmx, y=—~--, y = lnx - 3x + 2, y=\-- xz — 1 y x — 2 sin x + cos x arccos ^-e— x - 1 y = ln —-, y =--—-—, y = arctan srna; — cos a; 1 — m x y x — 1 Parita funkce je jiné označení pro sudost/lichost funkce. Funkce je sudá platí-li f(—x) = f(x), (př. y = x2), funkce je lichá platí-li f(—x) = —fix) (př. y = a;3) nebo neplatí-li ani jeden z těchto vztahů řekneme, že funkce není ani sudá ani lichá (př. y = x2 + a;3). Určování parity rozdělíme na dvě části. Prvně se podíváme na základní funkce, kde parita vyplývá pouze z definice/grafu. 2n J2n+\ | | sin a;, cos a;, tana; lnai, ex arcsina;, arccos a;, arctan a; Za druhé se podíváme jak se parita řeší při kombinací funkcí (a to konkrétně, sčítání a odčítání, násobení, mocnění a kompozice funkcí). Určete paritu následujících funkcí. arccosa; / \x\ \ , arcsinx / la;3! x tan3ai \ 23x — 2_3x / ' tanai cos a; sin a; cos (sin a;) arcsin \/ 4a;3 + bx fix) = -, fix) = --.-■ \x sin2 x 6 4 Komplexní čísla Vzorce i2 = -l • Algebraický tvar: z = a + bi, kde IZe(z) = a a Xm{z) = b jsou reálná a imaginární část. • Polární tvar: z = r(cos

) = ré1^, díky Eulerově vzorci: elx = cos x + i smx • Velikost: \z\ = r = Vra2 + b2 = V'z ■ z* • Argument: cos = = ^ nebo sin = = • Umocňování zn = rn(cos(ncf)) + i s'm(n(f>)) 1. Ukažte, že platí z + z* z — z* Ke{z) = 2 , lm(z) = —^7- 2. Nalezněte tvar čísla z\ ■ Z2, znáte-li tvary komplexních čísel z\ a z