Cvičení 10-Určitý a nevlastní integrál a jeho využití, úvod do
diferenciálních rovnic
7. prosince 2020
1   Určitý integrál a základní aplikace
Definice
Pro integrovatelnou funkci f(x) je určitý integrál
f{x) áx = [F(x)]ba = F(b) - F (a)
Nevlastní integrál
(x) dx = lim  / fix) dx
6—>oo
Další pravidla, která jsme probírali na konci 9. cvičení • Linearita
6 6 6
Cf{x) + Dg{x) dx = C í f(x) dx + D    g{x) dx
Spojení/rozdělení mezí
d d
{x) dx + / f{x)dx= I f{x)dx
Substituce: musíte transformovat i meze. Per Partes
6 6 uv dx = u(b)v(b) — u(a)v(a) — / uvdx
1
2    Základní integrace
i.
5.
8.
10.
2tt
sin x dx 0
7T 4
cos2 x dx
0
6
\/ x — 2 dx 2
1
1 +x
dx
1 — x
1
Ix'{l-X)\x
l+x2 o
x2 (ex + e x) dx
1
x [ e~ + e
1
tan a; da;
oo
arctan x dx
1
oo
dx
l+x2 0
2
11.
1
12.
13.
i
J In x dx
O
3 Aplikace
3.1 Spočtěte obsah mezi grafem funkce a osou x na zadaném intervalu
1. f(x) = sinaa;,    xq = 0,    x\ = tt,    pro a S i?. Co se stane když horní mez změníme na ^?
2. f(x) = x(x - l){x - 2),    xq = 0,    xi =2
3.2 Spočtěte obsah ohraničený grafy následujících funkcí, nebo křivek
1. h{x) = 2 + x,    f2(x) = x2 - 6x + 8
2. f1(x) = 2-x2, f2(x):y3=x2
3. Odvoďte vzorec pro obsah elipsy.
4. Astroida
Je křivka kterou dostaneme valením kružnice o poloměru r v kružnici o poloměru Ar. Parametricky je zadaná takto
x(t) = 3 cos í + cos(3í) y(t) = 3sin(í) — sin(3í)
Ze znalosti parametrického předpisu této křivky napište vzorce pro délku této křivky a obsah útvaru touto křivkou vymezeného. K výpočtu hodnot můžete použít program.
3
Obrázek 1: Astroida
4
3 Délka grafu funkce
1. Dokažte, že vzorec pro délku nezávisí na parametrizaci
2. Příklady ze sbírky (441-444).
4 Rotační tělesa
1. Máme graf funkce f{x) = j^ži, spočtěte objem tělesa které vznikne rotací této křivky okolo osy x i osy y. Také spočtěte obsah mezi plochy mezi osou x a grafem této funkce.
2. Máme graf funkce f{x) = \A + x2, spočtěte objem tělesa které vznikne rotací okolo os x,y s tím, že výška tohoto tělesa je omezena přímkou y = h. Dále spočtěte obsah pláště tohoto rotačního tělesa. Dokážete tuto křivku nějak parametrizovat a spočítat tyto veličiny pomocí této parametrizace? Je to jednodušší způsob? Také spočtěte obsah mezi přímkou y = h a grafem této funkce, samozřejmě předpokládáme, že h > 1. Viz následující obrázek.
Obrázek 2: Graf s omezenou vyskou
Základní diferenciální rovnice
II
y = y
y = -y
y =xy
6
					
					
		T _			
1.1		_ ... i     r      ^      /           . \			
					
	O O				
					
				tz	
					
					
					
					
	7T				
	-v	2-G, ^ar5a-t   lato     Vc,r. . Jv. .-n			
					
					
13					
	r                                                                                       v/      11				
	0 \)   ~~7 \				
					
	-z.				
	H n \—í i		"-2.    *Y #		
					
	o		r J		
	O				
	řfik   raw tes     U    Ükciifeho lh-tao|^0:				
					
					
	-1 V^-£*				—
					1	
						
						
	A4                          A        A ^					
						
						
						
						
						
						
						
			)A/., i      /± S tl(W> ,			
						
						
						
		OveP/t   £iA>s£ / tue \ x->-y				
						
						
						
		- C\ O				
						
						
				~c\ o		
						
						
						
	\					
						
						
i
i
lahxck* - O . -Lau v KcK
		■-     i *				
	-4-j					
- 2
Zajíma vo itoiig
—^
IVn
A3- cy9
A
4
1
lv>x
2^
			
			
		/ 'i   y      'H ihx	
			
			
	tedcA    ik* =   iwi —--		
			
			
			
			
	he?     lf\X O		
			
			
			
			
			
	. 1		
			
			
			
			<"oi/\ec vip
	—0 /í		
	ř j,		r
			
	Ti-		
			
			
		3  l/nu 9 e.   sp  f^oka?^ ia?co -uup'lm •	
			
am	\A j-   r^l   i í 1) ->		
			
	=1		
		i	
			
	—InV		
	/		
			
	Moŕ.ha t\e  k lei d Via       '-2 n? ÍArtbe "o		
			
	ŕHJC'ŕ     PHVHiiil/hl' fUhC/.e   x" hew' «^oa|'-íií		
			
	»                             1       u J		
			
			
	---^-- -1           °   7 a k		
			
			
			
			im Mr =21-1
			
			
			
	D /I		
	/ r m •ttoeWiUSiAc.   N/adí, ŕSafc   S-ttXcx r3ü-i:L"xl-		
	1 O		
			
			
			
3,
37t
TT
4
_   4—Cos
-COS
J^de- i   hot-Hi ih^ž X^-
v-IT   I    ,-^2r
ty*)-***
n
^ako
•^x= x1- fa +3   ->> x = 1| r>
3.2.-2			
	l /J v		
	P 1*) ■ u* JZ		
			\
	3-		)
	Pko^.ci K:            X -\	X -	
	1		
			
			
	-1 f	i	
	Südost   - 9 V U-xV		
	O		
			
	~ 15		
			
			
	0   ŕ           ZA              ^ 1	r       - -1	
			
	-1	-i	
	A -x		
			
	^—            3      \ ^		
	s	J	
			
			
			
			—■—^
	a1    g ~~ i x--		-± oT^\-
		Coy     S^HxVicX 502.	
			
			
			A— c_ Cn X 1 ^
	D		
			
			
			
	111		
			
			
			
	p^j      1        "1     Tr °		
	ab» i-t + ís.hZ-tV - iUTťiU /		
	o		
			
			
	- — ^fc-		
			
	/ l y j  \ )		
			
			
			
			
			
			
	jl		
		—________7	
	o		
	khxlke odvode, h/ v^ö^ce - /				
	ä, j				
			<rŕ »vkc\	km/ŕ	
					
		\(xaokovc\ VpÍqk:			
				\	
					
					
	ku v* einzog t x^xl-t),				
					
					
	-^ ^(-Üd-b-				
		—=^—i    i-j— —-p —£-1			
					
					
	JT			rr	
	"2 /    ]i 0 i—■-i			.     Ä   j--1-	
	L-- 4 J yh'ii^aíaŕät^				
				O	
	0			1     ~~ —i	
					
	7r °				
					
					
				cos-i t- CoS i"t J ( 3 C031	
					
	11				
		0		ir	
	i
	
	
	
	
	(Á4r^ ch-   7- 'ŕ-ock
	caI^ ^ (ť) c\                   \v     , i
	v                ClV    Ca ľ _5e 4ak>/ ^Kehl'   "O    Aŕt)-^/-—   j     » . ■
	
	
	
	
	1------1
	
	—, 1 '      *     v                 \|   \p I tJ / ~ L-1 ILM       «f w 1--                                                        /) V
	^   # c \     -Vu) j* + í tto) -r ft) 1 -y^
	
	
	r    ^ o
	
	í              )   ŕk^Wž'^,   číří kcA fX ň infill .Sß.
	-»-#-1—*—— " —1——i-\y Vj—i—1—' \j- -                         *'\—■——^-
	
	
	
	
	
	
SM
TS
9 h> í(ác e   okolo 05^   x r
00
00
-o -0] (m'j
o
4 TT
			
	-j   r        -j — ^		
			
	íl		
			
			
	^ l- r. v\		
	V*       J, r *-■' (/* J ^             ^ i		
			
			
			
			
	'i) okolo       T '. ^^v^/^v		
	■		
	■vy fi		
			
			
			
	=        Y 4. vi <Ä> -2-17   y — CA"t-clVi>f )		
	° n		
			
			
			
	-1-i ^jfi M* =		
	O		
	- aO		
			
			
CK
(X
- 2
o
"žVol ŕwhg_    y^sfoh £
b - ^-viiVibť- c oslo i.
^le.  Pflft  ^  Wo   fc£*Jn7 Up/slqk tog^K.
CK
TT J ffyfl MX = Tľ j 4-»*'<fe
_o_—i_o_„_
Q\ os
-"----
í*
- 2-11
~- 3
O
	N. /	(N		
	^               —i		V._s	\\
				H—
		/	^—\	)
				j
w-1 -
				
				
				
				
	z   . . » O			
				
				
				
				
	/			
1-1				
	'   V /			
	•			
		ta'i'i    P j		
	\			
				
	C/    r\ 1			P j.
	*Ú ~ CK J			
	D/i i)			j
				
				
	U   c\ y+k			
				
1.?	z			
-1-^-				
				
	cm ...			
				
	i /p	
		
		
		
		
		
	r J* -	
		l/l                         ..
		
		
		
		
	, 1	
		
		
		
		
		
		
	CA- -	
		
		
		
		
	-1 /	
		
		
		
*1-M		
		
	-i/iífcečW tuk : Aosiuŕhn' \hlŕ#y*ce.	
	-^3-*- -—1--■-~" ^-	
	f 1	
		
		
		
		
		
	(fl P H l/CA C \     faß r P tliO	
	/ ^	
		
		
		
	^ h        - O	
		
		-v
		
	^   ^      Z- J	
	//      / J-	
	t .  '       ' / — h    - 4-^	
		
	=*> Vwu     toe-. 5(h*teq^oVc(-L	
		
		
	*^                                    1   "P/i VJhL  ")     -IC» Ä	
		
	V^J - b - C       ^sidH^ )	
	
	
	/Ju \—■—7
	
	<\x -
	
	1                                                                       /V                         /-v 1
r	
V	-J jV^f'-
	
	"           v)-T"
	
	J , 1 *
	1   \í/i u?
	»CT
	
	
	\ -x
	Ca A   + ^2. &
	
	
	
	
	
	
	
	
	
2-2
2.M
T
7.
jT 1
2-/ X +•
0
1
8
O
\
-i
1} 5uWíii^e t €.=
it*.
-> X-
1
HA
1-Jk
(ť+1)
4t
F
o
2^ ^iwck ^s-íiluce
o
0 i J
V \ Ü ölx °ot30 s^2u du =
-r ^ ^ v,
IT
2.
D
D
/
2-5
3) tfUlí svil^iíoce i^o^e
f
1
cAx
11 Tľ
2.12.
0 1 ^°
1
1 1
o
3.1.2.
f (a) - x fx~i) 6^2]
o.
(Vo >ô-0
- x -v y
o