Cvičení 4-limity funkcí
M1100F Podzim 2021
Zkuste spočítat z každého řádku jeden příklad. Pozor u třetího příkladu prvního řádku máte spočítat obě možností je a; —> oo ■& x —> — oo, každou zvlášť.
(2a;-3)(3a; + 5)(4a;-6) 2^+3 2X + x4 + 1 VTTx - Vl + x2
lim -0-,     lim 2 *  ?      lim---?    lim--—^-
x-í-oo 3a;d + x — 1 x-í-oo x->±oo 3 ■ 2X + xz — 1     x-í-o      ^/l -+- x — 1
(1)
a;2-4                 a;2+2a; + l           VaTTě - 3VaT^2           /   1            1 \ lim —^-,     lim -5-,    lim-~-,    lim--1--~- (2)
x^2a;2-3a; + 2     x^-i    x3 + l        x^3 x2 - 9 x^2 V x - 2    a;2 - 4 / w
(a; + h)s - xs           x2-(a+l)x + a           ^fx - y/ä + yjx - a lim---,    lim-0-0-,    lim- - (3)
ft-í-0 n x-í-a xó — aó x-í-a ^2 _ a2
y/x + 1-1 \/x-l y/1 + X - y/1 - X y/x - 8
lim —r==-,    lim-,    lim-, lim ——- (4)
z->0 yx + 1 - 1 x - 1 x^O x x^64 ^/x - 4
Dále budeme využívat těchto vzorců:
srna; / a lim- = 1,     lim   1 H--
x-í-0    X x-í-oo \ X
?
x = elnx
Jak byste se přesvědčili o správnosti těchto vzorců? Další příklady:
tana;           1 —cos 2a;           sin kx           2x — 3 sin a;
lim-,    lim-:-,    lim-,    lim —:-,     lim -, (5)
x-í-0   x        x-í-0   a; sin a;        x-í-0    x        x-í-0 sin a; x-í-oo x
tana; — sin a; 1 — cos(2a;) + tan2 x ex — e~x 1 — cos a;
lim-o-,    lim-,    lim-,    lim-~- (6)
x-í-0      sin a; x-í-0 a; sin a; x-í-0   sin 2a;       x-í-0 xz
sin a; —sin a              sin(4a;)                  cos a;            1 — sin f             x2 — 1 lim-,    lim —j==-,     lim -—,    lim -—,    lim- (7)
x-í-a     x — a x-í-0 y/\ -\- x — 1     z-^-f x + 2     x_í>7r   ^ — x       x-í-0 cos a; — 1
/sin2a;\1+x / a; + 1 \x' (\ + x\^ (x-\\x
lim - ,     lim ,     lim —— ,     lim - (8
x-í-0 \   x   ) x-í-oo y 2a; + 1 / x-í-oo y 2 + x) x-í-oo y x + 1/
ln(l + ax) lna; —lna x/- ex — 1
lim-,    lim-,    lim v cos x + x + 2,    lim-,     lim x \ai(x + 1) — lna;
x-í-0 X x-í-a      x — a x-í-0 x-í-0      X x-í-oo
(9)
Těžší příklady
Spočtěte limity posloupností:
en      ,      nn 1 lim —-,     lim —■--
n—>oo Ti\ n—>oo Ti\ Cn
Nápověda: použijte Stirlingův vzorec. Spočtěte limity funkcí
lim (y/x2 + a\x + b\ — \Jx2 + a>2x + 62) >     lůn [sin (v^žT+T) — sin (\/x)} ,     lim —
x—>oo V / x—>oo x—>oo    / /-/=
y x +     + ■
(    m            n    \            \fx — yfa           arcsin x ( x + 1 7r
lim I---,    lim-,    lim-,     lim x I arctan
x-í-l V 1 — Xm       1 — Xn 1        x-í-a     X — a x-í-0       X x-í-oo     \ x + 2 4
1 Výsledky
(1.1)=8, (1.2)=4, (1.3)=| pro plus nekonečno a oo pro mínus nekonečno, (1.4)=1
(2.1)=4, (2.2)=0, (2.3)=—| (2.4) neexistuje, protože pro x —> 2~ vyjde —oo a pro x —> 2+ vyjde +oo.
(3.1)=3^2, (3.2)=x2-%t%x+a, (3-3)=^ (4.1)=f, (4.2)=i, (4.3)=1, (4.4)=3 (5.1)=1, (5.2)=2, (5.3)=k, (5.4)=-oo, (5.5)=0 (6.1)=i, (6.2)=3, (6.3)=1, (6.4)=i (7.1)=cosa, (7.2)=8, (7.3)=1, (7.4)=0, (7.5)=oo
(8.1)=2, (8.2)=0, (8.3)=1 (pozor pro ti co si to fotilo toto jsem měl spatně jako nulu, ale je to jedna), (8.1)=e-2
(9.1)=a, (9.2)=^, (9.3) neexistuje limita z pravá se rovná oo a limita zleva 0, (9.4)=1, (9.5)=1 Těžší příklady vyjdou: 0,0, 0, 1, ^, 1, -\
2