Cvičení 6
M1100F 20. října 2021
1   Vyřešte průběh funkce ln
1—sin x 1+sinx
1. Určete definiční obor funkce.
2. Je funkce spojitá? Pokud ne, najděte body nespojitosti a určete jejich typ. Body nespoj itosti zkuste hledat tam kde funkce není definovaná.
3. Určete paritu funkce (sudost/lichost), tím že upravíte výraz f(—x). Je funkce periodická? Pokud se ve funkce neobjevují periodické funkce sinx, cos x tak pravděpodobně nebude periodická, pokud se tyto funkce vyskytují, využijte jejich periodicity.
4. Najděte body x pro které platí, fix) = 0. Poté co najdete tyto nulové body rozdělte definiční obor a určete kde je funkce kladná a kde záporná.
5. Najděte body x pro které platí fix) = 0, najděte definiční obor derivace funkce f'(x).
6. Rozdělte definiční obor f'(x) a najděte intervaly kde platí f'(x) > 0 (tedy funkce je rostoucí) a intervaly kde fix) < 0 (tedy funkce je klesající). Poté určete extrémy funkce (x0, f(xo)). Jedná se o lokální nebo globální extrémy? (Toto můžete zodpovědět i později, až budete mít asymptoty).
7. Najděte body x pro které platí fix) = 0, najděte definiční obor druhé derivace funkce
8. Rozdělte definiční obor fix) a najděte intervaly kde platí fix) > 0 (tedy funkce je konvexní) a intervaly kde f(x) < 0 (tedy funkce je konkávni). Poté určete inflexní body funkce (xo, f(xo))-
9. Najděte asymptoty se směrnicí i bez směrnice.
• Bez směrnice: Jedná se o svislé přímky typu x = xo, bod xq je takový, že platí lim f(x) = ±oo
• Se směrnicí: Jedná se o přímky y = ax+b, pro které platí, že lim (f(x) — (ax + b)) =
10. Načrtněte graf funkce. Prvně si do grafu zakreslete všechny důležité body (body nespojitosti, nulové body, extrémy a inflexní body), pak zakreslete asymptoty a nakonec spojte všechny body tak aby graf splňoval to co jste o funkci zjistili (její parita, periodičnost, zdaje kladná či záporná, monotonie (roste, klesá), konvexnost, konkávnost)
fix).
X—^XQ
0. Koeficienty dostanete takto: a
lim        a b =  lim (f(x) — ax)
1
Cvičení 6
M1100F 20. října 2021
2   Diferenciály a přibližné výpočty
1. Vemte si funkci f (x) = sin x, pro malé hodnoty x. Funkci nahraďte její tečnou v bodě x = 0, pomocí této tečny přibližně spočtěte hodnoty sin(—0.1) a sin(O.l). Hodnoty kalkulačkou porovnejte se skutečnými. Jaké chyby jste se dopustili? Co byste mohli udělat aby váš typ byl přesnější?
2. Stejnou metodou přibližně spočtěte hodnoty \/80. Znáte nějakou hodnotu blízkou 80 z nichž víte odmocninu přesně? Vemte funkci ^fx a k ní vypočtěte rovnici tečny v tom bodě ve kterém hodnotu odmocniny znáte. Pomocí této tečny přibližně odhadněte hodnotu \/8Ô.
3. Stejným způsobem přibližně spočtěte \/30
4. Máte výraz A± = M±^f2+4-, přibližně určete hodnoty A+ a A_, jestliže platí M » m.
5. Proveďte rozvoje následujících funkcí, pro malá x
1 1 1
liž' (l±x)
ex, ln(l
3   Slovní úlohy
1. Určete rozměry otevřeného zahradního bazénu se čtvercovým dnem daného objemu 32 m3 tak, aby se na vyzdění jeho dna a stěn spotřebovalo minimum materiálu.
2. Jaký tvar má mít válec, aby měl při zadaném objemu co nejmenší povrch?
4   Derivace cyklometrických funkcí
1. Zjistěte derivaci funkcí
arcsinx,    arccosx, arctanx
Nápověda:
Vyjděte z definičního vzorce arcsin(sinx) = x a nebo ekvivalentně sin(arcsinx) = x. Obě strany rovnice derivujte, s pomocí pravidla derivace složené funkce, derivaci arcsinx berte jako neznámou a rovnici vyřešte. Podobně pro ostatní funkce.
Dokážete odvodit obecný vzorec pro derivaci inverzní funkce (Z-1)'?
5   Těžší příklad
1. Derivujte funkci xx.
2