1   integrály - základ
1   Integrály - základ
Doplňte následující tabulku:
funkce	derivace	integrál
xn	77 — 1 nx	
sin x	cosx	
cosx	— sin x	
tan x	i COS2 X	
arcsin x	1	
arccos x	1 Vl-x2	
arctan x	1 1+x2	
ex	ex	
lnx	1 X	
ax	ax ln a	
sinh x	cosx	
coshx	sin x	
tanhx	i cosh2 x	
arcsinh x	1 Vl+x2	
arccosh x	1 Vx2-1	
arctanh x	1 1-x2	
1
3   JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY NA SUBSTITUČNÍ METODU
Neurčitý integrál
Funkce F se nazývá primitivní funkce k funkci /, jestliže platí F'(x) = fix). Pozor tato primitivní funkce není určena jednoznačně, protože Fix) + C je také primitivní funkce k funkci fix), protože (F(x) + C)' = F'(x) = f(x)
Integrál z funkce / je definovaný jako množina všech primitivních funkcí F k funkci / a značí se takto
f(x)dx = F(x)
Základní vzorce a metody
f(x)±g(x)dx= / fix)dx ± / g(x)dx,     / k-f(x)dx = k- / fix)dx
Metoda per partes: J f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) — J f'(x)g(x)
g{x) = u
Substituční metoda: J f(g(x)) ■ g'(x)dx =
g'(x)dx = du
= J f(u)du
2   Ukázovké příklady
Spočtěte následující integrály
xz
1 + X2 ' J       cos X
3   Jednoduché příklady na substituční metodu
i.
(2x — 3)10 dx
2.
1
x2 + a2
dx
3.
3x2 + 1
x3 + x + 2
-dx
4.
tan x dx
2
4   příklady na úpravu výrazu nebo substituci
5.
In x -dx
7.
ex
—dx
xA
6.
ľ ln2 x
-dx
4   Příklady na úpravu výrazu nebo substituci
i.
2x + 3 ,
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
2x + 1
x2 + 1 x — 1
dx
dx
2x2 + 3
tan2 xdx
-dx
1 + cos x
smx
-dx
1 + cos2 x
cosxesmxdx
-dx
ex + e
sin x + cos x
- dx
sin x — cos x
3
5 príklady na per partes
11.
í
sin xdx
12.
-dx
smx
13.
-dx
cos X
5   Příklady na per partes
Spočtěte následující integrály metodou per partes (nebo i jinou pokud to zvládnete). 1.
dx
cos2 x
2.
r
cos2 xdx
3.
In2 xdx
4.
ľ i / a—:—ö\ J
íx
j ln(2. + vTT^d,
5.
/■
arcsin xdx
6.
íarcsinx)2dx
7.
:i+x)2
4
6   složitější příklady: náročnější substituce nebo kombinace _substituce a per partes
6   Složitější příklady: náročnější substituce nebo kombinace substituce a per partes
i.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
.x
10.
11.
12.
5
7 řešení
13.
14.
1 + x
2\2
dx
9-x2
rdx
7 Řešení
7.1   Ukázkové příklady
1.
-dx
1+x2
Příklady kde máme zlomek s polynomy je dobré zkusit upravit na jednodušší sčítance, zde konkrétně chceme využít znalosti derivace arctan x
1 + x2
-dx =
1 + x2
-dx =
1
1 + x2     1 + x2
dx = x — arctan x + C
2.
cos x
Zde jde jen o test paměti, ze cvičení s průběhem funkce kde jsme řešili funkci ln y 1+sinxi jejíchž derivace byla--—, chápeme-li definici integrálu můžeme tedy spočítat
1—sin x
cosx
1 , 1 — sinx „ - = ln a /--:-+ C
1 + sin x
7.2   Jednoduché příklady na substituční metodu - řešení
1.
(2x — 3)10 dx
Ukázkový příklad na lineární substituci pro f(ax + b)
(2x — 3)10 dx =
u = 2x — 3
du = 2dx
= / u
,10
du
n
u 22
(2x - 3)11 22
6
7.2   Jednoduché príklady na substituční metodu - řešení
7 řešení
2.
x2 + a2
dx
Další příklad na lineární substituci, chceme totiž využít znalosti integrálu to tedy bude naše f(x), musíme tedy dostat integrál do tvaru f(ax + b)
x2 + a2
-dx =
(1 + 3
-dx = —
2\ ~~ 2   1   lj_ (x\2^       n2 1
1 11 /x\        1 (X
dx = — y arctan I —   = — arctan — a2 - \a/     a \a
Tento integrál si klidně můžete přidat mezi tabulkové a používat ho.
3.
3x2 + 1
x3 + x + 2
-dx
Všimněme si, že tento integrál je zlomek kde čitatel je derivací jmenovatele, je tedy typu J f(g(x))-g'(x)dx, pro f(x) = ^, nebo jednodušeji tvaru ^j^- Tyto typy integrálů se řeší substitucí a jsou předmětem této podkapitoly. Konkrétně:
3x2
x3 + x + 2
-dx =
u = x
x
du = (3x2 + 1) dx
1
-du = ln \u\ + C = lníx
x
C
4.
tan x dx
Znovu si všimneme, že tan x =       je typu 4r4, tedy až na znaménko, ale to nevadí.
1 cosx J      J ^ J\x)
tan x dx =
sin x
cosx
dx =
u = cos
du = — sin xdx
—du = — ln | cos x| + C u
Další příklad je podobného typu ale místo je typu fix) ■ f(x), ale postup bude analogický
5.
ln x
-dx =
x
u = ln x du = -dx
= / udu = — ln x + C
Další příklad je obecného typu f(g(x)) ■ g'(x), pro / = x2,   g = lnx
7
7.3   Příklady na úpravu výrazu nebo substituci - řešení
7 řešení
ln x
-dx =
x
u = ln x du = -dx
2 t       ln3 x ^
u du =--h O
i
ex
—dx = xA
u
du = -^dx
eudu =
c
Tato kapitola by měla osvětlit základní použití substitučního pravidla, které je popsané v úvodní červené tabulce.
7.3   Příklady na úpravu výrazu nebo substituci - řešení
V této kapitole budeme pokračovat s využitím substituce, ale příklady budou méně intuitivní. 1.
2x + 3 2x + l
dx
Zde se hodí u příkladů typu        je vždy rozdělit do tvaru a + protože ty víme
jak zintegrovat, toto je možné i u polynomů vyšších řádů, uvidíme v příštím cvičení.
2x + 3J       />2x + l + 2J
■dx = / -dx = / 1-
2x + 1
2x + 1
2 1
--dx = x+2— ln(2x+l)+C = x+ln(2x+l)+C
2x + 1 2
Kde jsem použil pravidla pro lineární substituci J f(ax + b) = ^F(ax + b) proto ta |. Zase můžete vždy ověřit správnost pomocí derivace výsledku.
2.
xz + 1 x — 1
-dx =
1 + 2
x — 1
-dx =
x2-l
x — 1 x — 1 21n(x-l) + C
-dx = / (x+1
2 -d, = fc±i
x — 1
3.
2x2 + 3
dx =
u = 2x2 + 3
du = |dx
= ^ ln(2x2 + 3) + c
8
7.3   Příklady na úpravu výrazu nebo substituci - řešení
7 řešení
4.
zy/2 — 5xdx =
u = 2 — 5x
du = — 5dx
2 — u /— du        1/"    i    a , 1  / 4ií 2
-V u — =--/ 2u 2 —u 2 du =---
5        -5       25 ./ 25 l 3
.1 fí{2 - 5x)l -2-{2- $x)ň = -      (2 - 5x)i (10 - 3(2 - 5x))
5.
6.
375
(2 -5a;)5 (15x + 4))
tan2 xdx = 11+ tan2 x — ldx = I----1 dx = tan x — x + C
cos2 x
1
1 + cos x
-dx
Zde máme dvě možnosti:
1
1 — cos X
1 + cos x 1 — cos X
-dx =
cosx
sin2 x   sin2 x
dx = — cot x-
cosx
sin2 x
dx =
u = sin x
du = cos xdx
cot x
1 , 1
—du = — cot x H--
u2 sin x
Nebo využijeme vztahu 1 + cos x = 2 cos2 (|) a dostaneme
-dx =
1 11 /x
dx = - • -r tan
1 + cosx        2 J cos2 (f)        2 i
■C
C = tan
x
Zde se dostaneme k dobré poučce, pokud zjistíte že vám vyšel integrál jinak než někomu jinému ještě to neznamená, že to máte špatně. Například zde se dá krátkým výpočtem zkontrolovat, že oba integrály jsou ve skutečnosti stejné, občas se stane, že se budou lišit například o konstantu což je naprosto v pořádku.
7.
smx
1 + cos2 x
dx =
u = cos x
du = — sin xdx
= — arctanícos x)
C
8.
cosxesmxdx =
u = smx
du = cos xdx
9
7.3   Příklady na úpravu výrazu nebo substituci - řešení
7 ŘEŠENÍ
9.
-dx =
x = ln u dx = -du
du
u + u 1 u
-du = arctanfe2
C
Zde jsme poprvé zapsali substituci ve tvaru x = f (u), což je také v pořádku, alespoň pro funkce které mají inverzní funkci. Všimněte si, že jsme mohli substituci udělat také ve tvaru
u = e
du = exdx
Ale pak by nebylo na první pohled jasné jak změnit diferenciál. Zde jsem vám chtěl ukázat, že je jedno jak substituci děláte, používáte-li invertovatelné funkce.
10.
sin x + cos x
\/sin x — cos x
zdx =
u = sin x — cos x
du = (cos x + sin x) dx
[ -^-=du = 2y/i J Vu
sin x — cos x + C
11.
sin xdx
Dobrá pomůcka k výpočtu goniometrických integrálu je výraz upravit tak aby obsahoval obě funkce sin x i cos x a poté použít substituci, jako jsme to udělali v příkladě 6. a 7. Tento a následující dva příklady to také prokáží.
sin xdx =
/si'"'(1
cos2 x) dx =
u = cosx
du = — sin xdx
J(1-u>)du = -cmx-
cos3 X
12.
SIM
-dx
Zde podobně jako u 6. příkladu máme dvě možnosti
1     sin x
dx =
sin x   sin x
sin x
1 — cos2 x
dx =
u = cos x
du = — sin xdx
1 -ii2
r dlí
10
7.3   Příklady na úpravu výrazu nebo substituci - řešení
7 ŘEŠENÍ
Zde se poprvé setkáme s takzvaným rozkladem na parciální zlomky. Neumíme integrovat zlomky kde je ve jmenovateli druhá mocnina, ale zlomky s první mocninou ve jmenovateli umíme ty se integrují na logaritmy. Naštěstí lze jedny převést na druhé, ukážeme si něco co vypadá jako "obrácené převedení na společný jmenovatel".
Uděláme takzvaný "ansatz", tedy napíšeme něco co doufáme, že platí. Použijeme obecné parametry a pak zpětně parametry dopočítáme aby to co jsme napsali opravdu platilo.
1
A
B
1 — u2     \ + u     1 — u Porovnáním obou zlomků dostaneme, že musí platit
A + B = 1 -A + B = 0
Tedy A = B = \ a můžeme vyřešit náš integrál
1
-du = —
u^
1 1    , 1 ,   , ,
-+-dii = — (- ln(l
1+íí 2 v v
/ , ,      .      i 1     cos oc __
ln il+u   =lnA/—-+C
1 + cosx
To, že se poslední dva výrazy skutečně rovnají je dobrý trénink na počítání s elementárními funkcemi.
Druhý způsob je znovu využití goniometrických vztahů a to konkrétně sin x = -^===, což nám pomůže protože s využitím toho, že (cot x)' = —r^—
SIM
-dx =
sin2 X y/l + cot2 X
dx =
u = cot x
du =
-dx
zdu =
= - ln(u + y/l + u2) + C = - ln (cot x H--— | + C
\ sin x J
Kde jsme v první úpravě převedli -J— do tvaru f(g(xj) ■ g'(x) tím, že jsme roznásobili iedničkou ve tvaru--,}    „ , ve třetím kroku isme využili tabulkového integrálu,
J smxVl+cot2 x1 .i j oi
který si odvodíme později.
Znovu nechám na vás kontrolu toho, že výrazy které jsme dostali z metody 1 a 2 jsou stejné, můžete prvně provést kontrolu tak, že oba výrazy zderivujete a poté se pokusíte ukázat že jsou stejné.
Poslední příklad se dělá stejnou metodou jako předchozí, nechám ho tedy na vás, pokud vám to nepůjde neváhejte mi napsat nebo přijít na konzultaci. Ale výsledek tohoto integrálu jsme již potkali na předchozích cvičeních.
13.
1
-dx
cosx
11
7.4   Príklady na per partes
7 ŘEŠENÍ
7.4   Příklady na per partes
Budeme používat následující označení to co máme k dispozici označíme jako J uv' a tedy u budeme derivovat a v integrovat. V případě, že se v zadání nachází pouze jedna funkce bude vždy v' = 1. Postupujeme tak, že pokud je v zadání funkce jejíchž derivaci známe zvolíme ji jako u naopak je-li v zadání funkce, kterou snadno zintegrujeme zvolíme ji jako v'. Nebo také jinak podle zadání, bohužel u integrálů není žádné obecné pravidlo.
1.
cos^ x
-dx =
u = x
u' = 1
v = tan x   v' =
= xtanx — / tan xdx = x tan x + In I cos x I + C
2.
cos2 xdx =
u = cos2 x   u' = — sin 2x
v = x
v' = l
= x cos2 x+ I x sin 2xdx =
u = x
u' = 1
v = — \ cos 2x   v' = sin 2x
o       x              /It             2       x 1 x sin2x
= x cos x--cos 2x + / - cos 2xdx = x cos x--cos 2x H— sin 2x =
4
2 4
Zde je z výsledku zřejmé, že jsme mohli spočítat integrál daleko jednodušeji využitím
vzorce cos2 x = \ (cos 2x + 1)
3.
In2 xdx =
u = ln x   u' =
21nx
v = x
v' = 1
= x ln2 x — / 2 ln xdx = x ln2 x — 2x ln x + 2x + C
4.
u = ln(x + \/l + x2) u"
v = x 1  ľ 1
/ _ i
v' = 1
= xIn(x+VTTF)-/
= x ln(x + Vi + x2)--/ —        dx = x ln(x + Vi + x2) — Vl + x2 + C
2j   y/1 + Ü
x
Vl+x2
dx =
5.
arcsinxdx =
u = arcsinx   u' =  ,} „ v i—^
u = x u' = 1
x arcsmx-
VT^2
dx = x arcsinx+\/l — x2+C
12
7.5   Složitější příklady: náročnější substituce nebo kombinace substituce a per partes -řešení 7 ŘEŠENÍ
6.
'arcsin xÝdx =
u = arcsin2 x   v! = 2 aresm x
VI-xz
V = X
v' = 1
= x arcsin2 x—2 / arcsin x  , dx =
Vi^2
u = arcsin x     v! = 1
= -VT
2     ,,' - _
X^ V
= x arcsin2 x + 2 arcsin xVl — x2 — 21 ldx =
= x arcsin2 x + 2 arcsin xVl — x2 — 2x + C
7.
xe
[l + x)
rdx =
u = xex    u =ex(l + x
V ~      l+x V   ~ (l+x)2
X
x 1  ' exdx = ex I 1
X
l + x
-C =
l + x
C
7.5    Složitější příklady: náročnější substituce nebo kombinace substituce a per partes - řešení
1.
V2
zdx =
x
u = 2 — x du = —dx
(2
-du =
u
A Au
u     \ u     \ u
du =
/—       83        2 5
= — 8\/u H—ti2--U2 + C
3 5
8 2 -8y/2 - x + -(2 - xý - -(2 -xý+C 3 5
2.
2 _L „2^2
-dx =
x^ + a
x = a tanu
dx = —%— du
cosz u
(a2(tan2u + l))2 cos ^
du=     a(1 3) cos(3 2)itdií =
= -4- I cos -ud-u = ^- sin -u + C = ^- sin arctan — + C = \     X    = + C a2 a2 a a2 y a2 + x2
13
7.5   Složitější příklady: náročnější substituce nebo kombinace substituce a per partes -řešení 7 ŘEŠENÍ
3.
\J x(l — x)dx =
x = sin u
dx = sin(2ií) du
J \Jsin2 u(l — sin2 u) sin(2ií)dií = J siniíCOSiíSÍn(2ií)dií =
1  ľ    o,   . ,      í  ľ , ,   ^ ,      u    sin Au „
, sin (2u)du = - / (1 — cos(4ií)) du 2 J       K   '       AJK K   "        A 16
Teď musíme vyjádřit sin(4ií) pomocí x což je sin2-u abychom mohli vrátit substituci. Tedy
sin(4ií) = 2 sin(2ií) cos(2-u) = 4 sin u cos u (cos2 u — sin2 -u) = Asinuy/l — sin2 u (l — sin2 u — sin2
u =
= A sinií\/l — sin2 -u (l — 2 sin2 -u) = A\fx\/\ — x (1 — 2x) A dostaneme pro náš integrál, že
//—;--          ,       arcsin \ fx     1   ,— ,-. , ^
y/x{\ - x)dx =----y/xy/l-x (1 -2x) + C
A.
\f (x — a){b — x)
dx =
x — a
= (b — a) sin2
dx = (b — a) sin(2ií) du
(b — a) sin(2ií)
\/(b — a) sin2 u(b — a)(l — sin2 u)
-.du =
siní2ií)    ,        /                  ^                 I x — a ^ v       -Au =    2du = 2u + C = 2 arcsin \ /---h C
V sin2 cos2 u
b — a
5.
cos x
Vl + sin2 x
=dx =
SIM = 11
cos xdx = du
Vľ+^i2
dií = ln Iií + Vl + -u2! + C
6.
x + 3 Vx2 -4
Zde si integrál rozdělíme na dva, jeden bude tabulkový a na druhý použijeme substituci.
x
x + 3
V^^4    J V^^4 x2-4
dx =
x2 — 4 = u
2dx = du
1  ľ  1   ,        /" 1 2j ^        7 7x^4
dx =
= y/u + 3 ln |x + \/x2 - 4| + C = \/x2 - 4 + 3 ln |x + Vx2 - 4| + C
14
7.5   Složitější příklady: náročnější substituce nebo kombinace substituce a per partes -řešení 7 ŘEŠENÍ
7.
/,/nrPd*
Integrály tohoto typu můžeme řešit pomocí goniometrických nebo hyperbolických substitucí, zkusíme obě možnosti.
y/l — x2dx =
x = sin u
dx = cos udu
= I \J 1 — sin2 u cos udu =
2 u   sin 2u
cos udu = — H---hC
2 4
arcsinx    xy/l — x2
C
2 2
Kde jsme využili výsledku předchozí podkapitolu ohledně integrálu J cos2 du
8.
/vTT^da'
Zde vidíme, že nám substituce goniometrickou funkcí nepomůže protože máme uvnitř integrálu 1 + x2 což nelze zjednodušit pomocí goniometrické jedničky sin2 + cos2 = 1 co potřebujeme je právě hyperbolická substituce cosh x — sinh x = 1, uvidíme jak to vyjde
Vl + x2dx =
x = sinh-u dx = coshiídií
= J \J\ + sinh2 u cosh udu = J cosh2 udu
Můžete si ověřit, že pro hyperbolické funkce platí podobné vztahy jako pro funkce goniometrické, hlavně cosh2 u = 1+co^h(2") a sinh(2-u) = 2 sinh u cosh u, tedy můžeme spočítat náš integrál
/o            f 1 + cosh(2-u) u     1 1        i 1    /-t;
cosh -uďu = / -du = —|— sinh2-u + C = - sinh   (x) H—xv 1 + ar 7         2 24 2 v;2
Dostaneme, stejný výsledek akorát s funkcí sinh_1(x) místo arcsinx.
9.
e^dx =
t = \fx
2tdt = dx
Kde jsme znovu využili výsledku minulé kapitoly.
= 2 J tédt = 2é {t - 1) = 2e^       - l) + C
15
7.5   Složitější příklady: náročnější substituce nebo kombinace substituce a per partes -řešení 7 ŘEŠENÍ
10.
x arcsin x2dx =
xz = t
2xdx = dt
1
1
, arcsin tdt = - ŕ Vl — t2 + t arcsin t 2 2
1
r-4 i
= — ( VI — x11 + x" arcsmx'
Znovu jsme využili výsledku minulé kapitoly.
11.
X   + \ÍX + 1
X + \ X
-dx =
x = t2 dx = 2tdt
2tdt = 2 —■—— dŕ
t2 +t
t + 1
= 2 I I ŕ3 - t2 + t + —í—"\ dí = 2 f^r - — + — + ln II + íl ) + C =
1+í
4     3 2
IX        X 2       x      ,    . „ \ ^
Kde jsem využili rozklad polynomu, který budeme více probírat příště.
12.
xdx
vT
x'1
X  = u
2xdx = du
1  ľ 1
1
1
,    ,_-Au = - ]n(u+y/l +u2)+C = - ln(x2+Vl + x4)+C
2 ./ v/TT^        2 2
13.
l + x:
2\2
dx =
x = tanu dx = -^-dií
tan -u 1 '1 + tan2 x)2 cos2 u
du =     tan2 u cos2 -uďu = / sin2 udu =
u     1     ,   , arctanx     1 1
=---sm(2u)+C =---2-
2    A     K   ' 2 4
1 arctanx     1 x
^i^VlT^2 2 2 x2 + l
Kde jsme využili goniometrických vztahů mezi sin, cos a tan.
16
7.5   Složitější příklady: náročnější substituce nebo kombinace substituce a per partes -řešení 7 ŘEŠENÍ
14.
x
2 r _ŕo _
.    (9-x2) + 9J       f         9    ,               ľ 9 dx =---dx = / 1 H---dx = —x + /--—--dx =
9-x2        J       9-x2 J       9-x2 J (3-x)(3 + x)
/3                 3                         3 3 —-- H—:--dx = —x H— ln |3 + x\--ln 13 — x\ + C 2(3 + x)    2(3 -x)                2    11    2    1 1
Kde jsme znovu použili rozklad na parciální zlomky, který budeme více řešit příště, můžete si sami ověřit, že to co je výše napsané je pravda.
Prosím, pokud najdete nějaké chyby nebo překlepy napište mi mail, je dost možné že zde nějaké jsou přeci jen je to celkem hodně příkladů. Děkuji a hodně štěstí s počítáním.
17