Výpočet délky astroidy
2
L = 4 J v/(-3smŕ - 3sin(3ŕ))2 + (3cosŕ - 3cos(3ŕ))2 dŕ = o
2 _
4 J ^9 sin2 ŕ + 18sinŕsin(3ť) + 9sin2(3ŕ) + 9 cos2 ŕ - 18 cos cos(3ŕ) + 9 cos2(3ŕ) o
2
= A J a/18 (1 + sinŕsin(3ŕ) - cosŕcos(3ŕ)) =
o
2
= 4 y ^18(1 + 6 sin21 cos2 ŕ - sin41 - cos4 ŕ)
o
Zde je asi nejlepší použít vzorce a2 — b2 = (a + b)(a — b) následujícím způsobem
1 - sin4 ŕ = (1 - sin2ŕ)(l + sin2 ŕ) = cos2ŕ(l + sin2 ŕ)
V integrálu pak dostaneme
2 2
4 y ^ 18 (6 sin21 cos21 + cos2 ŕ + cos21 sin2 ŕ - cos41) = A J yj 18 (7 sin21 cos21 + cos2 ŕ(l - cos21))
4 / Jl8 (8 sin2 ŕ cos2 ŕ) = 4 / A/36sin2(2ŕ) = 24 / sin(2ŕ) = 24
--cos(2ŕ)
24