1 Ukažte, že pro všechna 𝑥 reálná platí (−𝑥)2
= 𝑥2
. Budete pak souhlasit i s tím, že |𝑥|2
= 𝑥2
?
2 Přesvědčte svého souseda, že druhá mocnina jakéhokoli reálného čísla je nezáporná. Tedy že
𝑥2
≥ 0 pro jakékoli 𝑥 reálné.
3 Dokažte, že platí vztah (𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
. Zvládli byste to ilustrovat i obrázkem?
(Zkuste to pomocí ploch: 𝑎𝑏 je plocha obdélníka o stranách 𝑎 a 𝑏.)
4 A čemu se rovná (𝑎 − 𝑏)2
? Dovedete to odvodit z předchozího vztahu, aniž byste museli znova
roznásobovat závorky?
5 Potřebujeme ještě další vztahy pro (−𝑎 + 𝑏)2
a (−𝑎 − 𝑏)2
? Čemu se tyto výrazy rovnají?
6 Když je pro každé 𝑥 reálné 𝑥2
≥ 0, bude také platit (𝑥 − 1)2
≥ 0? A co takhle 𝑥2
+ 1 ≥ 2𝑥?
7 Ověřte si (třeba pomocí vzorce z úlohy 3), že se dá psát:
1. 𝑥2
+ 4𝑥 + 7 = (𝑥 + 2)2
+ 3; 2. 𝑥2
− 2𝑥 − 2 = (𝑥 − 1)2
− 3; 3. 2𝑥2
− 4𝑥 = 2(𝑥 − 1)2
− 2;
4. −𝑥2
+ 3𝑥 + 1 = − (𝑥 − 3
2)
2
+ 13
4 .
Přepsání do takového tvaru se říká „doplnění na (úplný) čtverec“.
8 Sami zkuste do tohoto tvaru přepsat následující polynomy:
1. 𝑥2
− 6𝑥 + 8; 2. −𝑥2
− 9; 3. −2𝑥2
+ 3𝑥 − 5; 4. Troufnete si převést i obecný kvadratický
polynom 𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑏, 𝑐 jsou jakákoli reálná čísla)?
9 Umělibystespomocídoplněnínačtverecukázat,žeje 𝑥2
+4𝑥+7 ≥ 3ataky−𝑥2
+3𝑥+1 ≤ 13
4 ?
(Pomůže Vám úloha 7.)
10 Může se stát, že by kvadratický polynom 𝑎𝑥2
+𝑏𝑥+𝑐 (𝑎 ≠ 0) nabýval všech reálných hodnot?
Proč ano nebo proč ne?
11 Ubezpečte se, že rovnice 𝑥2
= 4 má dvě řešení: +2 a −2.
12 Zkuste řešit následující rovnice:
1. (𝑥 − 1)2
= 9; 2. (𝑥 + 2)2
= 1; 3. (𝑥 − 4)2
= 0; 4. (𝑥 + 1)2
+ 3 = 0.
Na čem závisí, kolik má která taková rovnice řešení? (Z předchozí úlohy vidíte, že některé takové rovnice
mohou mít dvě řešení. Mohou mít některé víc řešení? A míň?)
13 Zvládli byste doplněním na čtverec vyřešit libovolnou kvadratickou rovnici 𝑥2
+ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0?
Bude to snadné, pokud jste si v úloze 8 doplnili na čtverec obecný polynom. Kolik může mít taková
rovnice reálných řešení? Na čem to závisí?
14 Zkuste podobně dokázat, že platí (𝑎+𝑏)3
= 𝑎3
+3𝑎2
𝑏+3𝑎𝑏2
+𝑏3
(dokážete k tomu nakreslit
i obrázek?) a (𝑎 + 𝑏)4
= 𝑎4
+ 4𝑎3
𝑏 + 6𝑎2
𝑏2
+ 4𝑎𝑏3
+ 𝑏4
(tady už se o obrázek nesnažte ̈⌣).
15 Vidíte v předchozích vzorcích nějaký systém? Zvládli byste to zobecnit na obecnou přirozenou
mocninu? Napovím Vám, že veličina ( 𝑛
𝑘) = 𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!
označuje počet způsobů, kterými lze vybrat 𝑘 věcí
z celkem 𝑛 věcí bez ohledu na pořadí.
16 Ukažte, že 𝑎2
− 𝑏2
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏). Šel by k tomu taky nakreslit obrázek podobně jako
v úloze 3?
17 A co takhle 𝑎3
− 𝑏3
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
)? Půjde podobně rozložit i 𝑎3
+ 𝑏3
? A co 𝑎2
+ 𝑏2
?
18 Uměli byste ukázat 1
√2 +1 = √2 − 1? (Zkuste zlomek rozšířit tak, aby šel použít vztah pro
𝑎2
− 𝑏2
. Tím se odmocniny ve jmenovateli zbavíte.)
19 Naložte podobně s těmito zlomky (odstraňte všechny odmocniny ze jmenovatelů):
1.
1
2 + √3
; 2.
1
3 − 2√2
; 3.
√39
√5 − 2√3
; 4.
1
1 + √2 + √3
.
Pro tuhle proceduru existuje malebný český název: usměrnění zlomku.
20 Když chcete umocnit na druhou číslo končící pětkou, funguje tento trik: vynásobíte obě dvě
okolní celé desítky mezi sebou a přičtete 25. Tak třeba: 552
= 50 ⋅ 60 + 25 = 3025 (můžete si to ověřit
třeba na kalkulačce ̈⌣). Zvládnete vysvětlit, proč to funguje? A uměli byste vyčíslit podobnou metodou
i čtverce jiných čísel?
21 Ve starém Babyloně se násobilo pomocí tabulek čtverců. Představte si, že máte vypsané druhé
mocniny přirozených čísel od 1 do 100. Jak se dají pomocí této tabulky (a trochy sčítání a odčítání)
vynásobit jakákoli dvě dvouciferná přirozená čísla?
Odmocnina z reálného čísla 𝑥 (kterou označíme √𝑥 ) je takové 𝑅 ≥ 0, pro které platí 𝑅2
= 𝑥.
22 Z definice, kterou jsem dal do rámečku, je jasné, že √𝑥 je vždy nezáporná (pokud vůbec existuje).
Dává ovšem smysl dělat odmocninu ze všech reálných čísel? Nebo to u některých smysl nedává?
(Vizte úlohu 2.)
23 Je vidět, že odmocnina a druhá mocnina se „tak nějak“ ruší navzájem. Ale jak je to přesně?
1. Kdy dává výraz √ 𝑥2 smysl a čemu je pak roven? 2. Kdy dává smysl výraz (√𝑥 )2
a čemu je roven?
24 Často funguje vztah√ 𝑥𝑦 = √𝑥 ⋅√ 𝑦 . Zkuste si ho dokázat. Myslíte, že se může někdy pokazit?
25 Pepíček odmocňuje, ale jelikož moc nedával pozor, tak to docela popletl. Počítal takhle:
5 = √25 = √16 + 9 = √16 + √9 = 4 + 3 = 7. Kde udělal chybu? Dokážete mu vysvětlit, proč
je ten špatný krok špatně? Jak je vidět, Pepíček není žádný počtář. Dovedli byste mu pomoci obrázkem?
26 Zkuste co nejvíc upravit výrazy:
1.
1
1 + 𝑟 + √ 𝑟2 + 1
+
1
1 − 𝑟 + √ 𝑟2 + 1
; 2. (√ 𝑎 − √ 𝑏 )2
(
𝑎√𝑎 − 𝑏√ 𝑏
√𝑎 − √ 𝑏
+ √ 𝑎𝑏 );
3.
√𝑥 + √ 𝑦
√𝑥 − √ 𝑦
+
√𝑥 − √ 𝑦
√𝑥 + √ 𝑦
; 4.
4𝑥2
(𝑥 − 2)2 ⋅
1
1
(𝑥+2)2 + 2
𝑥2−4 + 1
(𝑥−2)2
.
27 Zkuste vyřešit rovnici √ 𝑥 + 1 +√𝑥 + 3 = 1. Nezapomeňte, že pokud rovnici budete umocňovat,
nejde o ekvivalentní úpravu a mohou se Vám kvůli tomu objevit „falešné“ kořeny. Proto je potřeba
provést s každým řešením, které najdete, ještě zkoušku.