Mějme kladné reálné číslo 𝑎. Jeho 𝑛-tá mocnina (kterou označujeme 𝑎 𝑛
) je součin 𝑛 kopií čísla
𝑎 vynásobených mezi sebou. 𝑛 zde musí být přirozené.
1 Jak byste ukázali, že 𝑎 𝑛
⋅ 𝑎 𝑘
= 𝑎 𝑛+𝑘
? (Klidně si vypište ty součiny a počítejte jednotlivá 𝑎-čka.)
2 Co tedy musí vyjít, když uděláme dvě mocniny po sobě? Tedy (𝑎 𝑛
) 𝑘
?
Zatím jsme definovali jen přirozenou mocninu, ale rozšíříme to i na racionální mocniny. Základempro
násbude vztah 𝑎 𝑥
⋅𝑎 𝑦
= 𝑎 𝑥+𝑦
—ten budemepovažovat zajakousi „esenci“mocninné
funkce a racionální mocniny definujeme tak, aby pořád platil.
3 Jakou hodnotu je potřeba přidělit výrazu 𝑎0
, aby se základní vztah 𝑎 𝑥
⋅ 𝑎 𝑦
= 𝑎 𝑥+𝑦
nepolámal?
(Zkuste do toho vztahu dosadit třeba 𝑥 = 0.)
4 Čemu se má rovnat záporná mocnina 𝑎−𝑛
(𝑛 je pořád přirozené), pokud se základní vztah
nemá rozbít? (Doporučuju na pravé straně vztahu udělat jedničku.)
5 Čemu se musí rovnat racionální mocnina 𝑎 𝑘/𝑛
(obojí přirozená čísla), aby základní vztah zůstal
v platnosti, stejně jako vztah z úlohy 2? (Zkuste umocnit 𝑎 𝑘/𝑛
na 𝑛-tou.)
6 Jakou hodnotu mají tyto mocninydvojky? (Upravte je tak, aby ve výsledku byly jen odmocniny,
zlomky a čísla. Žádné mocniny.)
1. 23
; 2. 2−2
; 3. 20
; 4. 23/2
; 5. 2−7/3
.
Díky předchozím úlohám už můžeme vlastně definovat i umocnění na reálné číslo, protože
každé reálné číslo můžeme libovolně přesně aproximovat racionálním. Záměrně to víc nerozvádím
— na to bude čas později.
7 Může být 𝑎 𝑥
(při 𝑎 > 0) rovno nule? Může být dokonce záporné?
8 Pro jaká 𝑥 má smysl výraz 𝑎 𝑥
, je-li 𝑎 záporné? Dovedete říct, proč u mocninné funkce, kde 𝑥
může být úplně libovolné, raději 𝑎 ≤ 0 nedovolujeme?
Logaritmusjefunkce,kterájeinversníkmocninnéfunkci—tedy„vrátízpátky“to,coudělala.
Označujeme ho symbolem log 𝑎
𝑥 a definujeme ho takto: řekneme, že log 𝑎
𝑥 = 𝐿 právě tehdy,
když 𝑎 𝐿
= 𝑥. Tomu log 𝑎
se říká „logaritmus při základu 𝑎“. I zde pořád požadujeme 𝑎 > 0.
9 Z této definice odvoďte, že platí log 𝑎
(𝑎 𝑥
) = 𝑥 a 𝑎log 𝑎
𝑥
= 𝑥.
10 Vypočtěte následující logaritmy (pomůže napsat vnitřek logaritmu jako nějakou mocninu
základu. Logaritmus je pak ta mocnina):
1. log2
4; 2. log3
1
9; 3. log5
1; 4. log2
√8 .
11 Jaké hodnoty logaritmu dávají v reálných číslech smysl? (Jelikož logaritmus „vrací zpátky“
exponenciálu, má smysl do něj dávat jen takové hodnoty, kterých exponenciála může nabývat.) Jakých
nabývá hodnot?
12 Pro počítání s logaritmy platí jakási pravidla, která snadno odvodíte z pravidel pro počítání
s mocninnými funkcemi. Vymyslete, jak ze základní vlastnosti 𝑎 𝑥
⋅ 𝑎 𝑦
= 𝑎 𝑥+𝑦
dostat pravidlo
log 𝑎
𝑥𝑦 = log 𝑎
𝑥 + log 𝑎
𝑦.
13 Zvládnete podobným stylem upravit log 𝑎
𝑥
𝑦 a log 𝑎
𝑥 𝑦
? (Využijte výsledky cvičení 4 a 2.)
14 Řekněme, že nějaké číslo 𝛧 dokážeme napsat jako 𝑎 𝑥
, ale raději bychom ho chtěli zapsat jako
nějakou mocninu 𝑏 (tedy nějaké 𝑏 𝑦
). Jak se musí změnit exponent? (Tedy jak vypočteme 𝑦 pomocí 𝑥, 𝑎
a 𝑏?)
15 Od úvah předchozí úlohy už není daleko ke vztahu pro přepočet základů logaritmů: log 𝑎
𝑥 =
=
log 𝑏
𝑥
log 𝑏
𝑎
(pro 𝑥, 𝑎, 𝑏 kladná). Zkuste ho z toho odvodit.
16 Potřebujeme tedy mnoho mocninných funkcí o nejrůznějších základech, nebo nám stačí
jedna jediná? A potřebujeme logaritmy o všech možných základech, nebo nám stačí jeden jediný?
17 Logaritmy se hodně používaly k obyčejným výpočtům — násobení, dělení, umocňování, odmocňování.
Jelikož počítáme v desítkové soustavě, tak se samozřejmě používaly logaritmy o základu
10. Pokud si chcete vyzkoušet, jak se s tím počítalo, zavolejte na mě, že byste chtěli logaritmické tabulky.
Já Vám je donesu a pak můžete zkusit následující příklady:
1. 16,4 ⋅ 2,31; 2.
94700
1,68
; 3. (
5,31
4,79
)
10
; 4. 3
√
2,142 ⋅ 8,42
3,654 ; 5. √4,792 + 5,312 .