1 Spočtěte následující určité integrály:
1.
5
∫
0
𝑥2
d𝑥; 2.
2𝜋
∫
0
sin 𝑥 d𝑥; 3.
2𝜋
∫
0
cos 𝑥 d𝑥; 4.
ln 2
∫
0
𝑥e−𝑥
d𝑥; 5.
1
∫
−1
𝑥 d𝑥
√1 − 𝑥2
;
6.
1
∫
−1
√
1 − 𝑥
1 + 𝑥
d𝑥 (zkuste 𝑥 = cos 2𝑢); 7.
2𝜋
∫
0
cos2
𝑥 d𝑥 (zkuste cos2
𝑥 = 1+cos 2𝑥
2 ); 8.
1
∫
0
ln 𝑥 d𝑥.
2 A co tyto integrály s nekonečnými mezemi?
1.
∞
∫
0
e−𝑎𝑥
d𝑥; 2.
∞
∫
𝑎
d𝑥
𝑥2 ; 3.
∞
∫
0
sin 𝑥 d𝑥; 4.
∞
∫
−∞
d𝑥
1 + 𝑥2 ; 5.
∞
∫
0
d𝑥
𝑥
.
3 Často se říká, že integrál udává plochu pod křivkou. Ale proč to tak je? To, co dělá integrál
∫ 𝑓(𝑥) d𝑥, je to, že sčítá hromadu nekonečně malých kousků 𝑓(𝑥) d𝑥. Kde najdete plochu těchto kousíčků
na grafu funkce 𝑓(𝑥)?
4 Nalezněte plochu následujících útvarů:
1. kusu paraboly 𝑎𝑥(𝑏 − 𝑥), který je nad osou 𝑥. Zapište výsledek pomocí jeho „základny“ a „výšky“.;
2. elipsy o poloosách 𝑎 a 𝑏;
3.bramboroiduohraničenéhoshoragrafemfunkce 1
1+𝑥2 ,zestranpřímkami 𝑥 = ±1azdolaosou 𝑦 = 0.
5 Co když chceme spočítat plochu omezenou nějakou křivkou zadanou v polárních souřadnicích
(tedy vzdáleností od počátku 𝑟 a úhlem 𝜑)? Podívejte se na obrázek níže. Jaká je plocha červeně
vybarveného trojúhelníčka? Integrací pak sečtěte všechny tyto trojúhelníčky a dostanete plochu.
6 Spočtěte plochu následujících útvarů:
1. Lemniskáty zadané vztahem 𝑟2
= 𝑎2
cos 2𝜑. 2. Kardioidy zadané vztahem 𝑟 = 𝑎(1 + cos 𝜑).
7 Určete:
1. objem a povrch tělesa vzniklého rotací křivky 𝑟 = sin 𝑧 pro 0 < 𝑧 < 𝜋;
2. délku jednoho oblouku cykloidy 𝑥 = 𝑡 − sin 𝑡, 𝑦 = 1 − cos 𝑡 pro 0 < 𝑡 < 2𝜋;
3. plochu mezi parabolami 𝑦 = 𝑎(𝑥2
− 1) a 𝑦 = −𝑏(𝑥2
− 1), kde 𝑎, 𝑏 jsou kladné;
4. plochu omezenou trojlístkem, který má v polárních souřadnicích rovnici 𝑟 = sin 3𝜑;
5. délku křivky zadané v polárních souřadnicích 𝑟 =
𝑝
1+cos 𝜑 (pro − 𝜋
2 < 𝜑 < 𝜋
2 ).
8 Když už umíme počítat délku křivky, můžeme spočítat i jiné věci. Zapište pomocí integrálu,
jak byste spočítali:
1. hmotnost drátu, je-li v každém jeho bodě zadána jeho délková hustota 𝜇;
2. moment setrvačnosti tyčky vzhledem k ose jdoucí jednak jejím prostředkem, jednak jejím koncem;
3. souřadnice těžiště nějakého plošného útvaru, je-li v každém jeho bodě dána jeho plošná hustota 𝜌.
9 Zbude-li čas: Spočtěte plochu měsíčku omezeného dvěma kružnicemi o poloměru 1, jejichž
středy jsou od sebe vzdáleny o 𝑎 (0 < 𝑎 < 1).