1 Následující rovnice řešte pomocí variace konstant. Body 4 a 5 řešte jen v případě, že Vám
zůstane čas!
1. 𝑦′
= 6𝑥𝑦+4𝑥e3𝑥2
; 2. 𝑦′
cos 𝑥 = (𝑦+2 cos 𝑥) sin 𝑥; 3. 𝑦′
e 𝑥2
+2𝑥𝑦e 𝑥2
= cos 𝑥; 4. 𝑦′
= 1
𝑥−𝑦2 ;
5. 𝑦′
= 1
e−𝑦−𝑥.
Nápověda: Někdy je lepší vzít převrácenou hodnotu celé rovnice a spočítat 𝑥 jako funkci 𝑦.
2 Řešte následující rovnice substitucí 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 pro některé konstanty 𝑎, 𝑏, 𝑐:
1. 𝑦′
+ 𝑦 = 2𝑥 + 3; 2. 𝑦′
= (6𝑥 + 2𝑦 + 3)2
; 3. 𝑦′
= cos(𝑥 + 𝑦 + 3).
Pozor! Musíte přepočítat i derivaci 𝑦′
na 𝑧′
!
3 U rovnic ve tvaru 𝑦′
= 𝑓(𝑦/𝑥) zase bývá rozumné klást 𝑦 = 𝑢𝑥. Díky tomu vyřešte následující
rovnice:
1. 2𝑥𝑦′
= 𝑦 + 𝑥; 2. (𝑥2
− 𝑥𝑦)𝑦′
+ 𝑦2
= 0; 3. 𝑥𝑦′
− 𝑦 = 𝑦 ln
𝑦
𝑥.
4 Řešte následující rovnice:
1. 𝑦″
− 16𝑦 = 0; 2. 𝑦″
+ 7𝑦′
− 8𝑦 = 0 při počátečních podmínkách 𝑦(0) = 1 a 𝑦′
(0) = 1;
3. 𝑦‴
+ 𝑦″
− 𝑦′
− 𝑦 = 0; 4. 𝑦(4)
+ 10𝑦″
+ 25𝑦 = 0; 5. 𝑦(7)
+ 2𝑦(5)
+ 𝑦(3)
= 0.
5 Řešte následující rovnice s pravou stranou:
1. 𝑦″
−2𝑦′
+𝑦 = 1; 2. 𝑦″
−𝑦 = 𝑥3
; 3. 𝑦″
−2𝑦′
= 4𝑥+2 cos 2𝑥; 4. 𝑦″
−5𝑦′
+4𝑦 = 4𝑥2
+17 sin 𝑥;
5. 𝑦″
+ 𝑦 = e 𝑥
cos 𝑥.