1 Řešte následující soustavy:
1. {
̇𝑥 = 2𝑥 + 𝑦,
̇𝑦 = 4𝑥 − 𝑦.
; 2. {
̇𝑥 + 𝑥 − 5𝑦 = 0,
̇𝑦 − 𝑥 − 𝑦 = 0.
; 3. {
̇𝑥 = 2𝑦 − 3𝑥,
̇𝑦 = 𝑦 − 2𝑥.
; 4. {
̇𝑥 = 𝑥 + 𝑦,
̇𝑦 = 3𝑦 − 2𝑥.
;
2 Zuřivost. Už máte analysy plné zuby, a tak zlostně mrsknete svůj sešit na stůl. Hmotnost
sešitu je 𝑚, v okamžiku dotyku se stolem má vodorovnou rychlost 𝑣0. Jak daleko po stole dojede, než
se zastaví? Koeficient smykového tření mezi sešitem a stolem je 𝑓.
3 Děravý válec. Máte válec o poloměru 𝑅, v němž je nalita voda do výšky ℎ0. V jeho dně se ovšem
udělala kruhová díra o poloměru 𝑟, takže voda teď teče pryč. Popište, jak se mění výška hladiny ve válci
v závislosti na čase. Jak dlouho bude trvat, než bude válec prázdný? Nápověda: Voda vytéká rychlostí
𝑣 = √2𝑔ℎ , kde ℎ je výška vody nad otvorem.
4 Vytápění. Představte si, že máte chatu se třemi místnostmi: sklepem, obývákem a podkrovím.
Venku je 0 stupňů Celsia a protože jste na chatě dlouho nebyli, je tato teplota i ve všech třech místnostech.
V obýváku jsou naštěstí kamna, v nichž rozděláte oheň. V dokonale isolované místnosti by tato
kamna zvyšovala teplotu o 20 stupňů za hodinu. Ovšem tady teče teplo jak do ostatních místností, tak
ven z chaty. Podle Newtona se je časová změna teploty rovna 𝑘(𝛵′
− 𝛵) kde 𝛵 je teplota v místnosti a 𝛵′
je teplota v místě, kam teplo uniká. 𝑘 je pro přechod mezi vnitřkem a vnějškem chaty rovno 1
4 hod
−1
a pro přechody mezi místnostmi v chatě 1
2 hod
−1
. Určete teploty ve všech třech místnostech v závislosti
na čase.
5 Koronavirus. Mějme 𝛮 lidí, z nichž v čase 𝑡 = 0 je 𝑥0 nakažených. Každý nakažený může
nakazit další lidi, ovšem jen ty, kteří dosud nakaženi nejsou. Rychlost šíření nákazy je tedy úměrná
𝑥(𝛮 − 𝑥), tj. součinu počtu nakažených a počtu nenakažených; konstantu úměrnosti označte třeba 𝑘.
Zjistěte, jak počet nakažených závisí na čase.
6 Otrávená jezírka. Tři stejná jezírka o objemu 𝑉 jsou navzájem propojena stejnými kanály.
Do prvního přitéká voda s průtokem 𝑄 (to je objem vody za jednotku času), ze třetího zase stejným
průtokem odtéká. Nějaký zloduch do prvního jezírka vylil kyanid o objemu 𝑣. Určete množství jedu
ve všech třech jezírkách v závislosti na čase, předpokládáte-li, že se v každém jezírku jed okamžitě
dokonale rozmíchá a že se voda nikde nehromadí, tj. z každého jezírka odtéká tolik, kolik přitéká.
7 Crusher. Někdy je potřeba zjistit, jaký tlak vyvíjí plyny při nějakém výbuchu. Takový starý
dobrý způsob, jak to změřit, spočívá v následujícím: výbuch se provede v pancéřované komoře s pístem,
který těsně naléhá na měděný váleček, tak řečený crusher. Tento váleček opět z druhé strany těsně přiléhá
k nějaké dokonale tvrdé zdi. Tlak výbuchu 𝑝 pak zatlačí na píst, jenž zabírá ve stěně komory plochu
𝑆, a ten stlačí crusher o nějakou délku 𝑥; ovšem crusher tomu klade odpor silou 𝑅 = 𝑅0 + 𝑘𝑥, kde 𝑅0
a 𝑘 jsou konstanty. Po výbuchu se crusher vyjme a změří se, o kolik se stlačil. Jak z toho spočítáte tlak
𝑝 způsobený výbuchem? Tento tlak považujte za konstantní, změnu objemu komory při posunu pístu
zanedbejte.
8 Skok s padákem. Vyskočili jste z letadla a teď padáte. V okamžiku otevření padáku jste padali
rychlostí 𝑣0, Vaše hmotnost i s padákem je 𝑚. K zemi Vás táhne tíhová síla, proti ní účinkuje odporová
síla vzduchu o velikosti 1
2 𝐶𝑆𝜌𝑣2
, kde 𝐶 je asi 1,2, 𝑆 plocha padáku a 𝜌 hustota vzduchu. Určete mezní
rychlost pádu 𝑤 (tj. rychlost, při níž se tíhová a odporová síla vyrovnají). Potom spočtěte rychlost pádu
v závislosti na čase a další integrací rychlosti zjistěte i závislost vzdálenosti, kterou jste překonali, na
čase. V čem se bude lišit Váš pád od padání mezní rychlostí, pokud budete padat hodně dlouho (𝑡 → ∞)?
Předpokládejte, že pořád padáte rychlostí 𝑣 < 𝑤.