1 Jistě si pamatujete, že plocha jakéhokoli trojúhelníku je rovna „1
2 ⋅(základna)⋅(výška)“. Řekněme,
že máme obecný trojúhelník, v němž známe dvě strany 𝑎, 𝑏 a úhel 𝛾 jimi sevřený. Zapište pomocí
těchto údajů plochu trojúhelníka.
2 Zapište vzorec předchozí úlohy pro všechny úhly (a přilehlé dvojice stran). Ať už ji počítáme
jakkoli, musí být plocha trojúhelníka samozřejmě stejná, takže můžeme mezi všechny tři výrazy pro
plochu napsat rovnítka. Uvidíte pak, jak z těchto rovností odvodit sinovou větu:
𝑎
sin 𝛼
=
𝑏
sin 𝛽
=
𝑐
sin 𝛾
?
(Zkuste si vzít rovnost mezi každou dvojicí výrazů pro plochu zvlášť.)
3 Zase si vezměme ten trojúhelník, v němž známe dvě
strany (třeba 𝑎, 𝑏) a úhel mezi nimi (𝛾). Zvládli byste spočítat
délku třetí strany 𝑐? Pomůže Vám obrázek. Strana 𝑎 je bohužel
rozdělena na kusy o délkách 𝑥 a 𝑎 − 𝑥, ovšem délku 𝑥, stejně jako
výšku 𝑣, můžete spočítat z levého pravoúhlého trojúhelníka.
Pokuste se o to.
4 Zdálky se koukáme na šikmou věž, která se naklání přesně
směrem od nás. Ve vzdálenosti 𝑎 od paty věže jsme ji viděli pod
úhlem 𝛼, ve vzdálenosti 𝑏 jsme ji viděli pod úhlem 𝛽. O jaký úhel 𝜃 se věž naklání směrem od svislice?
5 Je potřeba zaměřit dělo na cíl, který je schován za kopcem. Aby se to podařilo, zřídili vojáci dvě
pozorovatelny 𝛲1 a 𝛲2, ze kterých je vidět jak dělo, tak cíl. Dělo a obě pozorovatelny jsou na jedné přímce,
přičemž jsou známy vzdálenosti od děla k oběma pozorovatelnám. Obě pozorovatelny teď změří úhel
mezi dělem a cílem ze svého pohledu. Jak z těchto údajů zaměříte dělo? Musíte zjistit jak směr, ve
kterém se cíl nachází, tak i jeho vzdálenost.