1 Pro která 𝑥 nejsou definovány funkce tg 𝑥 a ctg 𝑥? Proč se v těchto 𝑥 pokazí? Pokuste se najít
nějaký důvod.
2 Jaká je parita následujících elementárních funkcí (tj. jsou liché, sudé, obojí nebo ani jedno)?
1. 𝑥2𝑘
, kde 𝑘 je jakékoli celé číslo, tj. 𝑥2
, 𝑥4
, 1/𝑥2
apod.; 2. tg 𝑥.
3 Mějme funkci 𝑓(𝑥) s definičním oborem 𝒟 a funkci 𝑔(𝑥) s definičním oborem ℰ. Určete definiční
obory následujících funkcí:
1. 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥). 2. 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥). 3.
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
;
4 Podle pravidel, jež jste si odvodili výše, určete definiční obory funkcí:
1.
𝑥 ln 𝑥
√ 𝑥2 − 2𝑥 − 2
; 2. arc cos
2𝑥 + 5
𝑥 + 3
; 3. arc sin(𝑥2
− 1) arc cos(3 − 𝑥2
).
5 Jakou paritu má: 1. součet nebo rozdíl dvou funkcí; 2. součin nebo podíl dvou funkcí,
jestliže: 1. obě funkce jsou sudé; 2. obě funkce jsou liché; 3. jedna je sudá a druhá lichá.
6 Pomocí odvozených pravidel či z definice určete paritu funkcí:
1. sin 𝑥 cos 𝑥; 2.
|𝑥3
| arc tg 𝑥
𝑥5 + 𝑥3 + 𝑥
; 3. e 𝑥
− e−𝑥
; 4. 𝑥2
+ 𝑥.
Výraz typu 𝑧 = 𝑎 + 𝔦𝑏, kde 𝑎 a 𝑏 jsou reálná čísla a 𝔦 je tzv. imaginární jednotka, nazveme
komplexní číslo. Imaginární jednotka je plně charakterisována vlastností 𝔦2
= −1.
Komplexní číslo se dá vyjádřit v „algebraickém“ tvaru, tj. 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝔦, kde 𝑎, 𝑏 jsou reálná
a nazývají se po řadě reálná a imaginární část čísla 𝑧. Značí se 𝕽𝖊 𝑧 a 𝕴𝖒 𝑧. Také se zavádí číslo
komplexně sdružené, značené většinou 𝑧⋆
či 𝑧. To se získá tak, že se u imaginární části otočí
znamení, takže (𝑎 + 𝑏𝔦)⋆
= 𝑎 − 𝑏𝔦.
7 Vypočtěte si těchto pár součinů (𝑥 a 𝑦 jsou reálná čísla):
1. (1 − 3𝔦) ⋅ (−2 + 3𝔦), 2. (−4 + 𝔦) ⋅ (−1 + 2𝔦), 3. 𝔦(𝑥 + 𝔦𝑦), 4. 2(𝑥 + 𝔦𝑦), 5. (5 + 3𝔦)(4 − 3𝔦).
8 Co z následujících vztahů platí?
1. 𝕽𝖊(𝑧 + 𝑤) = 𝕽𝖊 𝑧 + 𝕽𝖊 𝑤; 2. 𝕽𝖊(𝑧𝑤) = 𝕽𝖊(𝑧) ⋅ 𝕽𝖊(𝑤); 3. 𝕽𝖊 𝑧
𝑤 = 𝕽𝖊 𝑧
𝕽𝖊 𝑤
.
Změní se něco, když místo 𝕽𝖊 budeme psát 𝕴𝖒?
Komplexních čísel 𝑧 = 𝑥+𝔦𝑦 bývá často lepší zapsat v takzvaném polárním tvaru, tedy ve tvaru
𝑧 = 𝑟(cos 𝜑 + 𝔦 sin 𝜑) = 𝑟e𝔦𝜑
,
kde 𝑟 je nezáporné reálné číslo a 𝜑 je rovněž reálné. Číslu 𝑟 se pak říká velikost neboli modul čísla
𝑧 a označuje se |𝑧|; úhlu 𝜑 se říká argument čísla 𝑧 a označuje se arg 𝑧.
Symbol e𝔦𝜑
, který jsem uvedl výše, zatím berte prostě jako označení pro cos 𝜑+ 𝔦 sin 𝜑. Později
(ne nutně v tomto kursu) uvidíte, že definovat exponenciálu od komplexního čísla takto je jediná
věc, která dává smysl.
9 Komplexní čísla se často kreslí do roviny: číslo 𝑥 + 𝔦𝑦 se
prostě nakreslí jako bod [𝑥; 𝑦] v kartézských souřadnicích tak, jak
je to na obrázku vpravo. Kde na tomto obrázku najdete |𝑧| a arg 𝑧?
Nakreslete je tem.
10 Odvoďte pro velikost a argument čísla 𝑧 = 𝑥 + 𝔦𝑦 tyto
vztahy:
1. |𝑧| = √𝑥2 + 𝑦2 ; 2. tg arg 𝑧 =
𝑦
𝑥.
Nepovinně můžete odvodit i tyto: 3. cos arg 𝑧 = 𝑥
|𝑧|; 4. sin arg 𝑧 =
𝑦
|𝑧|.
11 Kolik je |e𝔦𝜑
| pro jakékoli reálné 𝜑?
12 Jestli se má e𝔦𝜑
chovat jako opravdová exponenciála, tak musí splňovat tuto základní podmín-
ku:
e𝔦𝜑
⋅ e𝔦𝜓
= e𝔦(𝜑+𝜓)
.
Ověřte to dosazením e𝔦𝜑
= cos 𝜑 + 𝔦 sin 𝜑 atd. za všechny exponenciály. Pak roznásobte závorky a použijte
součtové vzorce.
13 Jen s pomocí základní podmínky e𝔦𝜑
⋅ e𝔦𝜓
= e𝔦(𝜑+𝜓)
ukažte, že platí také:
1. e𝔦𝜑
⋅ e−𝔦𝜑
= 1, z čehož vyplývá e−𝔦𝜑
= 1
e𝔦𝜑 ; 2. (e𝔦𝜑
) 𝑛
= e𝔦𝑛𝜑
, kde 𝑛 je přirozené; 3. e𝔦𝜑
e𝔦𝜓 = e𝔦(𝜑−𝜓)
(použijte výsledek prvního bodu).
14 Čemu se rovná výraz e2𝜋𝔦
? A čemu e2𝑘𝜋𝔦
, kde 𝑘 je jakékoli celé číslo? Umíte z toho vyvodit, že
exponenciála e 𝑧
je funkce s periodou 2𝜋𝔦?
15 Jestliže jste zvládli všechna tato cvičení, můžete zas zapomenout vztahy z minulého cvičení.
Tohle je mnohem účinnější, než si pamatovat haldy vzorců, které potřebujete jen málokdy.
Například máme e2𝔦𝜑
= (e𝔦𝜑
)2
. Dosadíme e𝔦𝑥
= cos 𝑥 + 𝔦 sin 𝑥 a máme
cos 2𝜑 + 𝔦 sin 2𝜑 = (cos 𝜑 + 𝔦 sin 𝜑)2
= cos2
𝜑 − sin2
𝜑 + 2𝔦 cos 𝜑 sin 𝜑.
Kdyžporovnátereálnéaimaginárníčásti,dostanetevztahyprocos 2𝜑asin 2𝜑.Zkustesipodobněrychle
odvodit vztahy pro:
1. cos 3𝜑 a sin 3𝜑 (použijte e3𝔦𝜑
= (e𝔦𝜑
)3
); 2. cos(𝑎 + 𝑏 − 𝑐) a sin(𝑎 + 𝑏 − 𝑐) (použijte e𝔦(𝑎+𝑏−𝑐)
=
= e𝔦𝑎
⋅ e𝔦𝑏
⋅ e−𝔦𝑐
); 3. sin(𝑎 − 2𝑏) a cos(𝑎 − 2𝑏) (tady na to přijdete sami, ne?).
16 Ukažte, že (𝑟e𝔦𝜑
)⋆
= 𝑟e−𝔦𝜑
: tedy komplexní sdružení nechává velikost být a u argumentu
změní znamení.
17 Co z následujících vztahů platí? (Půjde to snáz, když 𝑧 a 𝑤 zapíšete v polárním tvaru.)
1. (𝑧 + 𝑤)⋆
= 𝑧⋆
+ 𝑤⋆
; 2. (𝑧𝑤)⋆
= 𝑧⋆
+ 𝑤⋆
; 3. ( 𝑧
𝑤)
⋆
= 𝑧⋆
𝑤⋆ ; 4. (𝑧 𝑛
)⋆
= (𝑧⋆
) 𝑛
.
18 Už víme, že když 𝑧 = 𝑥 + 𝔦𝑦, tak 𝑧⋆
= 𝑥 − 𝔦𝑦. Odvoďte z toho vztahy
𝕽𝖊 𝑧 =
𝑧 + 𝑧⋆
2
, 𝕴𝖒 𝑧 =
𝑧 − 𝑧⋆
2𝔦
.
Pak položte 𝑧 = e𝔦𝜑
. Měli byste dostat takzvané Eulerovy vztahy:
cos 𝜑 =
e𝔦𝜑
+ e−𝔦𝜑
2
; sin 𝜑 =
e𝔦𝜑
− e−𝔦𝜑
2𝔦
.
19 Ukažte, že platí 𝑧𝑧⋆
= |𝑧|2
. Dovedete z této formulky odvodit to, že
1
𝑧
=
𝑧⋆
|𝑧|2 ?