1 Mějme výraz e𝔦𝜑
+ e𝔦𝜓
. Vytkněte z obou sčítanců e𝔦
𝜑+𝜓
2 . Tím byste měli dojít k rovnosti
e𝔦𝜑
+ e𝔦𝜓
= 2e𝔦
𝜑+𝜓
2 cos
𝜑 − 𝜓
2
.
Nyní oddělte reálnou část a zjistěte, čemu se rovná cos 𝜑+cos 𝜓. Pak oddělte imaginární část a zjistěte,
čemu se rovná sin 𝜑 + sin 𝜓.
2 Řekněme, že 𝛼, 𝛽, 𝛾 jsou úhly v rovinném trojúhelníku. Dokažte vztah
4 cos
𝛼
2
cos
𝛽
2
cos
𝛾
2
= sin 𝛼 + sin 𝛽 + sin 𝛾.
Zkuste vlevo za kosiny a siny dosadit podle Eulerových vzorců (viz úlohu 16 v předchozím pracovním
listě). Nezapomeňte, že 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 𝜋, takže mj. platí e𝔦(𝛼+𝛽+𝛾)
= −1, e𝔦(𝛼+𝛽)
= −e−𝔦𝛾
apod.
3 Roznásobením se přesvědčte, že (2 + 𝔦)(3 + 𝔦) = 5 + 5𝔦. Vezmete-li argument obou stran
a uvážíte-li, že při násobení se argumenty sčítají, dostanete arg(2 + 𝔦) + arg(3 + 𝔦) = arg(5 + 5𝔦), tj.
arc tg 1
2 +arc tg 1
3 = 𝜋
4. Zvládli byste podobným způsobem ukázat, že platí
𝜋
4
= 4 arc tg
1
5
−arc tg
1
239
?
4 Víte, jak se sčítá geometrická řada? Pro připomenutí: platí
1 + 𝑥 + 𝑥2
+ ⋯ + 𝑥 𝑛−1
=
𝑥 𝑛
− 1
𝑥 − 1
.
Zkuste teď dosadit 𝑥 = e𝔦𝜑
. Dokázali byste z toho dojít k následujícímu vztahu?
e𝔦𝛼
+ e𝔦(𝛼+𝜑)
+ e𝔦(𝛼+2𝜑)
+ ⋯ + e𝔦(𝛼+(𝑛−1)𝜑)
= exp [𝔦 (𝛼 +
𝑛 − 1
2
𝜑)]
sin
𝑛𝜑
2
sin
𝜑
2
.
Vemte reálnou a imaginární část. Tím dokážete sečíst cos 𝛼 + cos(𝛼 + 𝜑) + ⋯ + cos[𝛼 + (𝑛 − 1)𝜑] a též
sin 𝛼 + sin(𝛼 + 𝜑) + ⋯ + sin[𝛼 + (𝑛 − 1)𝜑].
5 Zatím jsme řešili jen siny a kosiny, ale můžeme se zabývat i tangentami. Můžeme totiž napsat
e𝔦𝜑
= cos 𝜑 ⋅ (1 + 𝔦 tg 𝜑).
Všimněte si, že tg 𝜑 = 𝕴𝖒 e𝔦𝜑
𝕽𝖊 e𝔦𝜑 . Proto můžeme také psát
𝑧 = e𝔦(𝜑+𝜓)
= e𝔦𝜑
e𝔦𝜓
= cos 𝜑 cos 𝜓(1 + 𝔦 tg 𝜑)(1 + 𝔦 tg 𝜓).
Podělte imaginární a reálnou část posledního výrazu. Tím byste měli dostat
tg(𝜑 + 𝜓) =
tg 𝜑 + tg 𝜓
1 − tg 𝜑 tg 𝜓
.
Dovedete to zopakovat pro tři úhly a vyjádřit tím tg(𝛼 + 𝛽 + 𝛾)?
6 Řekněme, že 𝛼, 𝛽, 𝛾 jsou úhly v rovinném trojúhelníku. Ukažte, že platí
tg 𝛼 + tg 𝛽 + tg 𝛾 = tg 𝛼 tg 𝛽 tg 𝛾
a také
tg
𝛼
2
tg
𝛽
2
+ tg
𝛽
2
tg
𝛾
2
+ tg
𝛾
2
tg
𝛼
2
= 1.
(Pomohou Vám k tomu vzorce z předchozího bodu.)