Optimalisační úlohy
1 Máme čtvercový kus plechu o straně 𝑎, z něhož chceme udělat hranatou nádobu. V rozích
odřežeme čtyři čtverečky, načež čtyři postranní části ohneme nahoru a spojíme. Jak vysokou máme
nádobu udělat, chceme-li, aby měla co největší objem?
2 Z válcového kmene chceme vytesat trám obdélného průřezu tak, aby měl co největší nosnost.
Jaký má být poměr stran, je-li nosnost úměrná součinu šířky a čtverce výšky trámu?
3 Jaký tvar má mít bazén s čtvercovým dnem, aby se při zadaném objemu spotřebovalo co nejméně
materiálu na vyzdění dna a stěn?
4 Jaký tvar má mít válec, aby měl při zadaném objemu co nejmenší povrch?
5 Jakou největší část plochy půlkruhu může zabírat obdélník, který je do něj vepsán?
6 Do jaké výšky máme pověsit lampu nad střed kruhového stolu o poloměru 1, chceme-li, aby
byla na kraji stolu co možná největší intensita osvětlení? Intensita je v každém bodě stolu rovna
𝑘 sin 𝜑
𝑟2 ,
kde 𝜑 je úhel mezi dopadajícími paprsky a deskou stolu, 𝑟 je vzdálenost daného bodu od lampy a 𝑘 je
konstanta úměrnosti.
7 Mějme železnici vedoucí ze severu na jih, která končí v Horní Dolní. O kus dál je fabrika, která
je od železnice vzdálena o 𝑎 kilometrů a je o 𝑏 kilometrů severněji než Horní Dolní. Pod jakým úhlem
máme z fabriky postavit přípojku k železnici, pokud chceme, aby přeprava z fabriky do Horní Dolní
vyšla co nejlevněji? Přeprava po přípojce stojí 𝑝 zlaťáků za kilometr, po původní železnici 𝑞 zlaťáků na
kilometr (𝑝 > 𝑞).
8 Ze silnice o šířce 𝑎 odbočuje pod pravým úhlem menší silnička o šířce 𝑏. Jaká je největší délka
vozidla, které se na odbočce dokáže vytočit, aniž by opustilo vozovku?
9 Z kruhu o poloměru 1 vyřízneme výseč se středovým úhlem 𝜑 a rovné části slepíme k sobě,
takže vznikne kornout. Jaký má být středový úhel, aby byl objem výsledného kornoutu co největší?
(Nápověda: Výseč má obvod 𝜑 (nepočítáme-li části, které se později slepí). Z tohoto obvodu se po slepení
stane obvod podstavy kužele.)