Přibližné počítání
Pro připomenutí nabízím Taylorův vzorec:
𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥) +
∞
∑
𝑛=1
𝑓(𝑛)
(𝑥)
𝑛!
ℎ 𝑛
.
Taktozískanénekonečnéřadymajíčastosmysljenproněkteréhodnotyℎ.Oboryplatnostitěchto
řad vždycky uvádím v závorce, ale to nemusíte dokazovat (to Vás čeká až za dva semestry).
Diferenciál funkce 𝑓 je
d𝑓 = 𝑓′
(𝑥) d𝑥.
1 Bez užití kalkulačky přibližně pomocí diferenciálu vyčíslete:
1. 3
√1,02 ; 2. sin 29°; 3. arc tg 1,05; 4. 1
2,07.
Zkuste to na 3 platné číslice přesně. (Některé konstanty: 𝜋 ≈ 3,14, √3 ≈ 1,73.)
2 Hodíte míč rychlostí 𝑣 = 10 m s−1
pod úhlem 𝛼 = 30° a dohodíte asi 8,83 m. Určete přibližně
pomocí diferenciálu, oč dál dohodíte, pokud:
1. hodíte o 10 % vyšší rychlostí; 2. hodíte pod úhlem o 5° větším.
(Z elementární fysiky byste už měli vědět, že dolet takového hodu je 𝑥 = 𝑣2
sin 2𝛼
𝑔 .)
3 Rozviňte funkci (1 + 𝑥) 𝛼
v nekonečnou řadu kolem bodu 𝑥 = 0 (|𝑥| < 1, 𝛼 je libovolné reálné
číslo).
4 Rozviňte funkci e 𝑥
v nekonečnou řadu kolem bodu 𝑥 = 0 (𝑥 ∈ ℝ). Pak ji rozviňte v řadu
kolem bodu 𝑥 = 𝑎, kde 𝑎 je jakékoli reálné číslo.
5 Rozviňte funkce sin 𝑥 a cos 𝑥 v nekonečné řady kolem bodu 𝑥 = 0 (𝑥 ∈ ℝ).
6 Rozviňte funkci ln(1 + 𝑥) v nekonečnou řadu kolem bodu 𝑥 = 0 (|𝑥| < 1).
7 Vhodným rozvojem pod znamením limity spočtěte lim𝑥→0
cos 𝑥 − e−𝑥2
/2
𝑥4 .
8 Přibližně upravte následující výrazy (|𝑥| berte jako malé oproti 1):
1.
3
√1 + 𝑥
1 − 𝑥
− 3
√
1 − 𝑥
1 + 𝑥
(do 𝑥1
); 2.
1
ln(1 + 𝑥2)
(do 𝑥4
); 3. 1 −
1
e
(1 + 𝑥)1/𝑥
(do 𝑥2
).
9 Rozviňte tg 𝑥 do řady (až do 𝑥3
) bez použití Taylorova rozvoje takto: řekněme, že tg 𝑥 = 𝑎0 +
+ 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
+ 𝑎3 𝑥3
+ ⋯, kde 𝑎0 atd. jsou koeficienty, které zatím neznáme. Jelikož platí sin 𝑥 =
= cos 𝑥 tg 𝑥, platí také
𝑥 −
𝑥3
6
+ ⋯ = (𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
+ 𝑎3 𝑥3
+ ⋯) (1 −
𝑥2
2
+ ⋯) .
Roznásobením součinu vpravo a porovnáním jednotlivých mocnin zjistěte hodnoty neznámých koeficientů
𝑎𝑘. Tím dostanete začátek rozvoje tangenty.