Zbytky, intuice, technikálie
1 Máme pomeranč o objemu 𝑉 s velmi tenkou slupkou o tloušťce d𝑥. Jak se změní 𝑉, jestliže
slupku oloupeme?
2 Kolikrát může funkce protínat svou asymptotu se směrnicí? Je tam nějaká horní hranice,
za kterou už nelze jít?
3 Jaký je definiční obor funkce 𝑊(𝑥), která je definována jako inversní funkce k 𝑥e 𝑥
? (Wikipedie
je zakázána, zkuste na to přijít sami! Pokud nevíte jak, zkuste nejdřív zjistit, jakých všech hodnot může
nabývat 𝑥e 𝑥
.)
4 Když po použití l’Hospitalova pravidla dostaneme limitu, která neexistuje, znamená to, že
původní limita taky neexistuje? (Nápověda: Vyšetřete např. limitu lim𝑥→∞
𝑥 + sin 𝑥
𝑥 − sin 𝑥
.)
5 Běžec cvičí běh na přímé trati tak, že běží ze startu do cíle a pak zase zpátky. Dokažte, že pokud
jeho rychlost je spojitá, musela být v nějakém okamžiku nulová.
6 Vypočtěte limitu lim𝑥→0
ln sin 𝑎𝑥
ln sin 𝑏𝑥
.
Tyhle úlohy jsou tu trochu „vedle“, protože jsou míněné na Weierstrassovu větu a ta s derivacemi
nutně nijak nesouvisí. Ale přesto bych byl rád, kdybyste si je vyzkoušeli.
7 Dokažte, že v některém okamžiku Vašeho života jste měřili právě 1 metr.
8 Mnich za úsvitu přišel k patě hory a celý den strávil výstupem nahoru. Tam přespal v chrámu
a dalšího dne opět za úsvitu vyrazil a celý den strávil sestupem dolů po téže cestě. Dokažte, že na cestě
existuje aspoň jeden bod takový, že tam mnich byl v oba dny přesně ve stejný čas.
9 Dokažte, že na rovníku jsou dva takové body přesně naproti sobě, v nichž je stejná teplota.