Sedmé cvičení (neurčité integrály)
Základní pravidla pro počítání integrálů
Několik užitečných faktů o integrování:
• Neurčitý integrál je opakem derivace, tj. když je /' = g, tak to znamená, že \ g dx=f.
• Protože derivace konstanty je nula, musí se k výsledku integrování přičíst libovolná konstanta. •Integrál je lineárn^^ I
• Integrace per partes: jfg'dx—fg — j f g dx, kde /, g jsou funkce.
• Substituce: pokud chceme v integrálu přejít k jiné proměnné, musíme přepsat i dx. S tím se zachází jako při derivování. Tabulka integrálů: https://is.muni.cz/auth/el/sci/podzim2020/M1100F/um/tabulka-derivaci-integralu.pdf.
V této lekci nás bohužel nečeká nic jiného než integrování, integrování a zase integrování. Je to dovednost, která je na jednu stranu velmi potřebná, na druhou stranu spočívá na všelijakých tricích, které se musíte naučit. A to nejde jinak než počítáním.
86   Spočtěte tyto integrály:
r
x dx
1. (3-x2)jdx
1 + x2'
3.   (l+sinx+cosx)dx;       4. (2*+3*)2dx.
87
Provedením lineární substituce vypočtěte následující integrály:
1.   (e-*+e-2l)dx;      2.   (2x-3)10dx; 3
dx
^2-3x2'
dx
1 + sin x
88
Rozbitím na součet vypočtěte integrály:
1.    x2(2-3x2)2dx; 2.
1 + x
1 —x
dx; 3.
x2dx 1 + x'
4.    xV2 — 5x' dx; 5.
xdx ^l-3x''
89
Pomocí rozličných jednoduchých substitucí spočtěte integrály:
1.
In2 x
dx; 2.
2 + e*
dx; 3.
dx
e* + e~x
4.
sin x + cos x
v7sin x -
^
ln(x + Vx2 + l
1 + x2
dx;       8.    sin3 xdx;       9.    cos5 xdx; 10
dx; 5.
dx
are tg x 1 + x2
dx; 6.
90
Spočtěte následující integrály pomocí integrace per partes:
dx
(arcsinx)2-\/1 — x2'
[^„xdx;      2.J««.xdx;      3. J 4.Jxíoxdx;      5. j x- lox dx. kde a* -1 je reálný parametr;
6.   (arcsinx)2dx; 7.
xe^ dx /
:-—;       8.    In" xdx, n je přirozené číslo.
x + l)2 J
Nápověda: Ad 6. Co je lepší než per partes? Dvakrát per partes! Ad 7. (xe1)' = e*(x + 1). Ad 8. Co je lepší než per partes? w-krát per partes!
91
Užitím vhodných substitucí vypočtěte tyto integrály:
1.    xj(l-5x2)lüdx; 2
V2 —x
dx;
dx
(x2+ a2)3/2'
4. J        — x)dx; 5.
dx
(x —a)(b — x)
(<í < x <
dx
^/(x+íj)(x + ^)'
(a < b);
„aretg x
(1+x2)3/2'
Nápověda: Ad 3. x =<ítg». Ad 4. x =sin u. Ad 5. x — a — (b — a)sin u; Ad 6. x +a — (b — a)sh u.Ad7. x—tgu.
1
Odpovědi a řešení
f f 9 x7
86.     Ad 1. Rozvineme podle binomické věty: I (3—x ) dx = I (27—27x +9x4—x )dx = 27x—9x +^x5——+C. Ad 2. Přičteme
a odečteme jedničku:
1 + x2
-dx
l + x2-l 1 + x2
dx = dx
dx 1 + x2
x — arctgx + C. Ad 3. Integrujeme jednotlivé sčítance a
9*
dostaneme x — cos x + sin x + C. Ad 4. Rozepíšeme mocninu:   (2* + 3*) dx =   (4X + 2 • 6* + 9* )dx =---h 2---h---h C.
J J ln 4      ln 6    ln 9
87.     Ad 1. J"(e_I +e-2*)dx = j e~x dx + j e~2x dx. V prvním integrálu položíme —x = u, takže je dx = —du, v druhém integrálu
1 1
dáme —2x = u, takže dx = —du 12. Celkem máme výsledek —e~x--e~" = e~x + -e-2* + C. Ad 2. Lineární substituce u — 2x — 3, dosta-
2 2
1
l»u 1
r
neme -    u10 du =--= —(2x—3)U + C. Ad 3. Chceme se zbavit dvojky, takže ji vytkneme:
2 11 22
dx
1
V2-3x2' V?
r
dx
1-(7fx
T       , v, V?       , 1
led polozíme u — —=x a mame —— ——
. = —— arcsinw = —— arcsin —+ C. Ad 4. Zapišme sin x = cosf--x ). Z toho
v/r^ y? ť V2 y
je vidět, že je 1 —sinx = 1 — cos( — — x j — 2sin y— — — j, takže hned máme
dx
r
1 + sin x
dx
2sin (j—j
t, i   v, 71 X
-. Polozíme u —---,
1 4 2
takže výsledek je
du sin2 «
-ctg« = -ctg(       j ) + C
r                    r                         4r3   i?r5   Qr7 1 88.     Adl.    x2(2-3x2)2dx=   (4x2-12x4+9x6)dx - -í---j- + ^-+C. Ad 2. Tady pomůže -
1 + x       x +1      A 2 1-
-x       x — 1 x — 1
To už se snadno integruje na —x — 2ln(x — 1) + C. Ad 3. Přerozložíme x2 takto: x2 = [(x + 1) — l]2 = (x + l)2 — 2(x + 1) + 1. Pak
1 + x
-dx
I \ 2
x + 1 — 2 h--jdx =--x +ln(x + 1) + C. Ad 4. Tady přepíšeme x jako —(2 —5x) + - . Tím dostaneme
3c I 1 / 2 5 5
j xj2~^dx = j (§ - i(2 -5x)) V^ŠTdx = 1 j(2-bxfl2dx-g j(2-bxfl2dx = -^(2-5x)3/2+^(2-5x)5/2+C. Ad5. Zase
,   ■     r     m 1/ n      1      , v      ,v „, /   ■ ,      1   f r/ n-l/3     / n2/3-i , (l-3x)5/3      (l-3x)2/3 ^
podobný trik: x =—j(l— 3x)+ -, takže nas integrál lze psat jako - I [(1 —3x)  ' — (1 — 3x) ' Jdx =-—------h C.
-3 ln3
89.     Ad 1. Klademe lnx = u, — — du. Pak dostaneme í u2 du — — =--h C. Ad 2. Položíme ex — u. Pak je i ex dx — du a máme
x 3      3 '
-— ln(» +2) = ln(e* +2)+C. Ad3.Dáme x = lnu, dx — —.Dostaneme
2 + u u
r
du
r
u{u + u~l)
du 1 + u2
■ arctg« = arctge*+C.
2/3.
Ad 4. Stačí položit u = sinx -cosx. Pak je du = (cosx + sinx)dx, takže náš integrál přejde v \ u~^du a je tedy roven \t = - (sinx —cosx) ' + C. Ad 5. Tady položíme u — arctgx, du —-- a máme prostě    udu — — =--h C. Ad 6. Tady je
^ 1  I i 2 2
třeba klást arcsinx = », du — . Pak počítame    u~2du — —u~l —--:--h C. Ad 7. Položíme ln(x + v x2 + 1
•\/l — x2' J arcsinx v
mame te<
r U ' 2 _I -v2
dy du = ^ Integrál přejde v J u1^2du = = J [m(x + V*2 + l')] + C. Ad 8. Oddělíme jeden sinus a pře-: (1 — cos2x)sinx. To se výborně hodí na substituci cosx — u, du — —sinxdx. Integrál tedy vyjde — cos x + C. Ad 9. Podobně jako v předchozím bodě máme cos5 x = (1 —sin2 x)2 cos x, tj. j cos5 xdx —
2\2 u2,     u5      .        sin3x sin5x
(1 — u ) du — u---1--=sinx---1--
V        ' 3      5 3 5
C. Ad 10. Jelikož (ctgx)' = -1/ sin2 x, měli bychom přepsat sinus pomocí
kotangent. To se dá udělat takto: sinx =
y/1 + ctg2 x
-. Takže můžeme psát
dx
sinx
-dx
sin x ^/l + ctg2x'
Vi + «2'
2
2 *
: ln(u + y/ u2 + í'\ = lnŕctgx + y/1 + ctg2 x'] = ln —--= ln 2
sinx
2 sin -j cos -j
90.     Ad 1. xarctexdx
arctgx
1 + x2 x2
— arctgx--
2      5 2
l + x:
Tnctg- +C. 2
;dx. V čitateli přičteme a odečteme jedničku, zlomek se
1 x + 1 x
rozpadne na 1 —--- a to už se snadno integruje. Výsledek je —-— arctgx — — + C. Ad 2. | arcsinx dx =
r
x are sm x
xdx a/T^2
x are sin x
i^+C.Ad3.pe-d«
X
x e-
2x
2C
X
—e 2
xe 1 dx:
x2 + l
e 1 + C. Ad 4. Derivovaním zrušíme x:    x sin xdx
x 1
sin x   — cos x
Ad 5. xalnxdx
lnx
a + 1
or +1
xa+1lnx-
a+í
xa dx
a+ 1
xa+1(lnx
x cos x + I cos x dx = sin x — x cos x + C. 1
věda, tady to bude chtít per partes použít dvakrát po sobě. Počítejme: | (arcsinx) dx =
1
a + í
(arcsinx) 1
C. Ad 6. Jak varuje nápo-= x(arcsinx)2 +
2   2 are sin x
a/T^x
-2x
VT^2
;dx =
-2x
VT^x2
VT^2
to derivovat, jak upozorňuje nápověda:
2y/l-x2' xe1 dx
(X + l)2 "
= x(arcsinx)2 +2-\/1 — x2'arcsinx —2x + C. Ad 7. Tady je potřeba oddělit xex
xex      e*(x + l) 1 1
x + 1
e*dx = eI M
x +1 /     x + 1
+ C.
(x + 1)2       x + 1
Ad 8. Položme x = eM, dx = e" du. Tím integrál přejde na j u"e" du. Teď musíme použít per partes: un se derivuje na nun~l a e" se
integruje na e". Máme tedy j une" du — e"u" — n j un~le" du. To je ale úplně stejný typ integrálu jako předtím. Scéna se tedy opakuje
" 1 ^
a konečně zjišťujeme, že integrál je roven e" [»" — nu"~l + n(n — l)u"~2-----h (—l)"w!] = C + (—l)"»!x^      1)^   , ■
91.     Ad 1. Položíme 1 — 5x2 = u, du = — lOxdx. Také vidíme, že je x2
1 — u
. Pomocí toho všeho přepíšeme integrál na
1
10
í — u
■ u10 du — — 5 50
1 /(l-5x2)12 (l-5x2)
2\11
12
11
C. Ad 2. Položíme 2 — x — u, dx — —du. Tak integrál přejde na tvar
(2 — u)2        f 2(2 — x)5!1   8(2 —x)3/2
-—-=^-du -   (u3/2—4ul/2+4u~l/2)du - —----------|-8\/2 — x' +C. Ad 3. Položíme x = atgu. Integrál tím přejde na
yjU J 5 3
a(\+tg2 u)du 1 (a2tg2u+a2y/2 a2
du
^l+tg2u'
1    í , 1    . 1 tR»
cos u du — — sin u -
1 x/a
Vx2+a2'
+ C. Ad 4. Polo-
žíme x = sin2 u,dx — 2sin« cos«. Integrál pak přejde na 2   sin2 « cos2 udu — j j sin2 2« du — ^ j (\—cos4u)du — —--^  . Jelikož
sin4« = 4 sin « cos3 «—4 sin3 u cos u = 4 sin u V1 — sin2 u '(1—2 sin2 «), shledáme po dosazení sin « = >Jlc, že je sin4« = 4^/ x(l — x)'(l—2x),
\ \ _
a tak je konečný výsledek roven - aresin ^/x1 — —y/x(l —x)'(l —2x). Ad 5. Tady použijeme podobnou logiku jako v předchozím bodě, jen je nutno položit x— a = (b —a)s'm2 u. Pak také vidíme, zeje b — x— b— a — (x— a)— (b — a)(l— sin2 u)— (b —a) cos2 u. Také máme
dx = (b — a)2s'mu cos u du. Dosadíme-li to do integrálu, dostaneme
(b —a)2smucosudu yj (b — <í)sin2 u(b —a)cos
(b — <í)2sin« cos u du (b — a) sin u cos u
=    2du = 2u. No, to věru není složitý výsledek. Jen musíme obrátit rovnost x — a = (b —a)s'm2u, což dá u = aresin
takže celkem máme 2aresin\l-- + C. Ad 6. Úplně stejně jako v předchozím bodě dostaneme výsledek 2u — 2arshW--
3
2ln----1- C. Ad 7. Položíme x = tg», dx = (1 +tg u)áu, tj. d»
dx 1 + x2
■. Proto dostaneme
ľd«
= j e" cos u du = Xe Je(1+i)ad» - Xe^_l_e(1+i)") - - J
7T
cos \u--
4
earctgx     1 + x
2
earctgx  , ^       _        _    ^       earctgx l+tgw
——— cos u cos —h sin u sin — =---
+ C.
4