/2, kde poslední úprava vyplývá z Eulerova vzorce cos
o, takže nemusíme řešit posun argumentu o 7T, který by nastal, kdyby toto číslo bylo záporné. Druhá úloha Vyjádřete cos 3X pouze pomocí cos x. \¥i bodu] Jelikož máme e3lx = (elx)3, musí platit cos 3X + i sin 3X = (cos x + i sin xf = cos3 x + 3i cos2 x sin x — 3 cos x sin2 x — i sin3 x. Vzavše reálnou část, obdržíme výsledek cos ix = cos3 x — 3 cos x sin2 x = cos3 x — 3 cos x(i — cos2 x) = 4 cos3 x — 3 cos x. Třetí úloha ln(ln x) 3 Zjednodušte výraz ^ ln* . [V4 bodu] ln(ln x) Tady byl bohužel v zadání překlep — místo toho mělo být x lnx . Proto jsem uznával jakoukoli validní úpravu, kterou jste udělali. Čtvrtá úloha 4 Dvě železnice ve tvaru úsečky se křižují pod pravým úhlem. Na obou železnicích vyjedou ve stejné chvíli z konečných stanic vlaky stálou rychlostí v směrem k průsečíku. Kdy k sobě budou oba vlaky nejblíž a jaká bude tato minimální vzdálenost, jestliže první vlak začíná ve vzdálenosti a od průsečíku, zatímco druhý začíná ve vzdálenosti bl (Nápověda: zkuste doplnit na čtverec v proměnné f (tj. v čase).) [1 bod] V čase t bude první vlak ve vzdálenosti a — v t od průsečíku a druhý b — vt. Jelikož jsou železnice na sebe kolmé, je vzdálenost dána Pythagorovou větou: d2 = (a- vt)2 + (b — vt)2 = 2(vt)2 - 2vt(a + b) + a2 + b2. Doplníme na čtverec v součinu vt: d2 = 2 a + bÝ a2 + b2 {a + b)2 vt--I +--^-- Poslední dva zlomky dáme na společného jmenovatele a roznásobíme (a + b)2, čímž nakonec dostaneme d2 = 2 [vt — a + b\ (a - b) + (a-b) \a-b\ Minimum je tedy d = 2 , neboli d = —jjr- Toto minimum nastane v okamžiku, kdy se závorka vynuluje, tj. když platí f i+b 2V Pátá úloha 5 Na stůl o straně R připevníme dvě zrcátka tak, jak je to znázorněno na obrázku. Díváme se z bodu A na vzdálený strom S, přičemž stůl nám část stromu zakrývá. Nato otáčíme levým zrcátkem tak dlouho, dokud obraz v pravém zrcátku nebude přesně navazovat na vršek stromu, který vidíme přes něj. Jak můžete z natočení zrcátka (na obrázku a) zjistit, jak je strom daleko? [i bod] Středy obou zrcátek a strom tvoří pravoúhlý trojúhelník, ve kterém známe jednu odvěsnu R a chceme dopočíst tu druhou. Vše se tedy redukuje na zjištění úhlu mezi příchozím a odchozím paprskem na levém zrcátku. Tečkovaná čára u tohoto zrcátka vyznačuje směr kolmice k zrcátku. Podle zákona odrazu, který byste měli znát z elementární fysiky, je úhel dopadu (tedy úhel mezi příchozím paprskem a kolmicí) roven úhlu odrazu (tedy úhlu mezi kolmicí a odchozím paprskem). Zároveň snadno dopočteme, že mezi kolmicí a odchozím paprskem je úhel a, tedy mezi příchozím a odchozím je dvakrát tolik. Pak už snadno zjistíme vzdálenost, která je rovna R tg ia. Šestá úloha Ukažte, že každou funkci f(x), která je definována pro všechna reálná x, lze zapsat jako součet sudé a liché funkce, [i bod] Jestliže to jde, pak musí jít zapsat f(x) = g(x) + h(x), kde g je sudá a h lichá. Proto máme f{x) = g(x) + h(x), f(-x) = g(x) - h(x). Sečtením a odečtením těchto dvou rovností dostáváme recepis na konstrukci těchto dvou funkcí: g(x) = /(*)+/(-*) h(x) = Tohle byl ovšem důkaz tak trochu „pozpátku" — předpokládali jsme, že to, co jsme měli do kázat, už platí! Dostali jsme ale výrazy pro funkce g, h, a ty vyhovují všem požadavkům úlohy: g je skutečně sudá, h je skutečně lichá a jejich součet je skutečně f. Protože jsme skutečně každou funkci zapsali jako součet sudé a liché, je přece jenom důkaz zdárně dokončen. 7 Nalezněte všechny funkce f(x), které jsou definovány pro všechna reálná x a které jsou sudé i liché zároveň, [i bod] Je-li funkce / sudá, musí platit f(—x) = f(x). Naopak je-li lichá, musí platit f(—x) = —f(x). Proto máme/(x) = —f(x), čili/(x) = o.