První písemka
Tahle písemka má možná složitější strukturu, než na jakou jste zvyklí. Funguje ale podle dvou jednoduchých
pravidel:
0. Je to písemka à la „švédský stůl“. Není míněná tak, že máte vyřešit všechno, ani se o to
nesnažte!
1. Z každého barevného kastlíku můžete získat max. 1 bod (tj. i pokud byste vyřešili úlohy za víc,
dostanete jenom jeden bod).
2. Z celé písemky můžete získat max. 2 body.
Počtářství
1 Zapište číslo
1
1 + √2 + √3
tak, aby ve jmenovateli nezůstala žádná odmocnina. [½ bodu]
2 Vyjádřete sin 3𝑥 pomocí sin 𝑥 a cos 𝑥. [½ bodu]
3 Zjednodušte výraz log 𝑎
𝑏 ⋅ log 𝑏
𝑎. [½ bodu]
Slovní úlohy
4 Ve starém Babyloně se násobilo pomocí tabulek čtverců. Představte si, že máte vypsané
druhé mocniny přirozených čísel od 1 do 100. Jak se dají pomocí této tabulky (a trochy sčítání
a odčítání) vynásobit jakákoli dvě dvouciferná přirozená čísla? [1 bod]
5 Stojíte na břehu široké řeky, na jejímž druhém břehu je šedesátimetrový podstavec a na
něm devítimetrová socha. Všimli jste si, že sochu vidíte pod právě stejným úhlem jako člověka,
který stojí u paty podstavce a měří dva metry (pro jednoduchost). Jak široká je řeka? [1 bod]
Technikálie
6 Dokažte, že je-li 𝑥 kladné, pak 𝑥 + 1
𝑥 je vždy aspoň 2. [1 bod]
7 Nechť 𝑓(𝑥) má definiční obor 𝒟 a 𝑔(𝑥) definiční obor ℰ. Jaký definiční obor má výraz
𝑓(𝑔(𝑥))? [1 bod]