2. ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU V tejto kapitole sa zoznámime s maticami, t. j. obdĺžnikovými tabuľkami, pomocou ktorých budeme kódovať najrôznejšie dôležité údaje o vektorových priestoroch, a naučíme sa s nimi zaobchádzať. Niektoré operácie s maticami budú zatiaľ nemotivované, ich význam vyjde najavo až neskôr. Od čitateľa tak žiadame istú dávku trpezlivosti, podobnú tej, akú musí prejaviť prváčik na základnej škole, ktorý tiež musí najprv zvládnuť jednotlivé písmenká, potom sa naučiť, ako sa z nich skladajú slová, a až potom môže začať čítať zmysluplné texty. Tento vklad sa nám zúročí neskôr, keď nám umožní hladko napredovať a nezdržiavať sa pri nepodstatných otázkach. Pri prvom čítaní možno vynechať odstavce venované blokovým maticiam a maticiam nad vektorovými priestormi. Celkom postačí nalistovať si príslušnú časť až vo chvíli, keď sa s blokovými maticami stretneme v ďalších kapitolách. 2.1. Matice nad danou množinou 2.1.1. Typy matíc. Nech X je ľubovoľná množina a m, n G N. Maticou typu m x n, alebo tiež m x n-rozmernou maticou nad množinou X rozumieme obdĺžnikovú tabuľku a±2 ■ ■ ■ a\n \ 022 • • • &2n Om2 • • • Q"mn ' pozostávajúcu z prvkov množiny X. Skrátene tiež píšeme A = (aý)mxn, alebo len A = iflij). Prvky a^- G X, kde 1 < i < m, 1 < j < n, sa nazývajú prvkami matice A. Prvok aij nachádzajúci sa v z-tom riadku a j-tom stĺpci matice A nazývame tiež prvok v mieste (i, j), prípadne (i,j)-ty prvok matice A. Množinu všetkých m x n-rozmerných matíc nad množinou X značíme Xmxn. Ak m = n, hovoríme o štvorcových maticiach rádu n nad množinou X. Poznamenajme, že v prípade, keď niektoré z čísel m, n je 0, množina Xmxn pozostáva z jedinej a to prázdnej matice 0. Neskôr sa ukáže rozumné stotožniť túto maticu s tzv. nulovou maticou. Aby sme sa vyhli trivialitám, budeme sa vždy baviť len o maticiach kladných rozmerov m x n, čitateľ by si však mal aspoň občas uvedomiť, že väčšina našich úvah si zachováva platnosť aj v prípade, keď m = 0 alebo n = 0. Dve matice nad množinou X považujeme za navzájom rovné alebo totožné, ak majú rovnaké rozmery a rovnaké prvky na príslušných miestach. To znamená, že pre matice A = (aij)mXn, B = (bij)pxq nad X kladieme A = B práve vtedy, keď m = p, n = q a pre všetky i = 1,... , m, j = 1,... , n platí = bij. Množina matíc typu 1 x n nad X splýva s množinou Xn, ak usporiadané ra-tice prvkov z X zapisujeme do riadku. Podobne, ak usporiadné m-tice prvkov z X zapisujeme do / on 021 V a ml 1 2 PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA stĺpca, tak množina matíc typu m x 1 nad X splýva s množinou Xm. Pokiaľ bude z kontextu jasné, či ide o riadky alebo stĺpce, prípadne, ak na tom nebude záležať, budeme písať jednoducho X11, Xm a pod. Podrobnejšie označenie Xlxn, Xmxl a pod. budeme používať, len ak bude treba rozlíšiť riadky a stĺpce. 2.1.2. Riadky a stĺpce matice. Nech A = (a^) G xmxn. Usporiadanú ra-ticu Vi{A) = (aiU ai2,... , ain) G Xlxn, kde 1 < i < m, nazývame i-tym riadkom matice A. Podobne, usporiadnú m-ticu s j (A) / aij \ a2j V amj J kde 1 < j' < n, nazývame j-tym stĺpcom matice A. Maticu A tak možno stotožniť so stĺpcom jej riadkov ako aj s riadkom jej stĺpcov, t. j. / Oll Ol2 021 022 Ü2r / ri{A) \ \ ami Om2 r2(A {si(A),s2(A},... ,8n(A)). \rm{A)J 2.1.3. Transponovaná matica. Maticu, ktorú získame z matice A = (aij)mxn záměnou jej riadkov a stĺpcov, nazývame transponovanou maticou k matici A a značíme ju AT. Teda trochu podrobnejšie / «II °21 Ol2 O22 "ml ^ Om2 J To znamená, že AT G Xnxm a prvok v mieste (z, j) matice AT je aji. Zrejme pre ľubovoľnú maticu A G Xmxn platí (AT)T = A. Transpozíciou matíc-riadkov z Xlxn dostaneme matice-stĺpce z Xnxl a transpozíciou matíc-stĺpcov z Xmxl matice-riadky z Xlxm. Na základe tejto poznámky možno nahliadnuť, že pre ľubovoľnú maticu A G Xmxn a 1 < i < m, 1 < j < n platí -,(AT) = ri(Af, rj(A" Štvorcová matica A G Xnxn sa nazýva symetrická, ak A = AT, t. j. ak a. 13 pre všetky i, j = 1,... ,n. Postupnosť prvkov (011,022,-•• ,a,nn) nazývame diagonálou štvorcovej matice A. Transponovánu maticu k štvorcovej matici A zrejme získame „osovou súmernosťou" jej prvkov podľa diagonály. 2. ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU 3 2.1.4. Blokové matice. Niekedy bude užitočné spojiť dve matice A G ImX111 a B G xmxn2 s rovnakým počtom riadkov do jednej matice tak, že príslušné tabulky jednoducho napíšeme vedľa seba. Výsledná matica je typu m x (n\ + 712) a značíme ju (A, B), prípadne (A | B). Podobne možno spojiť dve matice A G xmiXn, B G Xm2Xn s rovnakým počtom stĺpcov do jednej matice tak, že príslušné tabulky napíšeme pod seba. Výsledná matica w . fA\ , J ÍA~ je typu [mi + 7712) x n a znacime ju I J, pripadne I — Práve popísané konštrukcie sú príkladmi tzv. blokových matíc. Pôvodné matice, z ktorých takto vytvárame blokovú maticu, potom nazývame jej blokmi. Takisto môžeme vedľa seba resp. pod seba zoradiť väčší počet blokov, nie len dva. Naopak, niekedy sa môže ukázať účelné vyznačiť v danej matici nejaké menšie obdĺžnikové časti ako jej bloky. Vtedy hovoríme o tzv. blokovom tvare danej matice. Príkladom toho bol zápis matice A G Xmxn ako riadku jej stĺpcov, prípadne ako stĺpca jej riadkov. Uvedené dve schémy vytvárania blokových matíc „vedľa seba" a „pod seba" možno tiež kombinovať. Napr. z matíc Alľ G XmiXni, A12 G XmiX"2, A21 G Xm2Xn\ A22 £ xm2Xn2 možno vytvoriť blokovú maticu Au Al2 A21 A22 typu (mi + m2) x (rii + n2). Túto konštrukciu možno zrejmým spôsobom zovšeobecniť i na väčšie systémy matíc. Voľne povedané, blokové matice sú vlastne matice, ktorých prvkami sú opäť matice, pričom všetky matice v tom istom riadku blokovej matice majú rovnaký počet riadkov a všetky matice v tom istom stĺpci blokovej matice majú rovnaký počet stĺpcov. Takto chápanú blokovú maticu možno zapísať v tvare H j )kxl Au ... Au Lfcl • • • slkl ■ pričom jednotlivé bloky Aíj sú matice nad X rozmerov m^ x rij, kde (mi,... , m^), (ni,... , ni) sú nejaké konečné postupnosti prirodzených čísel. Maticu nad množinou X z tejto „matice matíc" dostaneme tak, že si v A odmyslíme vnútorné zátvorky oddeľujúce jej jednotlivé bloky Aíj. 2.2. Matice nad daným poľom Na množine X, nad ktorou sme vytvárali príslušné matice, sme zatiaľ nepredpokladali nijakú ďalšiu štruktúru. Jednako na množinách matíc Xmxn sa nám pomerne bohatá štruktúra prirodzene vynorila. Všetky doposiaľ zavedené maticové operácie a vlastnosti však mali výlučne pozičný charakter - zakladali sa na reprezentácii každej matice ako príslušnej obdĺžnikovej tabulky. Ďalšie maticové operácie a vlastnosti, ktoré hodláme zaviesť a neskôr využívať, už budú podmienené prítomnosťou istej štruktúry na množine X. 4 PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Najdôležitejší a, až na pár výnimiek, vlastne jediný druh matíc, ktorými sa budeme v tomto kurze zaoberať, tvoria matice nad nejakým poľom. Teda v celom paragrafe K označuje pevne zvolené, inak však ľubovoľné pole. V súlade s predošlým paragrafom Kmxn, kde m, n E N, označuje množinu všetkých matíc typu m x n nad poľom K. 2.2.1. Vektorový priestor matíc. Pre pevné m,n E K budeme na množine matíc Kmxn definovať po zložkách operácie súčtu a skalárneho násobku. Teda pre matice A = (aij)mxn, B = (bij)mxn nad K a c E K položíme A + B = (ciij + bij)mxm cA — (cdjj )m x n ■ Podotýkame, že súčet matíc A + B je definovaný len pre matice A, B rovnakého typu a samotná matica A + B je toho istého typu ako A a B. Neutrálnym prvkom operácie sčítania na Kmxn je matica typu m x n, ktorej všetky prvky sú nulové; nazývame ju nulová matica typu m x n a označujeme ju 0mn, prípadne len 0, keď jej rozmer je jasný z kontextu alebo na ňom nezáleží. Opačným prvkom k matici A = (aý)mxn je zrejme matica A = ( Oŕ/)mxn- Čitateľ si iste sám ľahko overí, že matice ľubovoľného pevného typu m x n nad poľom K s takto definovanými operáciami súčtu a skalárneho násobku tvoria vektorový priestor nad poľom K. Odteraz teda Kmxn vez označuje nielen množinu takýchto matíc, ale príslušný vektorový priestor. Nám už známe vektorové priestory Klxn a Kmxl riadkových resp. stĺpcových vektorov sú zrejme špeciálnymi prípadmi vektorových priestorov matíc. 2.2.2. Násobenie matíc. Okrem štruktúry vektorového priestoru na množine matíc pevného typu m x n budeme definovať aj operáciu násobenia matíc, ktorá spája matice rôznych, „vhodne do seba zapadajúcich" rozmerov. Pod vplyvom doterajšieho výkladu čitateľ po takomto nadpise asi očakáva, že i súčin matíc budeme definovať na množine Kmxn po zložkách. Hoci by to, samozrejme, bolo možné a na prvý pohľad sa to zdá prirodzené, násobenie matíc budeme definovať diametrálne odlišným spôsobom, ktorý sa nám zatiaľ môže zdať čudný a neprirodzený. Dôvody pre takúto definíciu budú postupne vychádzať najavo a jej prednosti budeme mať mnohokrát možnosť oceniť. Najprv sa naučíme násobiť niektoré dvojice vektorov. Pod súčinom x ■ y riadkového vektora x = (xi,... ,xn) E Klxn a stĺpcového vektora y = (yi,... ,yn)T £ xnxl rozumieme skalár x ■ y — iyXi,... , xr (Vi\ \Vn J XiVi + • • • + xnyn = ^2 Xiyi. i=l Teda, až na „nepochopiteľné" miešanie riadkových a stĺpcových vektorov, ide o bežný „skalárny súčin" vektorov x, y E Kn. Pre takto definovaný súčin vektorov sú tiež splnené dobre známe vlastnosti „skalárneho súčinu". Ľahko možno nahliadnuť, prípadne priamym výpočtom overiť, že pre 2. ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU 5 všetky n G N, c G K a cc,a;' G Klxn, y,y' G Knxl platí a: • (ž/ + y') = x ■ y + x ■ y', (x + x') ■ y = x ■ y + x' ■ y, x ■ cy = c(x ■ y) = cx ■ y, T T x ■ y = y ■ x . Hovoríme, že násobenie riadkových a stĺpcových vektorov je distributivně (z oboch strán) vzhľadom na sčítanie a komutuje, t. j. je zameniteľné s operáciou skalárneho násobku. Poslednú rovnosť možno chápať ako svojho druhu „komutatívnosť' tohto súčinu; vďačíme za ňu komutatívnosť i násobenia v poli K. Nech m, n, p G N a A — (ojj)mxri5 B — (bjit)nxp- Pod súčinom matíc A: B rozumieme maticu A B = (ri(A) ■ sk(B))mxp. Všimnime si, že súčin matíc A, B je definovaný, len ak sa počet stĺpcov matice A rovná počtu riadkov matice B, t. j. práve vtedy, keď riadky matice A a stĺpce matice B majú rovnaký rozmer. Ďalej, súčin matíc typov mxnanxpje matica typu m x p, čo si možno ľahko zapamätať v symbolickom tvare [m x n] ■ [n x p] = [m x p], pripomínajúcom rozmerové vzťahy vo fyzike. Špeciálne, súčin dvoch štvorcových matíc typu n x n je opäť matica typu n x n. Konečne, prvok na mieste (z, k) matice A ■ B dostaneme ako súčin z-teho riadku matice A a A;-teho stĺpca matice B, teda ako výraz i = anbik + • • • + ainbnk = ^ aijbjk ■ bnk ' j=1 Na základe toho možno ľahko nahliadnuť (prípadne priamym výpočtom overiť) nasledujúce rovnosti Vi{A ■ B) = n(A) ■ B, sk(A -B)=A- sk(B). Násobenie matíc je (z oboch strán) distributivně vzhľadom na sčítanie. To znamená že pre ľubovoľné m, n G N a matice A, A' G Kmxn, B, B' G Knxp platí A (B + B') = A B + A B', (A + A') ■ B = A B + A' ■ B. Vďaka distributivnosti súčinu vektorov voči ich súčtu je totiž jasné, že (z, A;)-ty prvok matice A ■ (B + B') je rt(A) -sk(B + B') = n(A) ■ (sk(B) + sk(B')) = rt(A) ■ sk(B) + rt(A) ■ 8k(B'), teda sa rovná (z, A;)-temu prvku matice A ■ B + A ■ B'. Rovnako pre druhú rovnosť. 6 PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Podobne, s využitím zameniteľnosti súčinu vektorov a skalárneho násobku možno dokázať, že pre ľubovoľný skalár c G K a všetky matice A G xmxn, B G Knxp platí A cB = c(A B) =cA B. Hovoríme, že násobenie matíc komutuje, t. j. je zameniteľné s operáciou skalárneho násobku. Násobenie matíc je tiež asociatívne v nasledujúcom zmysle: súčin matíc A ■ (B ■ C) je definovaný práve vtedy, keď je definovaný súčin (A ■ B) • C, a v takom prípade sa obe matice rovnajú. Teda podrobnejšie, pre m, n,p, q G N a A G Kmxn, B G Knxp, C G Kpxq platí A ■ (B ■ C) = (A ■ B) ■ C. Na dôkaz toho si stačí uvedomiť, že pre ľubovoľné vektory x = (xi,... ,xn) G Klxn, y = (yi,... ,yP)T e Kpxl platí x - (B - y) = (xi,... ,xT \Yľk=ibnkykj ^2xj(^2bjkyk) j=l k=l p n ^2(^2xJbjk)yk = (J2xjbji,... ^xjbjp^j k=l j=l (yi\ \yPJ (x-B)- y. Potom pre l 1 - napriek komutatívnosti násobenia v poli K - násobenie matíc z pozičných dôvodov nie je komutativně na Knxn. Napríklad 1 1\ /O 1\ _ f 1 l + (0 1\ fl 1\ _ f0 1 0 l)'\1 1 J' \1 l)'\0 1+1 (Uvedomte si, že na to, aby oba súčiny A ■ B, BA boli definované a mali rovnaké rozmery, teda, aby vôbec malo zmysel uvažovať o komutatívnosti súčinu, A, B musia byť štvorcové matice rovnakého typu.) Napriek tomu komutatívnosť násobenia v poli K má za dôsledok, že pre všetky m, n, p a matice A G xmxn, B G Knxp platí rovnosť (A ■ B)T = BT ■ AT. Naozaj, (A ■ B)T aj BT ■ AT sú matice typu p x m a pre 1 < i < m, 1 < k < p, (k, i)-ty prvok matice (A ■ B)T je (z, A;)-ty prvok matice A ■ B, t. j. rt(A) ■ sk(B) = sk(B)T ■ rt(A)T = rk(BT) ■ st(AT), čo je (k, i)-ty prvok matice BT ■ AT. Pritom sme využili už spomínanú „komutatívnosť" x ■ y = yT ■ xT súčinu vektorov. Na margo poslednej rovnosti ešte podotknime, že pre x G Klxn, y G Kmxl je taktiež definovaný súčin y ■ x. Nie je to však skalár, ale matica typu m x n: í yixi ... yixn \ \ Um-^l ■ ■ ■ ymXn J Teda, okrem prípadu m = n = 1, rovnosť x ■ y = y ■ x nemôže nastať už z rozmerových dôvodov. 2.2.3. Operácie s blokovými maticami. Operácie maticového súčtu a skalárneho násobku, vďaka tomu, že boli definované po zložkách, možno na blokových maticiach rozložiť na jednotlivé bloky. Ak A = (Aij)kxi, B = (Bij)kxi sú blokové matice nad poľom K, pričom zodpovedajúce si bloky Aij, Bi j majú rovnaký typ nij x rij, tak ich súčet je opäť bloková matica A + B = (Aij + Bij)kxi 8 PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA s blokmi rovnakých typov. S operáciou skalárneho násobku je to ešte jednoduchšie, lebo sa nemusíme starať o zhodnosť rozmerov jednotlivých blokov. Pre c E K jednoducho dostávame Bloková štruktúra sa prenáša aj na súčin matíc za podmienky, že stĺpce prvej matice sú v rovnakom poradí rozdelené na rovnaký počet rovnako veľkých skupín, povedzme ni + ri2 + ... + nu, ako riadky druhej matice. Teda ak A = (Aíj)^xu, B = (Bjk)uxů sú blokové matice nad K, pričom blok Aíj je typu mi x n j a blok Bjk typu n j x p^, tak aj ich súčin je bloková matica tvaru A ■ B = (Cik)^xůi kde blok Cik = Au ■ Bik + Ai2 ■ B2k + ... + Aiv ■ Bvk je typu rrii xpk- Inak povedané, blokové matice násobíme tak ako „obyčajné" matice, len s tým rozdielom, že súčet resp. súčin v poli K nahradíme súčtom resp. súčinom matíc. Vo výsledku, ak chceme, si nakoniec môžeme odmyslieť zátvorky oddeľujúce jednotlivé bloky a matica, ktorú takto dostaneme, sa rovná matici, ktorú by sme dostali, keby sme „normálne" vynásobili „odblokované" matice A a B. Jednotkové matice In sú príkladom tzv. diagonálnych matíc. Štvorcovú maticu A = (ojj)nxn nazývame diagonálnou, ak = 0 pre všetky i ^ j, t. j. ak všetky jej prvky mimo diagonály sú nuly. Diagonálnu maticu, ktorá má na diagonále postupne prvky di, d2, ■ ■ ■ ,dn E K značíme diag(di, d2,... ,dn). Teda napr. In = diag(l^JJ.). n-krát Podobne možno definovať aj tzv. blokovo diagonálne matice. Ak A\, A2,... ,Ak sú štvorcové matice rádov ni,n2,... ,rik, tak blokovo diagonálnou maticou s blokmi A\, A2,... , Ak nazývame štvorcovú blokovú maticu /Al 0 ... 0 \ [0 A2 ... 0 diag(Ai, A2,... ,Ak) = . . . VO 0 ... Ak J kde 0 nachádzajúca sa na mieste (i, j) označuje nulovú maticu 0ninj. Pred chvíľou uvedené pravidlo o súčine blokových matíc sa redukuje na obzvlášť jednoduchý tvar pre blokovo diagonálne matice - ich násobenie totiž funguje diagonálne po zložkách. Ak A = diag(A1;... , Ak), B = diag(S1;... ,Bk) sú blokovo diagonálne matice, pričom zodpovedajúce si bloky Ai, Bi sú štvorcové matice rovnakého rádu rij, tak aj ich súčin je blokovo diagonálna matica tvaru A B = diag(Ax • Bu... , Ak ■ Bk) so štvorcovými blokmi rádov rii,... ,rifc. Špeciálne, pre „obyčajné" diagonálne matice platí diag(ai,... ,an) ■ diag(6i,... ,bn) = diag(ai6i,... ,anbn). Formuláciu analogických pravidiel pre súčet a skalárny násobok (blokovo) diagonálnych matíc prenechávame čitateľovi. 2. ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU 9 2.3. Matice nad vektorovým priestorom Matice nad typu m x n nad poľom K sú špeciálnym druhom blokových matíc. Maticu A = (ctij) E j{mxn m5geme považovať jednak za blokovú maticu s blokmi a\3- typu lxl, jednak, ako sme už neraz naznačili, môžeme sa na ňu dívať ako na riadok jej stĺpcov resp. ako na stĺpec jej riadkov. V takom prípade A chápeme ako maticu typu m x 1 nad vektorovým priestorom Klxn, resp. ako maticu typu 1 x n nad vektorovým priestorom Kmxl. Konkrétna podoba týchto vektorových priestorov je však teraz pre nás nepodstatná - pre ľubovoľné m, n G N a ľubovoľný (abstraktný) vektorový priestor V máme totiž definovanú množinu ymxn všetkých matíc nad množinou V. Na množine ymxn možno zaviesť operácie súčtu a skalárneho násobku po zložkách. ymxn g ^ýmj^0 operáciami opäť tvorí vektorový priestor nad poľom K. Čitateľovi prenechávame, aby si sám doplnil a premyslel potrebné detaily. My sa teraz sústredíme na zovšeobecnenie operácie skalárneho násobku K x V —> V na operácie súčinu medzi maticami vhodných typov nad K a nad V. Pre matice A = (dij) G Kmxn, ol = (ujk) G Vnxp kladieme A a = (vik) G Vmxp, kde n Vik — ^ ^ ďijlljk ■ Teda súčin A ■ a definujeme z formálneho hľadiska rovnako ako súčin matíc nad poľom K, len s tým rozdielom že operácia súčtu v K je nahradená operáciou súčtu vo V a operácia súčinu v K operáciou skalárneho násobku K x V —> V. Celkom obdobne ako v odstavci 2.2.2 aj pre násobenie matíc nad V maticami nad K možno overiť distributivnost' (z oboch strán) vzhľadom na sčítanie, zameniteľnosť s operáciou skalárneho násobku, asociatívnosť a postavenie jednotkových matíc ako neutrálnych prvkov. To znamená, že pre všetky l,m,n,p G N, c G K, A, B E j^mxn^ C E Klxm a, (3 E Vnxp platí: A ■ (a + (3) = A ■ a + A ■ f3, (A + B) ■ a. = A - ol +B ■ a, A ■ (ca) = c(A ■ a) = (cA) ■ a, C -(A- a) = {C ■ A) a, In ■ a = a. Vzhľadom na našu dohodu, podľa ktorej xc = cx pre c G K, x E V, môžeme definovať aj súčin matíc (3 = {víj) E Vmxn, B = (bjk) E Knxp v obrátenom poradí ako maticu j3 ■ B = (wik) E Vmxp takú, že n n Wik = ^Vijbjk = ^bjkVij . 3 = 1 3 = 1 S využitím poslednej definície možno pre A E Kmxn, a E Vnxp, j3 E Vmxn, B E Knxp dokázať tiež rovnosti (A ■ a)T = aT ■ AT, ((3 ■ B)T = BT ■ (3T. 10 PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Aplikáciou týchto vzťahov na predchádzjúci zoznam rovností (no taktiež priamo) možno aj pre súčin matíc tvaru (3 ■ B, kde (3 G ymx«-? ^ j^nxp^ overj£ jeho distributivnost' (z oboch strán) vzhľadom na sčítanie, zameniteľnosť s operáciou skalárneho násobku, asociatívnosť a postavenie jednotkových matíc ako neutrálnych prvkov. To znamená, že pre všetky m, n,p, q G N, c G K, a, (3 G Kmxn, A, B G Vnxp, C G Kpxq platí: (a + ß) ■ A = a ■ A + ß ■ A, ol(A + B) = olA + olB, a ■ (cA) = c(oĺ ■ A) = (ca) ■ A, a (A- C) = (a- A) C, a. Taktiež vzťahy pre riadky a stĺpce súčinu z odseku 2.2.2 zostávajú zachované pre oba typu súčinov matíc nad K a V, t. j. ri(A ■ a) = Vi(A) ■ a, sk(A ■ a) = A ■ sk(a) ri{p-B)=ri{P)-B, sk(/3 ■ B) = /3 ■ sk(B) pre všetky A G Kmxn, a G Vnxp (3 G Vmxn, B G Knxp. Napokon si ešte uvedomme, že definície súčinov A ■ a, (3 ■ B sú v zhode s pôvodným násobením matíc. Ak totiž maticu A G Kmxn chápame ako riadok, t. j. ako maticu typu 1 x n nad priestorom stĺpcových vektorov Km, tak pre B G Knxp splýva matica (si(A),... , sn(A)) ■ B vypočítaná podľa „novej" definície s blokovým tvarom (A ■ Si(B),... , A ■ sp(B)) matice A ■ B. Podobne, ak B chápeme ako stĺpec, t. j. ako maticu typu n x 1 nad priestorom riadkových vektorov Kp', tak A /ri(A)-B\ AB. \rn(B)J \rm(A)-Bj (Doplňte si vynechané podrobnosti - pozri cvičenie 6.) Špeciálne, lineárnu kombináciu a\X\ + ... anxn vektorov xi,..., xn G V s koeficientmi ai,..., an G K môžeme s využitím vektorových matíc zapísať v tvare súčinov Xi ai a±Xi (ai,..., ar \X\,...,xn) 2. ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU 11 Cvičenia / 1 -1 1 \ / 0 1 2 \ / 1 2 3\ 1. Nech A = (o 5 2 ], B = -2 9 3 , C = (149 sú matice nad R. Vypočítatjte matice \ 1 -4 o / V 10 60/ \ 1 2 4/ A + 2B, A - BT - 3C, A B, B -A, A (B + C), (3AT + B) C, B C2, C2 B, C B C, A C-C A, A B C a CT A C. í i+i -2 -i \ ( 3i 2+i "\ 2. Vypočítajte súčin A ■ B komplexných matíc A = y 1_í . 2+3i J ' B = ( ~4 1_2i J ' 3. Nájdite matice A, B e Q2x2 také, že A B = 0 / B A. 4. Uvažujte matice A = (33)' B = (41)' C< = (40) nad Pol'om (a) Z5> (b) Z7> (c) Zn> (d) Q-V každom z uvedených prípadov vypočítajte maticu A ■ (B + C). Skúste riešiť úlohy (a)—(d) v optimálnom poradí. 5. Sú dané reálne blokové matice A = (Al1 Al2) , B = (f!11 f!12 f!13 V kde Au = ( l}) , V A21 A22 / V "21 -t>22 -t>23 / V 0 1 / Al2 = ( o Í) > A21 = ( o í)' A22 = ( o í) > Bl1 = ( l l)> Bl2 = Bl3 = ( \ -1 ) ' B21 = ( -1 í ) ' -B22 = -B23 = ^ ^ j . Vynásobte A a B ako blokové matice aj ako matice, v ktorých ste zabudli na rozdelenie do blokov, a oba výsledky porovnajte. 6. Maticu A = (aij)mxn nad ľubovoľným poľom K uvažujte ako riadok jej stĺpcov, t. j. ako blokovú maticu A = (iii, . . . , un), kde Uj = s j (A) pre j < n. Nech c = (ci, . . . , cn)T G Kn je stĺpcový vektor. Ukážte, že lineárna kombinácia citii + . . .-\-cnun splýva s „obyčajným" maticovým súčinom A • c. Vysvetlite tento fakt pomocou násobenia blokových matíc. 7. Nech X je konečná množina. Ľubovoľná množina H C X2 určuje orientovaný graf (X, H) s množinou vrcholov X a s množinou orientovaných hrán H: vrcholy (t. j. prvky množiny X) si znázorníme krúžkami v rovine a z vrcholu x vedieme orientovanú hranu (t. j. šípku) do vrcholu y práve vtedy, keď (x, y) (ž H (pozri obr. 2.1). Konečnú postupnosť (zq, z\, . . . , Zf~) prvkov množiny X takú, že pre každé 1 < í < k platí (zj — i, z i) G H, nazývame cestou dĺžky k v orientovanom grafe (X, H). Predpokladajme, že X = {x\, . . . , xn} má práve n prvkov. Maticu H = (hij) (ž R"x" takú, že j) G H, a hij = 0, ak (xí,Xj) H, nazývame incidenčnou maticou orientovaného grafu (X, H). Prvky fc-tej mocniny incidenčnej matice H označme t. j. Hk = (/i^)- (k) , i Potom číslo h^j udáva počet ciest dĺžky k z vrcholu xi do vrcholu x j v orientovanom grafe (X, H). Dokážte (napr. matematickou indukciou). Obr. 2.1. Príklady orientovaných grafov 8. Očíslujte vrcholy orientovaných grafov z obrázku 2.1. Pre každý graf napíšte jeho incidenčnú maticu a pre každú dvojicu (xí,Xj) jeho vrcholov určte počet ciest dĺžky 2, 3, 4 a 5 z xi do x j■■. 9. Nech K je komutatívny okruh s jednotkou (pozri cvičenie 1.8). Přesvědčte sa, že pre ľubovoľné m, n (ž N možno na množine matíc KmXn definovať operácie súčtu A+ B a skalárneho násobku 12 PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA cA rovnako ako v odstavci 2.2.1. Taktiež možno pre A (ž KmXn, B (ž KnXp definovať súčin A ■ B (ž KmXp rovnako ako v odstavci 2.2.2. Ukážte, že všetky vlastnosti maticových operácií uvedené v kapitole 2 zostávajú v platnosti aj v tomto všeobecnejšom prípade. 10. Vynechajme z definície poľa, popri nerovnosti 0 / 1 a požiadavke existencie inverzného prvku ku každému nenulovému a (ž K, aj podmienku komutatívnosti násobenia, namiesto ktorej pridajme ešte jeden distributívny zákon (Va, b, c (ž K)((a + b)c = ac + bc). Množina K s význačnými prvkami 0 a 1, vybavená operáciami sčítania a násobenia, ktoré vyhovujú uvedeným podmienkam, sa nazýva okruh s jednotkou.1 (a) Okruh s jednotkou K sa nazýva netriviálny, ak v ňom platí 0^1. Dokážte, že okruh s jednotkou K je netriviálny práve vtedy, keď obsahuje aspoň dva rôzne prvky. (b) Nech K je okruh s jednotkou. Přesvědčte sa, že pre matice nad K možno zaviesť operácie súčtu, skalárneho násobku a súčinu rovnako ako pre matice nad poľom. Ukážte, že všetky vlastnosti týchto operácií uvedené v kapitole 2, s výnimkou rovností (x-y)T = yT ■ xT, (A • E)T = BT ■ AT a možnosti zapisovať „lineárne kombinácie" v tvare c\ií\ +. . . cnun = (tii, . . . , un) ■ (ci, . . . , cn)T, zostávajú v platnosti. 11. Nech K je okruh s jednotkou a n G N. Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia: (a) Množina KnXn so sčítaním a násobením matíc tvorí okruh s jednotkou. (b) Okruh s jednotkou KnXn je triviálny práve vtedy, keď K je triviálny alebo n = 0. (c) Okruh s jednotkou KnXn je komutatívny práve vtedy, keď n = 0, alebo n = 1 a K je komutatívny. 12. (a) Rovnako ako v prípade poľa zadefinujte charakteristiku ľubovoľného okruhu s jednotkou. (b) Dokážte, že okruh s jednotkou K je triviálny práve vtedy, keď chariŕ = 1. (c) Nech K je ľubovoľný okruh a 1 < n (ž N. Potom ch.axKnXn = chariŕ. Dokážte. (d) Pre každé 2 2? Dokážte, že ak a, b komutujú, t. j. ab = ba, tak uvedená rovnosť platí pre všetky n (ž N. (d) Pre K = R2x2 nájdite príklad matíc A, B e K takých, že (A ■ B)2 / A2 ■ B2. (e) Nech a, b (ž K sú invertovateľné. Dokážte, že potom aj prvok ab je invertovatelný a platí (a6)_1 = 6_1a_1. čo je prekážkou všeobecnej platnosti rovnosti (ab)~n = b~na~n pre n > 2? 14. (a) Rovnako ako v príklade 1.6.3 a v cvičení 1.13 zadefinujte množinu K[x] všetkých polynómov v premennej x nad ľubovoľným okruhom s jednotkou K a na nej operácie súčtu a súčinu. Dokážte, že K[x] s takto definovanými operáciami je opäť okruh s jednotkou a platí charita?] = chariŕ. (b) Dokážte, že K [x] je komutatívny práve vtedy, keď K je komutatívny. (c) Dokážte, že polynóm f (x) je invertovatelný prvok okruhu K[x] práve vtedy, keď f (x) = a je konštantný polynóm, pričom a je invertovatelný prvok okruhu K. 1 Občas sa v literatúre takáto štruktúra nazýva len okruh.