4. LINEÁRNE PODPRIESTORY A LINEÁRNA NEZÁVISLOSŤ
V tejto kapitole sa opäť vrátime k štúdiu abstraktných vektorových priestorov nad všeobecným
poľom. K bude v celej kapitole označovať nejaké pevné, inak ľubovoľné pole
a V bude nejaký pevne zvolený vektorový priestor nad K. Čitateľ sa však nedopustí
nijakej chyby, ak si pod všeobecným poľom K bude predstavovať pole R všetkých reálnych
čísel. Zakaždým, keď sa budeme odvolávať na geometrický názor, bude to dokonca
užitočné. Na druhej strane by však nemal spúšťať zo zreteľa, že naše úvahy majú podstatne
širšiu platnosť – okrem vektorových priestorov nad R sa z nám známych príkladov
vzťahujú tak na vektorové priestory nad poľom C všetkých komplexných čísel, poľom
Q všetkých racionálnych čísel ako i na vektorové priestory nad konečnými poľami Zp.
4.1. Lineárne podpriestory vektorového priestoru
Množina S ⊆ V sa nazýva lineárny podpriestor vektorového priestoru V , ak S = ∅ a
pre všetky skaláry a ∈ K a vektory x, y ∈ S platí ax ∈ S a x + y ∈ S. Inak povedané,
neprázdna podmnožina S ⊆ V je lineárny podpriestor práve vtedy, keď je uzavretá na
operácie skalárneho násobku a súčtu vektorov.
Nasledujúce tvrdenie je bezprostredným dôsledkom práve vyslovenej definície.
4.1.1. Tvrdenie. Nech S je lineárny podpriestor vektorového priestoru V . Potom
0 ∈ S a S s operáciami súčtu vektorov a skalárneho násobku zúženými z V na S tvorí
vektorový priestor nad poľom K.
V každom vektorovom priestore V sú {0} a V lineárne podpriestory (v prípade, keď
V = {0}, dokonca splývajú, inak ide o dva rôzne podpriestory) – {0} nazývame triválny
alebo tiež nulový a V nevlastný alebo tiež plný lineárny podpriestor. Teda pre vlastný
netriviálny lineárny podpriestor S ⊆ V platí {0} = S = V .
Napr. vo vektorovom priestore R3
netriviálne vlastné podpriestory sú práve všetky
priamky a roviny prechádzajúce počiatkom 0.
Nasledujúce tvrdenie charakterizuje lineárne podpriestory ako množiny uzavreté na
lineárne kombinácie.
4.1.2. Tvrdenie. Pre ľubovoľnú podmnožinu S vektorového priestoru V nasledujúce
podmienky sú ekvivalentné:
(i) S je lineárny podpriestor vo V ;
(ii) S = ∅ a pre všetky skaláry a, b ∈ K a vektory x, y ∈ S platí ax + by ∈ S;
(iii) pre každé n ∈ N a pre všetky skaláry a1, . . . , an ∈ K a vektory x1, . . . , xn ∈ S platí
a1x1 + . . . + anxn ∈ S.
Dôkaz. Postupne dokážeme implikácie (i) ⇒ (ii), (ii) ⇒ (iii) a (iii) ⇒ (i).
1
2 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
(i) ⇒ (ii): Ak S je lineárny podpriestor, tak S = ∅. Nech a, b ∈ K, x, y ∈ S. Keďže
S je uzavreté na skalárne násobky, platí ax, by ∈ S. Z uzavretosti S na súčet vyplýva
ax + by ∈ S.
(ii) ⇒ (iii): Nech platí (ii). Keďže S = ∅, existuje s ∈ S. Potom 0 = 0s + 0s ∈ S
a tiež ax = ax + 0s ∈ S pre každé a ∈ K, x ∈ S. Teda podmienka z (iii) je splnená
pre n = 0 (lebo prázdna lineárna kombinácia je 0) a n = 1; podľa (ii) je splnená tiež
pre n = 2. Keby nebola splnená pre všetky n ∈ N, označíme n najmenšie prirodzené
číslo s touto vlastnosťou. Potom n > 2 a pre všetky k < n podmienka z (iii) platí. Nech
a1, . . . , an ∈ K, x1, . . . , xn ∈ S sú také, že a1x1 + . . . + anxn /∈ S. Avšak
a1x1 + . . . + anxn = (a1x1 + . . . + an−1xn−1) + anxn ∈ S,
keďže pre prirodzené čísla n − 1 a 2 podmienka z (iii) platí. To je spor.
(iii) ⇒ (i): Z platnosti (iii) pre n = 0 vyplýva, že 0 ∈ S (prázdna lineárna kombinácia
je totiž 0). Teda S = ∅. Voľbou n = 1 dostávame uzavretosť S na skalárne násobky.
Uzavretosť S na súčet vyplýva z voľby n = 2, a1 = a2 = 1.
4.1.3. Príklad. Keďže s príkladmi lineárnych podpriestorov vektorových priestorov
Kn
sa ešte stretneme pri mnohých príležitostiach, uvedieme tu niekoľko
”
exotickejších“
príkladov. Napospol pôjde o podpriestory priestorov KX
všetkých funkcií z nejakej
množiny X do poľa K (pozri príklad 1.6.5).
(a) Označme K(X)
množinu všetkých funkcií f : X → K, pre ktoré je množina
{x ∈ X; f(x) = 0} konečná. Pre ľubovoľnú lineárnu kombináciu funkcií f, g ∈ K(X)
platí
{x ∈ X; af(x) + bg(x) = 0} ⊆ {x ∈ X; f(x) = 0} ∪ {x ∈ X; g(x) = 0}.
Z toho vyplýva, že K(X)
je lineárny podpriestor vektorového priestoru KX
. Ak X je konečná,
tak K(X)
= KX
; ak X je nekonečná, tak K(X)
je netriválny vlastný podpriestor
v KX
.
(b) Nech X ⊆ R je ľubovoľná množina reálnych čísel. Potom C(X, R), alebo len
stručne C(X) označuje množinu všetkých spojitých funkcií f : X → R. Keďže lineárne
kombinácie spojitých funkcií sú zrejme opäť spojité fumkcie, C(X) je lineárny podpriestor
v RX
.
(c) Ak X je nejaký (ohraničený alebo neohraničený) interval reálnych čísel, tak D(X)
označuje množinu všetkých funkcií f : X → R, ktoré majú v každom bode x ∈ X konečnú
deriváciu (v prípadných krajných bodoch intervalu X sa žiada existencia konečnej
derivácie zľava alebo sprava). Keďže každá diferencovateľná funkcia je spojitá na svojom
definičnom obore a lineárna kombinácia diferencovateľných funkcií je opäť diferencovateľná,
D(X) je lineárny podpriestor vektorového priestoru C(X).
4.2. Lineárny obal množiny vektorov
Množinu všetkých lineárnych kombinácií vektorov z podmnožiny X vektorového priestoru
V nazývame lineárnym obalom množiny X a označujeme ju [X]. Teda
[X] = {a1x1 + . . . + anxn; n ∈ N & a1, . . . , an ∈ K & x1, . . . , xn ∈ X}.
4. LINEÁRNE PODPRIESTORY A LINEÁRNA NEZÁVISLOSŤ 3
Ak X = {x1, . . . , xn} je konečná, tak miesto [{x1, . . . , xn}] píšeme len [x1, . . . , xn].
Zrejme tento zápis má zmysel aj pre ľubovoľnú usporiadanú n-ticu (nie nutne rôznych)
vektorov (x1, . . . , xn), a platí
[x1, . . . , xn] = {a1x1 + . . . + anxn; a1, . . . , an ∈ K}.
4.2.1. Tvrdenie. Nech X je podmnožina vektorového priestoru V . Potom lineárny
obal [X] množiny X je najmenší lineárny podpriestor vektorového priestoru V taký, že
X ⊆ [X].
Dôkaz. Musíme dokázať dve veci:
(a) [X] je lineárny podpriestor vo V ;
(b) pre každý lineárny podpriestor S ⊆ V platí X ⊆ S ⇒ [X] ⊆ S.
(a) Zrejme [X] obsahuje 0 ako prázdnu lineárnu kombináciu, teda [X] = ∅. Nech
c, d ∈ K a u = a1x1 + . . . + anxn, v = b1y1 + . . . + bmym sú prvky z [X], pričom
ai, bj ∈ K, xi, yj ∈ X. Potom
cu + dv = ca1x1 + . . . + canxn + db1y1 + . . . + dbmym ∈ [X],
keďže je to opäť lineárna kombinácia vektorov z X. Podľa podmienky (ii) tvrdenia 4.1.2
je [X] lineárny podpriestor vo V .
(b) Nech S ⊆ V je lineárny podpriestor taký, že X ⊆ S. Potom podľa podmienky
(iii) tvrdenia 4.1.2 všetky lineárne kombinácie vektorov z S, a tým skôr vektorov z X,
patria do S. Teda [X] ⊆ S.
Dokázané tvrdenie nás oprávňuje nazývať lineárny obal [X] množiny X ⊆ V tiež lineárnym
podpriestorom generovaným množinou X. Ak [X] = S, hovoríme, že X generuje
lineárny podpriestor S, prípadne že X je generujúca množina alebo tiež množina generátorov
lineárneho podpriestoru S ⊆ V . Ak S = V , t. j. ak [X] = V , hovoríme krátko
o generujúcej množine. Používa sa tiež názov vytvárajúca množina.
Kvôli prehľadnosti zhrnieme základné vlastnosti operácie lineárneho obalu X → [X].
4.2.2. Tvrdenie. Pre ľubovoľné podmnožiny X, Y vektorového priestoru V a v ∈ V
platí:
(a) [∅] = [0] = {0};
(b) X ⊆ [X];
(c) X ⊆ Y ⇒ [X] ⊆ [Y ];
(d) X je lineárny podpriestor vo V práve vtedy, keď X = [X];
(e) [[X]] = [X];
(f) v ∈ [X] ⇔ [X ∪ {v}] = [X].
Dôkaz. (a), (b) a (c) sú triviálne, (d) priamo vyplýva z tvrdenia 4.2.1 a (e) je bezprostredným
dôsledkom (d).
(f) Nech v ∈ [X]. S použitím (b), (c) a (e) dostávame
[X ∪ {v}] ⊆ [[X] ∪ {v}] = [[X]] = [X].
Teda [X ∪ {v}] = [X]. Keďže v ∈ [X ∪ {v}], obrátená implikácia je triviálna.
4 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
4.3. Prienik a súčet lineárnych podpriestorov
Nech X, Y sú ľubovoľné podmnožiny vektorového priestoru V . Potom množinu
X + Y = {x + y; x ∈ X & y ∈ Y }
nazývame súčtom množín X, Y .
4.3.1. Tvrdenie. Nech S, T sú lineárne podpriestory vektorového priestoru V . Potom
aj S ∩ T a S + T sú lineárne podpriestory vo V . Navyše platí
S + T = [S ∪ T],
t. j. S + T je najmenší lineárny podpriestor vo V , ktorý obsahuje S aj T.
Dôkaz. Zrejme 0 ∈ S∩T. Z toho, že S aj T sú uzavreté na lineárne kombinácie, vyplýva,
že aj S ∩ T má túto vlastnosť.
Dokážeme, že aj množina S +T je uzavretá na lineárne kombinácie. Nech a1, a2 ∈ K
a u1 = x1 +y1, u2 = x2 +y2 sú vektory z S +T, pričom x1, x2 ∈ S, y1, y2 ∈ T. Potom
a1u1 + a2u2 = a1(x1 + y1) + a2(x2 + y2)
= (a1x1 + a2x2) + (a1y1 + a2y2) ∈ S + T,
lebo S, T sú lineárne podpriestory, teda a1x1 + a2x2 ∈ S a a1y1 + a2y2 ∈ T.
Dokážeme poslednú rovnosť. Inklúzie S ∪ T ⊆ S + T ⊆ [S ∪ T] sú zrejmé. Keďže
S + T je lineárny podpriestor vo V a [S ∪ T] je najmenší lineárny podpriestor vo V ,
ktorý obsahuje množinu S ∪ T, platí tiež [S ∪ T] ⊆ S + T.
Na druhej strane čitateľ iste ľahko nájde príklady na to, že zjednotenie dvoch lineárnych
podpriestorov S, T vektorového priestoru V nemusí byť lineárnym podpriestorom.
Presnejšie, S ∪ T je lineárny podpriestor vo V práve vtedy, keď S ⊆ T alebo T ⊆ S.
Porozmýšľajte prečo.
Každý prvok z ∈ S + T súčtu lineárnych podpriestorov S, T ⊆ V možno vyjadriť
v tvare z = x + y pre nejaké x ∈ S, y ∈ T. Vo všeobecnosti to však možno urobiť
viacerými spôsobmi. Súčet lineárnych podpriestorov S, T vektorového priestoru V nazývame
priamym alebo tiež direktným súčtom, ak každé z ∈ S + T možno jednoznačne
vyjadriť v tvare z = x + y, kde x ∈ S, y ∈ T; takýto súčet zvykneme tiež označovať
S ⊕ T.
4.3.2. Tvrdenie. Nech S, T sú lineárne podpriestory vektorového priestoru V . Potom
nasledujúce podmienky sú ekvivalentné:
(i) S + T = S ⊕ T, t. j. súčet S + T je direktný;
(ii) S ∩ T = {0}.
Dôkaz. (i) ⇒ (ii): Nech z ∈ S∩T. Potom z možno vyjadriť v tvare z = z+0, kde z ∈ S,
0 ∈ T, ako aj v tvare z = 0 + z, kde 0 ∈ S, z ∈ T. Z predpokladanej jednoznačnosti
vyplýva z = 0. Teda S ∩ T = {0}.
(ii) ⇒ (i): Nech S ∩ T = {0}. Predpokladajme, že vektor z ∈ S + T možno vyjadriť
v tvaroch z = x1 +y1 = x2 +y2, kde x1, x2 ∈ S, y1, y2 ∈ T. Potom x1 −x2 = y2 −y1.
4. LINEÁRNE PODPRIESTORY A LINEÁRNA NEZÁVISLOSŤ 5
Keďže x1 − x2 ∈ S, y2 − y1 ∈ T, uvedená spoločná hodnota patrí do S ∩ T. Preto
x1 − x2 = y2 − y1 = 0, t. j. x1 = x2, y1 = y2. To dokazuje požadovanú jednoznačnosť.
Uvedenú definíciu možno zrejmým spôsobom zovšeobecniť na priamy súčet ľubovoľného
konečného počtu lineárnych podpriestorov. Zodpovedajúce zovšeobecnenie podmienky
(ii) z práve dokázaného tvrdenia však už celkom priamočiare nie je. Podrobnosti
nájde čitateľ v cvičení 8.
4.4. Lineárna nezávislosť
Nech u1, . . . , un ∈ V . Hovoríme, že usporiadaná n-tica vektorov (u1, . . . , un) je lineárne
závislá, ak existujú skaláry c1, . . . , cn ∈ K také, že c1u1 + . . . + cnun = 0,
ale (c1, . . . , cn) = 0. V opačnom prípade hovoríme, 6e usporiadaná n-tica vektorov
(u1, . . . , un) je lineárne nezávislá. Pre n = 0 kvôli úplnosti dodávame, že usporiadanú
0-ticu (t. j. prázdnu postupnosť) vektorov považujeme za lineárne nezávislú.
Miesto
”
lineárne (ne)závislá usporiadaná n-tica vektorov (u1, . . . , un)“ budeme často
hovoriť len o lineárne (ne)závislých vektoroch u1, . . . , un.
Rozmeňme si teraz
”
na drobné“, čo znamená ono
”
v opačnom prípade“ v definícii
lineárnej nezávislosti. Podľa tejto definície vektory u1, . . . , un sú lineárne nezávislé práve
vtedy, keď
(∀ c1, . . . , cn ∈ K)(c1u1 + . . . + cnun = 0 ⇒ c1 = . . . = cn = 0).
Vidíme, že logická štruktúra pojmu lineárnej nezávislosti je trochu zložitejšia, než sme
boli doteraz zvyknutí. Keďže ide o kľúčový pojem, je potrebné sa pri ňom na chvíľu
pristaviť.
Uvedomme si, že pre n-ticu skalárov (c1, . . . , cn) = 0 platí c1u1 + . . . + cnun = 0 pre
ľubovoľnú n-ticu vektorov (u1, . . . , un), bez ohľadu na to, či je lineárne závislá alebo
nezávislá. Avšak pre niektoré n-tice vektorov (u1, . . . , un) môžeme ako výsledok lineárnej
kombinácie c1u1 + . . . + cnun dostať 0 aj pomocou inej n-tice skalárov (c1, . . . , cn)
než len 0 = (0, . . . , 0) – takéto usporiadané n-tice (u1, . . . , un) nazývame lineárne závislé.
Pre niektoré usporiadané n-tice vektorov (u1, . . . , un) je voľba (c1, . . . , cn) = 0
jediná možnosť ako lineárnou kombináciou c1u1 + . . . + cnun získať výsledok 0 – takéto
usporiadané n-tice nazývame lineárne nezávislé.
Na precvičenie práve definovaných pojmov čitateľovi odporúčame, aby si dokázal
štyri jednoduché no užitočné pozorovania:
(a) jediný vektor u je lineárne nezávislý práve vtedy, keď u = 0;
(b) vektory u, v sú lineárne závislé práve vtedy, keď jeden z nich je násobkom druhého;
(c) ak niektorý z vektorov u1, . . . , un je 0, tak tieto vektory sú lineárne závislé;
(d) ak sa niektoré dva z vektorov u1, . . . , un rovnajú alebo niektorý z nich je násobkom
iného, tak tieto vektory sú lineárne závislé.
Inak povedané, len usporiadaná n-tica nenulových a navzájom rôznych vektorov, z ktorých
žiaden nie je násobkom druhého, môže (no stále ešte nemusí) byť lineárne nezávislá.
Nasledujúce tvrdenie asi vysvetľuje názov
”
lineárna závislosť“ lepšie než samotná
definícia.
6 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
4.4.1. Tvrdenie. Pre ľubovoľné n ∈ N a u1, . . . , un ∈ V nasledujúce podmienky sú
ekvivalentné:
(i) vektory u1, . . . , un sú lineárne závislé;
(ii) niektorý z vektorov uk, k ≤ n, je lineárnou kombináciou predchádzajúcich;
(ii’) niektorý z vektorov uk, k ≤ n, je lineárnou kombináciou nasledujúcich;
(iii) niektorý z vektorov uk, k ≤ n, je lineárnou kombináciou ostatných.
Dôkaz. Dokážeme implikácie (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) a (iii) ⇒ (i). Rovnako by bolo možné dokázať
aj implikácie (i) ⇒ (ii’) ⇒ (iii).
(i) ⇒ (ii): Nech u1, . . . , un sú lineárne závislé vektory a c1, . . . , cn sú skaláry, nie
všetky rovné 0, také, že c1u1 + . . . + cnun = 0. Nech k je najväčší z indexov 1, . . . , n
taký, že ck = 0. Potom ci = 0 pre k < i ≤ n, teda c1u1 + . . . + ckuk =
n
i=1 ciui = 0.
Z toho dostávame
uk = c−1
k (c1u1 + . . . + ck−1uk−1),
t. j. uk je lineárnou kombináciou predchádzajúcich vektorov.
(ii) ⇒ (iii) platí triválne.
(iii) ⇒ (i): Ak uk =
n
i=1
i=k
ciui je lineárnou kombináciou ostatných vektorov, položme
ck = −1. Potom pre n-ticu skalárov (c1, . . . , cn) = 0 platí c1u1 + . . . + cnun = 0,
teda vektory u1, . . . , un sú lineárne závislé.
Poznámka. Všimnite si, že dôkaz implikácie (i) ⇒ (ii) pokrýva aj prípad k = 1. Vtedy
c1 = 0 a c1u1 = 0, preto tiež u1 = 0. Teda u1 je naozaj lineárnou kombináciou
predchádzajúcich (t. j. prázdnej postupnosti) vektorov.
Každý vektor x z lineárneho obalu [u1, . . . , un] možno vyjadriť v tvare
x = c1u1 + . . . + cnun
pre nejakú n-ticu skalárov (c1, . . . , cn). Nasledujúce tvrdenie ukazuje, že lineárna nezávislosť
vektorov u1, . . . , un je ekvivalentná s jednoznačnosťou tohto vyjadrenia.
4.4.2. Veta. Vektory u1, . . . , un sú lineárne nezávislé práve vtedy, keď každý vektor
x ∈ [u1, . . . , un] možno vyjadriť v tvare x = c1u1 + . . . + cnun pre jedinú usporiadanú
n-ticu (c1, . . . , cn) ∈ Kn
.
Dôkaz. Nech u1, . . . , un sú lineárne nezávislé vektory. Predpokladajme, že vektor x ∈
[u1, . . . , un] možno vyjadriť v tvaroch
x = c1u1 + . . . + cnun = d1u1 + . . . + dnun,
kde (c1, . . . , cn), (d1, . . . , dn) ∈ Kn
. Potom
(c1 − d1)u1 + . . . + (cn − dn)un = 0.
Z lineárnej nezávislosti vektorov u1, . . . , un vyplýva c1 − d1 = . . . = cn − dn = 0,
čiže (c1, . . . , cn) = (d1, . . . , dn). Teda vyjadrenie vektora x v tvare lineárnej kombinácie
vektorov u1, . . . , un je jednoznačné.
4. LINEÁRNE PODPRIESTORY A LINEÁRNA NEZÁVISLOSŤ 7
Predpokladajme teraz, že každý vektor x ∈ [u1, . . . , un] má jednoznačné vyjadrenie
v tvare lineárnej kombinácie vektorov u1, . . . , un. Špeciálne to platí aj pre vektor x = 0,
ktorý má vyjadrenie 0 = 0u1 + . . . + 0un. Z jednoznačnosti tohto vyjadrenia vyplýva
c1u1 + . . . + cnun = 0 ⇒ c1 = . . . = cn = 0
pre ľubovoľnú n-ticu skalárov (c1, . . . , cn). Teda vektory u1, . . . , un sú lineárne nezávislé.
Nasledujúce tvrdenie dáva do súvislosti lineárnu (ne)závislosť s lineárnym obalom.
4.4.3. Tvrdenie. Nech u1, . . . , un, v ∈ V pričom vektory u1, . . . , un sú lineárne nezávislé.
Potom nasledujúce podmienky sú ekvivalentné:
(i) v ∈ [u1, . . . , un];
(ii) vektory u1, . . . , un, v sú lineárne závislé;
(iii) [u1, . . . , un, v] = [u1, . . . , un].
Dôkaz. (i) ⇒ (ii): Ak v ∈ [u1, . . . , un] tak vektory u1, . . . , un, v sú lineárne závislé podľa
tvrdenia 4.4.1.
(ii) ⇒ (iii): Nech vektory u1, . . . , un, v sú lineárne závislé. Potom niektorý z nich je lineárnou
kombináciou predchádzajúcich. Keďže vektory u1, . . . , un sú lineárne nezávislé,
môže to byť len vektor v. Teda v ∈ [u1, . . . , un].
(iii) ⇒ (i) je obsiahnuté v bode (f) tvrdenia 4.2.2.
4.4.4. Veta. Nech u1, . . . , un, v1, . . . , vm ∈ V , pričom vektory u1, . . . , un sú lineárne
nezávislé. Potom z množiny {1, . . . , m} možno vybrať indexy i1 < . . . < ik tak, že vektory
u1, . . . , un, vi1 , . . . , vik
sú lineárne nezávislé a generujú rovnaký podpriestor ako vektory
u1, . . . , un, v1, . . . , vm.
Dôkaz. Označme X = {v1, . . . , vm}. Vektory vi1 , . . . , vik
vyberieme z množiny X nasledujúcim
spôsobom. Ak X ⊆ [u1, . . . , un], položme k = 0, t. j. nevyberieme žiaden
z nich. V opačnom prípade nech vi1 je prvý z vektorov množiny X, ktorý neleží
v podpriestore [u1, . . . , un]. Ak X ⊆ [u1, . . . , un, vi1 ], tak k = 1 a vi1 je jediný vybraný
vektor. Podľa predchádzajúceho tvrdenia sú vektory u1, . . . , un, vi1 lineárne nezávislé.
Ak X ⊆ [u1, . . . , un, vi1 ], označíme vi2 prvý vektor množiny X, ktorý neleží
v [u1, . . . , un, vi1 ] (zrejme i1 < i2 a vi1 = vi2 ). Vektory u1, . . . , un, vi1 , vi2 sú podľa tvrdenia
4.4.3 opäť lineárne nezávislé. Podľa potreby pokračujeme rovnakým spôsobom, až
kým pre takto získané lineárne nezávislé vektory u1, . . . , un, vi1 , . . . , vik
neplatí inklúzia
X ⊆ [u1, . . . , un, vi1 , . . . , vik
], kedy sa zastavíme. (V krajnom prípade dostaneme
k = m, t. j. vyberieme všetky vektory z množiny X.) Z uvedenej inklúzie okamžite
vyplýva rovnosť
[u1, . . . , un, v1, . . . , vm] = [u1, . . . , un, vi1 , . . . , vik
],
keďže každý z generátorov podpriestoru na ľavej strane je prvkom podpriestoru na
pravej strane.
8 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
4.5. Lineárny obal a lineárna nezávislosť v priestoroch Km
V tomto paragrafe si ukážeme, ako možno na základe našich doterajších znalostí o sústavách
lineárnych rovníc tou istou metódou úpravy matíc pomocou ERO na (redukovaný)
stupňovitý tvar riešiť pre vektory z priestoru Km
nasledujúce tri otázky:
(1) rozhodnúť pre dané vektory x1, . . . , xn, y ∈ Km
či y patrí alebo nepatrí do lineárneho
obalu [x1, . . . , xn];
(2) rozhodnúť pre dané vektory x1, . . . , xn ∈ Km
či sú lineárne závislé alebo nezávislé;
(3) vybrať z vektorov x1, . . . , xn ∈ Km
lineárne nezávislé vektory xj1 , . . . , xjk
tak,
aby platilo j1 < . . . < jk a vektory xj1 , . . . , xjk
generovali vo V ten istý lineárny
podpriestor ako vektory x1, . . . , xn.
Hoci všetky tri otázky možno riešiť naraz jednotným spôsobom, z metodických dôvodov
začneme jednoduchšími otázkami (1) a (2), a až potom pristúpime k trochu
zložitejšej otázke (3). Navyše pri tom zavedieme označenie, ktorého sa budeme držať
v celom paragrafe.
Nech x1, . . . , xn, y ∈ Km
sú stĺpcové vektory, pričom
xj =



x1j
...
xmj


 , y =



y1
...
ym


 .
Označme X = (xij) ∈ Km×n
maticu so stĺpcami x1, . . . , xn, a (X | y) ∈ Km×(n+1)
blokovú maticu zloženú z matice X a vektora y. Potom pre c = (c1, . . . , cn)T
∈ Kn
platí:
(1) c1x1 + . . . + cnxn = y ⇔ X · c = y;
(2) c1x1 + . . . + cnxn = 0 ⇔ X · c = 0.
Inak povedané:
(1) y ∈ [x1, . . . , xn] práve vtedy, keď sústava X · c = y s rozšírenou maticou (X | y)
má aspoň jedno riešenie;
(2) vektory x1, . . . , xn sú lineárne nezávislé práve vtedy, keď homogénna sústava
X · c = 0 má jediné riešenie c = 0; ak táto sústava má aj nejaké nenulové riešenie,
tak vektory x1, . . . , xn sú lineárne závislé.
(Nedajte sa spliesť atypickým označením: xij sú teraz koeficienty sústavy, yi sú zložky
pravej strany a cj sú neznáme.)
Otázku (1) už vieme riešiť. Stačí pomocou ERO upraviť maticu (X | y) na stupňovitý
tvar. Ak výsledná matica obsahuje riadok tvaru (0, . . . , 0 | z), kde z = 0, tak sústava
X · c = y nemá riešenie a y /∈ [x1, . . . , xn]. Ak sa taký riadok vo výslednej matici
nenachádza, tak sústava má aspoň jedno riešenie a y ∈ [x1, . . . , xn].
Podobne je to s otázkou (2). Opäť stačí pomocou ERO upraviť maticu X na stupňovitý
tvar a pozrieť sa, či v každom stĺpci leží vedúci prvok nejakého riadku. Ak
je to tak, niet čo voliť za parametre, c = 0 je jediným riešením sústavy X · c = 0
a vektory x1, . . . , xn sú lineárne nezávislé. V opačnom prípade máme možnosť voľby
aspoň jedného parametra, sústava má aj nejaké nenulové riešenie a vektory x1, . . . , xn
sú lineárne závislé.
Ešte si všimnime úzku súvislosť oboch otázok. Vedúcim prvkom riadku (0, . . . , 0 | z),
kde z = 0, je práve v (n+1)-om stĺpci ležiaci prvok z. Teda matica v stupňovitom tvare
4. LINEÁRNE PODPRIESTORY A LINEÁRNA NEZÁVISLOSŤ 9
riadkovo ekvivalentná s (X | y) neobsahuje taký riadok práve vtedy, keď v jej poslednom
stĺpci neleží vedúci prvok žiadneho riadku.
4.5.1. Príklad. Uvažujme stĺpcové vektory x1 = (1, 1, −1, −1)T
, x2 = (0, 1, 0, 1)T
,
x3 = (3, 1, −3, −5)T
, x4 = (0, 0, 1, 2)T
, y = (3, 5, −2, 1)T
, z = (1, 1, 1, 1)T
v priestore
R4
. Máme rozhodnúť, či vektory y, z patria do lineárneho obalu [x1, x2, x3, x4].
Označme si nasledujúce matice
(X | y) =



1 0 3 0
1 1 1 0
−1 0 −3 1
−1 1 −5 2
3
5
−2
1


 , (X | z) =



1 0 3 0
1 1 1 0
−1 0 −3 1
−1 1 −5 2
1
1
1
1


 .
Matice (X | y), (X | z) sú riadkovo ekvivalentné s maticami



1 0 3 0
0 1 −2 0
0 0 0 1
0 0 0 0
3
2
1
0


 resp.



1 0 3 0
0 1 −2 0
0 0 0 1
0 0 0 0
1
0
2
−2


 .
Okamžite vidíme, že platí y ∈ [x1, x2, x3, x4] a z /∈ [x1, x2, x3, x4].
4.5.2. Príklad. Zistíme, či stĺpce reálnej matice
X =



2 0 1 3
2 1 2 3
0 2 3 1
1 2 4 2



sú lineárne závislé alebo nezávislé. Táto matica je riadkovo ekvivalentná s maticou



1 2 4 2
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 2


 .
Vidíme, že stĺpce matice X sú lineárne nezávislé. Na druhej strane, ako matica nad
poľom Z5 je X riadkovo ekvivalentná s maticou



1 2 4 2
0 1 3 4
0 0 2 3
0 0 0 0


 .
Teda stĺpce matice X, chápané ako vektory z vektorového priestoru Z4
5, sú lineárne
závislé.
Kľúčom k odpovedi na otázku (3) je nasledujúce tvrdenie.
10 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
4.5.3. Tvrdenie. Nech X, Y ∈ Km×n
sú riadkovo ekvivalentné matice, pričom matica
Y je v stupňovitom tvare. Pre 1 ≤ j ≤ n označme xj = sj(X) j-ty stĺpec matice
X. Nech j1 < . . . < jk sú indexy všetkých stĺpcov matice Y , v ktorých ležia vedúce
prvky jej riadkov. Potom plati:
(a) vektory xj1 , . . . , xjk
sú lineárne nezávislé;
(b) ak v j-tom stĺpci matice Y neleží vedúci prvok žiadneho jej riadku (t. j. 1 ≤ j ≤ n
a j = j1, . . . , jk), tak vektor xj je lineárnou kombináciou vektorov xj1 , . . . , xjl
,
kde l ≤ k je najväčší index, pre ktorý platí jl < j;
(c) [xj1 , . . . , xjk
] = [x1, . . . , xn].
Dôkaz. (a) Označme X , Y matice, pozostávajúce len zo stĺpcov s indexmi j1, . . . , jk
matíc X resp. Y (ostatné stĺpce vynecháme). Potom postupnosťou tých istých ERO,
ktorými sme X upravili na Y , dostaneme z X maticu Y , teda X ∼ Y . Matica Y je
však v stupňovitom tvare a má v každom stĺpci vedúci prvok nejakého svojho riadku.
Preto homogénna sústava X · d = 0 má jediné riešenie d = 0 ∈ Kk
, čo znamená, že
stĺpce matice X , t. j. vektory xj1 , . . . , xjk
, sú lineárne nezávislé.
(b) Bez ujmy na všeobecnosti môžeme predpokladať, že matica Y je dokonca v redukovanom
stupňovitom tvare. Poloha vedúcich prvkov riadkov v jednotlivých stĺpcoch
bude stále rovnaká. Nech j = j1, . . . , jk. Pri voľbe parametra cj = 1 a voľbou 0 za
hodnotu všetkých ostatných parametrov (ak nejaké zostali) dostaneme jedno riešenie
c = (c1, . . . , cn)T
= 0 sústavy X · c = 0. Nech l ≤ k je najväčší index taký, že jl < j.
Pre naše riešenie c navyše platí cp = 0, ak j ≤ p ≤ n. Ak je totiž cp parameter, tak je
to dôsledok našej voľby, a vo vyjadrení neznámych cjh
pre l < h ≤ k sa (jediný nenulový)
parameter cj nevyskytuje. Označme X maticu, ktorá pozostáva len zo stĺpcov
matice X s indexmi j1, . . . , jl a j. Z uvedených dôvodov je vektor c = (cj1 , . . . , cjl
, 1)T
riešením sústavy X · c = 0. To znamená, že
xj = −(cj1 xj1 + . . . + cjl
xjl
) ∈ [xj1 , . . . , xjl
].
(c) je bezprostredným dôsledkom (b) a tvrdenia 4.4.3.
Práve dokázané tvrdenie nám dáva priamy návod na riešenie otázky (3). Stačí pomocou
ERO upraviť maticu X = (x1, . . . , xn) na maticu Y v stupňovitom tvare a zistiť
v nej indexy j1 < . . . < jk všetkých stĺpcov, v ktorých ležia vedúce prvky jej riadkov.
Potom xj1 , . . . , xjk
sú hľadané lineárne nezávislé vektory, ktoré generujú lineárny
podpriestor [x1, . . . , xn].
4.5.4. Príklad. Zo stĺpcov reálnej matice
X =



1 1 3 −1 1
2 0 2 1 3
1 1 3 2 4
2 0 2 0 2



treba vybrať lineárne nezávislé stĺpce, ktoré generujú lineárny obal všetkých stĺpcov
matice X. Matica X je riadkovo ekvivalentná s maticou
Y =



1 1 3 −1 1
0 1 2 2 −3
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0



4. LINEÁRNE PODPRIESTORY A LINEÁRNA NEZÁVISLOSŤ 11
v stupňovitom tvare. Vedúce prvky riadkov matice Y sa nachádzajú v stĺpcoch 1, 2 a 4.
Hľadané vektory sú teda stĺpce 1, 2 a 4 matice X. Zapísané vedľa seba tvoria maticu



1 1 −1
2 0 1
1 1 2
2 0 0


 .
I keď sme celý postup riešenia otázok (1), (2) a (3) vyložili len pre priestory stĺpcových
vektorov Km
a týchto priestorov sa týkali aj všetky príklady, čitateľovi by už
nemalo robiť ťažkosti modifikovať popísanú metódu aj na priestory riadkových vektorov
Km
– či už transponovaním, príslušných matíc riadkových vektorov alebo nahradením
elementárnych riadkových operácií stĺpcovými.
4.6. Lineárne nezávislé postupnosti a množiny
V tomto paragrafe stručne doplníme pojmy lineárnej závislosti a nezávislosti spôsobom,
ktorý umožňuje ich použitie i v prípade nekonečných postupností a ľubovoľných
(t. j. konečných aj nekonečných) množín vektorov. Nakoľko však tieto otázky zostávajú
na okraji nášho záujmu, popri príslušných definíciách sa obmedzíme len na niekoľko
jednoduchých zovšeobecnení výsledkov o lineárnej (ne)závislosti usporiadaných n-tíc.
Nekonečnú postupnosť (uk)∞
k=0 = (u0, u1, u2, . . . , uk, . . . ) vektorov z priestoru V
nazývame lineárne nezávislou, ak každá jej konečná podpostupnosť (uk1 , . . . , ukn ), kde
0 ≤ k1 < . . . < kn, je lineárne nezávislá.
Dôkaz nasledujúceho jednoduchého tvrdenia prenechávame čitateľovi.
4.6.1. Tvrdenie. Nekonečná postupnosť (uk)∞
k=0 vektorov z V je lineárne nezávislá
práve vtedy, keď pre každé n ∈ N jej počiatočný úsek (u0, u1, . . . , un) je lineárne nezá-
vislý.
Napríklad postupnosť (1, x, x2
, . . . , xk
, . . . ) všetkých mocnín x je lineárne nezávislá
postupnosť vo vektorovom priestore K[x] všetkých polynómov v premennej x nad poľom
K. Polynóm f(x) = a0 + a1x + . . . + anxn
je totiž (definitoricky) nulový práve vtedy,
keď a0 = a1 = . . . = an = 0.
Množina X ⊆ V sa nazýva lineárne nezávislá, ak pre ľubovoľné n ∈ N každá usporiadaná
n-tica navzájom rôznych vektorov (u1, . . . , un) z množiny X je lineárne nezávislá.
Ešte raz podčiarkujeme ono
”
navzájom rôznych“ – keby totiž u1, . . . , un neboli navzájom
rôzne vektory, nemohli by byť lineárne nezávislé.
Lineárna závislosť či nezávislosť usporiadanej n-tice vektorov nezávisí od ich poradia
– zrejme usporiadaná n-tica (u1, . . . , un) je lineárne nezávislá práve vtedy, keď
je lineárne nezávislá usporiadaná n-tica (uσ(1), . . . , uσ(n)), kde σ je ľubovoľná permutácia
množiny {1, . . . , n}. Inak povedané, lineárna (ne)závislosť usporiadanej n-tice
(u1, . . . , un) navzájom rôznych vektorov je vlastnosťou množiny {u1, . . . , un}. Čitateľ
už iste ľahko nahliadne platnosť nasledujúceho očividného tvrdenia.
12 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
4.6.2. Tvrdenie. Usporiadaná n-tica (u1, . . . , un) navzájom rôznych vektorov z V je
lineárne nezávislá práve vtedy, keď množina {u1, . . . , un} ⊆ V je lineárne nezávislá.
Naše záverečné tvrdenie, ktoré dáva do súvisu lineárnu (ne)závislosť množiny s jej
lineárnym obalom, je obdobou tvrdenia 4.4.3. Taktiež jeho dôkaz možno získať malou
obmenou dôkazu spomínaného tvrdenia.
4.6.3. Tvrdenie. Nech X ⊆ V je lineárne nezávislá množina a v ∈ V . Potom nasledujúce
podmienky sú ekvivalentné:
(i) v ∈ [X];
(ii) množina X ∪ {v} je lineárne závislá;
(iii) [X ∪ {v}] = [X].
Cvičenia
1. Nech S, T sú lineárne podpriestory vektorového priestoru V . Potom S∪T je lineárny podpriestor V
práve vtedy, keď S ⊆ T alebo T ⊆ S. Dokážte.
2. V každom z nasledujúcich prípadov rozhodnite, či daná podmnožina S vektorového priestoru V
nad poľom K je jeho lineárnym podpriestorom. Svoje rozhodnutie zdôvodnite. Ak S nie je lineárny
podpriestor, popíšte jeho lineárny obal [S].
(a) K = R, V = R, S = −1, 1 ;
(b) K = C, V = C, S = {z ∈ C; |z| = 1};
(c) K = R, V = R2, S = {(x, y) ∈ R2; x − 2y = 0};
(d) K = C, V = C2, S = {(x, y) ∈ C2; x + iy = 1};
(e) K = R, V = C, S = {x ∈ C; Re x = Im x};
(f) K = Q, V = R, S = Q[
√
3] = {a + b
√
3; a, b ∈ Q};
(g) K = Z2, V = Z3
2, S = {(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)};
(h) K = Z3, V = Z2
3, S = {(0, 0), (1, 2), (2, 1)};
(i) K ľubovoľné, V = K[x], S = {f(x) ∈ K[x]; f(1) = 0};
(j) K ľubovoľné, V = K[x], S = {f(x) ∈ K[x]; f(0) = 1};
(k) K ľubovoľné, V = K[x], S = {f(x) ∈ K[x]; f(0) = f(1)};
(l) K ľubovoľné, V = K[x], S = {a + bx + (a + b)x2; a, b ∈ K};
(m) K ľubovoľné, V = K[x], S = {a + bx + (a + b + 1)x2; a, b ∈ K}.
3. V každom z nasledujúcich prípadov rozhodnite, či uvedené vektory z vektorového priestoru V nad
poľom K sú lineárne nezávislé. Svoje rozhodnutie odôvodnite.
(a) K = Q, V = Q2, u = (0, 0), v = (1, 1);
(b) K = Q, V = Q3, w = (1, 2, 3)T ;
(c) K = R, V = R4, x = (0, 1, 0, 1)T , y = (1, 0, 1, 0)T , z = (1, 0, 0, 1)T ;
(d) K = C, V = C3, u = (1, i, −i), v = (2 + i, 3 − i, 1 + 2i), w = (2 + 2i, 2 − i, 2 + 2i);
(e) K = Z5, V = Z4
5, x = (1, 3, 2, 4), y = (2, 2, 1, 1), z = (4, 2, 4, 2);
(f) K = Z7, V = Z4
7, x = (1, 3, 2, 4), y = (2, 2, 1, 1), z = (4, 2, 4, 2);
(g) K = R, V = R(3)[x], f0(x) = 1, f1(x) = x, f2(x) = x(x − 1), f3(x) = x(x − 1)(x − 2);
(h) K = Z13, V = Z13[x], f(x) = 5 + 12x, g(x) = 12 + 8x;
(i) K = R, V = R[x], f(x) = 5 + 12x, g(x) = 12 + 8x.
4. Nech V je vektorový priestor nad poľom K, u1, . . . , un ∈ V sú lineárne nezávislé vektory a
A ∈ Km×n. Pre i = 1, . . . , m označme vi = ai1u1 + . . . + ainun = ri(A) · (u1, . . . , un)T .
Potom vektory v1, . . . , vm ∈ V sú lineárne nezávislé práve vtedy, keď riadky matice A sú lineárne
nezávislé vektory v Kn. Dokážte. Čo sa zmení, ak u1, . . . , un sú lineárne závislé?
5. Nech V je vektorový priestor nad poľom K. V každom z nasledujúcich prípadov rozhodnite, či
vektor u ∈ V patrí do lineárneho obalu vektorov x, y, z ∈ V .
(a) K = R, V = R3, x = (1, 1, 2)T , y = (−2, 1, −1)T , z = (0, 1, 1)T , u = (1, 2, −1)T ;
4. LINEÁRNE PODPRIESTORY A LINEÁRNA NEZÁVISLOSŤ 13
(b) K = C, V = C2, x = (i, 1 + i), y = (1, 1 − i), z = (i, −i), u = (1 + i, 1 − i);
(c) K = Z3, V = Z3
3, x = (0, 1, 2), y = (1, 2, 0), z = (2, 0, 1), u = (1, 0, 1);
(d) K = Z5, V = Z3
5, x = (0, 1, 2), y = (1, 2, 0), z = (2, 0, 1), u = (1, 0, 1).
6. V každej z úloh (a)–(i) cvičenia 3 vyberte z daných vektorov lineárne nezávislé vektory, ktoré
generujú ten istý lineárny podpriestor ako pôvodné vektory. Riešte rovnaký problém pre vektory
x, y, z, u v každej z úloh (a)–(d) cvičenia 5. Využite pri tom výsledky cvičení 3 a 5.
7. Doplňte chýbajúce dôkazy častí (a)–(e) tvrdenia 4.2.2.
8. (a) Zovšeobecnite definíciu priameho súčtu na ľubovoľný konečný počet lineárnych podpriestorov
daného vektorového priestoru.
(b) Nech S1, . . . , Sn (n ≥ 2) sú lineárne podpriestory vektorového priestoru V . Pre i = 1, . . . , n
označme Ti = S1 + . . . + Si−1 + Si+1 + . . . + Sn, t. j. T1 = S2 + . . . + Sn, T2 = S1 + S3 + . . . + Sn,
. . . , Tn = S1 +. . .+Sn−1. Potom S1 +. . .+Sn = S1 ⊕. . .⊕Sn, t. j. súčet podpriestorov S1, . . . , Sn
je priamy, práve vtedy, keď pre každé i ≤ n platí Si ∩ Ti = {0}. Dokážte.
9. Nech V je vektorový priestor nad poľom K a X ⊆ V je ľubovoľná podmnožina. Dokážte tzv.
podmienku zámeny: (∀ u, v ∈ V )(u ∈ [X ∪ {v}] [X] ⇒ v ∈ [X ∪ {u}]). Rozhodnite, či platí
dokonca ekvivalencia (∀ u, v ∈ V )(u ∈ [X ∪ {v}] [X] ⇔ v ∈ [X ∪ {u}] [X])?
10. Dokážte tvrdenia 4.6.1, 4.6.2 a 4.6.3.
11. Nech K je pole a (pk(x))∞
k=0 je postupnosť polynómov z K[x] taká, že pre k = l majú polynómy
pk(x), pl(x) rôzny stupeň. Dokážte, že potom ide o lineárne nezávislú postupnosť.