Volitelné domácí úlohy a příklady na zamyšlení k předmětu M3100 Příklady k procvičení
1. Rozhodněte o absolutní konvergenci řad
(a)
Esin(n7r/2) n
n=l
[Konverguje neabsolutně.]
(b)
(-1)" n—1 v \      / /
kde p = 1, respektive p = 2.
[Pro p = 1 konverguje neabsolutně, pro p = 2 absolutně.]
(c)
OO
n
E
^ (5 + (-l)"sinn)
n—1 v        v      ' '
[Konverguje absolutně. Cleny jsou ve skutečnosti kladné.]
2. Pomocí Ábelova kritéria rozhodněte o konvergenci řady
(2n-l)2arctg(l/n2)ra_„ ^      (n+l)(n + 2)
n—l K /K '
[Rada konverguje.]
3. Za předpokladu že víte, že řada konverguje rozhodněte o konvergenci řady
OO
E
OO
smn
n—1 v
[Řada konverguje.]
4. Pomocí Dirichletova kritéria rozhodněte o konvergenci řady
cos(n7r)
E
n=l
ln n
[Řada konverguje.]
5. Pomocí Dirichletova kritéria rozhodněte o konvergenci řady
z—' nmn
n=l
[Řada konverguje.]
6. Pomocí Dirichletova kritéria rozhodněte o konvergenci řady
00 1 100    • / \ y-v ln    n sm(n7r)
n=l
n 4
[Řada konverguje.]
7. Rozhodněte o konvergenci řady
E
(-1)"
ln™ n
[Řada konverguje dokonce absolutně.]
8. Určete Cauchyův součin řad
00
E?"
71 = 1
OO
Enf
n=l
9. Kolik členů je třeba sečíst, abychom odhadnuli součet
E
s chybou menší než 10 3. 10. Kolik členů je třeba sečíst, abychom odhadnuli součet
00 1
E^1
nz + n
ri—L
s chybou menší než 10~3.
11. Kolik členů je třeba sečíst, abychom odhadnuli součet
" (-1)"
E
n=2
lnn5
s chybou menší než 10 .
"■(n+l)   n i
2   y -j
[Aspoň 1000.]
[Aspoň 16 postupem který jsem volil já (lze volit i jiné).]
[Aspoň 7.]
12. Ukažte, že posloupnost funkcí
fn(x) =
arctg(x")
konverguje stejnoměrně na celém R.
13. Nalezněte bodovou limitu posloupnosti funkcí
a rozhodněte zda tyto funkce konvergují stejnoměrně na celém R? Na intervalu [0,1]?
[fn(x) ->0na[0,l],/n(a:) -> —oo na (1, oo), jinde nekonverguje a nekonverguje stejnoměrně nikde]
14. Nalezněte bodovou limitu posloupnosti funkcí
fn(x) = e~nx
a nalezněte největší možnou množinu na které je tato konvergence stejnoměrná.
[fn(x)     00 prox < 0, fn{x) = 1 prox = 0, /„(x) —>• 0 prox > 0. Hledaný interval je
(0,oo).]
15. Rozhodněte zda řada
konverguje stejnoměrně na celém
16. Rozhodněte zda řada
konverguje stejnoměrně na [0,oo).
[Ano, konverguje stejnoměrně.]
+ n4x2
[Ano, konverguje stejnoměrně.]
17. Mějme funkci
F(x) = J2ne~nX
n=l
na intervalu [1, oo). Rozhodněte o monotonii této funkce na tomto intervalu.
[F'(x) = — Y^^=i n2 <&~nx■ Fce je tedy klesající.] 18. Určete poloměr konvergence mocninné řady
oo ^n
v— xn
19. Koupili jste si látku a prodavač vám ustřihne an = (n+ l)/n3 metrů látky za minutu, navíc je obětavě ochoten stříhat nekonečně dlouho. Jak dlouho jej musíte nechat stříhat, aby jste nepřišli o více než 1 centimetr látky (tj. abyste jej nezastavili moc brzo).
[Asi 110.]
20. Vítr unáší list sem a tam, který padá z dostatečně velké výšky, aby padal skoro nekonečně dlouho. V každé sekundě navíc vítr posune list do strany o an = metrů. S jakou přesností dokážeme určit místo dopadu listu po
(a) jedné minutě.
(b) po deseti minutách
[a) asi 0,18 b) asi 0,0017]
Příklady k zamyšlení
1. Nalezněte konvergentní alternující řadu, na niž nelze použít Leibnitzovo kritérium.
2. Nalezněte konvergentní řadu, která nekonverguje absolutně.
3. Nalezněte posloupnosti an,bn,cn,dn,en, fn takové, aby
• řady Y^Li an, Y^Li bn byly divergentní, ale řada
oo
^ anbn
n=l
byla relativně konvergentí.
• řady Y^Li c«> Z^Li dn byly divergentní, ale řada
OO
n=l
byla absolutně konvergentní.
• řady Yl™=i     ^2^Li f n byly absolutně konvergentní, ale řada
oo n=l
byla relativně konvergentní.
4. Nalezněte konvergentní řadu    am aby její permutace bn splňovala
• Eľ=l hn = OO.
• Eľ=l bn = -OO.
5. Nalezněte posloupnosti an, bn tak aby
• Dirichletův součin an ■ bn divergoval. Divergenci dokažte.
• Cauchyho součin an ■ bn divergoval. Divergenci dokažte.
6. Nalezněte obecný vzorec pro výpočet Cauchyho a Dirichletova součtu řad Y^Li 1/2™, Eľ=i i/3".
\yn — gn > JS-n — gn j
7. Nalezněte posloupnost funkcí a funkci g(x) takové, že
• fn(x) —>•       na intervalu [0,1], ale g(x) na intervalu (1,2].
• fn(x) =4 ff(x) na intervalu [0,1].
• /„(x) konverguje stejnoměrně, ale g o fn(x) nekonverguje stejnoměrně.
8. Ukažte, že pokud /„(x) a gn(x) konvergují stejnoměrně na I, pak také Afn(x) + Bgn(x) a h(x)fn(x) konvergují stejnoměrně na /, kde A, B e R a h(x) je fce definovaná na /.
9. Analogicky k stejnoměrné konvergenci definujte stejnoměrnou divergenci k oo na / a nalezněte posloupnost funkcí /n(x) =4 oo na nějakém intervalu /. Začněte definicí bodové divergence posloupnosti /n(x).
10. Nalezněte posloupnost funkcí /n(x), která diverguje bodově, ale ne stejnoměrně na intervalu I.
oo o
n cos nx
11. Ukažte, že
E
n=l '
je spojitá a má spojitou derivaci.
12. Pomocí Ábelova kritéria ukažte, že je-li Y^=\fn{x) stejnoměrně konvergentní na I [—1,1], pak také
oo
X
£/»«
konverguje stejnoměrně na /.
13. Nalezněte příklad funkcí /n(x), které jsou ohraničené, ale nekonvergují stejnoměrně.
14. Nalezněte posloupnosti an, fn(x) takové, že an < \fn(x)\ pro každé n,x a Yľ^Ĺifn(x) stejnoměrně konverguje.